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2025届高三数学高考二轮专题复习：直线与方程解答题专练
1．已知双曲线的焦距为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积．
2．已知椭圆的左、右焦点为，，若圆的方程为，且圆心满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，过与垂直的直线交圆于，两点，为线段中点，若的面积为，求的值．
3．记抛物线：的焦点为，过点作的两条切线，切点分别为，.
(1)当时，求直线的方程；
(2)证明：直线的倾斜角为锐角；
(3)记的面积为，的面积为，当取得最小值时，证明：.
4．已知的三个顶点的坐标为，，．求：
(1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形；
(2)点C关于直线AB对称点的坐标；
(3)求的面积．
5．已知双曲线的右焦点为，点在C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点．
（ⅰ）设双曲线C在点P处的切线为，求双曲线左支上的点到直线距离的最小值；
（ⅱ）设直线是双曲线C上任意一点的切线，点F关于直线的对称点为M，求点M满足的轨迹方程．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，上一点到的距离之和为4．
(1)求的方程；
(2)设的左、右顶点分别为，若为上异于的点，直线与直线相交于点，直线与交于另一点，
（ⅰ）证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（ⅱ）求面积的最大值．
7．已知曲线的左右焦点为为其左支上的一个动点．当时，有，且曲线的离心率为．
(1)求曲线的方程；
(2)以点为切点作曲线的切线，过点、作切线的垂线，垂足为、．
（ⅰ）试用表示与，并证明和面积相等；
（ⅱ）求点的轨迹方程．
8．已知椭圆（）的长轴长为，离心率为.直线与椭圆有两个不同的交点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值.
9．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的公共点都在圆上，设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为.
(1)求圆的标准方程；
(2)若为正三角形，求点的坐标；
(3)求的取值范围.
10．已知直线与圆.
(1)若圆上有且仅有两个点到的距离为，求的取值范围；
(2)若，设点为直线与轴的公共点，直线过点且与圆相交，求直线的倾斜角的范围.
11．设直线
(1)求与直线的距离为的直线的方程；
(2)求圆关于直线的对称圆的方程.
12．已知双曲线的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为2.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线、（斜率都存在）分别与交于点、和、，、分别为、的中点.
（i）若点，求直线的方程；
（ii）若点，且，证明：直线过定点.
13．已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，且，点关于轴的对称点为，点是抛物线上的两个点.
(1)求；
(2)若为坐标原点，直线经过点，且的面积为12，求直线的方程；
(3)若直线不经过点，且直线与直线的斜率之积为4，过点作直线垂直于点，求点到的准线距离的最大值.
14．求符合下列条件的直线方程．
(1)直线过点，且斜率为；
(2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6；
(3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍．
15．已知点，以线段为直径的圆内切于圆．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)当过点的动直线与轨迹相交于两点（可以相同）时，，．求动点的轨迹长度．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，右支上的动点到的距离的最小值为3，到的渐近线的距离是到的距离的最小值的倍.
(1)求双曲线的方程；
(2)设点在直线上，过的两条直线分别交的右支于两点和两点，且，若不同的点，满足，求的值.
17．已知椭圆的左顶点为，焦距为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点，过点且斜率为的直线与椭圆的另一个交点为，线段的垂直平分线与轴交于点，与轴交于点．过点且与平行的直线与轴交于点．若与的面积之比为，求的值．
18．已知椭圆的一个顶点为.且过点.
(1)求椭圆的方程及焦距
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积.
19．已知椭圆的左、右顶点分别为、，离心率，为椭圆上异于、的动点.
(1)求直线、的斜率的积；
(2)过作直线，过作直线，设，证明：存在两定点与，使得为常数.
20．已知抛物线C：的焦点F关于直线对称的点为
(1)求C的方程；
(2)设原点为O，点P，Q 均在C上.若直线PQ经过点，直线OP与直线相交于点M，点Q 在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值 若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)已知点，点G，H均在C上，若直线AG，AH的斜率互为相反数，且AG的斜率大于1，记点F到直线GH的距离为d，求的最大值.
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《2025届高三数学高考二轮专题复习：直线与方程解答题专练》参考答案
1．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出即可.
（2）求出点到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积.
【详解】（1）依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离，
由消去得，解得，，
则，所以的面积.
2．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的方程.
（2）联立直线与椭圆方程，求出，结合圆的性质将的面积转化为的面积，求出点到的距离，由面积大小求出斜率并验证得解.
【详解】（1）依题意，，则，
解得，而，则，
所以椭圆的方程为．
（2）如图，设，由消去，得，
，，，
则，
由为线段中点，得，
由，得，则，又点到的距离，
于是，
整理得，解得，此时，
圆心到的距离成立，故.
3．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求得点，，可求得直线的方程；
（2）求导可得曲线在点，处的切线方程，进而可得方程的两解分别为，，利用根与系数的关系可得直线的斜率大于0；
（3）求得直线的方程，，利用点到直线的距离公式求得，构造函数，利用导数可证明结论.
【详解】（1）易知，当时，
故直线的方程为.
（2）设，，对，求导可得，
故曲线在点，处的切线方程分别为，，
而点同时在两条切线上，故方程的两解分别为，，
由韦达定理知，
故直线的斜率为
故直线的倾斜角为锐角.
（3）记线段的中点为，且，，
故，且点在直线上，故：
点到直线的距离，点到直线的距离，
故，
设函数，则，
设函数，则在区间上，
故在区间上单调递增，而，
故存在，使得，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
于是当时，取得最小值，下面证明其为正数，
令函数，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故，故，
故当时，取得最小值，故原命题得证.
4．(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）由ABCD为平行四边形知可求；
（2）设点关于直线AB对称点的坐标为，由题意可得出，解方程即可得出答案.
（3）求出和点到直线AB的距离即可求出面积.
【详解】（1）设，由ABCD为平行四边形知，
即，则，解得，即.
（2）直线AB的方程为，即，
点关于直线AB对称点的坐标为，
所以，解得：，
故C关于直线AB对称点的坐标为.
（3），
直线AB的方程，
点到直线AB：的距离为，
∴.
5．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析
【分析】（1）根据题意可得，求解即可；
（2）（ⅰ）法一：设的方程为：，与双曲线方程联立，求得的方程，利用平移法可求双曲线左支上的点到直线距离的最小值；法二：因为点在双曲线上，由双曲线的切线的性质可求得切线方程，进而利用平移法可求双曲线左支上的点到直线距离的最小值；（ⅱ）法一：分切线斜率是否存在两种情况讨论，设，利用判别式法求得，设点关于直线的对称点，可得，两式联立可得，化简整理可得轨迹方程.法二：设切点，双曲线在点Q处的切线为：，
设，分，两种情况讨论，当时，可得，∵利用点在双曲线上，代入计算化简即可.
【详解】（1）∵双曲线的右焦点为，点在C上．
∴，且，
解得：，∴双曲线的方程为．
（2）（ⅰ）法一：
显然过点的切线斜率存在，设的方程为：，
联立，消y得：．
由，得，此时：．
设与平行且与双曲线左支相切的直线方程为，
联立，消y得，
由，得或（舍去），
∴与平行且与双曲线左支相切的直线方程为，
∴双曲线左支上的点到直线距离的最小值为．
法二：
∵切点，∴双曲线在点P处的切线，
设平行于且与双曲线左支相切的直线为：，
联立，消y得，
由，得或（舍去），
∴双曲线左支上的点到直线距离的最小值为．
（ⅱ）法一：
①当双曲线的切线斜率不存在时，，易得点；
②当双曲线的切线斜率存在时，设，
联立，消y得：，
由，，得：．
设点关于直线的对称点，
则，
解得，
代入，得：．
化简：，
展开得，
即：，
化简得：．
．
当时，即，
M点的轨迹为点与F重合不合题意；
当时，即，
M点的轨迹为以点圆心，半径为的圆，
此时点在圆上．
法二：
设切点，双曲线在点Q处的切线为：，
∵点关于直线的对称点为M，设，
①当时，，，易得．
②当时，直线，斜率，
所以，解得，
∵点在双曲线上，
∴，即，
∴，
展开得，
即，
化简得，
．
当时，即，M点的轨迹为点与F重合不合题意；
当时，即，
M点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，
此时点在圆上．
6．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析，定点；（ⅱ）．
【分析】（1）根据椭圆的定义、离心率公式及关系式即可求解.
（2）（ⅰ）设，则直线的方程为，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理表示出的坐标，求出直线的方程，结合直线过定点即可证明. （ⅱ）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理表示出的面积，令，则，结合二次函数的单调性及最值即可求解.
【详解】（1）由题意可得，解得椭圆方程为．
（2）（ⅰ）证明：设，
则直线的方程为，联立，
可得．
则，
直线的方程为，联立，
可得，
则，
，
若直线不垂直于轴，
则直线的方程为，
化简得，
令得，
直线恒过定点．
若直线垂直于轴，则，此时也过定点．
综上，恒过定点．
（ⅱ）解：由（ⅰ）知直线恒过定点，且直线的斜率不为0，
故设直线的方程为，
由，消去并整理得，
，
又，
所以的面积．
令，则，
从而在上单调递增，当，即时，的面积取得最大值，
故面积的最大值为．
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
7．(1)
(2)（ⅰ），，证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）由题意写出焦半径，利用勾股定理以及离心率的计算，建立方程组，可得答案；
（2）（i）设出切线方程，联立双曲线方程，由判别式为零，可证切线方程的表示，利用点到直线距离以及两点距离，根据锐角三角函数，可得正弦值，根据三角形的面积公式，可得答案；（ii）根据中位线定理，结合双曲线定义，可得轨迹方程，根据线段长度的取值范围，求得方程中变量的范围，可得答案.
【详解】（1）由于点在左支，则有，
由，有，又，联立解得（舍负）．
则，，曲线的方程为．
（2）
（ⅰ）首先是表示经过点的直线，
下面证明其恰是以点为切点曲线的切线．
联立与可得，所以有，
这说明是以点为切点曲线的切线．
其次，由于，则有，
同理有，
注意到，且，
则有，
同理有．
所以，这说明与相等或互补（舍去）．
所以有，记．则有，
，因此有．
（ⅱ）延长与交于点，易知，则，
则三角形为等腰三角形．连接，由于分别是的中点，
则有，
所以点的轨迹为以圆心，以为半径的圆，其轨迹方程为，
注意到，
其中，所以有，
设，则有，联立，解得，
所以点的轨迹方程为．
8．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解；
（2）先求出关于直线的对称点，再利用对称点在椭圆上，代入椭圆方程，即可求解.
【详解】（1）由题意得，所以，又因为，所以，
又，所以椭圆的标准方程为.
（2）设关于直线的对称点为，
则，解得，所以，
又点在椭圆上，所以，
化简得 ，解得或，当时，与点M重合，舍去，
所以.
9．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）求出曲线与坐标轴的交点坐标，设出圆的一般方程，利用待定系数法求解.
（2）利用切线长定理，结合直角三角形边角关系列式求解.
（3）求出圆心到直线的距离，设，利用切线长定理求出的范围，并用表示出，再利用数量积的定义求出函数关系，进而求出最小值即得.
【详解】（1）依题意，当时，圆过点，当时，圆过点，
设圆的一般式方程为，
则，解得，因此，
所以圆的标准方程为.
（2）由（1）知，圆的圆心，半径为，
由为正三角形，得，解得，
设，则，解得或，
所以点的坐标为或.
（3）圆心到直线的距离，设，
，则，
，
设，则，，
函数在上单调递增，，
所以的取值范围为.
10．(1)
(2)
【分析】（1）求出圆心到直线的距离，根据题意可得出关于的不等式，解之即可；
（2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用直线与圆的位置关系可得出关于的不等式，求出的取值范围，即可得出的取值范围.
【详解】（1）圆心到直线的距离为，
若圆上有且仅有两个点到的距离为，所以，
因此，的取值范围为.
（2）若，则圆，且，如下图所示：
若直线轴，则直线与圆相离，不合乎题意，
所以直线的斜率一定存在，设为，则直线方程为，
则.
11．(1)或
(2)
【分析】（1）依题意该直线与直线平行，由平行直线间的距离公式列方程即可求解；
（2）利用“垂直”，“平分”即可求出圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆方程.
【详解】（1）由题意可知该直线与直线平行，
所以设该直线方程为，
依题意，解得或，
故该直线方程为或.
（2）圆的圆心为，
设圆心关于直线的对称点为，
则且的中点在直线上．
，解得，
，
圆关于直线的对称圆半径不变，
该对称圆方程为：．
12．(1)
(2)（i）（ii）证明见解析
【分析】（1）根据离心率和右焦点到渐近线的距离以及双曲线中关系列等式，即可求得得值，从而得到双曲线的方程.
（2）（i）用点差法求得中点弦的斜率，在用点斜式即可写出直线的方程.
（ii）利用向量的数量积为得到与垂直，设出两条垂直的直线、分别与双曲线方程联立，写出、的坐标及斜率，再用点斜式写出直线的方程，化简即可得证.
【详解】（1）设双曲线右焦点为，则有，
由于的一条渐近线的方程为，

由题可得，解得.
所以双曲线的方程为.
（2）（i）设，，由题意点是中点，

则，，直线的斜率.
因为、在上，则，
两式相减得，
整理可得，即，
可得直线的方程为，即，
检验：直线与联立方程得，
其，符合题意；
所以直线的方程为.
（ii）设，由于，所以.

设直线，联立方程：，得，
其中且.
则有，，代入直线得，
所以.
同理设，
直线，联立方程：，
得，
其中且
则有，，代入直线得，
得.
所以
，
则有直线.
令，得.
当直线的斜率不存在时，则，直线；
所以直线过定点.
13．(1)2
(2)或.
(3)
【分析】（1）设过点的抛物线的切线方程为，联立切线方程与抛物线方程，化简得，则，即.设切线的斜率分别为，，根据及韦达定理即可求解；
（2）由（1）知，.设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，化简得，则，∴.设，，根据韦达定理、弦长公式及点到直线的距离和三角形面积公式即可求解；
（3）设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，化简得，则，设，，则由韦达定理得，.根据斜率公式可知，整理得.又直线不经过点，所以，则，所以直线的方程为，即直线恒过定点.由，得，解得或.
解法一：由题知直线的方程为联立直线与直线的方程，可得，则点到的准线的距离.令，
根据对勾函数的单调性和基本不等式分类讨论即可求解；
解法二：连接，由可知点在以为直径的圆上，
所以点到的准线的距离的最大值为圆心到的准线的距离加上半径，即，验证取得最大值时的点是否符合题意即可求解.
【详解】（1）设过点的抛物线的切线方程为，
联立得，化简得，
则，整理得.
设切线的斜率分别为，，
因为，所以，得，即，
解得.
（2）由（1）知，.
∵直线的斜率不可能为0，∴设直线的方程为，
联立得，化简得，
则，∴.
设，，则，，
则，
点到直线的距离为，
则，即，
整理得或，
解得或，
故直线的方程为或.
（3）
设直线的方程为，
联立得，化简得，则，即，
设，，则，.
∴，.
又，所以，即，
，代入得，即，
即，即，即.
又直线不经过点，所以，则，
所以直线的方程为，因此直线恒过定点.
由，得，解得或.
解法一 由题可知，直线的方程为，
由得，
则点到的准线的距离.
令，
根据对勾函数的单调性可知：
若，则，，且，即.
若，则，当，即时，；
当，即时，，且，即；
当，即时，由基本不等式可知：，当且仅当，即时取等号.
因此点到的准线距离的最大值为.
解法二 连接，因为，所以点在以为直径的圆上，
所以点到的准线的距离的最大值为圆心到的准线的距离加上半径，即，
此时，，满足题意，（因为点的轨迹不是一个完整的圆，因此要验证取得最大值时的点是否符合题意）
因此点到的准线距离的最大值为.
14．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可求解；
（2）由直线的斜截式方程可设直线方程为，求与坐标轴的交点，根据面积为6即可求解；
（3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，代入点即可求解；
当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，由题意得解出即可.
【详解】（1）所求直线过点
，且斜率为，
直线方程为，
即．
（2）设直线方程为，
令，得，
令，得，
，解得，
直线方程为，
即．
（3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，
又直线过点，
，解得，
直线方程为，即；
当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，
由题意可得解得
直线方程为，即；
综上，所求直线方程为或．
15．(1)
(2)．
【分析】（1）取，根据几何关系得出，即可得出点的轨迹为椭圆，进而求出其方程即可；
（2）直线斜率不存在时求得，斜率存在时，设，根据，可求出，因点在直线上，则将值代入直线方程中即可求得点满足的方程，再根据求出，进而得出的范围，求出轨迹方程，即可求出轨迹长度.
【详解】（1）取，记线段的中点为，连接，
由于线段的中点为，则，，
设圆的半径为，圆与圆内切于，连接，
则三点共线，且，
于是，
又，
根据椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
则轨迹的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，点重合，
则由，可得，，，则点三点重合，
此时点；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，，，
由，得，
则，
，得，
由，，得，，，
故，
化简得，
所以，得，
又因为动点在直线上，
所以，化简得，
经检验符合上式，
所以动点的轨迹为线段，
线段端点为，所以动点的轨迹长度．
16．(1)
(2)
【分析】(1)利用双曲线的参数意义和图形性质，即可得到方程组求解各参数，从而可得双曲线方程；
(2)设直线与双曲线联立方程组，把两线段之积转化为斜率与坐标公式中来，然后借韦达定理可求出，另一个同理可得，然后建立相等关系，再把问题转化为三点共线，即转化为新的等式来证明即可.
【详解】（1）设的焦距为，由右支上的动点到的距离的最小值为3，得，
因为到的渐近线的距离是到的距离的最小值的倍，所以.
联立得，得，
所以双曲线的方程为.
（2）
由题可设，，，易知直线，的斜率一定存在，设直线的方程为，
联立得，
化简并整理得，
由，且，
则，.
故，，
则.
设直线的方程为，同理得.
因为，所以，化简得，
所以，即，因为，所以.
由，知三点共线，
因为，所以，所以三点共线.又为不同的两点，所以，，
因此，故.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）由已知及椭圆中的关系，解出，即可得到椭圆的方程；
（2）由题意，直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理可由表示出线段的中点坐标，进而写出线段垂直平分线的方程，得到点和点坐标，表示出的面积，再由表示出的面积，再由面积之比为得到方程，即可求得的值．
【详解】（1）由题意，
解得．
所以椭圆的方程为．
（2）

由题意，直线的方程为，
由，得．
由题意，．
设，则，
解得，
所以线段的中点为．
线段垂直平分线的方程为：，
令得，所以．
令得，所以．
所以．
因为过点与直线平行的直线的方程为，故，
所以．
因为，
所以，整理得．
若，则，解得，故；
若，则，解得，故．
综上，或．
18．(1)椭圆方程，焦距为
(2)
【分析】（1）根据椭圆过顶点和点构造方程求得，由此可得椭圆方程；
（2）设过点的直线为，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由解得，再由弦长公式求以及点到直线的距离，最后求即可.
【详解】（1）由题意，因为椭圆的一个顶点为,且过点，
所以，解得，
所以椭圆的方程为，焦距为.
（2）设过点的直线为，，
由，化简得，
则，即，
所以，
即，
则，
所以直线方程为，，
故，
且点到直线的距离，
所以.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，根据两点斜率公式求，结合点在双曲线上化简可得结论；
（2）设，利用点斜式求直线，的方程，根据交轨法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义证明结论.
【详解】（1）设，则，即，
因为双曲线的离心率，所以，
所以，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，
所以直线、的斜率的积为；
（2）设，则
直线的方程为，①
直线的方程为，②
①②得，即，
所以动点在椭圆上，
故存在两定点与，使得.
20．(1)
(2)是定值，2
(3)
【分析】（1）利用线段的中点在直线上列式计算求解；
（2）设直线PQ的方程为，且，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理计算定值即可；
（3）设，先求出，可得直线的方程为，再应用点到直线距离结合韦达定理及基本不等式计算求解.
【详解】（1）由已知得，则线段的中点为，
该中点在直线上，所以，解得，
所以C的方程为
（2）设直线PQ的方程为，且，
联立方程组，整理得，
可得，且，
则
又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标，
又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标，
所以
，
所以为定值2.
（3）设，
与联立，得，
所以用代替k可得
，
，
因此直线的方程为，
点到直线GH的距离为，
因为 ，
所以
，
令，由得，
所以
当且仅当，即时取等号.
所以的最大值为
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