资源简介

第一辑
实数及其相关运算………………………………………………………………………01
代数式、因式分解、分式、二次根式…………………………………………………06
方程与方程组……………………………………………………………………………14
不等式与不等式组………………………………………………………………………25
统计与概率………………………………………………………………………………3121世纪教育网(www.21cnjy.com)
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考点 考情分析
实数的分类 一般以以选择题或填空题形式出现，考查有理数、无理数的概念，以及对实数进行准确分类。
实数的相关概念 一般以选择题或填空题形式考查，理解相反数、倒数、绝对值的概念，会求一个数的相反数、倒数和绝对值。
实数大小比较 灵活运用多种方法比较实数大小，如数轴比较法（在数轴上右边的数总比左边的数大）、绝对值比较法（两个负数比较大小，绝对值大的反而小）、平方比较法、差值比较法等。常见于选择题。
实数的运算 一般以解答题形式呈现，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主），能运用有理数的运算解决简单的问题，并且知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用。运算中常结合绝对值、锐角三角函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查。
科学记数法与近似数 此类考点常出现在选择题或填空题中，用科学记数法表示较大或较小的数，以及对近似数和有效数字的理解。
考查分值：分值在3分左右，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择题﹑填空题和解答题均出现。
命题趋势：由单一的选择题考查，逐渐转变为语段综合（含字形、词语、病句）题，试题难度有所降低。
知识点1：实数的分类
知识点2：实数的相关概念
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10 n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
7．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为.
（4）
8．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示为.
（3）.
高分技巧：
做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。
知识点3：实数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；
（2）类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
（3）差值比较法：
a-b＞0 a＞b;a-b=0 a=b;a-b＜0 a＜b
（4）平方比较法：
高分技巧：
个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较。
知识点4：实数的运算
1.数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
2．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
3．零次幂;a≠0，则a0=1
4.负整数指数幂：若a≠0，n为正整数， 则.
5.-1的奇偶次幂：；
真题1（2024·甘肃兰州·中考真题）的绝对值是（ ）
A． B．2024 C． D．
真题2（2025·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
真题3（2024·宁夏·中考真题）下列各数中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
真题4（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
真题5（2025·江苏南京·中考真题）比较大小： （填“”“”或“”）
真题6（2024·宁夏·中考真题）某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31.4米记作米，那么水库水位为28米记作 米．
真题7（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式：
……
则的值为 ．
真题8（2024·湖北·中考真题）计算：
预测1 （2025·宁夏石嘴山·一模）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
预测2 （2025·辽宁锦州·一模）乙醇是一种有机化合物，在标准大气压下，它的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作（　　）
A． B． C． D．
预测3 （2025·广东东莞·一模）的绝对值计算结果是（ ）
A． B． C． D．
预测4 （2025·浙江嘉兴·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
预测5 （2025·湖北·一模）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若水位升高时水位变化记作，则水位下降时水位变化记作 ．
预测6 （2025·江苏淮安·一模）和互为相反数，那么 ．
预测7 （2025·江苏苏州·一模）4的算术平方根是 ．
预测8 （2025·浙江嘉兴·一模）计算：．
押题1中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入100元记作元，则支出60元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
押题2实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
押题3在标准大气压下，固态酒精、汞、冰、碘四种物质的熔点分别如下表：
物质 固态酒精 汞 冰 碘
熔点/ 0 113.5
其中熔点最低的物质为（ ）
A．固态酒精 B．汞 C．冰 D．碘
押题4如图，直尺中处对应的数轴上的数与处对应的数轴上的数的和为（ ）
A． B． C． D．
押题5估计的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
押题6我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．如果我们规定一个新数“i”使它满足（即有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：，，，，…，那么（ ）
A．i B． C．1 D．
押题7M是一个四位数自然数各个数位上的数互不相等且都不为0，若，称M为95数，则最小的95偶数M是 ；已知知M为95数，若，当最大且是8的倍数时称M是最美95数，则最大的最美95数是 ．
押题8数学课上，张老师为了提高学生的数学兴趣，设计了一个掷骰子的小游戏，游戏规则如下：游戏开始时，老师先说出一个数字，然后投掷骰子，骰子朝上的点数1，2，3，4，5，6分别代表计算法则：“＋1”，“平方”，“立方”，“”，“＋5”，“”，根据投掷的点数按照相应的计算法则进行计算．例如：开始数字为10时，投掷两次骰子的点数依次为5和2，则计算结果为： ．
(1)开始数字为，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6，计算其结果；
(2)开始数字为m，投掷两次骰子的点数依次为1和3，计算结果为，求m的值．
考点 考情分析
代数式 代数式的考查题型多样，选择、填空、解答题均有涉及。在选择题和填空题中，多以考查基础知识为主，如判断代数式的运算结果是否正确、求代数式的值等。解答题则更注重综合应用。
整式的加减 以选择题和填空题为主，极少出现简答题，难易度属于易。
整式的乘除 选择、填空、解答题均有出现。选择题和填空题常考查幂的运算、整式乘法公式的直接应用等基础知识；解答题则多为整式的化简求值、混合运算等，有时会与其他知识综合考查。
乘法公式 在选择题、填空题中常考查公式的直接应用和简单变形应用，如判断式子的计算结果是否正确，或根据已知条件求代数式的值。在解答题中，可能会出现与因式分解、化简求值、方程、函数等知识相结合的综合题，要求学生熟练掌握乘法公式并能灵活运用
因式分解 常见于填空、选择题，也可能出现在解答题中，如化简求值、解方程等问题的步骤中。
分式 选择、填空、解答题均有涉及。选择题和填空题主要考查分式的基本概念、简单运算及性质；解答题则以分式的化简求值、应用问题和规律探究题为主。
二次根式 选择题、填空题常考查二次根式的概念、性质及简单运算；解答题则以化简求值、混合运算或与其他知识综合的形式出现。
考查分值：分值10-20分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择、填空、解答题均有涉及。
命题趋势：①注重代数推理：单纯的逻辑推导不再是重点，而是将逻辑推理与计算紧密结合；②强化数形结合：几何问题中会融入代数元素，如函数图象与几何图形的交点、动点问题中的数量关系等；③强调跨学科融合；④紧密联系生活实际：生活场景会频繁出现在题目中；⑤增加开放探究题型：规律探究、条件或结论开放的题目逐渐增多。
知识点1：代数式
定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
知识点2：整式的相关概念
1.单项式
（1）定义:数与字母的乘积(单独的一个数或字母也是单项式)
（2）系数:单项式中的数字因数
（3）次数:单项式中所有字母的指数的和
2.多项式
（1）定义:几个单项式的和
（2）次数:多项式里次数最高项的次数
3.同类项
所含字母相同，且相同字母指数也相同的单项式
知识点3：整式加减运算
1.实质：合并同类项
2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
3. 去括号
（1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c
知识点4：幂运算
（1）幂的乘法运算
口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（2）幂的乘方运算
口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (m,n都为正整数)
（3）积的乘方运算
口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 （m,n为正整数）
（4）幂的除法运算
口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
知识点5：整式乘法运算
（1）单项式乘单项式
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）单项式乘多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
（3）多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
（4）乘法公式
①平方差公式：
②完全平方公式：
（5）除法运算
①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
知识点6：因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.公因式
像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
4.提公因式与公式法综合
（1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（2）公式法：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
5.十字相乘法
1. x p q x pq （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2 bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a a1 a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，
c2 排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 bx c 的
一次项系数b ，即 a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与
a2 x c2 之积，即 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) ．
知识点7：分式的概念
1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
3.分式有意义的条件：B≠0；
4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0
知识8：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
知识点9：分式的运算
（1）同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；可用式子表为：.
（2）异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.可用式子表为：.
（3）分式的乘除法运算
①分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即
②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即
（4）分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）.
知识点10：分式化简求值
（1）有括号时先算括号内的；
（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；
（3）进行乘除法运算
（4）约分；
（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项， 最终化为最简分式；
（6）带入相应的数或式子求代数式的值
（7）高分技巧：①熟记公式（平方差，完全平方等）；②先化简后求值；③注意定义域；④检查结果。
知识点11：二次根式
（一）二次根式的有关概念
①二次根式的定义:一般地，形如√ā(a≥0)的式子
②二次根式有意义的条件:被开方数为非负数
③最简二次根式:同时满足两个条件：
a. 被开方数不含根号(分母不含根号).
b. b.被开方数不含能开方开得尽得因数或因式
c.
（二）二次根式的性质
（1）双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值)
（2）回归性: (主要用于二次根式的计算)
（3）转化性：
（三）二次根式的运算
①加减法:先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
②乘法:二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变
③除法:二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
（四）估算
①对二次根式平方估值
②找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数
③对以上两个整数平方
④确定这个根式的值再开方后所得两个整数之间
真题1（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
真题2（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
真题3（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
真题4（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ．
真题5（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ．
真题6（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．

真题7（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ．
真题8（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
预测1（2025·湖北·一模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
预测2（2025·浙江台州·一模）若，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
预测3（2025·内蒙古赤峰·一模）“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（ ）
A． B．
C． D．
预测4（2025·湖南湘西·一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为 ．
预测5（2024·北京西城·一模）分解因式： ．
预测6（2025·山东济宁·二模）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
预测7（2025·广东·一模）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关．
【知识应用】已知，．
(1)用含m，n，x的式子表示；
(2)若的值和x的取值无关，求的值．
预测8（2025·江苏苏州·一模）先化简，再求值：，其中．
押题1下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
押题2已知，则的值等于（ ）
A． B．2 C．8 D．7
押题3科技馆“数理世界”展厅的的密码被设计成如表所示的数学问题．小聪在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ．
账号∶ shuǐ ishì jie
密码
押题4如图，有类、类正方形卡片和类长方形卡片各若干张．若拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为 ．
押题5因式分解： ．
押题6若最简二次根式与可以合并，则 ．
押题7已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为 ．
考点 考情分析
一元一次方程 以选择题、填空题为主，考查方程的基本概念、解的判断、简单的计算等；应用题则多出现在解答题中，要求学生完整地写出解题过程。
二元一次方程组 以选择题、填空题为主，考查概念、解的性质及简单计算；解答题则多为实际应用问题，要求完整写出解题过程。
一元二次方程 选择题、填空题常考查一元二次方程的基本概念、根的判别式、根与系数的关系等；解答题则以解方程、根据根的情况求参数、实际应用问题为主。
分式方程 选择题、填空题主要考查分式方程的概念、解的性质、简单的含参问题等；解答题则以解方程、实际应用问题为主，要求学生完整写出解题步骤。
考查分值：分值10-20分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择、填空、解答题均有涉及。
命题趋势：①综合化：方程与方程组会越来越多地与函数、不等式、几何等知识综合考查，以体现数学知识的整体性和综合性，突出对学生综合运用知识能力的考查；②情境化：更加注重联系实际生活，以生活中的热点问题、社会现象等为背景，考查学生运用方程与方程组解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。
知识点1：一元一次方程
1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；
标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；
方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值
知识点2：等式的性质
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
如果a=b，那么a±c=b±c;
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
如果a=b，那么ac=bc;
如果a=b，c0，那么；
知识点3:解一元一次方程
解一元一次方程的步骤：
1.去分母:两边同乘最简公分母
2.去括号
（1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号
（2）乘法分配律应满足分配到每一项
3.移项
（1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；
（2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ．
4. 合并同类项
（1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a 0 ）；
（2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变．
5. 系数化为 1
（1）定义： 方程两边同除以未知数的系数a，得；
（2）注意：分子、分母不能颠倒
知识点4：一元一次方程的应用
解一元一次方程应用题，遵循5个步骤
①审题；②设未知数:设未知数(通常为x)，并注明单位；③列方程；④解方程；⑤检验答案：将解代入原方程或实际问题，验证是否合理；⑥.写答句:完整写出答案，并注明单位。
知识点5:二元一次方程
1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程．
2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
知识点6：二元一次方程组
1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组
2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
3.二元一次方程的解：同时满足方程组中各个二元一次方程左、右两边相等的未知数的值，是方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
知识点7：解二元一次方程组
（1）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
（2）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
知识点8：二元一次方程（组）应用的解题步骤
步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；
2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；
4．解方程组；
5．检验：检验方程的根是否符合题意；
6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．
知识点9： 一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
知识点10： 一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax +bx+c=0（a≠0），其中ax 叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax +bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏前面的性质符号。
知识点11：解一元二次方程
（一）直接开方
（1）如x =p(p≥0)或(nX+m) =p(p≥0)的一元二次方程可直接采用直接开平方解一元二次方程。
（2）如果化成x =p的形式，那么可得x=±；
（3）如果方程能化成(nX+m)=p(p≥0)的形式，那么nx+m=±,进而得出方程的根
（二）配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
（三）公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判别式
（四）因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
知识点12：一元二次方程的判别式
对于一元二次方程的一般形式：，
(1) 方程有两个不相等的实数根
(2) 方程有两个相等的实数根
(3) 方程没有实数根
高分技巧：在应用根的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件；
当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知
知识点13：一元二次方程的根与系数
若一元二次方程的两个根为，则有，
高分技巧：当问题中出现“方程的两个根是……”时，通常就要想其根与系数的关系了，若不能直接利用原公式，则结合完全公式，想其常用变形：
知识点14：一元二次方程的应用
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
与一元二次方程有关应用题的常见类型：
1）变化率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即：
2）利润和利润率问题
在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%.
3)面积问题
几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.
常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a 2x)(b 2x)．
常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a x)(b x)．
常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a x)(b x)．
4)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
5）碰面问题（循环）问题
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分．
∴m =n（n－1）
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场．
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠．
∴m = n（n－1）
知识点15：分式方程的解法
1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程
2.解分式方程基本步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式;
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程;3)解整式方程;
③验根，把整式方程的根代入最简公分母
高分技巧：
分式方程会无解的几种情况
①解出的x的值是增根，须舍去，无解
②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解
③同时满足①和②，无解
求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤：
①让最简公分母为 0 确定增根；
②去分母，将分式方程转化为整式方程；
③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；
④解含参数字母的方程的解。
知识点16：分式方程的应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
与分式方程有关应用题的常见类型：
真题1（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
真题2（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
真题3（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
真题4（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
真题5（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
真题6（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．
【问题解决】
(1)问题一：求出两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
真题7（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
真题8（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？
预测1（2025·山东德州·一模）电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都有电阻．如图所示，当两个电阻、并联时，总电阻R满足，若，，则的值为（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
预测2（2025·宁夏银川·一模）某铁路隧道被严重破坏，为抢修其中一段120米的铁路，施工队实际每天修铁路的效率比原计划提高了1倍，结果提前4天开通了列车，设原计划每天修米，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
预测3（2025·河北邯郸·一模）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
预测4（2025·江苏泰州·一模）“洛书”是中国重要的文化遗产，可转为如图1的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．图2是一个不完整的三阶幻方，结合图中信息可得 ．
预测5（2025·四川达州·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
预测6（2025·浙江舟山·一模）解方程组：．
预测7（2025·北京·一模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题：
物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．”
(1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为__________；
(2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题）
押题1时间如白驹过隙，同学们初中三年的学习即将画上一个圆满的句号．我班某小组的同学决定每人给本小组其他成员赠送一张毕业纪念卡，全组送纪念卡共56张．设该小组有人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
押题2设一元二次方程的两个根为，，则（ ）
A． B．3 C．5 D．7
押题3《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
押题4关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
押题5定义表示不超过实数x的最大整数，如：，，．则方程的解为 ．
押题6方程的解为 ．
押题7计算：下面是某同学的解答过程：
解：原式…第一步
…第二步
(1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________；
分式的基本性质；分式的加减法则；分式的通分；分式的约分法则．
(2)计算：．
押题8今年春节的动画电影《哪吒2》火爆影院，成为全民话题，其票房与文化影响力的双重爆发不仅印证了国漫的崛起，更通过角色成长与叙事内核传递了深刻的教育哲学．它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．《哪吒2》的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．某影院放映《哪吒2》，周末场观影人数比工作日场多人．周末场人均票价比工作日场人均票价少元，周末场和工作日场的票房收入均为元．求工作日场的观影人数是多少人？
考点 考情分析
不等式的定义和基本性质 选择题、填空题常考查不等式的基本概念、性质。
一元一次不等式 选择题和填空题常考查简单的不等式的解集:解答题则主要以解不等式、含参不等式以及不等式的实际应用为主，要求学生完整地写出解题过程。
一元一次不等式组 选择题和填空题常考查简单的不等式组的解集:解答题则主要以解不等式组、含参不等式组以及不等式组的实际应用为主，要求学生完整地写出解题过程。
考查分值：分值5-10分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择、填空、解答题均有涉及。
命题趋势：不等式与方程、函数等知识的综合考查会有所加强，通过建立不等式模型来解决实际问题，如方案设计、利润最大化、资源分配等问题，同时可能会结合函数图象来分析不等式的解集，体现数学知识的整体性和综合性，考查学生的综合运用能力。
知识点1：不等式的定义
（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
等都是不等式．
（2）常见的不等号有5种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．
知识点2：不等式的性质
基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或）
基本性质3 若a>b,c<0，则ac高分技巧：
①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
②在计算的时候符号方向容易忘记改变．
知识点3： 一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．
知识点4： 解一元一次不等式
解一元一次不等式的一般步骤是：
（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。
（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。
（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。
（4）合并同类项。
（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。
（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。
高分技巧：
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
知识点5： 一元一次不等式组的解集
知识点6： 解一元一次不等式组的步骤：
（1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解；
（2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分；
（3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。
知识点7：一元一次不等式组的应用
步骤如下：
（1）审：审清题意，找出已知量和未知量；
（2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）；
（3）找：找出反映题目数量关系的不等关系；
（4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组；
（5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集；
（6）写出答案（包括单位名称）。
真题1（2024·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
真题2（2024·广东广州·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
真题3（2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
真题4（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
真题5（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ．
真题6（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ．
真题7（2024·西藏·中考真题）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
真题8（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
(1)求两种型号劳动用品的单价；
(2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
预测1（2025·山东东营·一模）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
预测2（2025·浙江杭州·一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
预测3（2025·浙江台州·一模）已知，下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
预测4（2025·江苏南京·一模）若代数式，，则M和N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．与a的值有关
预测5（2025·河北廊坊·一模）如图，若代数式的值落在数轴上的区域③内，则整数x的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．1.5
预测6（2025·广东广州·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
预测7（2025·北京通州·一模）解不等式组：．
预测8（2025·辽宁抚顺·一模）为了更好地迎接抚顺市中考体育球类技能测试：篮球运球、足球运球等．某中学根据本校实际情况需要购进一批篮球和足球，已知每个篮球比每个足球贵20元，用500元购进的篮球和用400元购进的足球数量相等．
(1)求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？
(2)学校计划用不超过9100元购进两种球共100个，学校最多能购进多少个篮球？
押题1下列不等式运算不一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
押题2已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
押题3若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
押题4如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数 ．
押题5在实数范围内规定运算：，则不等式组的解集为 ．
押题6解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
押题7数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．

如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
(3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
押题82025年2月7日，第九届亚冬会在冰城——哈尔滨盛大开幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”特许商品惊喜亮相，特许商品店有A，B两种不同价格的吉祥物，供不同人群购买．已知购买4个A种吉祥物和3个B种吉祥物共需560元；购买2个A种吉祥物和5个B种吉祥物共需700元．
(1)求A，B两种吉祥物每件的售价分别是多少元．
(2)某公司举行“追梦新时代 巾帼绽芳华”三八节活动，共设一、二等奖40名，其中一等奖名，奖励一件B种吉祥物，二等奖不多于名，奖励一件A种吉祥物．公司如何购买最省钱？
(3)在（2）最省钱的基础上，特许商品店推出A种吉祥物打九折，B种吉祥物打九五折的促销活动，该公司共能省多少钱？
考点 考情分析
数据的收集与整理 选择题、填空题主要考查基本概念、调查方式的选择等；解答题常以实际问题为背景，要求学生完成数据的收集、整理、绘制统计图等任务，并根据数据进行分析和决策。
数据分析 选择题、填空题常考查统计量的概念、简单计算及统计图的基本信息读取；解答题则更注重综合应用，要求学生根据所给数据进行分析、绘制统计图，并依据分析结果提出建议或解决实际问题。
概率 主要以选择题、填空题和解答题的形式出现，要求学生熟悉掌握列举法或画树状图。
考查分值：分值8-10分之间，一些地区的试卷中可能会有所波动，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择、填空、解答题均有涉及。
命题趋势：整体难度保持稳定，有一定的层次性。既有考查基础知识的容易题，也有涉及综合应用和思维能力的中等难度题，可能还会有少量需要创新思维和跨学科知识的难题，以区分不同水平的学生。
知识点1：数据的收集﹑整理与描述
1. 全面调查与抽样调查
概念 优缺点
全面调查 （普查） 为特定的目的对全部考察对象进行的调查，叫做全面调查. 优点：收集到的数据全面、准确 缺点：一般花费多、工作量大，耗时长
抽样调查 抽取一部分对象进行调查，根据调查样本数据推断全体对象的情况叫抽样调查. 优点：调查范围小，花费少、工作量较小，省时. 缺点：抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度.
高分技巧：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．所以要根据调查目的、调查对象等因素，合理选择调查方法，不能凭主观臆想随意选择．
2. 总体、个体、样本及样本容量
分类 概念 注意事项
总体 所要调查对象的全体对象叫做总体. 考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体.
个体 总体中的每一个考察对象叫做个体. 总体包括所有的个体.
样本 从总体中抽取的部分个体叫做样本. 样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体.
样本容量 样本中个体的数目称为样本容量.（无单位） 一般地,样本容量越大，通过样本对总体的估计越精确.
3. 几种常见的统计图
统计图 图形 优点 缺点 常见结论
条形统计图 1）能清楚地表示出每个项目中的具体数目. 2）易于比较数目之间的差别. 对于条形统计图，人们习惯于由条形柱的高度看相应的数据，即条形柱的高度与相应的数据成正比，若条形柱的高度与数据不成正比，就容易给人造成错觉. 各组数量之和=总数
扇形统计图 能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比. 在两个扇形统计图中，若一个统计图中的某一个量所占的百分比比另一个统计图中的某个量所占的百分比多，这样容易造成第一个统计量比第二个统计量大的错误理解. 各部分百分比之和=100%； 各部分圆心角的度数=相应百分比×360°
折线统计图 能清楚的反映各数据的变化趋势. 在折线图中，若横坐标被“压缩”，纵坐标被“放大”，此时的折线统计图中的统计量变化量变化明显，反之，统计量变化缓慢. 各种数量之和=样本容量
频数分布直方图 直观显示各组频数的分布情况，易于显示各组之间频数的差别 各组数量之和=样本容量; 各组频率之和=1; 数据总数×相应的频率=相应的频数
步骤： ①计算数据的最大值与最小值的差. ②选取组距，确定组数. ③确定各组的分点. ④列频数分布表. ⑤画出频数直方图.
知识点2：数据分析
平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作“x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响.
加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数.
中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫 做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来 描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息.
众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复 出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义.
方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小.
极差 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体数据的实际波动情况.
标准差 定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小.
知识点3：概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
（3）概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
2. 求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
知识点4：频率与概率
1.频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数
2.频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率
3.一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。
真题1（2024·山东日照·中考真题）某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
真题2（2024·江苏镇江·中考真题）下列各项调查适合普查的是（ ）
A．长江中现有鱼的种类 B．某班每位同学视力情况
C．某市家庭年收支情况 D．某品牌灯泡使用寿命
真题3（2024·广东广州·中考真题）为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．的值为20
B．用地面积在这一组的公园个数最多
C．用地面积在这一组的公园个数最少
D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
真题4（2024·江苏宿迁·中考真题）一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为 ．
真题5（2024·江苏扬州·中考真题）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01）
真题6（2024·北京·中考真题）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：
50.03 49.98 50.00 49.99 50.02
49.99 50.01 49.97 50.00 50.02
当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 .
真题7（2024·江苏南通·中考真题）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
(1)甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______；
(2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
真题8（2024·山东潍坊·中考真题）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为分、分、分、分和分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（）（）．
（）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
（）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（）（）．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家
乙商家
（）直接写出表中和的值，并求的值；
（）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
预测1（2025·湖北宜昌·一模）下列事件中属于必然事件的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．打开电视正在播放新闻联播
C．明天必定下雨 D．李民的跳高成绩是10米
预测2（2025·云南曲靖·一模）如图是某校部分学生选择课外活动的抽样调查结果（每名必选且只能选择一类），根据图中提供的样本，估计该校1000名学生中选择“美术”的学生有 人．
预测3（2025·湖北宜昌·一模）《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某校拟从这4部著作中选择1部作为校本课程学习内容，选中《周髀算经》的概率为 ．
预测4（2025·宁夏石嘴山·一模）大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用一个二维码开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ．（结果精确到）
预测5（2025·江西抚州·一模）某中学春游去了南昌汉代海昏侯国遗址博物馆，并举办了”海昏文化进校园”的演讲比赛，比赛打分包括以下几项：演讲内容、演讲能力，演讲效果，若将这三项得分依次按，，的比例计算最终成绩，九年级的小华此次比赛的各项成绩（百分制）如下表：
演讲内容 演讲能力 演讲效果
94分 95分 90分
则小华的最终成绩为 分．
预测6（2025·青海西宁·一模）某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，按时间分为如下5组：组；组；C组；D组；E组，并绘制了以下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
(1)求的值，并补全频数分布直方图；
(2)若该校学生有500人，试估计劳动时间在范围的学生人数；
(3)劳动时间在范围的4名学生中有2名男生，2名女生，学校准备从中任意抽取2名学生交流劳动感受．请用画树状图或列表的方法，求抽取2名学生恰好是一名男生一名女生的概率．
预测7（2025·海南省直辖县级单位·一模）春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)此次共调查了_______人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_______；
(2)该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_______类（填A，B，C或D）；
(3)将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，求抽取到的两张卡片内容一致的概率为_______；
(4)从你的角度，写一条对人工智能的看法．
预测8（2025·辽宁抚顺·一模）为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一次“学雷锋”知识竞赛，竞赛成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分分别记为10分，9分，8分，7分，竞赛结束后两个年级各抽取50名学生的竞赛成绩进行整理分析．部分信息如下：
信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.76 9 1.06
八年级 8.76 8 1.38
信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出__________，__________，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)请你分析在这两个年级中，成绩更稳定的是哪个年级？并说明理由；
(3)若该校七年级有500人，八年级有600人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
押题1在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）如下表：这此测试成绩的中位数和众数分别为（ ）
成绩
人数
A．， B．， C．， D．，
押题2某研究小组随机抽取了《数学家传略辞典》中收录的部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如图，下列结论正确的是（ ）
年龄范围 90~91岁 92~93岁 94~95岁 96~97岁 98~99岁 100~101岁
人数 25 — — 11 10 m
A．该小组共统计了120名数学家的年龄
B．统计表中m的值为6
C．样本中数学家年龄在92~93岁的人数比94~95岁的人数多21人
D．统计图中数学家年龄在96~97岁的人数所对应的扇形圆心角的度数为
押题3某厂加工了500个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：50.03，49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，49.97，50.00，50.02．当一个工件的质量x（单位：g）满足时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这500个工件中一等品的个数是 ．
押题4为庆祝故宫博物院建院100周年，学校开展了评“星”活动，即根据文物知识笔试和现场演讲两项比赛的综合得分，评选出学校的“文化传承之星”．其中现场演讲由6位评委打分，其比赛成绩为去掉最高分和最低分后的平均分．小丽的得分如下表，若文物知识笔试和现场演讲两项成绩按的比例确定综合得分，则小丽的综合得分为 ．
活动 得分
文物知识笔试 80
现场演讲 评委一 评委二 评委三 评委四 评委五 评委六
96 88 89 91 84 92
押题5如图，大正方形游戏板是由个全等的直角三角形和个小正方形（图中阴影部分）拼成的“弦图”，已知直角三角形的两条直角边的长度分别为，．假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ．
押题6为落实教育部关于印发《义务教育课程方案（2022年版）》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》通知精神，为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与．九年级（5）班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题：
(1)九年级（5）班学生共有________人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为________；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有________人；
(2)补全条形统计图．
(3)九年级（5）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．
押题7下面是七年级甲、乙两位同学期末考试的成绩情况．
甲、乙两位同学期末考试各科得分情况统计表
姓名 语文 数学 英语 道法 历史 生物 地理
甲 75 85 86 88 90 96 96
乙 80 83 87 90 90 92 94
甲、乙两位同学期末考试成绩情况统计表
姓名 平均数 中位数 众数
甲 88 88 a
乙 88 b 90
甲、乙两位同学期末考试各科成绩折线统计图
根据以上信息，回答下列问题：
(1)上述统计表中， ， ；
(2)从折线统计图看，两个同学的得分的方差 （填“”或“”）；
(3)哪个同学成绩比较好？请结合统计图表中的信息给出你的理由．
押题8 临近中考，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：A．享受美食，B．交流谈心，C．体育锻炼，D．积极心理暗示．
(1)随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是_____．
(2)随机采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们选择同种减压方式的概率．第一辑
实数及其相关运算………………………………………………………………………01
代数式、因式分解、分式、二次根式…………………………………………………12
方程与方程组……………………………………………………………………………25
不等式与不等式组………………………………………………………………………44
统计与概率………………………………………………………………………………5921世纪教育网(www.21cnjy.com)
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考点 考情分析
实数的分类 一般以以选择题或填空题形式出现，考查有理数、无理数的概念，以及对实数进行准确分类。
实数的相关概念 一般以选择题或填空题形式考查，理解相反数、倒数、绝对值的概念，会求一个数的相反数、倒数和绝对值。
实数大小比较 灵活运用多种方法比较实数大小，如数轴比较法（在数轴上右边的数总比左边的数大）、绝对值比较法（两个负数比较大小，绝对值大的反而小）、平方比较法、差值比较法等。常见于选择题。
实数的运算 一般以解答题形式呈现，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主），能运用有理数的运算解决简单的问题，并且知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用。运算中常结合绝对值、锐角三角函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查。
科学记数法与近似数 此类考点常出现在选择题或填空题中，用科学记数法表示较大或较小的数，以及对近似数和有效数字的理解。
考查分值：分值在1-3分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：形式上有单项选择题和填空题给汉字注音。
命题趋势：由单一的选择题考查，逐渐转变为语段综合（含字形、词语、病句）题，试题难度有所降低。
知识点1：实数的分类
知识点2：实数的相关概念
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10 n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
7．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为.
（4）
8．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示为.
（3）.
高分技巧：
做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。
知识点3：实数的大小比较
（1）数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；
（2）类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
（3）差值比较法：
a-b＞0 a＞b;a-b=0 a=b;a-b＜0 a＜b
（4）平方比较法：
高分技巧：
个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较。
知识点4：实数的运算
1.数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
2．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
3．零次幂;a≠0，则a0=1
4.负整数指数幂：若a≠0，n为正整数， 则.
5.-1的奇偶次幂：；
真题1（2024·甘肃兰州·中考真题）的绝对值是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义计算即可．熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
【详解】解：的绝对值是2024，
故选：B．
真题2（2025·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可．
【详解】解：A.是负数，故选项A符合题意；
B. 是正数，故选项B不符合题意；
C. 是正数，故选项C不符合题意；
D.是正数，故选项D不符合题意；
故选：A．
真题3（2024·宁夏·中考真题）下列各数中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查无理数的识别．熟练掌握无理数的定义是解题关键．无限不循环小数是无理数，分数，整数属于有理数．
利用无理数的定义逐个分析判断即可．
【详解】A、是有理数，不合题意；
B、是有理数，不合题意；
C、，是有理数，不合题意；
D、是无理数，符合题意．
故选：D．
真题4（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可．
【详解】解：根据数轴得，
∴，
故选：D．
真题5（2025·江苏南京·中考真题）比较大小： （填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可．
【详解】解：∵，
，
又，
∴．
故答案为：．
真题6（2024·宁夏·中考真题）某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31.4米记作米，那么水库水位为28米记作 米．
【答案】
【分析】本题考查正数和负数，理解正数和负数的实际意义是解题的关键．根据正数和负数的实际意义即可求得答案．
【详解】解：某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31.4米记作米，那么水库水位为28米记作米，
故答案为：．
真题7（2024·山东德州·中考真题）观察下列等式：
……
则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
真题8（2024·湖北·中考真题）计算：
【答案】3
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可．
【详解】解：
．
预测1 （2025·宁夏石嘴山·一模）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的相关知识，掌握这些基础知识是解答本题的关键．根据绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的知识对逐项排除即可．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
预测2 （2025·辽宁锦州·一模）乙醇是一种有机化合物，在标准大气压下，它的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正负数的实际应用，特别是温度的正负表示方法．关键在于理解题目中规定的正负号含义∶零上温度用正数表示，零下温度用负数表示．
【详解】解：零上记作，
零下记作．
故选：D．
预测3 （2025·广东东莞·一模）的绝对值计算结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B．
预测4 （2025·浙江嘉兴·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数a，b在数轴上对应点的位置，判断出a，b的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断．
【详解】解：由数轴知：，，
∴，，，，
故选：A．
预测5 （2025·湖北·一模）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若水位升高时水位变化记作，则水位下降时水位变化记作 ．
【答案】
【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量的运用，理解题意，掌握相反意义的量的运用是关键．
根据水位升高时水位变化记作，水位下降时水位变化即为即可求解．
【详解】解：∵水位升高时水位变化记作，
∴水位下降时水位变化即为，
故答案为： ．
预测6 （2025·江苏淮安·一模）和互为相反数，那么 ．
【答案】1
【分析】根据相反数的性质，得，整理，得，代入求值即可．
本题考查了相反数的性质，求代数式的值，熟练掌握相反数的性质，整体计算是解题的关键．
【详解】解：∵和互为相反数，
∴，
∴．
故答案为：1．
预测7 （2025·江苏苏州·一模）4的算术平方根是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了算术平方根，算术平方根是正的平方根．根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：4的算术平方根是．
故答案为：2．
预测8 （2025·浙江嘉兴·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了零指数幂，立方根以及绝对值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算零指数幂，立方根和绝对值，再计算加减法即可．
【详解】解：
．
押题1中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入100元记作元，则支出60元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示求解即可．
【详解】解：∵收入100元记作元，
∴支出60元记作元．
故选：D．
押题2实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置，判断出a，b，c的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断．
【详解】解：由数轴知：，，
∴，，，，
故选：C．
押题3在标准大气压下，固态酒精、汞、冰、碘四种物质的熔点分别如下表：
物质 固态酒精 汞 冰 碘
熔点/ 0 113.5
其中熔点最低的物质为（ ）
A．固态酒精 B．汞 C．冰 D．碘
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据负数小于0，0小于正数以及
负数的绝对值越大的数反而越小，进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，
∵
∴是最小的，
即，
∴熔点最低的物质为固态酒精，
故选：A
押题4如图，直尺中处对应的数轴上的数与处对应的数轴上的数的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间距离的计算，有理数四则混合计算，解题的关键是找出直尺和数轴的对应关系．
先根据题意求出直尺上对应数轴上个单位长度，再分别求出直尺中处对应的数和直尺中处对应的数，最后求和即可．
【详解】解：根据图形可知，0到1的长度是，
∴对应的是个单位长度，
∴处对应的数为，处对应的数为，
∴两数之和为，
故选：C．
押题5估计的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数，解题的关键是掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
先由，即，然后通过即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
押题6我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．如果我们规定一个新数“i”使它满足（即有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：，，，，…，那么（ ）
A．i B． C．1 D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了新定义下的实数运算和数字类的规律探索，正确得出数字变化规律是解题关键．
根据所给的新定义找到规律即可得到答案．
【详解】解：，，，，，，
∴可以发现每 4 个运算为一个循环，结果为循环出现，
，
，
故选：A．
押题7M是一个四位数自然数各个数位上的数互不相等且都不为0，若，称M为95数，则最小的95偶数M是 ；已知知M为95数，若，当最大且是8的倍数时称M是最美95数，则最大的最美95数是 ．
【答案】 1382 7619
【分析】本题主要考查了用代数式的表示，先根据最小的95偶数M，可知各个数位上的数，解答①；根据题意要使得最大，千位要尽可能大，从9开始考虑，表示出，然后讨论最大，且是8的倍数时可得答案．
【详解】解：∵，即
要得这个数是最小的95偶数M，则要最小，即，要最小且为偶数，即，
∴，，
即最小的95偶数；
∵为95数，
∴，
∵，
要使得最大，千位要尽可能大，从9开始考虑，
若，则大于90，则小于5，与为两位数矛盾，不符合题意；
若，则只能为1，此时，
∴，
当时，有最大值14，但不是8的倍数，故此时不是最美95数，不符合题意；
若，则可以取1，2，
当时，此时，
∴，
当时，有最大值13，但不是8的倍数，故此时不是最美95数，不符合题意；
当时，此时，
∴，
当时，是8的倍数且最大，符合题意；
综上，最大的最美95数是7619．
故答案为：1382，7619．
押题8数学课上，张老师为了提高学生的数学兴趣，设计了一个掷骰子的小游戏，游戏规则如下：游戏开始时，老师先说出一个数字，然后投掷骰子，骰子朝上的点数1，2，3，4，5，6分别代表计算法则：“＋1”，“平方”，“立方”，“”，“＋5”，“”，根据投掷的点数按照相应的计算法则进行计算．例如：开始数字为10时，投掷两次骰子的点数依次为5和2，则计算结果为： ．
(1)开始数字为，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6，计算其结果；
(2)开始数字为m，投掷两次骰子的点数依次为1和3，计算结果为，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算，利用立方根解方程，理解并掌握对应的法则，是解题的关键：
（1）根据对应的法则列出算式进行计算即可；
（2）根据对应的法则列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）由题意，得：，
∴，
∴．
考点 考情分析
代数式 代数式的考查题型多样，选择、填空、解答题均有涉及。在选择题和填空题中，多以考查基础知识为主，如判断代数式的运算结果是否正确、求代数式的值等。解答题则更注重综合应用。
整式的加减 以选择题和填空题为主，极少出现简答题，难易度属于易。
整式的乘除 选择、填空、解答题均有出现。选择题和填空题常考查幂的运算、整式乘法公式的直接应用等基础知识；解答题则多为整式的化简求值、混合运算等，有时会与其他知识综合考查。
乘法公式 在选择题、填空题中常考查公式的直接应用和简单变形应用，如判断式子的计算结果是否正确，或根据已知条件求代数式的值。在解答题中，可能会出现与因式分解、化简求值、方程、函数等知识相结合的综合题，要求学生熟练掌握乘法公式并能灵活运用
因式分解 常见于填空、选择题，也可能出现在解答题中，如化简求值、解方程等问题的步骤中。
分式 选择、填空、解答题均有涉及。选择题和填空题主要考查分式的基本概念、简单运算及性质；解答题则以分式的化简求值、应用问题和规律探究题为主。
二次根式 选择题、填空题常考查二次根式的概念、性质及简单运算；解答题则以化简求值、混合运算或与其他知识综合的形式出现。
考查分值：分值10-20分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择、填空、解答题均有涉及。
命题趋势：①注重代数推理：单纯的逻辑推导不再是重点，而是将逻辑推理与计算紧密结合；②强化数形结合：几何问题中会融入代数元素，如函数图象与几何图形的交点、动点问题中的数量关系等；③强调跨学科融合；④紧密联系生活实际：生活场景会频繁出现在题目中；⑤增加开放探究题型：规律探究、条件或结论开放的题目逐渐增多。
知识点1：代数式
定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
知识点2：整式的相关概念
1.单项式
（1）定义:数与字母的乘积(单独的一个数或字母也是单项式)
（2）系数:单项式中的数字因数
（3）次数:单项式中所有字母的指数的和
2.多项式
（1）定义:几个单项式的和
（2）次数:多项式里次数最高项的次数
3.同类项
所含字母相同，且相同字母指数也相同的单项式
知识点3：整式加减运算
1.实质：合并同类项
2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
3. 去括号
（1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c
知识点4：幂运算
（1）幂的乘法运算
口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（2）幂的乘方运算
口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 (m,n都为正整数)
（3）积的乘方运算
口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 （m,n为正整数）
（4）幂的除法运算
口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
知识点5：整式乘法运算
（1）单项式乘单项式
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）单项式乘多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
（3）多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
（4）乘法公式
①平方差公式：
②完全平方公式：
（5）除法运算
①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
知识点6：因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.公因式
像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
4.提公因式与公式法综合
（1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（2）公式法：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
5.十字相乘法
1. x p q x pq （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2 bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a a1 a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，
c2 排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 bx c 的
一次项系数b ，即 a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与
a2 x c2 之积，即 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) ．
知识点7：分式的概念
1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
3.分式有意义的条件：B≠0；
4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0
知识8：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
知识点9：分式的运算
（1）同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；可用式子表为：.
（2）异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.可用式子表为：.
（3）分式的乘除法运算
①分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即
②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即
（4）分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）.
知识点10：分式化简求值
（1）有括号时先算括号内的；
（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；
（3）进行乘除法运算
（4）约分；
（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项， 最终化为最简分式；
（6）带入相应的数或式子求代数式的值
（7）高分技巧：①熟记公式（平方差，完全平方等）；②先化简后求值；③注意定义域；④检查结果。
知识点11：二次根式
（一）二次根式的有关概念
①二次根式的定义:一般地，形如√ā(a≥0)的式子
②二次根式有意义的条件:被开方数为非负数
③最简二次根式:同时满足两个条件：
a. 被开方数不含根号(分母不含根号).
b. b.被开方数不含能开方开得尽得因数或因式
c. （二）二次根式的性质
（1）双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值)
（2）回归性: (主要用于二次根式的计算)
（3）转化性：
（三）二次根式的运算
①加减法:先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
②乘法:二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变
③除法:二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
（四）估算
①对二次根式平方估值
②找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数
③对以上两个整数平方
④确定这个根式的值再开方后所得两个整数之间
真题1（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，故此选项符合题意．
故选：D．
真题2（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】A. 不能合并，所以A选项错误；
B. ，所以B选项正确；
C. ，所以C选项错误；
D. ，所以D选项错误．
故选：B．
真题3（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】C
【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可．
【详解】解：，
，
，
，
即S在3和4之 间，
故选：C．
真题4（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵，，
，
故答案为：2．
真题5（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用．根据对已知条件进行变形得到，代入进而即可求解
【详解】解：，
，
故答案为：2
真题6（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．

【答案】220
【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可．
【详解】解：，
当，，，时，
，
故答案为：220．
真题7（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解，利用提取公因式法和公式法相结合因式分解即可．熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键，注意分解一定要彻底．
【详解】解：，
故答案为：．
真题8（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解，
，
，
故答案为：．
预测1（2025·湖北·一模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了积的乘方，根据积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算后直接选取答案，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：，
故选：B．
预测2（2025·浙江台州·一模）若，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键．
将原式利用完全平方公式进行变形，，然后利用平方根求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
预测3（2025·内蒙古赤峰·一模）“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．
【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为，
由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，
所以．
故选：C．
预测4（2025·湖南湘西·一模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第二项的系数为 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了通过观察、分析、 归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．根据图形中的规律即可求出的展开式中第二项的系数．
【详解】解：∵的第二项系数为；
的第二项系数为；
的第二项系数为；
的第二项系数为；
∴的第二项系数为；
∴第二项系数为，
故答案为：．
预测5（2024·北京西城·一模）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
预测6（2025·山东济宁·二模）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．利用二次根式有意义的条件列不等式，再求解即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
预测7（2025·广东·一模）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关．
【知识应用】已知，．
(1)用含m，n，x的式子表示；
(2)若的值和x的取值无关，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）运用合并同类项法则进行计算即可；
（2）判断，，求出的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，且的值和的取值无关，
∴，．
∴，．
∴．
预测8（2025·江苏苏州·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】化简得，代入求值得
【分析】本题考查分式的混合运算，代数式求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先利用分式混合运算法则化简，再代入求值即可．
【详解】解：
，
将代入，得原式．
押题1下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法、完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则、准确进行判断．
【详解】解：A．，计算正确；
B．不是同类项，不能合并，计算错误；
C．，计算错误；
D．，原计算错误；
故选：A．
押题2已知，则的值等于（ ）
A． B．2 C．8 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了多项式乘法以及整体代入求值，解题的关键是先将展开．先利用多项式乘多项式法则将展开，然后把已知条件代入展开式进行计算．
【详解】解：∵
∴，
故选：A．
押题3科技馆“数理世界”展厅的的密码被设计成如表所示的数学问题．小聪在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ．
账号∶ shuǐ ishì jie
密码
【答案】2043
【分析】本题考查单项式乘以单项式及单项式除以单项式，熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题关键．利用幂的乘方运算，以及单项式除以单项式运算法则先化简，得出密码与指数的关系即可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴密码为x、y、z的指数，
∴
，
∴密码为：2043，
故答案为：2043．
押题4如图，有类、类正方形卡片和类长方形卡片各若干张．若拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案．
【详解】解：
，
∴需要类卡片的张数为7张，
故答案为：7．
押题5因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
押题6若最简二次根式与可以合并，则 ．
【答案】
【分析】根据最简二次根式与可以合并，判定二式是同类二次根式，得到，解答即可．
本题考查了最简二次根式，同类二次根式，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并
∴最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
押题7已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为 ．
【答案】1
【分析】本题考查二次根式与绝对值的化简、实数与数轴，根据数轴得到，再由二次根式的性质与绝对值进行化简即可．掌握二次根式的基本性质是解题关键．
【详解】解：由图可得，
∴，，
∴．
故答案为：1
考点 考情分析
一元一次方程 以选择题、填空题为主，考查方程的基本概念、解的判断、简单的计算等；应用题则多出现在解答题中，要求学生完整地写出解题过程。
二元一次方程组 以选择题、填空题为主，考查概念、解的性质及简单计算；解答题则多为实际应用问题，要求完整写出解题过程。
一元二次方程 选择题、填空题常考查一元二次方程的基本概念、根的判别式、根与系数的关系等；解答题则以解方程、根据根的情况求参数、实际应用问题为主。
分式方程 选择题、填空题主要考查分式方程的概念、解的性质、简单的含参问题等；解答题则以解方程、实际应用问题为主，要求学生完整写出解题步骤。
考查分值：分值10-20分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择、填空、解答题均有涉及。
命题趋势：①综合化：方程与方程组会越来越多地与函数、不等式、几何等知识综合考查，以体现数学知识的整体性和综合性，突出对学生综合运用知识能力的考查；②情境化：更加注重联系实际生活，以生活中的热点问题、社会现象等为背景，考查学生运用方程与方程组解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。
知识点1：一元一次方程
1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；
标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；
方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值
知识点2：等式的性质
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
如果a=b，那么a±c=b±c;
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
如果a=b，那么ac=bc;
如果a=b，c0，那么；
知识点3:解一元一次方程
解一元一次方程的步骤：
1.去分母:两边同乘最简公分母
2.去括号
（1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号
（2）乘法分配律应满足分配到每一项
3.移项
（1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；
（2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ．
4. 合并同类项
（1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a 0 ）；
（2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变．
5. 系数化为 1
（1）定义： 方程两边同除以未知数的系数a，得；
（2）注意：分子、分母不能颠倒
知识点4：一元一次方程的应用
解一元一次方程应用题，遵循5个步骤
①审题；②设未知数:设未知数(通常为x)，并注明单位；③列方程；④解方程；⑤检验答案：将解代入原方程或实际问题，验证是否合理；⑥.写答句:完整写出答案，并注明单位。
知识点5:二元一次方程
1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程．
2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
知识点6：二元一次方程组
1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组
2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
3.二元一次方程的解：同时满足方程组中各个二元一次方程左、右两边相等的未知数的值，是方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
知识点7：解二元一次方程组
（1）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
（2）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
知识点8：二元一次方程（组）应用的解题步骤
步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；
2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；
4．解方程组；
5．检验：检验方程的根是否符合题意；
6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．
知识点9： 一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
知识点10： 一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax +bx+c=0（a≠0），其中ax 叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax +bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏前面的性质符号。
知识点11：解一元二次方程
（一）直接开方
（1）如x =p(p≥0)或(nX+m) =p(p≥0)的一元二次方程可直接采用直接开平方解一元二次方程。
（2）如果化成x =p的形式，那么可得x=±；
（3）如果方程能化成(nX+m)=p(p≥0)的形式，那么nx+m=±,进而得出方程的根
（二）配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
（三）公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判别式
（四）因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
知识点12：一元二次方程的判别式
对于一元二次方程的一般形式：，
(1) 方程有两个不相等的实数根
(2) 方程有两个相等的实数根
(3) 方程没有实数根
高分技巧：在应用根的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件；
当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知
知识点13：一元二次方程的根与系数
若一元二次方程的两个根为，则有，
高分技巧：当问题中出现“方程的两个根是……”时，通常就要想其根与系数的关系了，若不能直接利用原公式，则结合完全公式，想其常用变形：
知识点14：一元二次方程的应用
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
与一元二次方程有关应用题的常见类型：
1）变化率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即：
2）利润和利润率问题
在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%.
3)面积问题
几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意.
常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a 2x)(b 2x)．
常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a x)(b x)．
常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a x)(b x)．
4)分裂（传播）问题
解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.
①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2.
②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x
个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
5）碰面问题（循环）问题
① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分．
∴m =n（n－1）
② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m．
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场．
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠．
∴m = n（n－1）
知识点15：分式方程的解法
1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程
2.解分式方程基本步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式;
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程;3)解整式方程;
③验根，把整式方程的根代入最简公分母
高分技巧：
分式方程会无解的几种情况
①解出的x的值是增根，须舍去，无解
②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解
③同时满足①和②，无解
求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤：
①让最简公分母为 0 确定增根；
②去分母，将分式方程转化为整式方程；
③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；
④解含参数字母的方程的解。
知识点16：分式方程的应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
与分式方程有关应用题的常见类型：
真题1（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．
用配方法把移项，配方，化为，即可．
【详解】解：∵，
移项得，，
配方得，，
即，
∴，，
∴．
故选：D．
真题2（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．
【详解】解：方程两边同乘，得，
整理可得：
故选：A．
真题3（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案．
【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根，
．
，
，
∴
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
故选：B．
真题4（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．
【详解】解：去分母得，，
整理得，，
当时，方程无解，
当时，令，
解得，
所以关于x的分式方程无解时，或．
故选：A．
真题5（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0（答案不唯一）．
真题6（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．
【问题解决】
(1)问题一：求出两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
【答案】(1)1200元；1000元
(2)；购买A种书架8个，B种书架12个
(3)120
【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题．
（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答；
（2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值；
（3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答．
【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元．
由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
．
答：两种书架的单价分别为1200元，1000元．
（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用，
即，
由题意得，a应满足：，解得．
，
∴w随着a的增大而增大，
当时，w的值最小，最小值为，
费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．
（3）解：由题意得
，
解得．
真题7（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
(3)两次漂洗的方法值得推广学习
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；
（1）把，代入， 再解方程即可；
（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．
【详解】（1）解：把，代入
得，
解得．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
（2）解：第一次漂洗：
把，代入，
∴，
第二次漂洗：
把，代入，
∴，
而，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
真题8（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？
【答案】农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷，根据题意列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷，
由题意可得，，
解得，
答：农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷．
预测1（2025·山东德州·一模）电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都有电阻．如图所示，当两个电阻、并联时，总电阻R满足，若，，则的值为（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的实际运用，根据总电阻R满足，且，，建立分式方程进行求解，即可解题．
【详解】解：总电阻R满足，且，，
，
解得，
经检验是该方程的解，
故选：A．
预测2（2025·宁夏银川·一模）某铁路隧道被严重破坏，为抢修其中一段120米的铁路，施工队实际每天修铁路的效率比原计划提高了1倍，结果提前4天开通了列车，设原计划每天修米，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前4天开通了列车”；等量关系为：原来所用的时间实际所用的时间．
【详解】解：设原计划每天修米，则实际每天修米，
原来所用的时间为：，实际所用的时间为：，
根据题意：．
故选：B．
预测3（2025·河北邯郸·一模）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根．牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
【详解】解： ，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
预测4（2025·江苏泰州·一模）“洛书”是中国重要的文化遗产，可转为如图1的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．图2是一个不完整的三阶幻方，结合图中信息可得 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，求解即可．
【详解】解：如图：
由图可知：，
∴，，
如图：
由图可知：，
∴，
∴和为6，
如图：
∴，
故答案为：．
预测5（2025·四川达州·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
【答案】1或3
【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行求解即可．
【详解】解：方程去分母，得：，
整理，得：；
∵方式方程无解，
①当整式方程无解时：，解得：；
②当分式方程有增根时，则：，解得，
把，代入，得：，
解得：；
故答案为：1或3．
预测6（2025·浙江舟山·一模）解方程组：．
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用得，，解得，再把代入①求出即可．
【详解】解：
得，
解得，
把代入①得，
解得
∴．
预测7（2025·北京·一模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题：
物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．”
(1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为__________；
(2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题）
【答案】(1)400
(2)
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键：
（1）根据体积等于水流速度乘以时间，列出算式进行计算即可；
（2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，即可作答．
【详解】（1）解：；
故答案为：400；
（2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，
则，
解得，
，
∴嘉琪同学的接水时间为．
押题1时间如白驹过隙，同学们初中三年的学习即将画上一个圆满的句号．我班某小组的同学决定每人给本小组其他成员赠送一张毕业纪念卡，全组送纪念卡共56张．设该小组有人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据题意列一元二次方程，设小组的人数是x人，则每个人要送其他张纪念卡，则共有张纪念卡，等于56张，由此可列方程．
【详解】解：设该小组有人，根据题意， ，
故选：B．
押题2设一元二次方程的两个根为，，则（ ）
A． B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，，
∴，
则，
故选：B．
押题3《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查从实际问题中抽出一元一次方程．根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程．
【详解】解：设经过天相遇，
可列方程为：，
故选：C．
押题4关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式．解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
押题5定义表示不超过实数x的最大整数，如：，，．则方程的解为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意，分6种情况讨论：①时；②时；③；④；⑤；⑥，解一元二次方程即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
①当时，符合题意；
②时，，
则化为，解得 全舍；
③时，，
则化为，解得 全舍；
④时，，
则化为，解得或 舍；
⑤时，，
则化为，解得或 舍；
⑥时，均不成立，
综上，方程的解为或或
故答案为：或或．
押题6方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是关键．
根据分式方程的求解方法计算即可．
【详解】解：，
，
，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验，当时，原分式方程的分母不为0，
∴原分式方程的解为，
故答案为： ．
押题7计算：下面是某同学的解答过程：
解：原式…第一步
…第二步
(1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________；
分式的基本性质；分式的加减法则；分式的通分；分式的约分法则．
(2)计算：．
【答案】(1)；；
(2)．
【分析】本题主要考查分式加减运算，先通分，然后计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据分式的基本性质，通分即可得出结果；
（2）先通分，然后计算加减法即可．
【详解】（1）解：解：第一步的依据是分式的基本性质，运用的方法是分式的通分，
故答案为：；；
（2）解： ，
，
，
，
．
押题8今年春节的动画电影《哪吒2》火爆影院，成为全民话题，其票房与文化影响力的双重爆发不仅印证了国漫的崛起，更通过角色成长与叙事内核传递了深刻的教育哲学．它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．《哪吒2》的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．某影院放映《哪吒2》，周末场观影人数比工作日场多人．周末场人均票价比工作日场人均票价少元，周末场和工作日场的票房收入均为元．求工作日场的观影人数是多少人？
【答案】人
【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程并求解．设工作日场的观影人数是人，则周末场的观影人数是人，根据“周末场和工作日场的票房收入均为元，周末场观影人数比工作日场多人”列出方程，求解并检验即可解答．
【详解】解：设工作日场的观影人数是人，则周末场的观影人数是人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：或（不符题意，舍），
经检验是原方程的解，且符合题意，
答：工作日场的观影人数是人．
考点 考情分析
不等式的定义和基本性质 选择题、填空题常考查不等式的基本概念、性质。
一元一次不等式 选择题和填空题常考查简单的不等式的解集:解答题则主要以解不等式、含参不等式以及不等式的实际应用为主，要求学生完整地写出解题过程。
一元一次不等式组 选择题和填空题常考查简单的不等式组的解集:解答题则主要以解不等式组、含参不等式组以及不等式组的实际应用为主，要求学生完整地写出解题过程。
考查分值：分值5-10分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择、填空、解答题均有涉及。
命题趋势：不等式与方程、函数等知识的综合考查会有所加强，通过建立不等式模型来解决实际问题，如方案设计、利润最大化、资源分配等问题，同时可能会结合函数图象来分析不等式的解集，体现数学知识的整体性和综合性，考查学生的综合运用能力。
知识点1：不等式的定义
（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
等都是不等式．
（2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．
知识点2：不等式的性质
基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或）
基本性质3 若a>b,c<0，则ac高分技巧：
①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
②在计算的时候符号方向容易忘记改变．
知识点3： 一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．
知识点4： 解一元一次不等式
解一元一次不等式的一般步骤是：
（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。
（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。
（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。
（4）合并同类项。
（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。
（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。
高分技巧：
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
知识点5： 一元一次不等式组的解集
知识点6： 解一元一次不等式组的步骤：
（1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解；
（2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分；
（3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。
知识点7：一元一次不等式组的应用
步骤如下：
（1）审：审清题意，找出已知量和未知量；
（2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）；
（3）找：找出反映题目数量关系的不等关系；
（4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组；
（5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集；
（6）写出答案（包括单位名称）。
真题1（2024·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
故选：C．
真题2（2024·广东广州·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】解：A．∵，
∴，则此项错误，不符题意；
B．∵，
∴，则此项错误，不符题意；
C．∵，
∴，则此项错误，不符合题意；
D．∵，
∴，则此项正确，符合题意；
故选：D．
真题3（2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断，，的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判，，的正负．
【详解】由数轴可得，，，，
、，原选项判断错误，不符合题意，
、，原选项判断正确，符合题意，
、根据数轴可知：，原选项判断错误，不符合题意，
、根据数轴可知：，则，原选项判断错误，不符合题意，
故选：．
真题4（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题．
【详解】解：∵
∴，
∴若，则是假命题，
故答案为：假．
真题5（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围．
【详解】解： ．
根据题意得：，
解得：，
车速的取值范围是．
故答案为：．
真题6（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得．
【详解】解：根据题意可知，
解得：
有且只有一个正整数解
解不等式①，得：
解不等式②，得：
故答案为：．
真题7（2024·西藏·中考真题）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上如图：
．
真题8（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
(1)求两种型号劳动用品的单价；
(2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元
(2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用．
（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可；
（2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答．
【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，
，
解得：，
答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元．
（2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，
根据题意可得：，
设购买这40件劳动用品需要W元，
，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，W取最小值，，
∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元．
预测1（2025·山东东营·一模）若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查不等式组整数解问题，解题的关键是正确求出不等式的解．分别解不等式①和不等式②，结合三个整数解直接求解即可得到答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为：，
∵整数解共有个，
∴
故选：B．
预测2（2025·浙江杭州·一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．
根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：根据题意得
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
的取值范围是，
故选：B．
预测3（2025·浙江台州·一模）已知，下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质即可得出答案．本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．
【详解】A．∵，∴，故选项错误，不符合题意；
B．∵，∴的大小关系不明确，故选项错误，不符合题意；
C．∵，∴，故选项错误，不符合题意；
D．∵，∴，故选项正确，符合题意．
故选D．
预测4（2025·江苏南京·一模）若代数式，，则M和N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．与a的值有关
【答案】C
【分析】此题考查了整式的加减，以及非负数的性质，把M与N代入中计算，判断差的正负即可得到结果．
【详解】解：∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
预测5（2025·河北廊坊·一模）如图，若代数式的值落在数轴上的区域③内，则整数x的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．1.5
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算方法是解题的关键．
先判断的范围，再判断的范围即可求解．
【详解】解：∵的值落在数轴上的区域③内，
∴，
∴，
∴符合这个范围，
故选：B．
预测6（2025·广东广州·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
根据题意将方程组相减得，然后代入不等式求解即可即可得到m的最小整数解．
【详解】解：，
得：，
∵
∴
解得：，
∴m的最小整数解为4，
故选：B．
预测7（2025·北京通州·一模）解不等式组：．
【答案】
【分析】此题考查了解不等式组，求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
这个不等式组的解集是．
预测8（2025·辽宁抚顺·一模）为了更好地迎接抚顺市中考体育球类技能测试：篮球运球、足球运球等．某中学根据本校实际情况需要购进一批篮球和足球，已知每个篮球比每个足球贵20元，用500元购进的篮球和用400元购进的足球数量相等．
(1)求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？
(2)学校计划用不超过9100元购进两种球共100个，学校最多能购进多少个篮球？
【答案】(1)足球的单价为80元，篮球的单价为100元
(2)学校最多购进55个篮球
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出等量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设足球的单价为元，则篮球的单价为元，根据用500元购进的篮球和用400元购进的足球数量相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进篮球个，则购进足球个，根据学校计划用不超过9100元购进两种球共100个，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元，
根据题意得，
解得，，
检验：把代入，
是原方程的解，且符合题意，
，
答：足球的单价为80元，篮球的单价为100元．
（2）解：设购进篮球个，则购进足球个，
根据题意得：，
解得，；
答：学校最多购进55个篮球．
押题1下列不等式运算不一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．若，则，正确，不符合题意；
B．若，则，正确，不符合题意；
C．若，则 ，原推理不一定正确，符合题意；
D．若，，则，正确，不符合题意；
故选C．
押题2已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得．
本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有4个整数解，
，
解得：．
故选：A．
押题3若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数．先分别求解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，即可得出结论．
【详解】解：，
由可得：，
∵原不等式组的解集为，
∴，
故答案为：．
押题4如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数 ．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式，由整式的值落在数轴上的区间②内得，解不等式得x的取值范围，进而可得整数x的值．
【详解】解：若整式的值落在数轴上的区间②内，则
，
解得，
整数，
故答案为：．
押题5在实数范围内规定运算：，则不等式组的解集为 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是新定义和解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
先根据运算法则变形不等式，然后求不等式组的解集即可．
【详解】 ，不等式组，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴该不等式组的解集为，
故答案为：．
押题6解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
【答案】，整数解为，，，
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式组的解集，再求出它们的公共部分确定不等式组的解集，再写出该不等式组的整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：．
不等式组的解集为．
该不等式组的整数解为，，，．
押题7数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．

如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
(3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
【答案】(1)
(2)16
(3)见解析
【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键．
（1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案；
（2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案；
（3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，
所以辆购物车叠放时长，
故答案为：．
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，
因此由（1）可得，
解得，
（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
押题82025年2月7日，第九届亚冬会在冰城——哈尔滨盛大开幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”特许商品惊喜亮相，特许商品店有A，B两种不同价格的吉祥物，供不同人群购买．已知购买4个A种吉祥物和3个B种吉祥物共需560元；购买2个A种吉祥物和5个B种吉祥物共需700元．
(1)求A，B两种吉祥物每件的售价分别是多少元．
(2)某公司举行“追梦新时代 巾帼绽芳华”三八节活动，共设一、二等奖40名，其中一等奖名，奖励一件B种吉祥物，二等奖不多于名，奖励一件A种吉祥物．公司如何购买最省钱？
(3)在（2）最省钱的基础上，特许商品店推出A种吉祥物打九折，B种吉祥物打九五折的促销活动，该公司共能省多少钱？
【答案】(1)A种吉祥物每件的售价是50元，B种吉祥物每件的售价是120元
(2)购进A种吉祥物28件，B种吉祥物12件时，公司最省钱
(3)特许商品店打折后，该公司共能省212元
【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程和一元一次不等式成为解题的关键．
（1）设A种吉祥物每件的售价是元，B种吉祥物每件的售价是元，然后根据题意列二元一次方程求解即可；
（2）根据题意列一元一次不等式并求最小整数值，再根据一次函数求最小值，即可解答；
（3）根据题意列算式计算即可．
【详解】（1）解：设A种吉祥物每件的售价是元，B种吉祥物每件的售价是元，
由题意可知，
解得，
答：A种吉祥物每件的售价是50元，B种吉祥物每件的售价是120元；
（2）解：由题意可知：，
，
设总费用为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取最小值，
，
购进A种吉祥物28件，B种吉祥物12件时，公司最省钱；
（3）解：（元），
答：特许商品店打折后，该公司共能省212元．
考点 考情分析
数据的收集与整理 选择题、填空题主要考查基本概念、调查方式的选择等；解答题常以实际问题为背景，要求学生完成数据的收集、整理、绘制统计图等任务，并根据数据进行分析和决策。
数据分析 选择题、填空题常考查统计量的概念、简单计算及统计图的基本信息读取；解答题则更注重综合应用，要求学生根据所给数据进行分析、绘制统计图，并依据分析结果提出建议或解决实际问题。
概率 主要以选择题、填空题和解答题的形式出现，要求学生熟悉掌握列举法或画树状图。
考查分值：分值8-10分之间，一些地区的试卷中可能会有所波动，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择、填空、解答题均有涉及。
命题趋势：整体难度保持稳定，有一定的层次性。既有考查基础知识的容易题，也有涉及综合应用和思维能力的中等难度题，可能还会有少量需要创新思维和跨学科知识的难题，以区分不同水平的学生。
知识点1：数据的收集﹑整理与描述
1. 全面调查与抽样调查
概念 优缺点
全面调查 （普查） 为特定的目的对全部考察对象进行的调查，叫做全面调查. 优点：收集到的数据全面、准确 缺点：一般花费多、工作量大，耗时长
抽样调查 抽取一部分对象进行调查，根据调查样本数据推断全体对象的情况叫抽样调查. 优点：调查范围小，花费少、工作量较小，省时. 缺点：抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度.
高分技巧：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．所以要根据调查目的、调查对象等因素，合理选择调查方法，不能凭主观臆想随意选择．
2. 总体、个体、样本及样本容量
分类 概念 注意事项
总体 所要调查对象的全体对象叫做总体. 考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体.
个体 总体中的每一个考察对象叫做个体. 总体包括所有的个体.
样本 从总体中抽取的部分个体叫做样本. 样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体.
样本容量 样本中个体的数目称为样本容量.（无单位） 一般地,样本容量越大，通过样本对总体的估计越精确.
3. 几种常见的统计图
统计图 图形 优点 缺点 常见结论
条形统计图 1）能清楚地表示出每个项目中的具体数目. 2）易于比较数目之间的差别. 对于条形统计图，人们习惯于由条形柱的高度看相应的数据，即条形柱的高度与相应的数据成正比，若条形柱的高度与数据不成正比，就容易给人造成错觉. 各组数量之和=总数
扇形统计图 能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比. 在两个扇形统计图中，若一个统计图中的某一个量所占的百分比比另一个统计图中的某个量所占的百分比多，这样容易造成第一个统计量比第二个统计量大的错误理解. 各部分百分比之和=100%； 各部分圆心角的度数=相应百分比×360°
折线统计图 能清楚的反映各数据的变化趋势. 在折线图中，若横坐标被“压缩”，纵坐标被“放大”，此时的折线统计图中的统计量变化量变化明显，反之，统计量变化缓慢. 各种数量之和=样本容量
频数分布直方图 直观显示各组频数的分布情况，易于显示各组之间频数的差别 各组数量之和=样本容量; 各组频率之和=1; 数据总数×相应的频率=相应的频数
步骤： ①计算数据的最大值与最小值的差. ②选取组距，确定组数. ③确定各组的分点. ④列频数分布表. ⑤画出频数直方图.
知识点2：数据分析
平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作“x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响.
加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数.
中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫 做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来 描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息.
众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复 出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义.
方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小.
极差 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体数据的实际波动情况.
标准差 定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小.
知识点3：概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
（3）概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事

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