资源简介

第四辑
图形的相似………………………………………………………………………………………01
锐角三角函数……………………………………………………………………………………27
投影与视图………………………………………………………………………………………55
中考易错题（60题）……………………………………………………………………………74
中考临考押题模拟卷（通用）…………………………………………………………………11921世纪教育网(www.21cnjy.com)
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考点 考情分析
比例有关的概念和性质 选择题和填空题常考查比例的基本性质、平行线分线段成比例定理的简单应用、黄金分割的概念等；解答题可能与三角形、四边形、相似图形等知识综合考查。
相似三角形的性质与判定 选择题和填空题通常直接考查相似三角形的基本概念、判定条件或简单的性质应用；解答题可能与三角形、四边形等几何图形结合；与函数(如一次函数、二次函数)结合；在一些实际问题中，利用相似的性质来求解未知量。
位似 常出现在选择题、填空题中，也可能在解答题中与其他知识点结合考查，整体难度中等或偏下
考查分值：分值在3-19分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择题、填空和解答题均有。
命题趋势：相似三角形的基本性质与判定:仍是重点内容。位似图形:考查位似中心的确定、位似比的计算，以及在平面直角坐标系中根据位似变换求点的坐标。相似与其他知识的综合:与函数(如一次函数、二次函数)结合，通过函数图象上的点构造相似三角形，解决函数中的几何问题，与圆结合，利用圆中的圆周角、弦切角等关系构造相似三角形，求解与圆相关的线段长度、角度问题:在实际问题中构建相似三角形模型，如测量物体高度、河宽等问题。
知识点1：比例有关的概念和性质
线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比．
比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项，
【高分技巧】
1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；
2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成.
比例的性质：
1）基本性质：
2）变形： 核心内容：
3）合、分比性质：
4）等比性质：如果， 那么.
5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
【注意】1） (叫做黄金分割值). 简记为：
2）一条线段的黄金分割点有两个.
【扩展】作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
②连接AD，在DA上截取DE=DB.
③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
6）平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
①已知l3∥l4∥l5, 可得等
①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况：
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
知识点2：相似三角形的性质与判定
相似多边形的的概念：
若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形的性质：
1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
知识点3：位似
位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.
常见的位似图形：
画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
位似图形的性质：
1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点；
2）位似图形的对应边互相平行或者共线.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k.
画位似图形的步骤：
1）确定位似中心,找原图形的关键点.
2）确定位似比.
3）以位似中心为端点向各关键点作射线.
4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形.
真题1 （2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．
故选D．
真题2（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）

A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可．
【详解】∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键．
真题3（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）．
【答案】或
【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，熟记黄金比是解题的关键．
先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
故答案为：或．
真题4（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ．
【答案】
【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解．
【详解】解：∵，过点作，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
真题5（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
【详解】解：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
．
真题6（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
(1)求证：；
(2)若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由余角的性质可得，，根据，可得；
（2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得；
②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，，
，
；
（2）解：①，理由如下：
设，
，
，
，
，
，
；
②，，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
．
真题7（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键．
（1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出．
（2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
（2）连接，如下图：
∵为直径，
∴，
设，
∴，
由（1）知：
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
即，
解得：
真题8（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）证明，得出，即可证明结论；
（2）过点C作于点F，过点D作于点G，解直角三角形得出，，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，得出，证明，得出，求出；
（3）连接，证明，得出，求出，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出结果即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）过点C作于点F，过点D作于点G，如图所示：
则，
∴，
∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
（3）连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴在中根据勾股定理得：
，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
预测1（2025·浙江·二模）如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C；直线分别交，，于点D，E，F．若，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
根据平行线分线段成比例定理进行解答即可．
【详解】解：∵，
，
，
故选：C．
预测2（2025·浙江·模拟预测）若，则的值为（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质进行变形求解即可，掌握等式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
预测3（2025·甘肃·一模）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．如图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．在小孔成像的实验中，带小孔的纸板和光屏平行，蜡烛与有小孔的纸板之间的水平距离为．当蜡烛火焰的高度是它的像高度的时，有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例的应用，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
设有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为，根据题意得到，求出，即可得到答案．
【详解】解∶ 设有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为，
根据题意得，
解得，
设有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为，
故选：C．
预测4（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例，即可求解．
【详解】解：设缩小后的宽是，
∵缩小前后的两个矩形相似，
∴，
∴，
∴放大后的宽是，
放大后的矩形的面积．
故选：D．
预测5（2025·青海海东·一模）【探究与证明】
【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：）
【操作发现】
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处．
第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形．
【问题解决】
(1)图③中______（保留根号）；
(2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形．
【答案】(1)
(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了黄金分割，黄金矩形，折叠与矩形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握黄金分割的定义．
（1）根据四边形是正方形得，由折叠的性质得，，在中，根据勾股定理得即可得；
（2）四边形是菱形，由折叠的性质可知，，，证明四边形为平行四边形，由，即可证明；
（3）根据黄金矩形的定义证明即可得．
【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且，
∴，，
又∵矩形与矩形相等，
∴，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
由折叠的性质可知，，，
又∵四边形为矩形，
∴，则，
∴，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形；
（3）证明：∵，，，
∴，
则，
故四边形为黄金矩形，
∵，，，
∴，
∴，
故四边形为黄金矩形．
押题1如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解∶∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
押题1如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
押题2如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形，，
∴，
∵正方形，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，
∴，即，
解得，
故选：B．
押题3如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解．
【详解】如图，过点A作，垂足为F，
设，，
∵轴，，
∴轴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
押题4《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．

【答案】
【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵和均为直角
∴，
∴，
∴
∵，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
押题5如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）连接，根据题意得，，利用等量代换确定，再由相似三角形的判定即可证明；
（2）先由勾股定理确定，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵是的切线，点C在以为直径的上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
由（1）得，
∴即，
∴，
∴的半径为．
押题6在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或（3，4）
(3)存在，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得 ，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得 ，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据 ，根据二次函数的性质即可求的最大值．
【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
（3）
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．
押题7问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论．
（2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明．
（3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出．
【详解】（1）延长过点F作，
∵，
，
∴，
在和中
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．

故答案为：．
（2）解：在上截取，使，连接．
，
，
．
，
．
．
，
．
．

（3）解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，
．
在中，
，
．
，由（2）知，．
．
，
，
，
在上截取，使，连接，作于点O．
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，．
∵，∴，
∵，
∴．
．

【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．
考点 考情分析
正弦﹑余弦和正切 根据直角三角形的边的关系来确定正弦、余弦、正切的值。
特殊角的三角函数的有关计算 整体难度不大，属于中等及以下难度。对于单纯考查特殊角三角函数值记忆的题目，只要学生牢记特殊角的三角函数值，就能轻松得分
解直角三角形 选择题常考查解直角三角形的基本概念和简单应用；填空题可能涉及根据已知条件直接计算直角三角形的边或角的度数，也可能在实际问题情境中，让学生利用解直角三角形的知识求出相关的长度或角度并填空；解答题:通常结合实际问题，如测量物体高度、距离、坡度等问题，要求学生通过构建直角三角形模型，运用解直角三角形的知识进行求解。
考查分值：分值在5-10分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择题、填空和解答题均有。
命题趋势：基础的三角函数定义、特殊角的三角函数值以及简单的解直角三角形应用，难度依然保持较低主要考查学生对基础知识的掌握和简单运用能力。在与其他知识综合考查的题目中，难度会有所上升，属于中等偏上难度。这类题目需要学生具备较强的分析问题、解决问题的能力，以及对知识的综合运用能力。学生需要能够从复杂的情境中抽象出直角三角形模型，并灵活运用三角函数知识，结合其他数学知识和方法进行求解。
知识点：锐角三角函数
1. 锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
2. 正弦、余弦、正切的概念
定义 表达式 图形
正弦
余弦
正切
3. 锐角三角函数的关系：
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
1）同角三角函数的关系： ，
2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A,
4. 特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
1
5. 锐角三角函数的性质
性质 前提：0°＜∠A＜90° sin A随∠A的增大而增大
cos A随∠A的增大而减小
tan A随∠A的增大而增大
解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B
2）三边之间的关系：（勾股定理）
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°
4）边角之间的关系：
sin A= = ，sin B= =
cos A= =
tan A= =
解直角三角形常见类型及方法：
已知类型 已知条件 解法步骤
两边 斜边和一直角边 (如c,a) ① ② ③∠B=90°－∠A
两直角边 (如a,b) ① ② ③∠B=90°－∠A
一边和一锐角 斜边和一锐角 （如c，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③
一直角边和一锐角 （如a，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③
另一直角边和一锐角 （如b，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③
真题1（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ）
（结果精确到．参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】如图，延长交于点C．
由题意得．
在中，，
，
．
在中，，
，
．
故选B．
真题2（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ）
A．米 B．25米 C．米 D．50米
【答案】A
【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可．
【详解】解：设米，
在中，，
，即，
整理得：米，
在中，，
，即，
整理得：米，
∵米，
∴，即，
解得：，
侧这栋楼的高度为米．
故选：A．
真题3（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证，再利用求出边长，从而求解即可．
【详解】解：∵折叠，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
故答案为：．
真题4（2024·西藏·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
真题5（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．
(1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键．
（1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得；
（2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
由题意可知，，
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
真题6（2024·甘肃兰州·中考真题）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到）
参考数据：，．
【答案】的长为
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解，再求解，从而可得答案；
【详解】解：∵，，；
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴的长为；
真题7（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
(1)求的长；
(2)求物体上升的高度（结果精确到）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）解即可求解；
（2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴,
答：；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为．
真题8（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
(1)求的长；
(2)该充电站有20个停车位，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用：
（1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案；
（2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴

（2）解：在中，，
在中，，
∵该充电站有20个停车位，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
预测1（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，是的直径，是弦，交于点D．若，．的长为（ ）
A． B． C．26 D．20
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数，解直角三角形得，，，，再根据计算可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，，
∵是的直径，
∴，且，
∴，
∴．
故选：D．
预测2（2025·陕西西安·模拟预测）计算：．
【答案】3
【分析】本题考查了实数的运算，涉及特殊角的三角函数值，零指数幂，求一个数的算术平方根等知识点，掌握运算法则是解题的关键．
分别计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算算术平方根，再进行加减计算．
【详解】解：
预测3（2025·陕西咸阳·二模）如图，内接于，为的直径，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定及解直角三角形的应用相关知识，掌握“连半径，证垂直”这一判定方法及正确运用正切或勾股定理求线段长是解题的关键．
（1）由内接于，为的直径，可推出，即．由同弧所对应的圆周角相等可知及已知条件，所以可得到，因此，即，可证得是的切线．
（2）先在中运用，，求出的长，进而由勾股定理求出的长，再在中，根据，的长，即可求出的长．
【详解】（1）证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，即
是的切线；
（2）解：，，
，
即，
，
，，
，
即，
，即的长为
预测4（2025·福建厦门·模拟预测）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．
(1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度；
(2)求点，间的水平距离的长．（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，
（1）过点作于，过点作于，延长交于，设，根据坡度的概念用表示出，根据勾股定理求出；
（2）根据余弦的定义求出，进而求出；
掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，过点作于，过点作于，延长交于，
设，
∵坡道的坡度为，，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
答：他沿垂直方向上升的高度为；
（2）如图，过点作于，过点作于，延长交于，
由（1）可知：，
由题意知：，，
∵，，
∴，，
∴四边形和四边形都是平行四边形，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
在中，，，
∴，
∴．
答：点，间的水平距离长约为．
预测5（2025·重庆·一模）如图，是某动物园入口，是入口附近的三个展区．小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了米到展区，在展区参观分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区，小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：，，）
(1)求的长度；（结果精确到米）
(2)已知小明的平均速度为米分钟，小华的平均速度为米分钟，，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到）
【答案】(1)米
(2)小华先到
【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（）过点作于点，则，故有为等腰直角三角形，，从而求出，又米，然后用线段和差即可求解；
（）过点作延长线于点，求出，在中，，，则，在中，，，所以，，然后求出所花时间，再比较即可．
【详解】（1）解：过点作于点，则，
由题意得：，米，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴，即，
∴米，
∴（米），
∴（米），
答：的长度约为米；
（2）解：如图，过点作延长线于点，
在中，，米，
∴米，
在中，，（米），
∴（米），
在中，，（米），
∴（米），（米），
∴米，
∴小明所花时间：（秒），小华所花时间：（秒），
∵，
∴小华先到达展区．
预测6（2025·江苏镇江·一模）【阅读理解】
小明用了如下的方法计算出的值．
如图1，在中，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，．
【拓展应用】
如图2，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得顶点的仰角为，同时测得的长度为5米．
(1)请模仿小明的方法，求出的值；
(2)求出建筑物的高度．
参考数据：，，．
【答案】(1)
(2)米
【分析】本题考查了有关仰俯角的解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，解题的关键在于添加辅助线．
（1）作，连接，作的垂直平分线交于点，连接，则四边形是平行四边形，由线段垂直平分线的性质以及三角形的外角定理得到，由，设，则，设，在中，由勾股定理得，解得：，由即可求解；
（2）设，作的垂直平分线交于点，连接，则导角可得，设，在中由勾股定理得到，解得：，可得，再由即可求解．
【详解】（1）解：如图，作，连接，作的垂直平分线交于点，连接，
由题意得：，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
由题意得：，
∵，
∴设，则，
设，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴设，
作的垂直平分线交于点，连接，则，
∴，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
答：建筑物的高度为米．
预测7（2025·河北邯郸·一模）如图，监控摄像头固定在墙壁上的支架上，在墙上的固定点为点，已知，，．
(1)求点到地面的距离；
(2)该摄像头的可监控视角（点，在地面上），平分，且．
①求的度数；
②求监控摄像头在地面上最远可视点到点的距离．
（结果均精确到，参考数据：取，取）
【答案】(1)
(2)①②
【分析】（1）过点作于点，过点作于点，得出四边形为矩形，，再得出，再根据含30度直角三角形的性质得出，进而可得出答案．
（2）①根据角平分线的定义得出，即可得出，再根据四边形内角和定理求解即可．
②通过解直角三角形得出，，然后相加即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，过点作于点，过点作于点，
由题意得：，
四边形为矩形，．
，
．
．
（2）解：①如图2，
为的平分线，，
．
，
．
．
．
②如图1，在中，
．
．
．
摄像头的最远可视点与点间的距离约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，矩形的判定以及性质，角平分线的有关计算，四边形内角和定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．
预测8（2025·河北邯郸·一模）情境
嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架垂直于水平面，射灯AB发出垂直于的光线，和的夹角，．
操作
嘉嘉进行了两步实验操作：
①如图1，光线投射到空水槽底部处．
②如图2，向水槽注水，光线投射到水面处，然后发生折射，最后投射到底部处．
探究
(1)请求出长（结果保留一位小数）；
(2)在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注：，，）
【答案】(1)cm
(2)淇淇看法正确，见解析
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）作于，利用矩形的性质，通过求得，然后根据锐角三角函数解直角三角形；
（2）延长，交底部于C，D，结合平行四边形的判定和性质进行推理说明．
【详解】（1）解：如图，作于，
由题意可得四边形是矩形，
．
又∵，
，．
在Rt中，．
（2）解：淇淇看法正确．理由如下：
延长，交底部于C，D．
由题意得，，
四边形是平行四边形，
．
同理，．
．
押题1计算：．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了绝对值的意义、负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值、二次根式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
押题2如图，在中，，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求．
（2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长．
【详解】（1）解：如下直线l即为所求．
（2）连接如下图：
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
押题3综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
(1)求线段的长（结果取整数）；
(2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．
（1）设，在中，．在中，．则．解方程即可；
（2）求出，根据即可得到答案．
【详解】（1）解：设，由，得．
，垂足为，
．
在中，，
．
在中，，
．
．
得．
答：线段的长约为．
（2）在中，，
．
．
答：桥塔的高度约为．
押题4中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
(1)求的大小及的值；
(2)求的长及的值．
【答案】(1)，
(2) ，
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；
（1）根据题意先求解 ，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；
（2）利用勾股定理先求解 ，如图，过作于，结合，设 ，则 ，再建立方程求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得：， ， ，
， ，
∴ ， ，，
∴，
∴，；
（2）解：∵ ，，
∴ ，
如图，过作于，
∵，设 ，则 ，
∴，
解得：，
∴ ，
∴．
押题5综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；
（2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∴，
（2）解：由题可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
押题6如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，即，
是的切线；
（2）解：，，
，
在中，，，
，则，
，
，，
，
，
设，则，，
，即，解得或（舍去），
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
押题7图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为
(2)没有危险,详见解析
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【详解】（1）如图，作，垂足为点

在中，∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
（2）没有危险，理由如下：
过作，垂足为点

∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵∴没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
押题8中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）

【答案】9.2尺
【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得和，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度．
【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长8尺．
∴，即，
∵，
∴，即，
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．
∴春分和秋分时日影长度为．
答：春分和秋分时日影长度9.2尺．
考点 考情分析
投影 选择题:这是最常见的考查形式；填空题可能会考查一些简单的投影计算；解答题:较少单独以解答题的形式考查投影，但可能会在一些综合的实际问题中有所涉及。
视图 选择题常考查对简单几何体或组合体三视图的判断；填空题可能会涉及根据视图的特征求几何体的相关数据；解答题较少单独以解答题形式考查视图，但可能在一些综合题中作为其中的一个步骤出现。
考查分值：分值在3-6分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择题、填空和解答题均有。
命题趋势：投影与视图在中考中是比较重要的考点，命题会注重基础与能力的结合，突出知识的应用性和实践性。考生在复习时应扎实掌握基本概念和方法，多进行空间想象和实际问题的分析训练，以提高应对各种题型的能力。
知识点1：投影
投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影.（例如：太阳光）
平行投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
图1 图2
【高分技巧】
1）图1中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例.
2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线，便可求出同一时刻其他物体的影子.（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的）
3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即：，利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如：旗杆/树/楼房的高度等.
4）在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影子长度由长变短再变长.
中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等）
中心投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，
离点光源远的物体它的影子长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
　　　　　　　　　　　
图3 图4
【高分技巧】
1）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
2）如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且中心投影后得到的图形与原图形相似.
正投影的概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影.
正投影的分类：
1）线段的正投影分为三种情况.如图所示.
　　　　　　　　　　　　　
①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、
②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；
③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.
2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示.
　　　　　　　　　　　　
①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线.
3）立体图形的正投影
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.
投影的判断方法：
1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．
2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投影就是中心投影．
真题1（2024·山西·中考真题）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可．
【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示：
故选：C．
真题2（2024·江苏徐州·中考真题）由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等；据此即可求得答案．
本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握其定义及画图方法是解题的关键．
【详解】
解：由题干中的几何体可得其左视图为，
故选：A．
真题3（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，正方形边长为2，以所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三视图，根据题意，得到主视图为长为4，高为2的长方形，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：圆柱体的主视图为长为4，高为2的长方形，
∴面积为；
故选A．
真题4（2024·安徽·中考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义．
【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为D选项．
故选：D．
真题5（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，，
∴，
∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，
∵三角形硬纸板的面积为，
∴，
∴的面积为．
故选：D．
真题6（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查俯视图的确定，理解俯视图的定义，具备良好的空间想象能力是解题关键．俯视图即为从上面看到的图形，由此判断即可．
【详解】
解：根据俯视图的定义，该几何体的俯视图是
故选：D．
真题7（2024·山东日照·中考真题）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ）
A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变
C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变
【答案】A
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
根据三视图的概念得到小正方体移动前后的各个视图，进而即可判断选项．
【详解】移动前的主视图为：
，
左视图为：
，
俯视图为：
移动后的主视图为：
，
左视图为：
，
俯视图为：
，
所以它的主视图会发生变化．
故选A
真题8（2024·四川雅安·中考真题）下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握简单几何体的三视图. 根据主视图是从正面看到的视图对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A.主视图是三角形，故本选项符合题意；
B. 主视图是矩形，故本选项不符合题意；
C. 主视图是矩形，故本选项不符合题意；
D. 主视图是正方形，故本选项不符合题意.
故选：A．
真题9（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
【答案】(1)
(2)旗杆高度为；
(3)雕塑高度为．
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．
（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；
（2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案；
（3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，由题意得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗杆高度为；
（3）解：设，
由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．
预测1（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示，一个圆柱体和长方体按如图所示的方式摆放，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看到的图形，进行判断即可，注意存在看不见的线用虚线表示．
【详解】解：由图可知，主视图为：
故选B．
预测2（2025·四川眉山·一模）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从上面看，看到的图形如下：
故选：C．
预测3（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示的钢块零件的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】该题考查了三视图，根据主视图定义求解即可．
【详解】解：钢块零件的主视图为
，
故选：A．
预测4（2025·安徽·一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了组合体的三视图，
通过观察组合体可知下方是一个正方体，上方是一个四棱柱，且上底面较小，下底面与正方体的上面重合，可得答案．
【详解】解：由三视图可知几何体是：
故选：B．
预测5（2025·山东烟台·一模）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由三视图判断几何体和圆柱的计算，解题的关键是正确地得到几何体的形状，这样才可以求体积．根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和．
【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，
底面直径分别是和，
高分别是和，
体积为：．
该工件的体积是．
故选：A
预测6（2025·安徽六安·二模）如图是一个几何体（正方体挖去一个圆锥）的示意图，这个几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】本题主要考查了简单组合体的三视图，从上面看到的图形即为俯视图，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
【点睛】解：这个几何体的俯视图为，
，
故选：．
预测7（2025·陕西西安·模拟预测）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ．
【答案】250
【分析】本题考查中心投影，位似图形的性质，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解．
【详解】解：由平行投影可知与是位似图形，
，
，
与的位似比为，
，
，
故答案为：250．
预测8（2025·河北沧州·模拟预测）光伏发电是将太阳光能转化为电能的清洁、安全，可再生的发电方式，嘉嘉发现家乡有光伏发电试点，如图1，她据此作出如图2所示的示意图，其中为地面，为相邻的太阳能光伏板横截面，测得米，到地面的距离米，到地面的距离米，米，此时垂直立于地面的1米的杆的影长为0.65米．（参考数据：）
(1)太阳能光伏板垂直于太阳光线时太阳能利用率最高，通过计算确定此时太阳能利用率是否最高；
(2)通过计算确定此时太阳能光伏板是否遮挡了．
【答案】(1)此时太阳能利用率不是最高，理由见解析
(2)此时太阳能光伏板没有遮挡，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形，平行投影，掌握同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例且方向相同是解答本题的关键．
（1）分别求出，，即可得出结论；
（2）过点作交所在直线于点，根据平行投影的性质得，求出米，根据求出米，求出米，即可得出结论．
【详解】（1）
∵垂直于太阳光线时
此时太阳能利用率不是最高
（2）过点作交所在直线于点
∴米
米
米
∴米
米，
此时太阳能光伏板没有遮挡
押题1下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可．
【详解】
解：A、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意；
B、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选：A．
押题2信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，根据主视图的定义求解即可． 从正面看，在后面的部分会被遮挡，看见的为矩形，注意有两条侧棱出现在正面．
【详解】解：主视图从前往后看（即从正面看）时，能看得见的棱，则主视图中对应为实线，且图形为矩形，左右两边各有一个小矩形；
故选A．
押题3如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得这个几何体为圆锥，然后求出圆锥的母线长为，再根据圆锥的侧面（扇形）面积公式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：这个几何体为圆锥，
如图，过点作于点，

根据题意得：，，，
∴，
∴，
即圆锥的母线长为，
∴这个几何体的侧面积是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，求圆锥的侧面积，根据题意得到这个几何体为圆锥是解题的关键．
押题4篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图．
根据俯视图的定义即可得到答案．
【详解】解：俯视图是：
，
故选：D．
押题5如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据俯视图的意义和画法可以得出答案．
【详解】根据俯视图的意义可知，从上面看物体所得到的图形，选项C符合题意，
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查组合体的三视图，注意虚线、实线的区别，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
押题6某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．根据平行线的性质及角的和差即可求得．
【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，，且，，
∴，，
∴．
故选：B．
押题7《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得二丈．别立一表，长一尺，影得五寸，问竿长几何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长20尺，同时立一根1尺的小标杆，它的影长是0.5尺（1丈尺，1尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（ ）
A．30尺 B．35尺 C．40尺 D．45尺
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为尺，依题意，
，
解得，
故选：C．
押题8如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可．
【详解】解：作，，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C
中考易错题（60题）
一．有理数大小比较（共1小题）
1．如果m是一个不等于﹣1的负整数，那么m，，﹣m，这几个数从小到大的排列顺序是（　　）
A．mm B．mm
C．﹣mm D．mm
【答案】B
【解析】解：设m＝﹣2，则，﹣m＝2，，
∵，
∴，
故选：B．
二．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
2．北京中轴线上的先农坛被誉为“天下第一仓”，在神仓陈列馆里展示着中国古代农民用作存储谷物的“米斗”（如图），若1斗米约为6250g，则1斗米用科学记数法表示为（　　）g．
A．6.25×102 B．6.25×103 C．1.25×102 D．1.25×103
【答案】B
【解析】解：6250g＝6.25×103g．
故选：B．
三．用数字表示事件（共1小题）
3．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 　1838　 个．
【答案】1838．
【解析】解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6＝1838，
故答案为：1838．
四．代数式求值（共1小题）
4．已知2x+1＝﹣2，则代数式2x2+x﹣1的值为（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【解析】解：∵2x+1＝﹣2，
∴2x2+x﹣1
＝x（2x+1）﹣1
＝﹣2x﹣1
＝﹣（2x+1）
＝2．
故选：C．
五．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
5．因式分解：x2y﹣6xy+9y＝　y（x﹣3）2　 ．
【答案】y（x﹣3）2．
【解析】解：x2y﹣6xy+9y
＝y（x2﹣6x+9）
＝y（x﹣3）2，
故答案为：y（x﹣3）2．
六．二次根式有意义的条件（共1小题）
6．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　x≥5　 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5．
七．二次根式的性质与化简（共1小题）
7．下列各式中，计算正确的是（　　）
A．﹣x2y+2yx2＝3x2y B．4a2+a2＝5a4
C．（﹣a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．
【答案】D
【解析】解：﹣x2y+2yx2＝x2y，
∴A不正确，不符合题意；
4a2+a2＝5a2，
∴B不正确，不符合题意；
（﹣a﹣b）2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴C不正确，不符合题意；
4，
∴D正确，符合题意．
故选：D．
八．等式的性质（共1小题）
8．等式的性质在生活中广泛应用．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（　　）
A．若a＝b+5，则a+c＝b+c+5
B．若a＝b+c，则a+5＝b+c+5
C．若a＝b+5，则ac＝（b+5）c
D．若a＝b+5，则
【答案】A
【解析】解：根据等式的基本性质1，将a＝b+5的两边同时加c，得a+c＝b+c+5，
∴A符合题意，BCD不符合题意．
故选：A．
九．配方法的应用（共1小题）
9．按要求解决下面问题．
（1）比较a2+b2与2ab的大小．（填“＜”、“＞”、“＝”）
①当a＝3，b＝3时，a2+b2　＝　 2ab．
②当a＝2，b＝3时，a2+b2　＞　 2ab．
（2）根据（1）中计算结果，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并加以证明．
（3）如图，点C在线段AB上，以AC，BC为边长，在线段AB的两侧分别作正方形ACDE与正方形BCFG，并连结AF．设两个正方形的面积分别为S1，S2．若△ACF的面积为2，求S1+S2的最小值．
【答案】见试题解答内容
【解析】（1）解：①当a＝3，b＝3时，a2+b2＝9+9＝18，2ab＝2×3×3＝18，
∴a2+b2＝2ab．
故答案为：＝．
②当a＝2，b＝3时，a2+b2＝4+9＝13，2ab＝2×2×3＝12，
∴a2+b2＞2ab．
故答案为：＞．
（2）由题意，根据（1）可得，a2+b2≥2ab．
证明：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab．
（3）解：由题意，根据（2）得a2+b2≥2ab．
又∵△ACF的面积ab＝2，S1＝a2，S2＝b2，
∴S1+S2≥2×4＝8．
∴S1+S2的最小值为8．
十．不等式的解集（共1小题）
10．若不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是（　　）
A．a＜3 B．a≤3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3
【答案】D
【解析】解：因为两不等式的解集均为大于号，根据同大取大可知a≥﹣3．
故选：D．
十一．一元一次不等式组的应用（共1小题）
11．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　）
A．1＜x≤3 B．2＜x≤3 C．3≤x＜5 D．2≤x＜5
【答案】B
【解析】解：由题意得，，
解不等式①得x≤3，
解不等式②得，x＞2，
∴x的取值范围是2＜x≤3．
故选：B．
十二．函数的图象（共2小题）
12．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化．
故选：B．
13．沙漏在中国古代被称为“沙钟”，是一种利用沙子流动计时的古老工具．某学校开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径．
探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量m（单位：g）与时间t（单位：s）之间的关系，部分数据如下：
t/s 30 60 90 120 150
m/g 30.8 90.6 150.0 209.5 269.2
探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完150g沙子所用的时间t（单位：s）与孔径d（单位：mm）之间的关系，部分数据如下：
d/mm 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
t/s 123.9 90.0 65.6 47.0 33.2
根据以上探究的实验数据，解决下列问题：
（1）在探究一中，75s时漏下沙子的质量约为　120.4　 g（结果保留小数点后一位）；
（2）推断：探究一中所用沙漏的孔径为　3.0　 mm；
（3）通过探究二，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系．
①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
②根据函数图象，若制作一个漏完150g沙子所用时间为50s的沙漏，其孔径约为　4.7　 mm（结果保留小数点后一位）．
【答案】（1）120.4g；（2）3.0；（3）①作图见解析；②4.7．
【解析】解：（1）由题意，，
∴在探究一中，75s时漏下沙子的质量约为120.4g．
故答案为：120.4g．
（2）探究一中，漏完150g沙子所用的时间为90.0s，
∴由探究二可知，探究一中所用沙漏的孔径为3.0mm．
故答案为：3.0．
（3）①如图所示，即为所求．
②由函数图象可知制作一个漏完150g沙子所用时间为50s的沙漏，其孔径约为4.7mm．
故答案为：4.7．
十三．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，1.5），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行．直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点E、F．将菱形ABCD沿x轴向左平移m个单位，当点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），m的取值范围是（　　）
A．6＜m＜7.25 B．6≤m＜6.25 C．6＜m＜6.25 D．6≤m≤7.25
【答案】A
【解析】解：∵菱形ABCD的顶点A（3，0），B（0，1.5），且对角线BD与x轴平行，
∴D（6，1.5）．
∵当y＝1.5时，2x+4＝1.5，
∴x＝﹣1.25．
∴点D向左移动1.25+6＝7.25时，点D在EF上，
∵点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），
∴6＜m＜7.25．
故选：A．
十四．两条直线相交或平行问题（共1小题）
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax+2与直线y＝bx﹣2的图象交于点C，点C的横坐标为﹣2，则a﹣b＝ 　2　 ．
【答案】2．
【解析】解：由题意，∵直线y＝ax+2与直线y＝bx﹣2的图象交于点C，点C的横坐标为﹣2，
∴﹣2a+2＝﹣2b﹣2．
∴2a﹣2b＝4．
∴a﹣b＝2．
故答案为：2．
十五．一次函数的应用（共8小题）
16．研究人员发现，在20℃～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数y（单位：次）是温度t（单位：℃）的一次函数，部分数据如表所示，则y与t之间的关系式为（　　）
温度t（℃） 21 23 25
每分钟鸣叫次数y（次） 112 126 140
A．y＝7t﹣35 B．y＝7t+35 C．y＝14t D．y＝14t+112
【答案】A
【解析】解：由表格可知，温度升高1℃，每分钟鸣叫次数增加7次，
∴y＝112+7（t﹣21）＝7t﹣35，
∴y与t之间的关系式为y＝7t﹣35．
故选：A．
17．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）25，55；
（2）购进甲种布料60件、乙种布料40件，3600元．
【解析】解：（1）设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件．
根据题意，得，
解得．
答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件．
（2）根据题意，得m≤1.5（100﹣m），
解得m≤60，
W＝（100﹣60）m+（70﹣40）（100﹣m）＝10m+3000，
∵10＞0，
∴W随m的增大而增大，
∵m≤60，
∴当m＝60时W值最大，W最大＝10×60+3000＝3600，
100﹣60＝40（件）．
答：第二次购进甲种布料60件、乙种布料40件全部售完后获得的利润最，最大利润是3600元．
18．某学校要购买甲、乙两种灭火器，用于预防校园消防安全．若购买9支甲种灭火器和6支乙种灭火器，则一共需要615元；若购买8支甲种灭火器和12支乙种灭火器，则一共需要780元．
（1）每支甲种灭火器、每支乙种灭火器的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种灭火器共30支，其中购买甲种灭火器a支，且甲种灭火器的数量至少比乙种灭火器的数量多5支，且不超过乙种灭火器数量的2倍．哪种购买方案可使总费用W最少？并求出最少总费用．
【答案】（1）45，35；
（2）购买甲种灭火器18支、乙种灭火器12支，1230元．
【解析】解：（1）设每支甲种灭火器的价格是m元，每支乙种灭火器的价格是n元．
根据题意，得，
解得．
答：每支甲种灭火器的价格是45元，每支乙种灭火器的价格是35元．
（2）根据题意，得，
解得a≤20，
∵a为非负整数，
∴a＝18，19，20．
W＝45a+35（30﹣a）＝10a+1050，
∵10＞0，
∴W随a的减小而减小，
∵a＝18，19，20．
∴当a＝18时，W值最小，W最小＝10×18+1050＝1230，30﹣18＝12（支）．
答：购买甲种灭火器18支、乙种灭火器12支可使总费用W最少，最少总费用是1230元．
19．如图，小丽和小庆去某风景区游览，其主要景点位于同一条公路边，其中古刹到塔林的路程为10km，塔林到草甸的路程为25km，草甸到飞瀑的路程为10km．小丽骑电动自行车从“古刹”出发，沿景区公路匀速去“草甸”，车速为20km/h．同一时刻，小庆乘电动汽车从“飞瀑”出发，沿景区公路匀速前往“古刹”．设两人相距的路程为s km，时间为t h，s关于t的部分函数图象如图所示．
（1）求小庆乘电动汽车的速度；
（2）求图中a的值；
（3）何时两人相距的路程等于5km？
【答案】（1）30km/h；
（2）1.5；
（3）两人出发后0.8h或1h．
【解析】解：（1）（45﹣20×0.9）÷0.9＝30（km/h）．
答：小庆乘电动汽车的速度为30km/h．
（2）根据图象，得（20+30）（a﹣0.9）＝30，
解得a＝1.5．
（3）相遇前，当两人相距的路程等于5km时，（45﹣5）÷（20+30）＝0.8（h），
相遇后，当两人相距的路程等于5km时，0.9+5÷（20+30）＝1（h），
∴两人出发后0.8h或1h相距的路程等于5km．
20．学科实践：
近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对A，B两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示．
名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度
充电站A 直流式 免费 1.5元/kW h 每小时充电5kW h
充电站B 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元/kW h 1.2元/kW h 每小时充电5kW h
问题解决：
（1）若汽车充电的总电量为x kW h，
①在充电站A所需支付的费用y1（元）与x的关系表达式为 　y1＝1.5x　 ；
②请分别写出当0＜x≤20和x＞20时，在B充电站需要支付的费用y2（元）与x的关系表达式．
（2）出租车司机小李和小王分别在A，B两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少．
【答案】（1）①y1＝1.5x；②y2；
（2）32kW h．
【解析】解：（1）①在充电站A所需支付的费用y1（元）与x的关系表达式为y1＝1.5x．
故答案为：y1＝1.5x．
②当0＜x≤20时，y2＝1.2x，
当x＞20时，y2＝0.8（x﹣20）+1.2x＝2x﹣16，
∴在B充电站需要支付的费用y2（元）与x的关系表达式为y2．
（2）当0＜x≤20时，当y1＝y2，得1.5x＝1.2x，该方程无解，
当x＞20时，当y1＝y2，得1.5x＝2x﹣16，
解得x＝32．
答：他们此次的充电量是32kW h．
21．2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（A类）和放丙手办（B类）盲盒，已知生产商每天生产A类手办比生产B类手办多200个，若单独生产12000个A类手办所需时间和单独生产8000个B类手办所用时间相同．（1）求生产商每天单独生产A，B两类手办的个数；
（2）两种手办某商家的购进价和售价如下表：
进价 售价
A类/个 80 100
B类/个 100 150
根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进A，B两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润；
（3）商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的B类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表：
第一天 第二天 第三天 第四天
日销售单件利润m（元） 20 30 40 50
日销售量Q（个） 300 200 150 120
根据试销情况，请你猜测并求Q与m之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价．
【答案】（1）600，400；
（2）购进A类手办150个、B类手办50个，5500元；
（3）Q，110元．
【解析】解：（1）设生产商每天单独生产B类手办x个，则每天单独生产A类手办（x+200）个．
根据题意，得，
解得x＝400，
经检验，x＝400是所列分式方程的解，
400+200＝600（个）．
答：生产商每天单独生产A类手办600个，每天单独生产B类手办400个．
（2）设购进A类手办a个，则购进B类手办（200﹣a）个，
根据题意，得80a+100（200﹣a）≤17000，
解得a≥150，
设获利为W元，则W＝（100﹣80）a+（150﹣100）（200﹣a）＝﹣30a+10000，
∵﹣30＜0，
∴W随a的减小而增大，
∵a≥150，
∴当a＝150时W值最大，W最大＝﹣30×150+10000＝5500，
200﹣150＝50（个）．
答：购进A类手办150个、B类手办50个可使商家获利最大，求最大利润为5500元．
（3）由表格可知，mQ＝6000，
∴Q与m之间的函数关系式为Q，
设该手办的销售单价为y元，
当600时，解得m≥10，
∵m＝y﹣100，
∴y﹣100≥10，
∴y≥110．
答：该手办的最低销售单价为110元．
22．共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行x min，收费yA元，且；B品牌电动车骑行x min，收费yB元，且，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示．
（1）说明图中函数yA与yB图象的交点P表示的实际意义．
（2）已知王老师家与学校的距离为9km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由．
（3）请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
【答案】（1）交点P表示的实际意义是：当骑行时间为20min时，A，B两种品牌的共享电动车收费都为8元；（2）选择B品牌共享电动车更省钱，理由见解析；（3）当x的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
【解析】解：（1）由图象可得，P（20，8），
交点P表示的实际意义是：当骑行时间为20min时，A，B两种品牌的共享电动车收费都为8元．
（2）由题意，设当x＞10时，y2＝k2x+b，
将点（10，6），（20，8）代入得，
，
∴．
∴当x＞10时，y2＝0.2x+4．
∴y2．
又由题意，王老师从家骑行到学校所需时间为9000÷300＝30（min），
∴A品牌所需费用为0.4×30＝12（元），B品牌所需费用为0.2×30+4＝10（元），
∵12＞10，
∴选择B品牌共享电动车更省钱．
（3）由题意，当0＜x≤10时，y2﹣y1＝3，
∴6﹣0.4x＝3，
∴x＝7.5．
当x＞10时，y2﹣y1＝3或y1﹣y2＝3，
∴0.2x+4﹣0.4x＝3或0.4x﹣（0.2x+4）＝3，
∴x＝5（舍去）或x＝35．
综上，当x的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
23．物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）之间存在关系．某兴趣小组为探究一弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）之间的关系，进行了6次测量，下表是测量数据：
所挂物体质量x/kg 0 10 20 30 40 50
弹簧的长度y/cm 6 9 12 15 18 21
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）之间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是 　一次　 函数关系；（请选择“一次”“二次”或“反比例”）
（2）根据以上判断，求y关于x的函数表达式；
（3）当弹簧长度为16.5厘米时，所挂物体的质量是多少千克？
【答案】（1）描点见解答，一次；
（2）y＝0.3x+6；
（3）35．
【解析】解：（1）描点如图所示：
将这些点连接起来，发现它们分布在同一条直线上，
∴y与x可能是一次函数关系．
故答案为：一次．
（2）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（0，6）和（10，9）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y关于x的函数表达式为y＝0.3x+6．
（3）当y＝16.5时，得0.3x+6＝16.5，
解得x＝35．
答：所挂物体的质量是35千克．
十六．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
24．已知a是一个正数，点（x1，﹣2a），（x2，﹣a），（x3，a）都在反比例函数的图象上，则0，x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x3＜0＜x1＜x2 B．x2＜x3＜0＜x1
C．x1＜x2＜0＜x3 D．x1＜0＜x2＜x3
【答案】A
【解析】解：由题意，∵点（x1，﹣2a），（x2，﹣a），（x3，a）都在反比例函数的图象上，
∴x1，x2，x3都在反比例函数的图象上．
∵a是一个正数，
∴x30，x10，x20．
又∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
∴当﹣2a＜﹣a时，x1＜x2．
∴x3＜0＜x1＜x2．
故选：A．
25．如图，点A（6，1）和点B在反比例函数的图象上，延长AB与y轴相交于点C．若AB＝2BC，则点C的纵坐标为 　4　 ．
【答案】4．
【解析】解：过点B作BG⊥y轴点G，AH⊥y轴于点H．
∵A（6，1），
∴k＝6×1＝6，AH＝6．
∵BG⊥y轴，AH⊥y轴，
∴BG∥AH．
∴△CGB∽△CHA．
∴．
∴BGAH＝2，CGCH．
∴B（2，3）．
∴GH＝3﹣1＝2．
又∵CH＝CG+GH＝CG+2，
∴CG（CG+2）．
∴CG＝1．
∴OC＝CG+GH+OH＝1+2+1＝4．
∴点C的纵坐标为4．
故答案为：4．
十七．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
26．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（a，b）和点B（a﹣4，3），P为线段AB上一点，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）当△OPQ的面积为时，求P点的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）将B（a﹣4，3）代入，
得：a＝6，
∴B（2，3），A（6，b），
将点A（6，b）代入，
得b＝1，
∴A（6，1），
将点A（6，1），点B（2，3）代入y＝kx+b，
得：k，b＝4，
∴yx+4．
（2）设点P（t，t+4），Q（t，），
PQ4，
S△OPQ＝（4）t，
解得：t1＝3，t2＝5，
∴P（3，）或（5，）．
故答案为：P（3，）或（5，）．
十八．反比例函数的应用（共1小题）
27．【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为24V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流y/A的大小，从而控制小灯泡L的亮度，实验电路图如图1所示，已知小灯泡的电阻为3Ω（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为x/Ω（0≤x≤9）（串联电路中总电阻＝灯泡电阻+滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据（如表）：
电阻x/Ω … a 2 3 5 7 9
电流y/A … 6 4.8 4 3 b 2
（1）根据实验结果，填空：a＝ 　1　 ，b＝ 　2.4　 ，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：　y　 （0≤x≤9）；
（2）【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质：　y随x的增大而减小（答案不唯一，正确即可）　 ；
（3）【深入探究】
已知一次函数，结合（2）中函数图象分析，请直接写出当y≤y'时x的取值范围：　0≤x≤3　 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）根据实验数据，得y与x的函数关系式为y，
将x＝第四辑
图形的相似………………………………………………………………………………………01
锐角三角函数……………………………………………………………………………………10
投影与视图………………………………………………………………………………………20
中考易错题（60题）……………………………………………………………………………31
中考临考押题模拟卷（通用）…………………………………………………………………4221世纪教育网(www.21cnjy.com)
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考点 考情分析
比例有关的概念和性质 选择题和填空题常考查比例的基本性质、平行线分线段成比例定理的简单应用、黄金分割的概念等；解答题可能与三角形、四边形、相似图形等知识综合考查。
相似三角形的性质与判定 选择题和填空题通常直接考查相似三角形的基本概念、判定条件或简单的性质应用；解答题可能与三角形、四边形等几何图形结合；与函数(如一次函数、二次函数)结合；在一些实际问题中，利用相似的性质来求解未知量。
位似 常出现在选择题、填空题中，也可能在解答题中与其他知识点结合考查，整体难度中等或偏下
考查分值：分值在3-19分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择题、填空和解答题均有。
命题趋势：相似三角形的基本性质与判定:仍是重点内容。位似图形:考查位似中心的确定、位似比的计算，以及在平面直角坐标系中根据位似变换求点的坐标。相似与其他知识的综合:与函数(如一次函数、二次函数)结合，通过函数图象上的点构造相似三角形，解决函数中的几何问题，与圆结合，利用圆中的圆周角、弦切角等关系构造相似三角形，求解与圆相关的线段长度、角度问题:在实际问题中构建相似三角形模型，如测量物体高度、河宽等问题。
知识点1：比例有关的概念和性质
线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比．
比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项，
【高分技巧】
1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；
2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成.
比例的性质：
1）基本性质：
2）变形： 核心内容：
3）合、分比性质：
4）等比性质：如果， 那么.
5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
【注意】1） (叫做黄金分割值). 简记为：
2）一条线段的黄金分割点有两个.
【扩展】作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
②连接AD，在DA上截取DE=DB.
③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
6）平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
①已知l3∥l4∥l5, 可得等
①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况：
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
知识点2：相似三角形的性质与判定
相似多边形的的概念：
若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形的性质：
1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
知识点3：位似
位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.
常见的位似图形：
画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
位似图形的性质：
1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点；
2）位似图形的对应边互相平行或者共线.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k.
画位似图形的步骤：
1）确定位似中心,找原图形的关键点.
2）确定位似比.
3）以位似中心为端点向各关键点作射线.
4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形.
真题1 （2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
真题2（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）

A． B． C．2 D．3
真题3（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）．
真题4（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ．
真题5（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
真题6（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
(1)求证：；
(2)若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
真题7（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
真题8（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长．
预测1（2025·浙江·二模）如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C；直线分别交，，于点D，E，F．若，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
预测2（2025·浙江·模拟预测）若，则的值为（　　）
A． B．4 C． D．
预测3（2025·甘肃·一模）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．如图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．在小孔成像的实验中，带小孔的纸板和光屏平行，蜡烛与有小孔的纸板之间的水平距离为．当蜡烛火焰的高度是它的像高度的时，有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为（ ）
A． B． C． D．
预测4（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（ ）
A． B． C． D．
预测5（2025·青海海东·一模）【探究与证明】
【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：）
【操作发现】
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处．
第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形．
【问题解决】
(1)图③中______（保留根号）；
(2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形．
押题1如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
押题1如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
押题2如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
押题3如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
押题4《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高 m．

押题5如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
押题6在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
押题7问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
考点 考情分析
正弦﹑余弦和正切 根据直角三角形的边的关系来确定正弦、余弦、正切的值。
特殊角的三角函数的有关计算 整体难度不大，属于中等及以下难度。对于单纯考查特殊角三角函数值记忆的题目，只要学生牢记特殊角的三角函数值，就能轻松得分
解直角三角形 选择题常考查解直角三角形的基本概念和简单应用；填空题可能涉及根据已知条件直接计算直角三角形的边或角的度数，也可能在实际问题情境中，让学生利用解直角三角形的知识求出相关的长度或角度并填空；解答题:通常结合实际问题，如测量物体高度、距离、坡度等问题，要求学生通过构建直角三角形模型，运用解直角三角形的知识进行求解。
考查分值：分值在5-10分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择题、填空和解答题均有。
命题趋势：基础的三角函数定义、特殊角的三角函数值以及简单的解直角三角形应用，难度依然保持较低主要考查学生对基础知识的掌握和简单运用能力。在与其他知识综合考查的题目中，难度会有所上升，属于中等偏上难度。这类题目需要学生具备较强的分析问题、解决问题的能力，以及对知识的综合运用能力。学生需要能够从复杂的情境中抽象出直角三角形模型，并灵活运用三角函数知识，结合其他数学知识和方法进行求解。
知识点：锐角三角函数
1. 锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
2. 正弦、余弦、正切的概念
定义 表达式 图形
正弦
余弦
正切
3. 锐角三角函数的关系：
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
1）同角三角函数的关系： ，
2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A,
4. 特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
1
5. 锐角三角函数的性质
性质 前提：0°＜∠A＜90° sin A随∠A的增大而增大
cos A随∠A的增大而减小
tan A随∠A的增大而增大
解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B
2）三边之间的关系：（勾股定理）
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°
4）边角之间的关系：
sin A= = ，sin B= =
cos A= =
tan A= =
解直角三角形常见类型及方法：
已知类型 已知条件 解法步骤
两边 斜边和一直角边 (如c,a) ① ② ③∠B=90°－∠A
两直角边 (如a,b) ① ② ③∠B=90°－∠A
一边和一锐角 斜边和一锐角 （如c，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③
一直角边和一锐角 （如a，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③
另一直角边和一锐角 （如b，∠A） ①∠B=90°－∠A ② ③
真题1（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ）
（结果精确到．参考数据：）
A． B． C． D．
真题2（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ）
A．米 B．25米 C．米 D．50米
真题3（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ．
真题4（2024·西藏·中考真题）计算：．
真题5（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．
(1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
真题6（2024·甘肃兰州·中考真题）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到）
参考数据：，．
真题7（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
(1)求的长；
(2)求物体上升的高度（结果精确到）．
真题8（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
(1)求的长；
(2)该充电站有20个停车位，求的长．
预测1（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，是的直径，是弦，交于点D．若，．的长为（ ）
A． B． C．26 D．20
预测2（2025·陕西西安·模拟预测）计算：．
预测3（2025·陕西咸阳·二模）如图，内接于，为的直径，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
预测4（2025·福建厦门·模拟预测）如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．
(1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度；
(2)求点，间的水平距离的长．（参考数据：，，）
预测5（2025·重庆·一模）如图，是某动物园入口，是入口附近的三个展区．小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了米到展区，在展区参观分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区，小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：，，）
(1)求的长度；（结果精确到米）
(2)已知小明的平均速度为米分钟，小华的平均速度为米分钟，，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到）
预测6（2025·江苏镇江·一模）【阅读理解】
小明用了如下的方法计算出的值．
如图1，在中，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，．
【拓展应用】
如图2，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得顶点的仰角为，同时测得的长度为5米．
(1)请模仿小明的方法，求出的值；
(2)求出建筑物的高度．
参考数据：，，．
预测7（2025·河北邯郸·一模）如图，监控摄像头固定在墙壁上的支架上，在墙上的固定点为点，已知，，．
(1)求点到地面的距离；
(2)该摄像头的可监控视角（点，在地面上），平分，且．
①求的度数；
②求监控摄像头在地面上最远可视点到点的距离．
（结果均精确到，参考数据：取，取）
预测8（2025·河北邯郸·一模）情境
嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架垂直于水平面，射灯AB发出垂直于的光线，和的夹角，．
操作
嘉嘉进行了两步实验操作：
①如图1，光线投射到空水槽底部处．
②如图2，向水槽注水，光线投射到水面处，然后发生折射，最后投射到底部处．
探究
(1)请求出长（结果保留一位小数）；
(2)在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注：，，）
押题1计算：．
押题2如图，在中，，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
押题3综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
(1)求线段的长（结果取整数）；
(2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
押题4中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
(1)求的大小及的值；
(2)求的长及的值．
押题5综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
押题6如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
押题7图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
押题8中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）

考点 考情分析
投影 选择题:这是最常见的考查形式；填空题可能会考查一些简单的投影计算；解答题:较少单独以解答题的形式考查投影，但可能会在一些综合的实际问题中有所涉及。
视图 选择题常考查对简单几何体或组合体三视图的判断；填空题可能会涉及根据视图的特征求几何体的相关数据；解答题较少单独以解答题形式考查视图，但可能在一些综合题中作为其中的一个步骤出现。
考查分值：分值在3-6分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择题、填空和解答题均有。
命题趋势：投影与视图在中考中是比较重要的考点，命题会注重基础与能力的结合，突出知识的应用性和实践性。考生在复习时应扎实掌握基本概念和方法，多进行空间想象和实际问题的分析训练，以提高应对各种题型的能力。
知识点1：投影
投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影.（例如：太阳光）
平行投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
图1 图2
【高分技巧】
1）图1中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例.
2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线，便可求出同一时刻其他物体的影子.（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的）
3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即：，利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如：旗杆/树/楼房的高度等.
4）在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影子长度由长变短再变长.
中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等）
中心投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，
离点光源远的物体它的影子长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
　　　　　　　　　　　
图3 图4
【高分技巧】
1）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
2）如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且中心投影后得到的图形与原图形相似.
正投影的概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影.
正投影的分类：
1）线段的正投影分为三种情况.如图所示.
　　　　　　　　　　　　　
①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、
②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；
③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.
2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示.
　　　　　　　　　　　　
①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线.
3）立体图形的正投影
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.
投影的判断方法：
1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．
2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投影就是中心投影．
真题1（2024·山西·中考真题）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
真题2（2024·江苏徐州·中考真题）由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ）
A． B． C． D．
真题3（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，正方形边长为2，以所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（ ）
A．8 B．4 C． D．
真题4（2024·安徽·中考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
真题5（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
真题6（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
真题7（2024·山东日照·中考真题）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ）
A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变
C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变
真题8（2024·四川雅安·中考真题）下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
真题9（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
预测1（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示，一个圆柱体和长方体按如图所示的方式摆放，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
预测2（2025·四川眉山·一模）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A．B． C． D．
预测3（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示的钢块零件的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
预测4（2025·安徽·一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
预测5（2025·山东烟台·一模）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（ ）
A． B． C． D．
预测6（2025·安徽六安·二模）如图是一个几何体（正方体挖去一个圆锥）的示意图，这个几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
预测7（2025·陕西西安·模拟预测）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ．
预测8（2025·河北沧州·模拟预测）光伏发电是将太阳光能转化为电能的清洁、安全，可再生的发电方式，嘉嘉发现家乡有光伏发电试点，如图1，她据此作出如图2所示的示意图，其中为地面，为相邻的太阳能光伏板横截面，测得米，到地面的距离米，到地面的距离米，米，此时垂直立于地面的1米的杆的影长为0.65米．（参考数据：）
(1)太阳能光伏板垂直于太阳光线时太阳能利用率最高，通过计算确定此时太阳能利用率是否最高；
(2)通过计算确定此时太阳能光伏板是否遮挡了．
押题1下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）

A．① B．② C．③ D．④
押题2信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
押题3如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）．

A． B． C． D．
押题4篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
押题5如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ）
A．B． C． D．
押题6某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
押题7《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得二丈．别立一表，长一尺，影得五寸，问竿长几何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长20尺，同时立一根1尺的小标杆，它的影长是0.5尺（1丈尺，1尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（ ）
A．30尺 B．35尺 C．40尺 D．45尺
押题8如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
中考易错题（60题）
一．有理数大小比较（共1小题）
1．如果m是一个不等于﹣1的负整数，那么m，，﹣m，这几个数从小到大的排列顺序是（　　）
A．mm B．mm
C．﹣mm D．mm
二．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
2．北京中轴线上的先农坛被誉为“天下第一仓”，在神仓陈列馆里展示着中国古代农民用作存储谷物的“米斗”（如图），若1斗米约为6250g，则1斗米用科学记数法表示为（　　）g．
A．6.25×102 B．6.25×103 C．1.25×102 D．1.25×103
三．用数字表示事件（共1小题）
3．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 　 　 个．
四．代数式求值（共1小题）
4．已知2x+1＝﹣2，则代数式2x2+x﹣1的值为（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
五．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
5．因式分解：x2y﹣6xy+9y＝　 　 ．
六．二次根式有意义的条件（共1小题）
6．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ．
七．二次根式的性质与化简（共1小题）
7．下列各式中，计算正确的是（　　）
A．﹣x2y+2yx2＝3x2y B．4a2+a2＝5a4
C．（﹣a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．
八．等式的性质（共1小题）
8．等式的性质在生活中广泛应用．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（　　）
A．若a＝b+5，则a+c＝b+c+5
B．若a＝b+c，则a+5＝b+c+5
C．若a＝b+5，则ac＝（b+5）c
D．若a＝b+5，则
九．配方法的应用（共1小题）
9．按要求解决下面问题．
（1）比较a2+b2与2ab的大小．（填“＜”、“＞”、“＝”）
①当a＝3，b＝3时，a2+b2　 　 2ab．
②当a＝2，b＝3时，a2+b2　 　 2ab．
（2）根据（1）中计算结果，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并加以证明．
（3）如图，点C在线段AB上，以AC，BC为边长，在线段AB的两侧分别作正方形ACDE与正方形BCFG，并连结AF．设两个正方形的面积分别为S1，S2．若△ACF的面积为2，求S1+S2的最小值．
十．不等式的解集（共1小题）
10．若不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是（　　）
A．a＜3 B．a≤3 C．a＞﹣3 D．a≥﹣3
十一．一元一次不等式组的应用（共1小题）
11．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　）
A．1＜x≤3 B．2＜x≤3 C．3≤x＜5 D．2≤x＜5
十二．函数的图象（共2小题）
12．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（　　）
A．B． C．D．
13．沙漏在中国古代被称为“沙钟”，是一种利用沙子流动计时的古老工具．某学校开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径．
探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量m（单位：g）与时间t（单位：s）之间的关系，部分数据如下：
t/s 30 60 90 120 150
m/g 30.8 90.6 150.0 209.5 269.2
探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完150g沙子所用的时间t（单位：s）与孔径d（单位：mm）之间的关系，部分数据如下：
d/mm 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
t/s 123.9 90.0 65.6 47.0 33.2
根据以上探究的实验数据，解决下列问题：
（1）在探究一中，75s时漏下沙子的质量约为　 　 g（结果保留小数点后一位）；
（2）推断：探究一中所用沙漏的孔径为　 　 mm；
（3）通过探究二，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系．
①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
②根据函数图象，若制作一个漏完150g沙子所用时间为50s的沙漏，其孔径约为　 　 mm（结果保留小数点后一位）．
十三．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，1.5），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行．直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点E、F．将菱形ABCD沿x轴向左平移m个单位，当点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），m的取值范围是（　　）
A．6＜m＜7.25 B．6≤m＜6.25 C．6＜m＜6.25 D．6≤m≤7.25
十四．两条直线相交或平行问题（共1小题）
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax+2与直线y＝bx﹣2的图象交于点C，点C的横坐标为﹣2，则a﹣b＝ 　 　 ．
十五．一次函数的应用（共8小题）
16．研究人员发现，在20℃～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数y（单位：次）是温度t（单位：℃）的一次函数，部分数据如表所示，则y与t之间的关系式为（　　）
温度t（℃） 21 23 25
每分钟鸣叫次数y（次） 112 126 140
A．y＝7t﹣35 B．y＝7t+35 C．y＝14t D．y＝14t+112
17．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
18．某学校要购买甲、乙两种灭火器，用于预防校园消防安全．若购买9支甲种灭火器和6支乙种灭火器，则一共需要615元；若购买8支甲种灭火器和12支乙种灭火器，则一共需要780元．
（1）每支甲种灭火器、每支乙种灭火器的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种灭火器共30支，其中购买甲种灭火器a支，且甲种灭火器的数量至少比乙种灭火器的数量多5支，且不超过乙种灭火器数量的2倍．哪种购买方案可使总费用W最少？并求出最少总费用．
19．如图，小丽和小庆去某风景区游览，其主要景点位于同一条公路边，其中古刹到塔林的路程为10km，塔林到草甸的路程为25km，草甸到飞瀑的路程为10km．小丽骑电动自行车从“古刹”出发，沿景区公路匀速去“草甸”，车速为20km/h．同一时刻，小庆乘电动汽车从“飞瀑”出发，沿景区公路匀速前往“古刹”．设两人相距的路程为s km，时间为t h，s关于t的部分函数图象如图所示．
（1）求小庆乘电动汽车的速度；
（2）求图中a的值；
（3）何时两人相距的路程等于5km？
20．学科实践：
近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对A，B两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示．
名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度
充电站A 直流式 免费 1.5元/kW h 每小时充电5kW h
充电站B 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元/kW h 1.2元/kW h 每小时充电5kW h
问题解决：
（1）若汽车充电的总电量为x kW h，
①在充电站A所需支付的费用y1（元）与x的关系表达式为 　 　 ；
②请分别写出当0＜x≤20和x＞20时，在B充电站需要支付的费用y2（元）与x的关系表达式．
出租车司机小李和小王分别在A，B两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少．
21．2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（A类）和放丙手办（B类）盲盒，已知生产商每天生产A类手办比生产B类手办多200个，若单独生产12000个A类手办所需时间和单独生产8000个B类手办所用时间相同．（1）求生产商每天单独生产A，B两类手办的个数；
（2）两种手办某商家的购进价和售价如下表：
进价 售价
A类/个 80 100
B类/个 100 150
根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进A，B两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润；
（3）商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的B类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表：
第一天 第二天 第三天 第四天
日销售单件利润m（元） 20 30 40 50
日销售量Q（个） 300 200 150 120
根据试销情况，请你猜测并求Q与m之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价．
22．共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行x min，收费yA元，且；B品牌电动车骑行x min，收费yB元，且，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示．
（1）说明图中函数yA与yB图象的交点P表示的实际意义．
（2）已知王老师家与学校的距离为9km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由．
（3）请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
23．物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）之间存在关系．某兴趣小组为探究一弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）之间的关系，进行了6次测量，下表是测量数据：
所挂物体质量x/kg 0 10 20 30 40 50
弹簧的长度y/cm 6 9 12 15 18 21
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）之间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是 　 　 函数关系；（请选择“一次”“二次”或“反比例”）
（2）根据以上判断，求y关于x的函数表达式；
（3）当弹簧长度为16.5厘米时，所挂物体的质量是多少千克？
十六．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
24．已知a是一个正数，点（x1，﹣2a），（x2，﹣a），（x3，a）都在反比例函数的图象上，则0，x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x3＜0＜x1＜x2 B．x2＜x3＜0＜x1
C．x1＜x2＜0＜x3 D．x1＜0＜x2＜x3
25．如图，点A（6，1）和点B在反比例函数的图象上，延长AB与y轴相交于点C．若AB＝2BC，则点C的纵坐标为 　 　 ．
十七．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
26．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（a，b）和点B（a﹣4，3），P为线段AB上一点，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）当△OPQ的面积为时，求P点的坐标．
十八．反比例函数的应用（共1小题）
27．【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为24V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流y/A的大小，从而控制小灯泡L的亮度，实验电路图如图1所示，已知小灯泡的电阻为3Ω（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为x/Ω（0≤x≤9）（串联电路中总电阻＝灯泡电阻+滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据（如表）：
电阻x/Ω … a 2 3 5 7 9
电流y/A … 6 4.8 4 3 b 2
（1）根据实验结果，填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：　 　 （0≤x≤9）；
（2）【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质：　 　 ；
（3）【深入探究】
已知一次函数，结合（2）中函数图象分析，请直接写出当y≤y'时x的取值范围：　 　 ．
十九．二次函数的图象（共1小题）
28．若一次函数的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
二十．二次函数的性质（共2小题）
29．如图，二次函数y＝x2﹣3x﹣4交坐标轴于A，B，C，点Q在以C为圆心半径为1的圆上运动，P为BQ中点，AP的最小值是　 　 ．
30．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+2的对称轴为直线x＝1，点B的坐标为（5，1），点C是抛物线上一动点，连接CB，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，当点D落在直线x＝1上时，点C的横坐标为　 　 ．
二十一．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
31．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②a﹣b+c＞0；
③4a+2b+c＝0；
④抛物线的顶点坐标为（2，b）；
⑤当x＜4时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤
32．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，有以下结论：
①4ac﹣b2＞0；
②若是图象上的两点，则y1＞y2；
③a+b+c＜0；
④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；
⑤3a+c＜0．
其中结论正确的是 　 　 ．
二十二．二次函数的三种形式（共1小题）
33．将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4
C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3
二十三．抛物线与x轴的交点（共3小题）
34．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（3，0），对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是（　　）
A．x＜3 B．x＞﹣1 C．﹣1≤x≤3 D．﹣1＜x＜3
35．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1（a为常数，且a＜0）．
（1）若a＝﹣1时，求该二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）若二次函数的图象与直线y＝﹣2a+3有且仅有一个交点，求代数式的值．
36．已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2．
（1）求b的值；
（2）当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，求c的值；
（3）当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．
二十四．二次函数与不等式（组）（共1小题）
37．抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n的图象如图所示，下列判断：
①abc＜0；②c＜n；③a+b+c＞0； ④2a+b＜0；⑤当x或x＞6时，y1＞y2．
其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二十五．二次函数的应用（共5小题）
38．综合与实践
如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为OD．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若OD＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请你说明理由．
39．某工厂计划投资生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，产品A的利润y1（万元）与投资量x（万元）成正比例关系，如图①所示；产品B的利润y2（万元）与投资量x（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示．
（1）请直接写出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式y1＝　 　 ，y2＝　 　 ；
（2）如果工厂以9万元资金投入生产A、B两种产品，要求A产品的投资金额不超过B产品的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？
40．综合与实践：某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息：
材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，
这段距离总共需要的反应时间为0.6秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．
材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过150km/h）进行测试，测得数据如下表：
车速x（km/h） 0 30 45 60 90 105 120 150
制动距离y（m） 0 7.8 13.05 19.2 34.2 43.05 52.8 75
探究任务：
（1）已知该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（km/h）之间存在已学过的某种函数关系，请你根据上表提供的数据，在坐标系中描出点（x，y），顺次连接各点，结合图象求出这个函数的解析式并写出自变量x的取值范围（参考数据：122＝144，152＝225，452＝2025，1052＝11025）；
（2）若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为28.8m，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度；
（3）若某司机驾驶这种新型汽车以60km/h的速度在单行道上行驶，发现前方25m处有一辆大货车停在公路上挡住去路，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由，并根据计算结果给司机提出一条建议．
41．综合与实践
问题情境：
如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验．小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，小球刚好落到斜坡上的点A处．
建模分析：
如图2，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴，建立平面直角坐标系．分析图象得出，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的竖直高度y（米）的几组对应值如表，且点A的坐标为（3，1.5）．
x（米） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y（米） 0 0.875 1.5 1.875 2 1.875 1.5
问题解决：
（1）求小球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的函数表达式；
（2）如图2，求小球在飞行过程中，距坡面的最大铅垂高度MN；
（3）如图3，设小球在飞行过程中的动点为P（P）不与O，A重合），连接OP，AP，直接写出△OAP面积的最大值．
42．某校劳动基地蔬菜大棚由抛物线AEB和“矩形”ABCD构成，抛物线最高点E到地面CD的距离为7米，其横截面如图1所示，建立平面直角坐标系，已知CD＝12米，BC＝3米．
（1）求抛物线的解析式；
（2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，如图1，准备在大棚抛物线上安装矩形“脚手架”（即三根支架，其中P，N在抛物线上，QP，NM垂直地面，PN平行地面），求“脚手架”的最大长度；
（3）如图2，在蔬菜大棚上安装照明灯，要求照明灯到地面的垂直距离为4米，每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过2米，左右外侧的两个照明灯安装在抛物线上，如图2所示，直接写出至少需要安装照明灯的个数．
二十六．含30度角的直角三角形（共1小题）
43．图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人识别身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”成轴对称，BC和EF均垂直于地面，∠ABC＝∠DEF＝30°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．
（1）求闸机通道的宽度即BC与EF之间的距离；
（2）经调查，一个智能闸机平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
二十七．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
44．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE＝BE，连接DE，若CD＝3，AE＝7，则DE的长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
二十八．平面展开-最短路径问题（共1小题）
45．如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为6cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　）
A．5cm B．25cm C．2cm D．4cm
二十九．多边形内角与外角（共1小题）
46．如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
三十．垂径定理的应用（共1小题）
47．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则半径OC长为 　 　 寸．
三十一．圆周角定理（共3小题）
48．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BCD＝32°，则∠ABD＝（　　）
A．116° B．64° C．58° D．32°
49．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝70°，则∠B的度数是 　 　 ．
50．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，作CG⊥AB于D交⊙O于G，∠ACG的平分线交AB于点E，交⊙O于点F，连结AF，BF．
（1）若⊙O的半径为6，AD＝4，求弦CG的长；
（2）求证：AF＝EF．
三十二．扇形面积的计算（共1小题）
51．如图，在边长为1的正方形网格中，“x状”图案（阴影部分）是由半径分别为1和2，圆心在格点上的两种弧围成的，则阴影部分的面积是 　 　 ．
三十三．中心对称图形（共2小题）
52．2025年中国动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球．以下四图是某校美术社团绘制的哪吒风火轮的简笔画，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
53．环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　）
A．B． C．D．
三十四．相似三角形的应用（共1小题）
54．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（　　）
A． B． C． D．
三十五．解直角三角形的应用（共2小题）
55．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π3．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（　　）
A．l12＝24Rsin15° B．l12＝24Rcos15°
C．l12＝24Rsin30° D．l12＝24Rcos30°
56．水车是我国古老的农业灌溉工具，是古人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产．水车是由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．
小明受此启发设计了一个“水车玩具”，设计图如图2，若水轮⊙O在动力的作用下将水运送到点A处，水沿水槽AC流到水池中，⊙O与水面交于点B，D，且点D，O，B，C在同一直线上，AC与⊙O相切于点A，连接AD，AB，AO．
请仅就图2解答下列问题．
（1）求证：∠AOB＝2∠BAC．
（2）若点B到点C的距离为32cm，．请求出水槽AC的长度．
三十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
57．【操作探究】在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动．
【学生A】查阅学校资料得知树前的教学楼ED高度为12米，如图1，某一时刻测得小树AB、教学楼ED在同一时刻阳光下的投影长分别是BC＝2.5米，DF＝7.5米．
（1）请根据同学A的数据求小树AB的高度；
【学生B】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度h＝1.6米，在D处测得小树顶部的仰角α＝30°，测角仪到树的水平距离m＝4.2米．
（2）请根据同学B的数据求小树AB的高度（结果保留整数，1.41，1.73）．
三十七．简单组合体的三视图（共2小题）
58．如图是由3个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（　　）
A．B． C．D．
59．如图是由一个长方体和一个圆柱组合而成的立体图形，从上面观察这个图形，得到的图形是（　　）
A． B． C． D．
三十八．全面调查与抽样调查（共1小题）
60．下面调查中，适合采用普查的是（　　）
A．调查全国中学生心理健康现状
B．调查你所在的班级同学的身高情况
C．调查50枚导弹的杀伤半径
D．调查扬州电视台《今日生活》收视率
中考模拟卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，是一家创新型科技公司．数据显示，随着访问量急速上升，2025年2月1日成为史上最快突破3000万日活跃用户量的应用．数据3000万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．中国四大白瓷系列之一的衢州莹白瓷被誉为瓷中珍品，下图是衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，直线与交于点，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，两灯泡与的电阻之和为，闭合开关S后，测得灯泡与两端的电压分别为2V、4V，则灯泡与的电阻与分别是（ ）
A． B． C． D．
11．某企业生产一批工艺品，为了尽快完成任务，实际每天生产工艺品比原计划多200个．已知实际生产3000个工艺品与原计划生产1800个所用的时间相同，若设原计划每天生产个工艺品，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交于点M，若，给出下面四个结论：①M是的中点；②平分；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．把多项式因式分解的结果是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，点在轴上，点在反比例函数的图象上．若菱形的面积是8，则这个反比例函数的表达式是 ．
15．某小区有500户家庭，随机抽取50户家庭，对某月用电量情况统计如表：
月用电量x（千瓦时）
户数（户） 7 13 10 15 5
根据以上数据，估计该小区用电量在（千瓦时）的家庭有 户．
16．如图，当阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例．动力与动力臂的部分数据如表所示，则表中的值为 ．
17．随着城市化建设的推进，地铁交通成为我们生活中重要的组成部分，选择地铁这种环保高效的交通方式出行人数越来越多．图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为15cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 cm．（参考数据：，，）
18．如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示．
（1）线段的长为 ；
（2）在整个运动过程中，的最大值为 ．
三．解答题（本题共8小题，第19-22题每小题8分，第23-26题每题10分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（1）计算：；
（2）解方程组：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，在中，，平分，交于点D．
(1)求作：射线，使得，垂足为点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，与相交于点F，
①若，求的度数；
②证明：．
22．寒假期间，数学实践活动小组对九年级班全体同学进行了主题为“你最喜欢的电影”的线上调查，每位同学在《哪吒》《唐探》《》《封神》《美国队长》这5部电影中选择部，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
电影 人数 百分数
（哪吒）
《唐探》
《》
《封神》
《美国队长》
(1)九年级班共有学生________名：________；
(2)若该年级有学生名，请估计最喜欢的电影为《哪吒》的学生人数；
(3)已知在选择最喜欢电影《封神》的人中有名男生，名女生，现随机抽取人赠送电影票，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
23．某园艺基地研制了两种不同配方的营养土用于多肉植物的栽培，两种营养土均为每包，其中甲型营养土中颗粒土含量为，乙型营养土中颗粒土含量为．每包乙型营养土中有机质含量是每包甲型营养土中有机质含量的1.5倍．
(1)以下是两位工人在种植一株大型植物时的对话：
请根据对话中的信息，求甲、乙两种型号的营养土每包中有机质的含量；
(2)某校开展了一次多肉养殖综合实践活动，园艺基地受邀为活动准备营养土，要求配置好的营养土中颗粒土含量不低于，如果用甲乙两种型号的营养土共10包配置这种营养土，同时保证有机质含量最大，应选用甲乙两种营养土各多少包？
24．如图，是的直径，C，D是上两点，平分，过点C 作，垂足为E、
(1)求证：是的切线；
(2)已知 ，求的长．
25．【项目式学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用．
实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
运动时间x/s 0 1 2 3 4 5 ．．．
运动速度/ 12 11 10 9 8 7 ．．．
滑行距离s/ 0 11.5 22 31.5 40 47.5 ．．．
任务二：观察分析
（1）根据v，s随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出关于的函数关系式和关于的函数关系式．
任务三：问题解决
（2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离；
（3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，请直接写出的取值范围．
26．【问题情境】综合与实践课，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)【操作发现】
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点A落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图1中________°．
(2)【迁移探究】
小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接，．
①如图2，当点在上时，与的数量关系是________．
②如图3，当改变点在上的位置（点不与点，重合），使点不在上时，判断①中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】
在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，请直接写出的长为多少？

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