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2024-2025 学年山东省青岛市第十五中学高二下学期第三学段质量检
测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 5 件产品中有 2 件次品，3 件正品，检验员从中随意抽取 2 件进行检测，记取到的正品数为 ，则数
学期望 ( )为( )
A. 4 B. 95 10 C. 1 D.
6
5
2.已知函数 ( ) = sin + ′(0)e2 ，则 (0) =( )
A. 1 B. 12 C. 2 D. 1
3.井字棋起源于古希腊，是一种在 3 × 3 格子上进行的连珠游戏，其玩法与五子棋类似．两名玩家分别持不
同棋子轮流在九个格子中落子，直到某位玩家的三颗棋子在同一条直线上后游戏结束，该玩家获胜．小明
与小红进行井字棋游戏，小明执黑棋先下，小红执白棋．若当棋盘上刚好下满 5 个棋子时游戏结束，则棋
盘上的棋子的分布情况共有几种( )
A. 144 B. 120 C. 96 D. 90
4 1. 2 (2 + )
5的展开式中 2 4的系数为( )
A. 80 B. 48 C. 12 D. 24
5.某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查
4
显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过 4 小时的人数占比为5，抽取的女生中每周平均体育运动时
间超过 4 3小时的人数占比为5，若在犯错误的概率不超过 1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运
动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为( )
附：
2 ≥ 0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
2 ( )2 = ( + )( + )( + )( + )
A. 60 B. 65 C. 70 D. 75
6.已知随机变量 (3, ). 1 3若2 ≤ < 1，则 ≥ 2 的取值范围是( )
A. 1 , 34 4 B.
1
2 , 1 C.
1
8 ,
1 1
2 D. 8 , 1
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7.已知函数 ( )的定义域为 ， (0) = 2，若对任意 ∈ R，都有 ( ) > 1 ′( )，则不等式 ( ) < 1 + e
的解集为( )
A. ( ∞,0) B. (0, + ∞)
C. ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞) D. ( ∞, 1) ∪ (0,1)
8.现随机安排甲、乙等 4 位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项
比赛至少一位同学参加，事件 =“甲参加跳高比赛”，事件 =“乙参加跳高比赛”，事件 =“乙参加
跳远比赛”，则( )
A.事件 与 相互独立 B.事件 与 为互斥事件
C. = 512 D. =
1
9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题中，其中正确的是( )
A.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 = + ，若 = 2， = 1， = 3，则 = 1．
B.两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 0
C.在回归直线方程 = 0.2 + 12 中，当变量 每增加一个单位时，则变量 平均增加 0.2 个单位；
D.以模型 = 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 = ln ，将其变换后得到线性方程 = 0.3 + 4，
则 = 4，k = 0.3
10 1.已知正数 ， 满足 + > 12 +sin + 2 +sin ，则下列结论正确的是( )
A. 2 +1 > 2 B. ln + < ln +
C. 1 + 1 > 4 D. 1 1 1 1 + e + > e +
11.已知(2 3)( 2)8 = 0 + 1( 1) + 2( 1)2 + 3( 1)3 + + 9( 1)9，则下列结论正确的
是( )
A. 1 + 2 + + 9 = 1 B. 5 = 84
C. 1 2 92 + 22 + + 29 = 1 D. 1 + 2 2 + + 9 9 = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设随机变量 ～ (1,4)，若 ( < 2 ) = ( > 3 )，则 = ．
13.某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有 10 个零件．小张到该企业采
购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取 1 包产品，再从该包产品中随机抽取 4 个零件，若
抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均
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含 1 个或 2 个二等品零件，其中含 2 个二等品零件的包数占 10％，则小张决定采购该企业产品的概率
为 ．
14.函数 = ( )图象上不同两点 ( 1, 1), ( 2, 2)处的切线的斜率分别是 , ，规定 ( , ) =

| | (| |为 与 之间的距离)叫做曲线 = ( )在点 与点 之间的“弯曲度”.若函数 =
2图象上两点
与 的横坐标分别为 0，1，则 ( , ) = ；设 ( 1, 1), ( 2, 2)为曲线 = 上两点，且 1 2 = 1，
若 ( , ) < 1 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 2 ，当 = 时 ( )取得极大值．
(1)求 的值；
(2) 3 3求函数 = ( )在 2 , 2 上的最大值与最小值．
16.(本小题 15 分)
某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从 2016
年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码( ) 1 2 3 4 5
新建社区养老机构( ) 12 15 20 25 28
(1)根据上表数据可知， 与 之间存在线性相关关系，用最小二乘法求 关于 的经验回归方程 = + ；
(2)若该地参与社区养老的老人，他们的年龄 近似服从正态分布 (70,9)，其中年龄 ∈ (76,79]的有 321 人，
试估计该地参与社区养老的老人有多少人？

参考公式：线性回归方程 = + ， = =1 ( )
=1 2
， = ．
参考数据： ( 2 ≤ ≤ + 2 ) = 0.9545， ( 3 ≤ ≤ + 3 ) = 0.9973
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin + ．
(1)若 ( )为 R 上的单调函数，求 的取值范围；
(2)若函数 ( ) = 36 + + sin 恰有三个不同的零点，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分
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选对得部分分，有选错的得 0 分．若正确答案为两项，每对一项得 3 分：若正确答案为三项，每对一项得
2 分；
(1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了(不选)和错误判断的概率如下表：
选项 作出正确判断 判断不了(不选) 作出错误判断
0.8 0.1 0.1
0.7 0.1 0.2
0.6 0.3 0.1
0.5 0.3 0.2
若此题的正确选项为 .求学生甲答此题得 6 分的概率：
(2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为 ，正确答案是三个选项的概率为 1 (0 <
< 1).现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ.随机选一个选项；Ⅱ.随机选两个选项．
1
①若 = 2，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得 0 分、得 2 分的概率．
②以本题得分的数学期望为决策依据， 的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
19.(本小题 17 分)
维空间中点的坐标可以表示为 1, 2, 3, , ，其中 ( = 1,2,3, , )为该点的第 个坐标．定义 维空间
1
中任意两点 , , , , ， , , , , 之间的平均离差二乘距离 ( , ) = 21 2 3 1 2 3 =1 .设
维空间点集 = { 1, 2, 3, , | = 0 或 1，其中 = 1,2,3, , }( ≥ 2)．
(1)若 = 3， , ∈ ，且点 (0,1,0)， ( , ) = 23，写出所有的点 的坐标；
(2)任取 维空间中的不同两点 , ∈ ．
( ) 1若 = 4，求 ( , ) = 2的概率；
( )记随机变量 = ( , )，求 2 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.4375
14. 2； ( ∞, 1]
15.解：(1)因为 ( ) = 3 2 ，所以 ′( ) = 3 2 2 1，
因为 = 时 ( )取得极大值；
所以 ′( ) = 3 2 2 2 1 = 0，∴ 2 = 1，∴ =± 1．
①当 = 1 时， ′( ) = 3 2 2 1，
1
由 ′( ) > 0 解得 > 1 或 < ′3；由 ( ) < 0
1
解得 3 < < 1；
所以 ( )在 ∞, 1 13 , [1, + ∞)上单调递增，在 3 , 1 上单调递减；
∴ = = 1 时 ( )取得极小值，不符合题意，所以 = 1 舍去．
②当 = 1 时， ′( ) = 3 2 + 2 1
1 1
由 ′( ) > 0 解得 > 3或 < 1；由
′( ) < 0 解得 1 < < 3；
所以 ( )在( ∞, 1], 13 , + ∞
1
上单调递增，在 1, 3 上单调递减；
∴ = = 1 时 ( )取得极大值，符合题意．
综上可得： = 1．
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(2)由(1)可知， = 1， ( ) = 3 + 2 ，
( ) 3 , 1 1 , 3 1在 2 ， 3 2 上单调递增，在 1, 3 上单调递减；
( ) 3 3 1 5所以 在 2 , 2 上极大值为 ( 1) = 1，极小值为 3 = 27；
又由于 3 = 3 3 332 8 , 2 = 8，
3 3 33 5
函数 = ( )在 2 , 2 上的最大值是 8，最小值是 27．
16.解：(1) 1由题意知 = 5 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3，
= 15 (12 + 15 + 20 + 25 + 28) = 20，
5 =1 = 16 + 5 + 0 + 5 + 16 = 42，
5 2 =1 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10，
所以 = 4210 = 4.2，
= = 20 4.2 × 3 = 7.4，
故所求经验回归方程为 = 4.2 + 7.4；
(2) (76 < ≤ 79) = 0.9973 0.9545由题可知， 2 = 0.0214
该地参与社区养老的老人有 321 ÷ 0.0214 = 15000(人)
该地参与社区养老的老人约有 15000 人.
17.解：(1)若 ( )为 R 上的单调增函数，则 ′( ) = cos + ≥ 0 在 R 上恒成立，
即 ≥ cos 恒成立，
又 cos ∈ [ 1,1]，故 ≥ 1；
若 ( )为 R 上的单调减函数，则 ′( ) = cos + ≤ 0 在 R 上恒成立，
即 ≤ cos 恒成立，
又 cos ∈ [ 1,1]，故 ≤ 1；
综上所述，若 ( )为 R 上的单调函数，则 的范围为( ∞, 1] ∪ [1, + ∞)．
(2) ( ) 定义域为 R，且 ( ) = 6
3 sin = ( )，故 ( )为奇函数，
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又 (0) = 0，
则函数 ( )恰有三个不同的零点，等价于 ( )在(0, + ∞)有一个零点，
又 ′( ) = 22 + 1 + cos ，
令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = sin = ( )，
①由(1)可知，当 ≤ 1 时， ( )为(0, + ∞)上的单调减函数，
又 (0) = 0，故 ( ) ≤ 0 在(0, + ∞)恒成立，故 ′( )在(0, + ∞)单调递减，
′(0) = 2 ′ π = 又 ， 22π < 0，故存在 0 ∈ 0, π ，使得
′ 0 = 0，
则 ′( ) > 0 得 0 < < 0； ′( ) < 0 得 > 0；
则 ( )在 0, 0 上单调递增，在 0, + ∞ 上单调递减，
故当 ∈ 0, 0 ， ( ) > (0) = 0，
π = 又 6π
3 + π ≤ 1π36 + π < 0，故存在 1 ∈ 0, π ，使得 1 = 0，
则 ( )在(0, + ∞)有一个零点；
②当 ≥ 0 时， ( ) = 36 + + sin ≥ + sin ，
令 ( ) = + sin , > 0，则 ′( ) = 1 + cos ≥ 0，则 ( )在(0, + ∞)单调递增，
则 ( ) > (0) = 0，即 ( ) > 0 在(0, + ∞)恒成立，
则 ( )在(0, + ∞)无零点，不符合题意；
③当 1 < < 0 时，令 ( ) = +sin 3 +

6 , > 0，
3sin
′( ) = 1+cos
3 3 2 +sin cos
则 =
2
6 3 ，
令 ( ) = 3sin + , > 0，则 ′( ) = 3cos + 1，
若 ≥ π，则 ( ) = 3sin + ≥ 3 + > 0；
若 0 < < π，令 ′( ) = 0 得 = 2，
则 ′( ) > 0 得 0 < < ； ′2 ( ) < 0 得 2 < < π，
又 (0) = 0, π = π，则 ( ) > 0 3sin 在(0, + ∞)恒成立，即 > 1 在(0, + ∞)恒成立，
因 cos ∈ [ 1,1] 3sin ，则 cos 2 < 1+ 1 2 = 0，则
′( ) < 0，
则 ( )在(0, + ∞)上单调递减，
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因 (1) = 1 + sin1 + 6 > 0，
易知当 1 < < 0 6时， > 2 时，
6 2 +sin 6 6+1 6
则 6 = + < + < 6 3 6 6 3 6 6 3 + = + < 0， 6 6 6
则由零点存在性定理可知， ( )在 1, 6 上存在一个零点，
即 ( )在(0, + ∞)有一个零点；
综上所述， 的取值范围为( ∞,0)．
18.解：(1)设事件 表示“学生答此题得 6 分”，即对于选项 A、 作出正确的判断，且对于选项 B、 作出
正确的判断或判断不了，
所以 ( ) = 0.8 × (0.7 + 0.1) × 0.6 × (0.5 + 0.3) = 0.3072；
(2)①记 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
1
( = 0) = 1 2 1 1 3 1 C3 32 × C1 +4 2
× 1 = 8 , ( = 2) =C4 2
× 1 = 8．C4
②对于方案 ：记 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则 的所有可能取值为 0，2，3，
则 ( = 0) = × 21 + (1 ) ×
1 = 1+ ，
C C14 4 4
1
( = 2) = (1 ) × 31 =
3
4 (1 )， 4
1
( = 3) = × 21 =
1
C4 2
，
1+ 3 1 3
所以 ( ) = 0 × 4 + 2 × 4 (1 ) + 3 × 2 = 2；
对于方案Ⅱ：记 为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则 的所有可能取值为：0，4，6，
2 1
则 ( = 0) = × C4 12 + (1 ) ×
C3 = 1 + 1
C C24 4 3 2
，
C2 C1 ( = 4) = (1 ) × 4 3 12 = 2 (1 )，C4
( = 6) = × 1 1
C2
= 6 ，4
所以 ( ) = 0 × 13 +
1
2 + 4 ×
1
2 (1 ) + 6 ×
1
6 = 2 ；
2 < 3
要使唯独选择方案 最好，则 2
0 < < 1
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1
解得：2 < < 1，故
1
的取值范围为 2 , 1 ．
19.解：(1) 1 2由定义可知， ( , ) = 23 0 1 + 1
2
2 + 0 23 = 3。
即 2 2 21 + 1 2 + 3 = 2，且 1, 2, 3 ∈ 0,1 ，
所以解得满足方程的 点坐标为：(0,0,1), (1,0,0), (1,1,1)
(2)( )(固定点 )：设点 1, 2, 3, 4 , 1, 2, 3, 4 ，
14 2 = 1因为 2 + 2 2 2 14 =1 4 1 1 2 2 + 3 3 + 4 4 = 2，
因为 = 0 或 1， = 0 或 1，
所以 1 21 , 2 22 , 2 23 3 , 4 4 中有两项等于 0，两项等于 1，
所以满足条件的所有可能情况有C24 = 6，
因为两不同点 , 所有可能情况共有24 1 = 15 种，
所以 ( , ) = 1 6 22的概率 = 15 = 5．
( ) 设随机变量 = ( , ) = ，其中 = 1,2,3, , ,
= = C

因为 2 1，
2 C 1
所以 2 = = C1 + 22 2 2 3 =1 2 1 2 2 1 C + 3 C + +
2C ，
因为(1 + ) = C0 + C1 + C2 2 + C3 3 + + C ，
两边同时求导，得 (1 + ) 1 = C1 + 2C2 + 3C3 2 + + C 1 ，
上式两边同乘 ，求导得
(1 + )(1 + ) 2 = C1 + 22 2 C + 32C2 2 + + 2C 1 1 ，
令 = 1，得C1 + 22C2 + 32C3 2 2 + + C = ( + 1)2 ，
2 2 1+1
所以 2 = ( +1)2 = ( +1)2 = ( +1)2 = 2 2 1 2 1 4 2 1 ，4 1 12
( +2)2 1 ( +1)2 2 2 2 2 +1 2
因为( +1) 2 +1 1 2 1 =
+ +2 1
( +1) 2 1 2 +1 1 < 0，
所以 2 单调递减，
因为 ≥ 2，
1 1
所以 2 ∈ 4 , 2 ．
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