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2024-2025 学年天津经济技术开发区第二中学（滨海泰达中学）高二下
学期期中考试数学试卷
一、单选题：本大题共 12 小题，共 60 分。
1.函数 ( ) = 2在[1,2]上的平均变化率为( )
A. 1 B. 94 C. 3 D. 4
2.如图，已知函数 ( )的图象在点 2, (2) 处的切线为 ，则 (2) + ′(2) =( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 2
3.下列各式正确的是( )
′
A. sin π = cos π
′
B. (cos )′ = sin C. 5 = 1 6 D. (ln2 )′ = 18 8 5
4.要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为( )
A. 10 B. 8 C. 6 D. 5
5.某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共 4 种奶制品，无花果干、
杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共 6 种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共 7
种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同的选
购方法种数为( )
A. 94 B. 168 C. 276 D. 279
6.永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建
筑的一朵奇葩. 2008 年 7 月，成功列入世界遗产名录.它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧.土楼具
体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七
种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻.
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则共有( )种不同的排法．
A. 480 B. 240 C. 384 D. 1440
27.方程C 16 = C5 516 的解集是( )
A. 1,3 B. 1,5 C. 1,3,5 D. 1,3,5,7
8.已知( + 1)7 = 0 + 1( + 3) + 22( + 3) + + 7( + 3)7，则 0 + 1 + + 7 =
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
9.已知(3 1) 展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则(3 1) 展开式中 2的系数为( )
A. 252 B. 252 C. 28 D. 28
10.某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽题到第
2
三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是3，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为( )
A. 227 B.
3
13 C.
2 2
13 D. 9
11.若函数 ( ) = 1 1 + + 2ln 在 2 , 2 上有极值，则 的取值可能是( )
A. 1 B. 12 C. 0 D. 1
12.定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足 ′( ) > + 1，且 (5) = ln 5e5 ，则不等式 e > e + 的解集为
( )
A. (10, + ∞) B. ln5, + ∞ C. ln10, + ∞ D. (5, + ∞)
二、填空题：本大题共 8 小题，共 40 分。
13.已知离散型随机变量 的分布列如下表，则 = ．
0 1 2 3
1 1 1
3 12 2
14.函数 ( ) = 13
3 2 3 + 2 在[ 2,0]上的最小值为 ．
15. 35 38 = , 1010 89 8 8 78 7 =
2 916.在 的二项展开式中，常数项为 . (用数字作答)
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17.石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文
风”、“魁星阁”、“银杏大道”4 处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件 为“4 个人去
的景点各不相同”，事件 为“只有甲去了锦水文风”，则 ( ) = ， = ．
18 1 1.设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产2，乙 丙两厂各生产4，而且各厂的次品率依次
为 2％, 2％, 4％，现从中任取一件，则取到次品的概率为 ．
19.现有含甲在内的 6 名志愿者到 , , ，3 个村庄开展防电信诈骗宣传活动，向村民普及防诈骗、反诈骗
的知识.要求每名志愿者只能选择一个村庄，且每个村庄均有人选择，若甲不单独选择一个村庄，则不同选
择方案的种数为 . (用数字作答)
, ≥ 0
20.已知函数 ( ) = e ，若关于 的方程 ( ) + = 0 有 3 个不同实根，则实数 取值范围
3 3, < 0
为 ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21.已知 2 + 1 的展开式中的所有二项式系数之和为 32．
(1)求 的值；
(2)求展开式中 4的系数．
22.某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得 10 分，回答不正确得 0 分，
2
第三个问题回答正确得 20 分，回答不正确得 10 分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是3，回
1
答第三个问题正确的概率为2，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于 10
分就算闯关成功．
(1)求至少回答正确一个问题的概率；
(2)求这位同学回答这三个问题的总得分 的分布列．
23.已知函数 ( ) = ln ， ( ) = 2 ∈ R ，
(1)求 ( )的单调区间和极值点；
(2)求使 ( ) ( )恒成立的实数 的取值范围．
24.已知函数 ( ) = 2ln + 2 2 ( > 0)．
(1)讨论函数 ( ) = ( ) 2 的单调性；
(2)设 1, 2 1 < 2 是函数 ( )的两个极值点，证明： 1 2 < (2 1) 1 2 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 512
14.4 13/1 3
15.4；0
16. 672
17. 3 232 ； 9
18.0.025/ 140
19.450
20. 1e , 0
21.解：(1)由题意可得，2 = 32，解得 = 5；
5
(2) 2 + 1 =
2 + 1 ，
1
二项展开式的通项为 = C 2 5 = C 10 3 +1 5 5
由 10 3 = 4，得 = 2．
∴展开式中 4的系数为C25 = 10．
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22.解：(1)设至少回答正确一个问题为事件 ，则 ( ) = 1 13 ×
1
3 ×
1 = 172 18；
(2)这位同学回答这三个问题的总得分 的所有可能取值为 10，0，10，20，30，40，
( = 10) = 1 × 1 × 1 = 1所以 3 3 2 18， ( = 0) =
2 × 13 3 ×
1
2 × 2 =
2
9，
( = 10) = 23 ×
2 1 2
3 × 2 = 9， ( = 20) =
1 × 1 1 13 3 × 2 = 18，
( = 30) = 23 ×
1 1
3 × 2 × 2 =
2
9， ( = 40) =
2 2 1 2
3 × 3 × 2 = 9，
随机变量 的分布列是
10 0 10 20 30 40
1 2 2 1 2 2
18 9 9 18 9 9
23.解：(1)因为 ( ) = ln ( > 0)，所以 ′( ) = ln + 1．
由 ′( ) > 0 > 1e；由
′( ) < 0 0 < < 1e．
( ) 0, 1 1所以函数 在 e 上单调递减，在 e , + ∞ 上单调递增．
所以函数 ( )有极小值点： = 1e .没有极大值点．
(2)由 ( ) ( )恒成立 2 ( > 0)恒成立．
≥ 1+ln 即 ( > 0)恒成立．
设 ( ) = 1+ln ( > 0)，则
′( ) = ln 2．
由 ′( ) > 0 0 < < 1；由 ′( ) < 0 > 1．
所以 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减．
24.解：(1)由题知： ( ) = 2ln + 2 2( + 1) ( > 0)．
′( ) = 2 + 2 2 2 = 2( 1)( 1) ( > 0)，
令 ′( ) = 0 1得 = 或 = 1，
当 0 < < 1 时，0 < < 1 或 > 1 ′ ， ( ) > 0， ( )单调递增；
1 < < 1 ，
′( ) < 0， ( )单调递减；
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当 = 1 时， ′( ) ≥ 0， ( )单调递增；
当 > 1 时，0 < < 1 或 > 1，
′( ) > 0， ( )单调递增．
1 ′
< < 1， ( ) < 0， ( )单调递减．
1
综上，当 0 < < 1 时， ( )在区间(0,1)和 , + ∞
1
上单调递增，在 1, 上单调递减；
当 = 1 时， ( )在区间(0, + ∞)上单调递增；
当 > 1 时， ( ) 1 1在区间 0, 和(1, + ∞)上单调递增，在 , 1 上单调递减．
2
(2)由题意可知， ′( ) = 2 + 2 2 =
2 2 +2
，
∵ ( )有两个极值点 1, 2 1 < 2 ，∴ 1, 2是 2 2 2 + 2 = 0 的两正根，
则 = 4 16 > 0 1 1，且 1 + 2 = 1 2 = > 0, ∴ = 1+ ．2
∴ 1 2 = ln 21 + 21 2 1 ln 22 + 22 2 2
= 2ln 1 + 2 1
2
2 2 1 2 ．
2
2 2
= 2ln 1 + 1 2 + 2 1 2 = 2ln
1
1 2 ，2 1 2 2
∴要证 1 2 < (2 1) 1 2 ，

即证 2ln 1 1 1 2 < (2 1) 1 2 ， 即证 ln < 1 2 ，2 2
1 1
即证 ln 1 < 1 2 ln 1 ，即证 <
2
，
2 1+ 2 2 1 +12
令 = 1 (0 < < 1)
1
，则证明 ln <
2 +1
，
2
令 ( ) = ln 1 ′ +1 +1，则 ( ) = ( +1)2 > 0，∴ ( )在(0,1)上单调递增，
则 ( ) < (1) = 0 1，即 ln < +1，
所以原不等式 1 2 < (2 1) 1 2 成立．
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