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抢分秘籍10 几何图形中的最值问题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】几何图形中的单线段最值问题 【题型二】几何图形中的面积最值问题
【题型三】几何图形中将军饮马最值问题 【题型四】几何图形中胡不归最值问题
【题型五】几何图形中阿氏圆最值问题 【题型六】几何图形中瓜豆原理最值问题
：几何图形中的最值问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，属高频考点，常现于填空、选择及解答压轴题，多与三角形、四边形、圆结合，侧重线段、面积最值。
2．从题型角度看，含线段最短（如将军饮马）、面积、周长最值，以几何图形动态或函数关联形式呈现，需用轴对称等转化。
：在中考数学备考中，熟掌握军饮马、胡不归等模型，强化动态分析与转化思想，结合代数（二次函数）与几何法，多练综合题，总结通解通法。
【题型一】几何图形中的单线段最值问题
【例1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，点P为上一动点，连接，则长的最小值为 ．
单线段最值解题技巧：先分析动点轨迹（直线或圆）。若轨迹为直线，用“垂线段最短”或轴对称（如将军饮马模型）转化；若为圆，利用“点圆距离”（定点到圆心距离±半径）。借助几何变换（平移、旋转等）或三角形三边关系（两边和差）确定最值位置，注意结合图形动态分析端点与临界状态。
【例2】（2025·广东韶关·一模）如图，在中，，，M为斜边上一动点，过点作交于点，交于点，则线段的最小值为 ．
【变式1】（2025·河南安阳·模拟预测）如图，菱形中，点O为对角线的中点，点P为平面内一点，且，已知，．连接，则的最小值为 ，最大值为 ．
【变式2】（2025·江苏连云港·一模）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结，当点在直线上运动时，求线段的最小值？
【变式3】（2025·安徽合肥·一模）如图1，菱形中，，，点，分别在边，上，．
(1)求证：；
(2)求的最小值；
(3)如图2，线段的中点是点，连接，，求四边形的面积．
【题型二】几何图形中的面积最值问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·一模）【问题提出】
（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ；
【问题探究】
（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积；
【问题解决】
（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．

面积最值解题技巧：先固定底或高，将问题转化为单线段最值（如高的最值）；或设变量建立二次函数模型，利用顶点式求极值；动态问题中分析动点轨迹，结合几何性质（如平行线间距离不变）判断最值位置；还可利用三角函数表达面积（如S=absinθ），通过角度或边长最值求解，注意定义域与图形临界状态。
【例2】（新考法，拓视野）（2024·陕西咸阳·一模）问题提出：
（1）如图①，的半径为4，弦，则点O到的距离是_____________．
问题探究：
（2）如图②，的半径为5，点A、B、C都在上，，求面积的最大值．
问题解决：
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，的直径为，等边的边是的弦，顶点P在内，延长交于点C，延长交于点D，连接．现准备在和区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积的最小值）
【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ．
【变式1】（2025·安徽·二模）如图，在中，，，点是边上一点，连接，已知，点是射线上的一个动点，点是线段上一点，且，连接．
（1） ；
（2）的面积最大值为 ．
【变式3】（2025·陕西西安·三模）（1）问题提出：如图①，在平行四边形中，，．E，H分别是，的中点，点F在上，且，点G在上，且，求四边形的面积（结果保留根号）；
（2）问题解决：如图，某市有一块五边形空地，现规划在空地内部修建一个四边形公园，使点O，P，M，N分别在边，，，上，且满足，．已知在五边形中，，，，，为使游客更好的放松游玩，公园的边，且面积尽可能大．请问是否存在符合设计要求的面积最大的四边形？若存在，求出四边形面积的最大值及此时点到点A的距离；若不存在，请说明理由．
【题型三】几何图形中将军饮马最值问题
【例1】（2025·广东·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E在上，且，P是对角线上一动点，则周长的最小值为 ．
将军饮马模型：条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（2）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（3）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 将军饮马模型： 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。
【例2】（2025·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，，，点，在上，连接，．若，则的最小值为 ．

【变式1】（2025·山东滨州·一模）如图，在矩形中，，点，是对角线上的两点，，点是的中点，则的最小值为 ．
【变式2】（2025·陕西·模拟预测）如图，点为矩形内一点，过点作，垂足为，连接、，若，，则的最小值为 ．
【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出
（1）如图1，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为_______；
问题探究
（2）如图2，在平行四边形中，，是边上的动点，且，则的最小值是多少？
问题解决
（3）如图3是夹角为的港湾，岸上有一个码头，湾内有个小岛，小岛与的距离为，与的距离为．现拟在岸上设置三处游客接驳点，点在上，点在上，且为了游客方便及安全，之间的距离为，客船从码头出发，沿前行，最终到达小岛，请问，根据两岸接驳点的安排，是否存在最短的运输路线？若存在，请求出最短运输路线长；若不存在，请说明理由．
【题型四】几何图形中胡不归最值问题
【例1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于 .
一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。
【例2】如图，中，，，是的边上的高，点是上动点，则的最小值是 ．
【变式1】（2024·河南漯河·一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【变式2】（2024·广东广州·二模）如图，在菱形中，，点E为线段上一个动点，边关于对称的线段为，连接．
(1)当平分时，的度数为 ．
(2)延长，交射线于点G，当时，求的长．
(3)连接，点H为线段上一动点（不与点A，C重合），且，求的最小值．
【变式3】（2024·广东广州·一模）如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．

(1)求证：；
(2)当的长度最大时，
①求的长度；
②在内是否存在一点P，使得的值最小 若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．
【题型五】几何图形中阿氏圆最值问题
【例1】（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题
【例2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC PB的最大值．
【题型六】几何图形中瓜豆原理最值问题
【例1】（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 .
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
【例2】（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．

【变式1】（24-25九年级上·湖北荆州·期中）在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为 ．
【变式2】（24-25九年级下·河南信阳·开学考试）如图，已知正方形的边长为2，另一边长为的正方形的中心与点重合，连接，设的中点为，连接，当正方形绕点旋转时，的最小值为 ，最大值为 ．
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【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】几何图形中的单线段最值问题 【题型二】几何图形中的面积最值问题
【题型三】几何图形中将军饮马最值问题 【题型四】几何图形中胡不归最值问题
【题型五】几何图形中阿氏圆最值问题 【题型六】几何图形中瓜豆原理最值问题
：几何图形中的最值问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，属高频考点，常现于填空、选择及解答压轴题，多与三角形、四边形、圆结合，侧重线段、面积最值。
2．从题型角度看，含线段最短（如将军饮马）、面积、周长最值，以几何图形动态或函数关联形式呈现，需用轴对称等转化。
：在中考数学备考中，熟掌握军饮马、胡不归等模型，强化动态分析与转化思想，结合代数（二次函数）与几何法，多练综合题，总结通解通法。
【题型一】几何图形中的单线段最值问题
【例1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，点P为上一动点，连接，则长的最小值为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，作于点E，则，因为，所以，则，由，求得，则，所以长的最小值为，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点E，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴长的最小值为，
故答案为：．
单线段最值解题技巧：先分析动点轨迹（直线或圆）。若轨迹为直线，用“垂线段最短”或轴对称（如将军饮马模型）转化；若为圆，利用“点圆距离”（定点到圆心距离±半径）。借助几何变换（平移、旋转等）或三角形三边关系（两边和差）确定最值位置，注意结合图形动态分析端点与临界状态。
【例2】（2025·广东韶关·一模）如图，在中，，，M为斜边上一动点，过点作交于点，交于点，则线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短及勾股定理等知识，把求的最小值转化为求的最小值是解题的关键；连接；易得四边形是矩形，则，当时，最小，从而最小；利用面积相等即可求得的最小值，从而求得的最小值．
【详解】解：如图，连接；
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴；
当时，最小，从而最小；
由勾股定理得：，
∴，
∴，
即的最小值为；
故答案为：．
【变式1】（2025·河南安阳·模拟预测）如图，菱形中，点O为对角线的中点，点P为平面内一点，且，已知，．连接，则的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】 / /
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的性质结合勾股定理求得，当点，点，点O在同一直线上时，有最小值或最大值，据此求解即可．
【详解】解：连接，
∵点O为对角线的中点，
∴经过点O，
∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴点在以点O为圆心，长度为的，
∴当点，点，点O在同一直线上时，有最小值或最大值，
当点在点上方时，有最小值为；
当点在点下方时，有最大值为；
故答案为：；．
【变式2】（2025·江苏连云港·一模）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结，当点在直线上运动时，求线段的最小值？
【答案】
【知识点】利用菱形的性质求线段长、已知余弦求边长、含30度角的直角三角形、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】过点作于点，作于点，作于点，点四点共圆，四边形是矩形，，，，由此即可求解．
【详解】解：过点作于点，作于点，作于点，
，
点四点共圆，
，
，
，
，
四边形是矩形，，
，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，特殊角的直角三角形的计算，圆的基础知识，理解垂线段最短的计算方法，合理作出辅助线是关键．
【变式3】（2025·安徽合肥·一模）如图1，菱形中，，，点，分别在边，上，．
(1)求证：；
(2)求的最小值；
(3)如图2，线段的中点是点，连接，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】利用菱形的性质求线段长、已知正弦值求边长、y=ax +bx+c的最值、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质，三角函数，
（1）由，所以．因为是菱形，且，所以与都是正三角形，从而，，故．
（2）解：过作延长线的垂线，交于点，设，则，根据勾股定理，得，所以当时，有最小值为．
（3）解：方法一：过点作边的垂线，交与点，交于点．再过点向边所在的直线作垂线，交的延长线于点．设，则，可得四边形的面积．方法二：取中点，连接，过作于，得，求出，，可得四边形的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴与都是正三角形，
∴，，
∵
∴，
∴；
（2）解：过作延长线的垂线，交于点，设，则．
∵，
∴，，
∴．
在中，据勾股定理，得
，
∴当时，有最小值为．
（3）解：方法一：过点作边的垂线，交于点，交于点．再过点向边所在的直线作垂线，交的延长线于点．设，则，
∵线段的中点是点，
∴．
故．
过点作边的垂线，交于点．
同理可得，
∴四边形的面积．
方法二：取中点，连接，过作于，
则，
∵，
所以，
同理：，
∴．
【题型二】几何图形中的面积最值问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·一模）【问题提出】
（1）如图1，已知在边长为5的等边中，点D在边上，，连接，则的面积为 ；
【问题探究】
（2）如图2，已知在边长为6的正方形中，点E在边上，点F在边上，且，若，求的面积；
【问题解决】
（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中B、F分别在边上（不与B、C、D重合），且，为了减少对该路段的拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）如图所示，过点A作于E，利用等边三角形的性质得到，再利用勾股定理得到，即可利用求出答案；
（2）如图所示，延长到G使得，连接，证明，得到，再证明，得到，，则；
（3）把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，则，；过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，则，解直角三角形得到，进而得到，即，则当的面积最小时，的面积最小；如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，过点O作于H，设，由圆周角定理得到，则，推出，由于，则当r最小时，的面积最小，故当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为，则，即存在一个面积最小的，其最小值为．
【详解】解：（1）如图所示，过点A作于E，
∵是边长为5的等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

（2）如图所示，延长到G使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴；

（3）把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，
∴，
∵，
∴，
过点E作于M，作于N，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当的面积最小时，的面积最小；
如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接，过点O作于H，设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当r最小时，的面积最小，
∵，
∴，
∴，
∴当A、O、H三点共线时，有最小值，最小值为，
∴，
∴存在一个面积最小的，其最小值为．

面积最值解题技巧：先固定底或高，将问题转化为单线段最值（如高的最值）；或设变量建立二次函数模型，利用顶点式求极值；动态问题中分析动点轨迹，结合几何性质（如平行线间距离不变）判断最值位置；还可利用三角函数表达面积（如S=absinθ），通过角度或边长最值求解，注意定义域与图形临界状态。
【例2】（新考法，拓视野）（2024·陕西咸阳·一模）问题提出：
（1）如图①，的半径为4，弦，则点O到的距离是_____________．
问题探究：
（2）如图②，的半径为5，点A、B、C都在上，，求面积的最大值．
问题解决：
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，的直径为，等边的边是的弦，顶点P在内，延长交于点C，延长交于点D，连接．现准备在和区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积的最小值）
【答案】（1）2；（2）；（3）
【分析】（1）作交于点C，连接，由垂径定理可知，利用勾股定理即可求出答案；
（2）作交于点D，连接，使面积最大，则应最大，即当经过圆心O的时候取值最大，由垂径定理以及勾股定理求出，得到，即可求出答案；
（3）设，则，证明是等边三角形，进一步得到，根据二次函数的性质得到当时，有最小值，此时点P与点O重合，则是的直径，求出的最小值为，用圆面积减去的最小值即可得到答案．
【详解】（1）解：作交于点C，连接，
∵，
由垂径定理可知：，
∵，
∴；
即点O到的距离是2，
故答案为：2
（2）作交于点D，连接，
∵，若使面积最大，则应最大，
∴当经过圆心O的时候取值最大，
由垂径定理可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即面积的最大值为．
（3）设，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴当时，有最小值，
∴
∴，
∴此时点P与点O重合，则是的直径，
∴
此时，即的最小值为，
∴草坪的最大面积为．
【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理、求角的正切值、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长
【分析】由勾股定理得，，由，可知四点共圆，则，如图，作的外接圆 ，过作于，过作于，连接，由，可求，由，可得，则，，设，则，，由勾股定理得，，由，可得，可求，则，根据，求解作答即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
如图，作的外接圆 ，过作于，过作于，连接，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴在点P的运动过程中，面积的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，四点共圆，同弧所对的圆周角相等，外接圆，圆周角定理，垂径定理，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，四点共圆，同弧所对的圆周角相等，外接圆，圆周角定理，垂径定理，正切是解题的关键．
【变式1】（2025·安徽·二模）如图，在中，，，点是边上一点，连接，已知，点是射线上的一个动点，点是线段上一点，且，连接．
（1） ；
（2）的面积最大值为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、y=ax +bx+c的最值、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由，设，则，，然后由勾股定理得出，然后解方程即可；
（）过点作于，则，证明，所以，即，设，则，得出，，故有，然后根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（）由，，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，，
故，
故答案为：；
（）过点作于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，且对称轴为直线，
∴当时有最大值为，
故答案为：．
【变式3】（2025·陕西西安·三模）（1）问题提出：如图①，在平行四边形中，，．E，H分别是，的中点，点F在上，且，点G在上，且，求四边形的面积（结果保留根号）；
（2）问题解决：如图，某市有一块五边形空地，现规划在空地内部修建一个四边形公园，使点O，P，M，N分别在边，，，上，且满足，．已知在五边形中，，，，，为使游客更好的放松游玩，公园的边，且面积尽可能大．请问是否存在符合设计要求的面积最大的四边形？若存在，求出四边形面积的最大值及此时点到点A的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，面积最大值为，此时点到点的距离为．
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质与判定求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，二次函数的应用，解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，过点E作，垂足为，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，交于点，根据平行四边形的性质可得，然后利用锐角三角函数的定义分别求出，最后利用平行四边形的面积的面积的面积的面积的面积进行计算即可解答；
（2）延长交于点，则四边形为矩形，，
得到，设，则，得到求得，，即可求解．
【详解】解：（1）过点作，垂足为，过点E作，垂足为，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，交于点，如图：
∵四边形是平行四边形，
．．，
，，
∵分别是的中点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∴
；
∴四边形的面积为；
（2）延长交于点，则四边形为矩形，如图：
∴，，
∵，
∴，，
∴，
，
设，则，
，即
，
∴，
，
，
∴当时，四边形面积的最大，最大值为
此时，
∴存在面积最大的四边形，最大值为，此时点到点的距离为．
【题型三】几何图形中将军饮马最值问题
【例1】（2025·广东·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点E在上，且，P是对角线上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了最短距离问题，涉及正方形性质、勾股定理、两点之间线段最短，连接，，先证明的最小值就是线段的长，利用勾股定理求出，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
∵四边形是正方形，
∴A、C关于对称，
∴，
∴，
在中，
∵，，，
∴．
∴，
∴的最小值为5，
∴周长的最小值为；
故答案为：6．
将军饮马模型：条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（2）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（3）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 将军饮马模型： 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。
【例2】（2025·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，，，点，在上，连接，．若，则的最小值为 ．

【答案】
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．通过添加辅助线构造平行四边形是解题的关键．
作，，构造平行四边形，推出，，可得，当点G，F，C共线时等号成立，的最小值等于，结合菱形的性质，勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，作，，菱形的对角线交于点O，
菱形中，，，
，，
，
．
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
当点G，F，C共线时等号成立，的最小值等于，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
【变式1】（2025·山东滨州·一模）如图，在矩形中，，点，是对角线上的两点，，点是的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质求线段长、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形
【分析】取的中点，连接．根据点是边上的中点，则，推出四边形是平行四边形，所以，因此，当、、三点在同一直线上时，最小，即，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，取的中点，连接．
∵点是边上的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
∴，
∴，
∴当、、三点在同一直线上时，最小，
在中，由勾股定理得，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称，三角形中位线，平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质,掌握平行四边形的性质与矩形的性质是解题的关键．
【变式2】（2025·陕西·模拟预测）如图，点为矩形内一点，过点作，垂足为，连接、，若，，则的最小值为 ．
【答案】/
【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了图形中求最短距离的问题．将绕点顺时针旋转，得到，连接、，由旋转可得和均为等边三角形，，则，当、、、在同一直线上时，取最小值，其最小值为点到的距离，求点到的距离即可得出结论．
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，
由旋转可得和均为等边三角形，
∴，
∴，
当、、、在同一直线上时，取最小值，其最小值为点到的距离，
设交于点，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出
（1）如图1，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为_______；
问题探究
（2）如图2，在平行四边形中，，是边上的动点，且，则的最小值是多少？
问题解决
（3）如图3是夹角为的港湾，岸上有一个码头，湾内有个小岛，小岛与的距离为，与的距离为．现拟在岸上设置三处游客接驳点，点在上，点在上，且为了游客方便及安全，之间的距离为，客船从码头出发，沿前行，最终到达小岛，请问，根据两岸接驳点的安排，是否存在最短的运输路线？若存在，请求出最短运输路线长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）的最小值是；（3）存在最短的运输路线，最短运输路线长
【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、含30度角的直角三角形、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查线段和差的最值问题，涉及对称的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点；
（1）延长至，使，连接，，，得到垂直平分，，则，，得到，当三点共线时，最小，在中利用勾股定理求解即可；
（2）如图，作点关于的对称点，交延长线于，在线段上取一点，使，连接，，，先证明四边形是平行四边形，得到，根据点关于的对称点，得到， ，则，当、、三点共线时，最小，中利用勾股定理求解即可；
（3）过作，，连接，得到四边形是平行四边形，，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、，则，，得到，当、、、四点共线时，最小，中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图，延长至，使，连接，，，则，
∵，
∴垂直平分，，
∴，，
∴，
∴当三点共线时，最小，
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
中，，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）如图，作点关于的对称点，交延长线于，在线段上取一点，使，连接，，，
∵在平行四边形中，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，，，
∴，
∵点关于的对称点，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴当、、三点共线时，最小，
中，，，则，
∴，，
中，，，
∴，
∴的最小值是；
（3）存在最短的运输路线；
过作，，连接，如图
∴四边形是平行四边形，
∴，
如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、，则，，
∴，
∴当、、、四点共线时，最小，
过作于，于，交于，过作于，于，则四边形、都是矩形，
∴，，，，
∵小岛与的距离为，与的距离为，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即在上，
∵，点关于的对称点，
∴，，，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
中，，，
∴，，
∴，
∵中，，，
∴，
∴最小值为，
即最短运输路线长为.
【题型四】几何图形中胡不归最值问题
【例1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于 .
【答案】
【知识点】垂线段最短、两直线平行同位角相等、利用平行四边形的性质求解、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，锐角三角形函数的应用，垂线段最短等知识，根据题意添加合适的辅助线是解题的关键．
过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为，
∵，
∴，
故答案为：．
一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。
【例2】如图，中，，，是的边上的高，点是上动点，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查垂线段最短，涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识．过点作于点，由勾股定理得．继而证明当、、三点共线且时，的值最小为．由等腰三角形腰上的高相等，解出的长，即为的长．
【详解】解：，，
．
过点作于点，由勾股定理得．
．
当、、三点共线，且时，
的值最小为．
中，，，，
由等腰三角形腰上的高相等，
，
在中，．
故．
故答案为：．
【变式1】（2024·河南漯河·一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形
【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理和解直角三角形，过作，由四边形矩形，得，，根据三角函数得，则，再由角所对直角边是斜边的一半可得，即有，当三点共线时，取得最小值，最后由三角函数即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：过作，
∵四边形矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴当三点共线时，取得最小值，
∵，
∴，
在中，，
即的最小值为，
故答案为：．
【变式2】（2024·广东广州·二模）如图，在菱形中，，点E为线段上一个动点，边关于对称的线段为，连接．
(1)当平分时，的度数为 ．
(2)延长，交射线于点G，当时，求的长．
(3)连接，点H为线段上一动点（不与点A，C重合），且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）由折叠的性质可得，由角平分线的性质可得，即，最后结合即可解答；
（2如图：过E作于其延长上点H，延长交于M设，连接；由折叠的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点可得；再说明，根据直角三角形的性质及勾股定理可得，、，然后证明，根据相似三角形的性质列式计算可得，最后根据线段的和差即可解得；
（3）如图：过B作，根据菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理可得；如图：过B作交延长线于F，可得；再证明四边形是平行四边形可得、，再证明易得，即，然后求得的最小值即可．
【详解】（1）解：∵边关于对称的线段为，
∴，
∵边关于对称的线段为，
∴，
∴，
∵，
∴，即，解得：．
故答案为：．
（2）解：如图：过E作于其延长上点H，延长交于M
设，连接
由轴对称的性质可得：，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∵
∴即
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
（3）解：如图：过B作，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
如图：过B作交延长线于F，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
当D、E、F三点不共线时，，
当D、E、F三点共线时，，
∴，即，
∴的最小值为8．
【变式3】（2024·广东广州·一模）如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．

(1)求证：；
(2)当的长度最大时，
①求的长度；
②在内是否存在一点P，使得的值最小 若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②存在，最小值是
【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）根据矩形的性质，先证，利用相似三角形的性质准备条件，再证即可；
（2）①先确定当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，并画出图形，在中求出的长，最利用的性质求解即可；②将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到, 且使，连接，过P作于S，过点L作垂直的延长线于点Q，确定，当C、P、K、L四点共线时，的长最小，再根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，，
∴，
∵矩形和矩形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，，
即，，
∴
（2）∵，
∴当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，如图所示：

此时，，
①∵，，
∴，，
在中，，，
∴，
由（1）得：，
∴， 即，
∴；
②如图，将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到, 且使，连接，

由旋转可得：，
∴，
∴，
∴,
过P作于S，则 ，，
∴，则 ，
∴，
∴，
∵，即，
当C、P、K、L四点共线时，的长最小，
由题意，，， ，，
过点L作垂直的延长线于点Q，
，
∴，，
则，
在中，根据勾股定理得，
∴的最小值为.
【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键.
【题型五】几何图形中阿氏圆最值问题
【例1】（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题
【例2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】根据题意可得：点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，在上取一点，使，连接，由矩形的性质可得，，推出，证明，得到，推出，即当、、共线时，取最小值，最小值为，最后根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，在上取一点，使，连接，
矩形中，，，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
当、、共线时，取最小值，最小值为，
，
故选:B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，勾股定理，线段和最短问题，解题的关键是正确作出辅助线．
【变式1】（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC PB的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）10；（3）
【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；
（2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC PB的最大值．
【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ AB=4．∴．
又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ；
（2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小．
∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10．
（3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，∴2PC PB=2PC 2PQ=2(PC PQ) ，
∵PC PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC PQ的值最大．
∵QC= =，∴2PC PB=2(PC PQ)≤2．∴2PC PB的最大值为2．
【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决．
【题型六】几何图形中瓜豆原理最值问题
【例1】（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 .
【答案】//
【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论．
【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．
∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴点Q在射线上运动，
∵，∴，∵，∴．据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动．
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
【例2】（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．

【答案】/
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题．连接，证明，得到，点在以为圆心，2为半径的上，当在对角线延长线上时，最大，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值．
【详解】解：连接，∵正方形，∴，，

∵将绕点逆时针旋转得到，∴，，∴，
∴，∴，∴点在以为圆心，2为半径的上，
如图，当在对角线延长线上时，最大，
在中，，∴，
即长度的最大值为，故答案为：．
【变式1】（24-25九年级上·湖北荆州·期中）在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，将线段绕点顺时针旋转得，得，将线段绕点顺时针旋转得，得，证明，得判断要使最大，则三点共线时最大，最大值为，根据勾股定理可求出即可得出结论
【详解】解：∵在平面内，且，
∴在以为圆心，3为半径的圆上，如图，
将线段绕点顺时针旋转得，
∴，
将线段绕点顺时针旋转得，
∴，
∴
∴
∴，
∴
∴在点为圆心，3为半径的圆上，
要使最大，则三点共线时最大，最大值为；
∵四边形是矩形，
∴
∵
∴
∴，
∴
∴
∴的最大值为，
故答案为：．
【变式2】（24-25九年级下·河南信阳·开学考试）如图，已知正方形的边长为2，另一边长为的正方形的中心与点重合，连接，设的中点为，连接，当正方形绕点旋转时，的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形中位线、旋转变换、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．在的延长线上截取，连接，易知是的中位线，即，再由旋转的性质，可知在以点为圆心，半径为1的圆上，当点在线段与的交点处时，最小，即最小；当点在线段的延长线与的交点处时，最大，即最大，然后求解即可．
【详解】解：如图1，在的延长线上截取（即是的中点），连接，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
由旋转的性质，可知在以点为圆心，半径为1的圆上，
如图2，当点在线段与的交点处时，最小，即最小，
此时，，
∴，即的最小值为；
如图3，当点在线段的延长线与的交点处时，最大，即最大，
此时，
∴，即的最大值为，
综上所述，的最小值为，最大值为．
故答案为：；．
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