2025年中考数学(通用版)冲刺高分训练专题12几何图形中的课本再现问题(六大题型)(学生版+解析)

资源下载
  1. 二一教育资源

2025年中考数学(通用版)冲刺高分训练专题12几何图形中的课本再现问题(六大题型)(学生版+解析)

资源简介

抢分秘籍12 几何图形中的课本再现问题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略,精选名校模拟题,讲解通关策略(含押题型)
【题型一】三角形中的课本再现问题 【题型二】平行四边形中的课本再现问题
【题型三】矩形中的课本再现问题 【题型四】菱形中的课本再现问题
【题型五】正方形形中的课本再现问题 【题型六】圆中的课本再现问题
:几何图形中的课本再现问题综合题是全国中考的热点内容,更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1.从考点频率看,高频考点为圆切线性质、特殊四边形(矩/菱/正方)证明计算、全等/相似三角形、几何变换(旋转/平移),占比15%-20%,新定义题型(如“准互余图形”)近年增多,侧重知识迁移。
2.从题型角度看,选择填空考基础概念(如轴对称识别、角度计算);解答题含课本例题改编的证明(如切线证明)、计算(扇形面积)、综合探究(函数+几何动态)及实际应用题(测量建模)。
:回归课本吃透例题推导,对习题变式训练;掌握“手拉手”等模型,总结解题模板;规范步骤防跳步,建错题本分类复盘;限时训练基础题,分析真题把握新定义趋势,提升图形拆分能力。
【题型一】三角形中的课本再现问题
【例1】(2025·江西九江·模拟预测)追本溯源
题(1)来自课本中的习题,请你完成解答,并利用(1)中得到的结论解答题(2).
(1)如图1,在中,,,垂足为D.
求证:.
结论应用
(2)如图2,在菱形中,过点C作,交的延长线于点E,过点E作,垂足为F,且交于点G.
①若,,求的长;
②若,,求的长.
三角形课本再现题解题技巧:先判定理(全等/相似、特殊三角形性质),挖隐含条件(公共边/角、平行线角)。辅线用倍长中线、角平分线垂线、中位线。套“一线三垂直”等模型,拆复杂图形。计算设元列方程,用三角函数简算,规范步骤防漏条件。
【例2】(2025·江西新余·一模)【课本再现】
(1)如图1,,都是等边三角形,分别连接,,,与有什么数量关系?请证明;
【特殊感知】
(2)数学兴趣小组的同学继续探究发现:若一个三角形的已知条件符合全等的判定定理,则此三角形可求解;
在图1中,,,,则__________;
【类比应用】
(3)如图2,在四边形中,,,,,,求的长;小颖同学发现运用旋转可得到图1中类似的图,运用(2)的方法即可求的长,请你帮小颖求的长;
(4)如图3,在四边形中,,,,,,直接写出的长.
【变式1】(2025·江西·模拟预测)课本再现
想一想 你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系?能证明你的猜想吗? 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
定理证明
(1)已知:如图①,是的中位线.延长至点,使,连接.
求证:且.
知识运用
(2)如图②,在正方形中,为的中点,、分别为、边上的点,若,,,求的长.
(3)如图③,在四边形中,,,为的中点,,分别为,边上的点,若,,,求的长.
【变式2】(2024·江西九江·三模)课本再现
(1)将两个等腰直角三角形(,)按如图1所示的方式摆放(图中所有的点、线都在同一平面内),则与相似的三角形有 .(填序号)
①;②;③.
类比迁移
(2)将两个等腰直角三角形()按如图2所示的方式摆放,点D在边上.
①求证:.
②如图3,若D是的中点,与交于点G,与交于点H,,连接,求的长.
拓展应用
(3)如图4,在中,,点D,E分别在边上,且,若,,求的长.
【变式3】(2024·江西宜春·模拟预测)【课本再现】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理.如图1,在中,,点D是的中点.求证:.
下面是两位同学两种添加辅助线的方法:
小明:如图2,延长至点E,使,连接;
小华:如图3,取的中点E,连接;
(1)请你选择其中一位同学的方法完成证明,聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明.
【迁移应用】(2)如图4,中,是高,求证:B,C,D,E四点共圆.
【拓展提升】(3)如图5,在五边形中,,,F为的中点,求证:.
【题型二】平行四边形中的课本再现问题
【例1】(2024·江西吉安·一模)课本再现
在学行四边形的概念后,进一步得到平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分.
(1)如图1,在平行四边形中,对角线与交于点O,求证:,.
知识应用
(2)在中,点P为的中点.延长到D,使得,延长AC到E,使得,连接.如图2,连接,若,请你探究线段与线段之间的数量关系.写出你的结论,并加以证明.
平行四边形课本再现题解题技巧:活用性质(对边/角/对角线)与判定(如一组对边平行且相等)。连对角线分全等三角形,构中位线或倍长中线。拆图形为平行四边形+三角形,矩菱正问题用特性。计算用勾股、面积法,倒推条件,规范逻辑。
【例2】(2024·江苏扬州·一模)如图①~⑧是课本上的折纸活动.
【重温旧知】
上述活动,有的是为了折出特殊图形,如图①、③和⑧;有的是为了发现或证明定理,如图④和⑦;有的是计算角度,如图②;有的是计算长度,如图⑤和⑥.
(1)图③中的的形状是______;图④的活动发现了定理“____________”(注:填写定理完整的表述);图⑤中的的长是_______;
【继续探索】
(2)如图,将一个边长为4的正方形纸片折叠,使点A落在边上的点E处,点E不与B、C重合,为折痕.折叠后的梯形的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
【变式1】(2023·江苏盐城·二模)【回归课本】我们曾学习过一个基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得 的对应线段成比例.

【初步体验】
(1)如图 1,在中,点 D 在上,E 在上,.若,,则 , ;
(2 ) 已知,如图 1 ,在中,点 D 、E 分别在、上,且. 求证:.
证明:过点作的平行线交于点 F
… … … … … …
请依据相似三角形的定义(如果两个三角形各角分别相等,且各边对应成比例,那么这两个三角形相似)和上面的基本事实,补充上面的证明过程;
【深入探究】
(3 )如图 2,如果一条直线与的三边、、或其延长线交于 D、F、E 点,那么是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由;
(4) 如图 3 ,在中,D 为 的中点,.则 .

【题型三】矩形中的课本再现问题
【例1】(2024·江西吉安·模拟预测)【课本再现】
思考我们知道,矩形的对角线相等,反过来,对角线相等的平行四边形是矩形吗?
【定理证明】
(1)如图1,已知:在中,对角线、相交于,且,求证:是矩形.
【知识应用】
(2)如图2,是的中线,,且,连接,.
①求证:;
②当满足什么条件时,四边形是矩形?并说明理由.
矩形课本再现题解题技巧:用矩形性质(四角直角、对角线相等)证线段/角相等。连对角线得全等直角三角形,遇中点构中位线。结合勾股定理计算边长,面积法求高。判定先证平行四边形,再证直角或对角线等,拆图形为三角形或坐标系问题,规范步骤防漏条件。
【例2】(2024·江西吉安·三模)课本再现
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
定义应用
(1)如图,已知:在四边形中,,
用矩形的定义求证:四边形是矩形.
(2)如图,在四边形中,,是的中点,连接,,且,求证:四边形是矩形.
拓展延伸
(3)如图,将矩形沿折叠,使点落在边上的点处,若图中的四个三角形都相似,求的值.
【变式1】课本再现
思考 我们知道,矩形的对角线相等.反过来,对角线相等的平行四边形是矩形吗? 可以发现并证明矩形的一个判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形.
定理证明
(1)为了证明该定理,小贤同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你从矩形的定义出发完成证明过程.
已知:在中,对角线,交点为.
求证:是矩形.
应用定理
(2)如图2,在菱形中,,,,分别为,,,的中点.
求证:四边形是矩形(用“课本再现”中的矩形判定定理证明).
拓展迁移
(3)如图3,四边形的对角线,相交于点,且,,,,分别为,,,的中点.若,,求四边形的面积.
【变式2】课本再现
思考
我们知道,矩形的对角线相等.反过来,对角线相等的平行四边形是矩形吗?
可以发现并证明矩形的一个判定定理:
对角线相等的平行四边形是矩形.
定理证明
()为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在平行四边形中,,是它的两条对角线,.
求证:平行四边形是矩形.
知识应用
如图,在平行四边形中,对角线,相交于点,且.
()试判断四边形的形状,并说明理由.
()过作于,,,求的长.
【变式3】(2025·江西南昌·一模)课本再现:
定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
定理证明:
为了证明该定理,小颖同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”“求证”,请你完成证明过程.
(1)已知:如图1,在四边形中,,求证:四边形是矩形.
知识应用:
(2)如图2,在四边形中,,平分,交于点,,是上的一点,且,过点作,交于点,过点作于点.
①求证:四边形是矩形.
②若,求的值.
【题型四】菱形中的课本再现问题
【例1】课本再现
定理证明
(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形 (如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在中,对角线,垂足为.
求证:平行四边形是菱形.
证明: ∵四边形是平行四边形,
∴,
又∵, 垂足为,
∴是的垂直平分线,
∴___________
∴平行四边形是菱形.
知识应用
(2)如图2 ,在中,对角线和相交于点,,,.
①求证:是菱形;
②延长至点,连接交于点,若,求的值.
菱形课本再现题解题技巧:用菱形性质(四边相等、对角线垂直平分且平分角)证全等/垂直。连对角线得直角三角形,用勾股定理计算。判定先证平行四边形,再证邻边相等或对角线垂直。遇中点构中位线,面积用对角线乘积一半。规范步骤,拆图形为三角形,注意角平分线与对称特性。
【例2】(2024·江西九江·二模)课本再现
如图1,四边形是菱形,,.
(1)求,的长.
应用拓展
(2)如图2,为上一动点,连接,将绕点逆时针旋转,得到,连接.
①直接写出点到距离的最小值;
②如图3,连接,,若的面积为6,求的长.
【变式1】(2024·江西吉安·一模)课本再现
菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直.
定理证明
()如图,已知四边形为菱形,前面已证菱形的四条边相等,请进一步证明对角线.
知识应用
()如图,已知四边形为菱形,等腰的顶点在上,底边交边于点,点为的中点,点为与的交点,且.
①求证:;
②若,,,,求的长.

【题型五】正方形形中的课本再现问题
【例1】(2024·江西景德镇·三模)【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题:
(1)如图1,在正方形中,E为边上一点,F为延长线上一点,且.与之间有怎样的关系?请说明理由.
【类比探究】
(2)如图2,在矩形中,,点E在边上,连接,F为延长线上一点,连接,,且的延长线垂直于,垂足为点H.
①求的值;
②求的值.
【拓展应用】
(3)如图3,在(2)的条件下,平移线段,使它经过的中点H,交于点M,交于点N,连接,若,,请你求出的长.
正方形课本再现题解题技巧:用四边相等、直角、对角线垂直相等且平分角的性质证全等/垂直。连对角线得等腰直角三角形,用勾股定理或三角函数计算。判定先证矩形+邻边相等或菱形+直角。借旋转/对称构全等,遇中点连中线,规范步骤分阶段证明,拆图形为三角形或坐标系问题。
【例2】(2024·江西九江·模拟预测)【课本再现】
(1)如图1,四边形是一个正方形,E是延长线上一点,且,则的度数为 .
【变式探究】
(2)如图2,将(1)中的沿折叠,得到,延长交于点F,若,求的长.
【延伸拓展】
(3)如图3,当(2)中的点E在射线上运动时,连接,与交于点P.探究:当的长为多少时,D,P两点间的距离最短?请求出最短距离.
【变式1】(2024·广西南宁·二模)几何探究
【课本再现】
(1)如图1,正方形的对角线相交于点,点又是正方形的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,边与边相交于点,边与边相交于点.在实验与探究中,小新发现无论正方形绕点怎样转动,之间一直存在某种数量关系,小新发现通过证明即可推导出来.请帮助小新完成下列问题:
①求证;
②连接,则之间的数量关系是____________.
【类比迁移】
(2)如图2,矩形的中心是矩形的一个顶点,与边相交于点与边相交于点,连接,矩形可绕着点旋转,猜想之间的数量关系,并进行证明;
【拓展应用】
(3)如图3,在中,,直角的顶点在边的中点处,它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转,当时,请直接写出线段的长度.
【题型六】圆中的课本再现问题
【例1】(2025·江西·二模)【课本再现】
(1)如图1,分别与相切于A,B两点,,则( )
A. B. C. D.
【变式探究】
(2)如图2,分别与相切于A,B两点,若.
①求的度数;
②若,求部分.
圆课本再现题解题技巧:活用垂径定理(作弦心距)、圆周角定理(找同弧角)、切线性质(连半径证垂直)。遇切线连半径,弦问题作垂线,构直角三角形用勾股。弧长/面积套公式,圆内接四边形用对角互补。规范步骤,借辅助线转化为三角形问题,注意隐含等弧/等角条件。
【例2】(2024·江西吉安·二模)课本再现
(1)如图1,是的直径,它所对的圆周角有什么特点?你能证明你的结论吗?
知识应用
(2)如图2,,,三点均在上,的延长线交于点,若的直径为8,,,求的长.

【变式1】(2024·江西南昌·模拟预测)课本再现
推论 直径所对的圆周角是________.
(1)补全课本再现中横线上的内容.
知识应用
(2)如图,内接于,是的直径的延长线上一点,.
①求证:是的切线;
②过圆心作的平行线交的延长线于点,若,求的长.
【变式2】【课本再现】如下,是人教版九年级上册课本102页的第12题:(完成该题,并解答习题改编)
12.如图,为的直径,为上一点,和过点的切线互相垂直,垂足为.求证:平分.
【课本开发】一次数学课上,邓老师引导同学们一起对课本习题进行改编.
(1)如下是同学小安改编的题目:
如图1,为的直径,为上一点,于点,平分.求证:是的切线.请你利用所学知识解答同学小安改编的题目.
(2)同学小耿在同学小安的基础上进行了如下改编:
如图2,连接交于点,若,,求的长.请你利用所学知识解答同学小耿改编的题目.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)抢分秘籍12 几何图形中的课本再现问题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略,精选名校模拟题,讲解通关策略(含押题型)
【题型一】三角形中的课本再现问题 【题型二】平行四边形中的课本再现问题
【题型三】矩形中的课本再现问题 【题型四】菱形中的课本再现问题
【题型五】正方形形中的课本再现问题 【题型六】圆中的课本再现问题
:几何图形中的课本再现问题综合题是全国中考的热点内容,更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1.从考点频率看,高频考点为圆切线性质、特殊四边形(矩/菱/正方)证明计算、全等/相似三角形、几何变换(旋转/平移),占比15%-20%,新定义题型(如“准互余图形”)近年增多,侧重知识迁移。
2.从题型角度看,选择填空考基础概念(如轴对称识别、角度计算);解答题含课本例题改编的证明(如切线证明)、计算(扇形面积)、综合探究(函数+几何动态)及实际应用题(测量建模)。
:回归课本吃透例题推导,对习题变式训练;掌握“手拉手”等模型,总结解题模板;规范步骤防跳步,建错题本分类复盘;限时训练基础题,分析真题把握新定义趋势,提升图形拆分能力。
【题型一】三角形中的课本再现问题
【例1】(2025·江西九江·模拟预测)追本溯源
题(1)来自课本中的习题,请你完成解答,并利用(1)中得到的结论解答题(2).
(1)如图1,在中,,,垂足为D.
求证:.
结论应用
(2)如图2,在菱形中,过点C作,交的延长线于点E,过点E作,垂足为F,且交于点G.
①若,,求的长;
②若,,求的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)①;②5
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质,菱形的性质,勾股定理,正确应用相似三角形的判定与性质是解题的关键.
(1)证明,列出比例式即可求证;
(2)①由(1)可得:,那么,代入,即可求解;
②由,再由勾股定理可得,证明,则,求出,那么.
【详解】(1)证明:∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
(2)①解:∵四边形是菱形,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴由(1)可得:,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴;
②∵四边形是菱形,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
三角形课本再现题解题技巧:先判定理(全等/相似、特殊三角形性质),挖隐含条件(公共边/角、平行线角)。辅线用倍长中线、角平分线垂线、中位线。套“一线三垂直”等模型,拆复杂图形。计算设元列方程,用三角函数简算,规范步骤防漏条件。
【例2】(2025·江西新余·一模)【课本再现】
(1)如图1,,都是等边三角形,分别连接,,,与有什么数量关系?请证明;
【特殊感知】
(2)数学兴趣小组的同学继续探究发现:若一个三角形的已知条件符合全等的判定定理,则此三角形可求解;
在图1中,,,,则__________;
【类比应用】
(3)如图2,在四边形中,,,,,,求的长;小颖同学发现运用旋转可得到图1中类似的图,运用(2)的方法即可求的长,请你帮小颖求的长;
(4)如图3,在四边形中,,,,,,直接写出的长.
【答案】(1),见解析(2)(3)(4)
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合
【分析】(1)根据等边三角形的性质,证明即可得证.
(2)过点E作,交延长线于点M,利用直角三角形的性质,勾股定理解答即可.
(3)不妨将绕点D顺时针旋转到,连接,根据等边三角形的判定和性质,圆周角,四边形内角和定理,勾股定理解答即可.
(4)不妨将绕点D逆时针旋转到,使得,连接,,过点E作,交延长线于点N,利用三角形相似的判定和性质,三角函数解答即可.
【详解】(1)解:∵和均是等边三角形,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
(2)解:过点E作,交延长线于点M,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为:.
(3)解:由,
不妨将绕点D顺时针旋转到,连接,过点E作,交延长线于点G,
则,,,,
∴是等边三角形,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴.
(4)解:不妨将绕点D逆时针旋转到,使得,连接,,过点E作,交延长线于点N,
则,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
∵,,
∴,

【点睛】本题考查了旋转的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,三角函数的应用,等腰直角三角形的性质,等边三角形的性质等知识,掌握相关知识是解题的关键.
【变式1】(2025·江西·模拟预测)课本再现
想一想 你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系?能证明你的猜想吗? 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
定理证明
(1)已知:如图①,是的中位线.延长至点,使,连接.
求证:且.
知识运用
(2)如图②,在正方形中,为的中点,、分别为、边上的点,若,,,求的长.
(3)如图③,在四边形中,,,为的中点,,分别为,边上的点,若,,,求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求角度
【分析】(1)先利用证明,于是可得,,由内错角相等两直线平行可得,进而可得,结合,可证得四边形为平行四边形,于是可得,,再结合,即可得出结论;
(2)取的中点,连接,延长、交于点,由正方形的性质可得,由邻补角互补可得,进而可得,由为的中点可得,利用可证得,于是可得,,由三角形的中位线定理可得,由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得,则,由此即可求出的长;
(3)取的中点,连接,延长到点,使得,连接,由为的中点可得,利用可证得,于是可得,,过点作,交的延长线于点,连接,由邻补角互补可得,进而可得,由直角三角形的两个锐角互余可得,于是可得,由等角对等边可得,由勾股定理可得,于是可得,,在中,根据勾股定理可得,由三角形的中位线定理可得,由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得,则,由此即可求出的长.
【详解】(1)证明:在与中,


,,

又,


四边形为平行四边形,
,,

且;
(2)解:如图,取的中点,连接,延长、交于点,
四边形是正方形,



为的中点,

在和中,


,,
为的中点,为的中点,
为的中位线,

,且为的中点,


(3)解:如图,取的中点,连接,延长到点,使得,连接,
为的中点,

在和中,


,,
过点作,交的延长线于点,连接,







又,


在中,根据勾股定理可得:

为的中点,为的中点,
为的中位线,

,且为的中点,


【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理的证明及应用,全等三角形的判定与性质(、),平行四边形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质,直角三角形斜边中线等于斜边的一半,直角三角形的两个锐角互余,等角对等边,内错角相等两直线平行,线段中点的有关计算,利用邻补角互补求角度,线段的和与差等知识点,熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键.
【变式2】(2024·江西九江·三模)课本再现
(1)将两个等腰直角三角形(,)按如图1所示的方式摆放(图中所有的点、线都在同一平面内),则与相似的三角形有 .(填序号)
①;②;③.
类比迁移
(2)将两个等腰直角三角形()按如图2所示的方式摆放,点D在边上.
①求证:.
②如图3,若D是的中点,与交于点G,与交于点H,,连接,求的长.
拓展应用
(3)如图4,在中,,点D,E分别在边上,且,若,,求的长.
【答案】(1)②③;(2)①证明见详解,②5;(3)8
【知识点】三角形的外角的定义及性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】(1)由和都是等腰直角三角形,得,继而利用“两角对应相等,两三角形相似”得,;
(2)①证明,则,即;②由,得到,求得,可求,再运用勾股定理可求;
(3)在上取一点F,连接,使,由,求得, 再证明,得到,则有,即可求解.
【详解】(1)解:∵和都是等腰直角三角形,
∴,
∵,,
∴,
同理可证:,
故答案为:②③;
(2)①证明:∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴;
②解:同①可证:,
∴,即,
∵,
∴,
解得:(舍负),
∴,
∴,
∴,
∴;
(3)解:在上取一点F,连接,使,
∵是的等腰直角三角形,,
∴,
同上可证:,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,

∴,
解得:或(舍),
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理,解直角三角形的相关计算,三角形的外角定理,等腰三角形的性质,解题的关键在于发现“一线三等角”的相似,正确添加辅助线是解题的关键.
【变式3】(2024·江西宜春·模拟预测)【课本再现】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理.如图1,在中,,点D是的中点.求证:.
下面是两位同学两种添加辅助线的方法:
小明:如图2,延长至点E,使,连接;
小华:如图3,取的中点E,连接;
(1)请你选择其中一位同学的方法完成证明,聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明.
【迁移应用】(2)如图4,中,是高,求证:B,C,D,E四点共圆.
【拓展提升】(3)如图5,在五边形中,,,F为的中点,求证:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】(1)小明的方法:先证明四边形是平行四边形,再证明四边形是矩形,利用矩形的性质得出结论即可;小华的方法:根据三角形的中位线定理,推出垂直平分,进而得出结论即可;其他方法:分别取的中点E,的中点F,连接,利用三角形的中位线定理和矩形的判定和性质,即可得出结论;
(2)取边的中点O,连接,利用斜边上的中线,推出,即可得证;
(3)取的中点M,AD的中点N,连接,利用斜边上的中线,三角形的中位线定理,证明,即可得出结论.
【详解】(1)解:若选择小明的方法:如图2,延长至点E,使,连接,
又∵点D是的中点,即,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴四边形是矩形,
∴,
∵,
∴;
若选择小华的方法:如图3,取的中点E,连接,
又∵点D是的中点,
∴是的中位线,
∴,
∴,
∴是的垂直平分线,
∴,
∵,
∴.
其他方法:如图1,分别取的中点E,的中点F,连接,
又∵点D是的中点,
∴是的中位线,
∴,,,
∴四边形是平行四边形,
又∵,
∴平行四边形是矩形,
∴,
又∵,
∴,
(2)证明:如图4,取边的中点O,连接,
∵是的高,
∴,
又∵O是边的中点,
∴,,
∴,
∴B,C,D,E四点在以点O为圆心,为直径的同一个圆上.
(3)如图,取的中点M,的中点N,连接.
∵,
∴根据直角三角形斜边上中线的性质及中位线的性质,
可得:,,,,
∴.
∵,
∴,
∴.
同理可证.
又∵,

∴,即,
∴(),
∴.
【点睛】本题考查斜边上的中线,三角形的中位线定理,平行四边形的判定和性质,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,四点共圆等知识点,熟练掌握相关知识点,并灵活运用,是解题的关键.
【题型二】平行四边形中的课本再现问题
【例1】(2024·江西吉安·一模)课本再现
在学行四边形的概念后,进一步得到平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分.
(1)如图1,在平行四边形中,对角线与交于点O,求证:,.
知识应用
(2)在中,点P为的中点.延长到D,使得,延长AC到E,使得,连接.如图2,连接,若,请你探究线段与线段之间的数量关系.写出你的结论,并加以证明.
【答案】(1)证明见解析;(2),证明见解析
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,等边三角形的性质与判定等等:
(1)由平行四边形的性质得到,证明,即可证明,;
(2)过点B作交于H,连接,则,先证明是等边三角形,得到,进而证明是等边三角形,得到,接着证明四边形是平行四边形,得到互相平分,则,证明,得到,则.
【详解】证明:(1)∵四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∴,
∴,;
(2),证明如下:
如图所示,过点B作交于H,连接,
∴,
∵,
∴,即,
∴是等边三角形,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
又∵,
∴四边形是平行四边形,
∴互相平分,
∵点P为的中点,
∴A、P、H三点共线,
∴,
在和中,

∴,
∴,
∴.
平行四边形课本再现题解题技巧:活用性质(对边/角/对角线)与判定(如一组对边平行且相等)。连对角线分全等三角形,构中位线或倍长中线。拆图形为平行四边形+三角形,矩菱正问题用特性。计算用勾股、面积法,倒推条件,规范逻辑。
【例2】(2024·江苏扬州·一模)如图①~⑧是课本上的折纸活动.
【重温旧知】
上述活动,有的是为了折出特殊图形,如图①、③和⑧;有的是为了发现或证明定理,如图④和⑦;有的是计算角度,如图②;有的是计算长度,如图⑤和⑥.
(1)图③中的的形状是______;图④的活动发现了定理“____________”(注:填写定理完整的表述);图⑤中的的长是_______;
【继续探索】
(2)如图,将一个边长为4的正方形纸片折叠,使点A落在边上的点E处,点E不与B、C重合,为折痕.折叠后的梯形的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)等腰三角形,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
(2)存在最小值,最小值为6
【知识点】y=ax +bx+c的最值、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、矩形与折叠问题
【分析】(1)由矩形的性质得,则,由折叠得,所以,则是等腰三角形,于是得到问题的答案;
由,得,,由折叠得,则,所以,于是得到问题的答案;
由矩形的性质得,则,由折叠得,所以,则,由勾股定量得,于是得到问题的答案;
(2)连接,过点N作于点G,先证明,,则在中,由勾股定理得,然后将表示面积的相关线段用x的代数式表示出,则,化简,转化为二次函数求最值即可.
【详解】解:(1)如图③四边形是矩形,


由折叠得,


是等腰三角形,
故答案为:等腰三角形.
如图④,,
,,
由折叠得,,



直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
故答案为:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如图⑤,四边形是矩形,,,
,,,

由折叠得,


在中,,,

解得,
故答案为:.
(2)存在最小值,连接,过点N作于点G,即,
∵正方形,
∴,
∴,
∴,
∵翻折,
∴,,,
即,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
设,则在中,由勾股定理得:,
则,
∴,

,当时,最小值为6.
【点睛】此题重点考查轴对称的性质、等腰三角形的判定、矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、二次函数求最值,此题综合性强,难度较大.
【变式1】(2023·江苏盐城·二模)【回归课本】我们曾学习过一个基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得 的对应线段成比例.

【初步体验】
(1)如图 1,在中,点 D 在上,E 在上,.若,,则 , ;
(2 ) 已知,如图 1 ,在中,点 D 、E 分别在、上,且. 求证:.
证明:过点作的平行线交于点 F
… … … … … …
请依据相似三角形的定义(如果两个三角形各角分别相等,且各边对应成比例,那么这两个三角形相似)和上面的基本事实,补充上面的证明过程;
【深入探究】
(3 )如图 2,如果一条直线与的三边、、或其延长线交于 D、F、E 点,那么是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由;
(4) 如图 3 ,在中,D 为 的中点,.则 .

【答案】(1)3,(2)见解析(3)是定值,值为1(4)
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合
【分析】(1)根据平行线分线段成比例,列出比例式进行求解即可;
(2)根据平行线的性质,以及平行线分线段成比例,推出和的各角对应相等,各边对应成比例,即可得证;
(3)过点作,交于点,得到,即可得到;
(4)过点作,交于点,交于点,根据平行线分线段成比例,以及相似三角形的判定和性质,进行推导求解即可.
【详解】解:(1)∵,
∴,即:,
∴,
∴;
故答案为:3,;
(2)证明:过点作的平行线交于点 F

则:,
∵,
∴,
又,
∴四边形为平行四边形,
∴,
∴,
∴,
又,
∴;
(3)过点作,交于点,

∴,
∴,
即:为定值,值为1;
(4)过点作,交于点,交于点,

∵,
∴,
∵,为的中点,
∴,
∴,
∴,
同理:,
∵,
∴,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴;
故答案为:.
【点睛】本题考查平行线分线段成比例,相似三角形的判定和性质.解题的关键是掌握平行线分线段成比例,添加辅助线,构造平行和相似三角形.
【题型三】矩形中的课本再现问题
【例1】(2024·江西吉安·模拟预测)【课本再现】
思考我们知道,矩形的对角线相等,反过来,对角线相等的平行四边形是矩形吗?
【定理证明】
(1)如图1,已知:在中,对角线、相交于,且,求证:是矩形.
【知识应用】
(2)如图2,是的中线,,且,连接,.
①求证:;
②当满足什么条件时,四边形是矩形?并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)①见解析;②满足时,四边形是矩形,理由见解析
【知识点】证明四边形是矩形、斜边的中线等于斜边的一半、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】此题考查矩形的判定,平行四边形的判定与性质,直角三角形的性质,关键是利用矩形的判定,平行四边形的判定与性质,直角三角形的性质解答.
(1)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可;
(2)由直角三角形斜边上的中线性质可得,从而得出,再证明四边形是平行四边形,再根据平行四边形的性质可得结论;
(3)当满足时,四边形是矩形,根据平行四边形的判定与性质及矩形的判定解答即可.
【详解】解:(1)证明:在图1中,四边形是平行四边形,
,.
又,





是矩形.
(2)①是的中线,




四边形是平行四边形,

②当满足时,四边形是矩形,
,,


四边形是平行四边形,

当时,,
四边形是矩形.
矩形课本再现题解题技巧:用矩形性质(四角直角、对角线相等)证线段/角相等。连对角线得全等直角三角形,遇中点构中位线。结合勾股定理计算边长,面积法求高。判定先证平行四边形,再证直角或对角线等,拆图形为三角形或坐标系问题,规范步骤防漏条件。
【例2】(2024·江西吉安·三模)课本再现
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
定义应用
(1)如图,已知:在四边形中,,
用矩形的定义求证:四边形是矩形.
(2)如图,在四边形中,,是的中点,连接,,且,求证:四边形是矩形.
拓展延伸
(3)如图,将矩形沿折叠,使点落在边上的点处,若图中的四个三角形都相似,求的值.
【答案】(1)见解析;
(2)见解析;
(3).
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、证明四边形是矩形、矩形与折叠问题、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】()先证明四边形是平行四边形,再由,即可证明四边形是矩形;
()证明,根据性质得,证明四边形是平行四边形,再由,即可证明四边形是矩形;
()由折叠易知,,证明,然后分当时和时即可求解.
【详解】(1)证明:∵,
∴,,
∴,,
∴四边形是平行四边形,
又∵,
∴四边形是矩形;
(2)证明:∵E 是 的中点,

∵,,,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴四边形是平行四边形,
又∵,
∴四边形是矩形;
(3)由折叠易知,,


∵,


∴,
∴当时,,
∴,
∴,,
∴,
∴;
当时,,
∴,不符合题意,
综上所述,符合题意的.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,矩形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.
【变式1】课本再现
思考 我们知道,矩形的对角线相等.反过来,对角线相等的平行四边形是矩形吗? 可以发现并证明矩形的一个判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形.
定理证明
(1)为了证明该定理,小贤同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你从矩形的定义出发完成证明过程.
已知:在中,对角线,交点为.
求证:是矩形.
应用定理
(2)如图2,在菱形中,,,,分别为,,,的中点.
求证:四边形是矩形(用“课本再现”中的矩形判定定理证明).
拓展迁移
(3)如图3,四边形的对角线,相交于点,且,,,,分别为,,,的中点.若,,求四边形的面积.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)12
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查了中位线定理,平行四边形的判定,矩形的判定,菱形的性质,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.
(1)根据平行四边形的性质和已知条件判定,推出,利用平行线的性质得到,即可判定是矩形;
(2)先根据中点结合菱形的性质证明,得,同理,,则,可知四边形是平行四边形,连接,,再证四边形是平行四边形,则,同理,四边形是平行四边形,则,得,即可证明四边形是矩形;
(3)由中位线定理可得,, ,,即可证明四边形是平行四边形,由即可得出,从而证明四边形是矩形,利用面积公式即可求解.
【详解】解:(1)证明:∵四边形是平行四边形,
∴,,
在与中,

∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴是矩形;
(2)证明:在菱形中,,,,
∵,,,分别为,,,的中点,
∴,
∴,
∴,
同理,,则,
∴四边形是平行四边形,
连接,,
在菱形中,,则,
∴四边形是平行四边形,则,
同理,四边形是平行四边形,则,
∴,
∴四边形是矩形;
(3)∵,,,分别为,,,的中点,
∴,, ,,
∴四边形是平行四边形,
又∵,
∴,
∴,
∴四边形是矩形,
∴四边形的面积,
即四边形的面积是.
【变式2】课本再现
思考
我们知道,矩形的对角线相等.反过来,对角线相等的平行四边形是矩形吗?
可以发现并证明矩形的一个判定定理:
对角线相等的平行四边形是矩形.
定理证明
()为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在平行四边形中,,是它的两条对角线,.
求证:平行四边形是矩形.
知识应用
如图,在平行四边形中,对角线,相交于点,且.
()试判断四边形的形状,并说明理由.
()过作于,,,求的长.
【答案】(1)见解析;(2)矩形,理由见解析;(3)
【知识点】证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了矩形的判定,平行四边形的性质,等腰三角形的性质与判定,勾股定理;
(1)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可;
(2)根据(1)的结论,即可求解;
(3)根据题意得出,在边上截取,设,则,,进而得出,解方程,即可求解.
【详解】(1)证明:∵四边形是平行四边形,,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴是矩形;
(2)平行四边形是矩形,理由如下:
∵,
∴,
∵四边形是平行四边形,
∴,
∴平行四边形是矩形,
(3)∵,,
∴,
在边上截取,
设,则,
∵是等腰直角三角形,




解得:,即
【变式3】(2025·江西南昌·一模)课本再现:
定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
定理证明:
为了证明该定理,小颖同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”“求证”,请你完成证明过程.
(1)已知:如图1,在四边形中,,求证:四边形是矩形.
知识应用:
(2)如图2,在四边形中,,平分,交于点,,是上的一点,且,过点作,交于点,过点作于点.
①求证:四边形是矩形.
②若,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算
【分析】(1)先根据平行线的判定可得,再根据平行线的性质可得,然后根据矩形的判定即可得证;
(2)①先根据等腰三角形的性质可得,再根据角平分线的定义可得,然后根据矩形的判定即可得证;
②设,则,,根据矩形的性质和勾股定理可得,过点作于点,设与交于点,则四边形都是矩形,再根据等腰三角形的性质可得,然后解直角三角形可得,根据等腰三角形的判定可得,设,则,在中,解直角三角形可得,最后利用勾股定理可得,由此即可得.
【详解】证明:(1)∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴四边形是矩形.
(2)①∵,,
∴,
∵平分,
∴,
又∵,
∴四边形是矩形.
②由题意,设,则,
∴,
∵,
∴,
∵四边形是矩形,
∴,,
∴,
如图,过点作于点,
∴四边形都是矩形,
∴,,
∵,,
∴,
在中,,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∵平分,,
∴,
∴,
∴,
∴,
设,则,
在中,,
∴,即,
∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、平行线的判定与性质等知识,熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键.
【题型四】菱形中的课本再现问题
【例1】课本再现
定理证明
(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形 (如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在中,对角线,垂足为.
求证:平行四边形是菱形.
证明: ∵四边形是平行四边形,
∴,
又∵, 垂足为,
∴是的垂直平分线,
∴___________
∴平行四边形是菱形.
知识应用
(2)如图2 ,在中,对角线和相交于点,,,.
①求证:是菱形;
②延长至点,连接交于点,若,求的值.
【答案】(1);(2)①见解析,②.
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用、证明四边形是菱形
【分析】本题考查了菱形的性质与判定,勾股定理以及勾股定理的逆定理,等腰三角形的性质与判定,平行线分线段成比例,熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键.
(1)根据平行四边形的性质证明得出,同理可得,则,,进而根据四边相等的四边形是菱形,即可得证;
(2)①勾股定理的逆定理证明是直角三角形,且,得出,即可得证;
②根据菱形的性质结合已知条件得出,则,过点作交于点,根据平行线分线段成比例求得,然后根据平行线分线段成比例即可求解.
【详解】(1)证明:∵四边形是平行四边形,
∴,,

∴,
在,中,


∴,
同理可得,则,
又∵

∴四边形是菱形.
(2)①证明:四边形是平行四边形,, ,,
∴,,
在中,,,
∴,
∴是直角三角形,且,
∴,
∴四边形是菱形;
②∵四边形是菱形,

∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
如图所示,过点作交于点,
∴,
∴,

菱形课本再现题解题技巧:用菱形性质(四边相等、对角线垂直平分且平分角)证全等/垂直。连对角线得直角三角形,用勾股定理计算。判定先证平行四边形,再证邻边相等或对角线垂直。遇中点构中位线,面积用对角线乘积一半。规范步骤,拆图形为三角形,注意角平分线与对称特性。
【例2】(2024·江西九江·二模)课本再现
如图1,四边形是菱形,,.
(1)求,的长.
应用拓展
(2)如图2,为上一动点,连接,将绕点逆时针旋转,得到,连接.
①直接写出点到距离的最小值;
②如图3,连接,,若的面积为6,求的长.
【答案】(1)
(2)①;②
【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】(1)由菱形的性质可得,,,,再进一步的解答即可;
(2)①证明为等边三角形,可得,求解,如图,过作于,可得,当最小时,最小,可得当时,最小,再进一步解答即可;
②证明,可得,,证明,可得,再进一步解答可得答案.
【详解】解:(1)四边形是菱形,,.
,,,,


(2)①四边形是菱形,,
,,
为等边三角形,

由旋转可得:,,

如图2,过作于,

当最小时,最小,
当时,最小,
此时,


点到距离的最小值为;
②四边形是菱形,,
,,,



,,

,的面积为6,




【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,菱形的性质,勾股定理的应用,等边三角形的判定与性质,二次根式的除法运算,掌握以上基础知识是解本题的关键.
【变式1】(2024·江西吉安·一模)课本再现
菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直.
定理证明
()如图,已知四边形为菱形,前面已证菱形的四条边相等,请进一步证明对角线.
知识应用
()如图,已知四边形为菱形,等腰的顶点在上,底边交边于点,点为的中点,点为与的交点,且.
①求证:;
②若,,,,求的长.

【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②5
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】()根据菱形的性质及等腰三角形的性质即可证明结论成立;
()①令交于点,证明,得,从而证明,进而即可得证;②如图,令交于点,证明,得,再证明四边形是矩形,得,,,,从而由得,再利用三角函数即可得解.
【详解】()证明:∵四边形是菱形,
∴,,
∴;
()①证明:令交于点,

∵等腰的顶点在上,底边交边于点,
∴,
∵点为的中点,
∴,
∴,
∵四边形是菱形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
②如图,令交于点,

∵四边形是菱形,
∴,,
∴,
由①得,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴四边形是矩形,
∴,,
∴,,

∴,
∵,
∴,即,
∴.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形,菱形的性质,矩形的判定及性质,全等三角形的判定及性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定及性质,熟练掌握等三角形的判定及性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定及性质是解题的关键.
【题型五】正方形形中的课本再现问题
【例1】(2024·江西景德镇·三模)【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题:
(1)如图1,在正方形中,E为边上一点,F为延长线上一点,且.与之间有怎样的关系?请说明理由.
【类比探究】
(2)如图2,在矩形中,,点E在边上,连接,F为延长线上一点,连接,,且的延长线垂直于,垂足为点H.
①求的值;
②求的值.
【拓展应用】
(3)如图3,在(2)的条件下,平移线段,使它经过的中点H,交于点M,交于点N,连接,若,,请你求出的长.
【答案】(1),,理由见解析;(2)①;②;(3)8
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值
【分析】(1)只需要证明,即可得到结论,,然后利用直角三角形的性质可得,即可得出结论;
(2)①只需要证明,即可得到;
②根据①中,求出,设,则,然后在,利用勾股定理求出,利用正弦定义求解即可;
(3)由平移的性质可得,,结合,,可求出,再证明垂直平分,得到,根据,可设,利用勾股定理得到,则,在中,由勾股定理得,解方程即可得到答案.
【详解】解:(1),,
理由如下:
延长交于G,
∵四边形是正方形,
∴,,
在和中,

∴,
∴,,
∵,
∴,

∴;
(2)解:①∵,
∴.
在矩形中,,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴;
②∵,
∴,
设,则,
∴,
∴;
(3)由平移的性质可得,,
∵,,
∴,
∵点H为的中点,
∴垂直平分,
∴,
∵,
∴可设,
∴,
∴,
在中,由勾股定理得,
∴,
解得或(舍去),
∴.
【点睛】本题考查了矩形的性质,正方形的性质,相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,勾股定理等等,灵活运用所学知识是解题的关键.
正方形课本再现题解题技巧:用四边相等、直角、对角线垂直相等且平分角的性质证全等/垂直。连对角线得等腰直角三角形,用勾股定理或三角函数计算。判定先证矩形+邻边相等或菱形+直角。借旋转/对称构全等,遇中点连中线,规范步骤分阶段证明,拆图形为三角形或坐标系问题。
【例2】(2024·江西九江·模拟预测)【课本再现】
(1)如图1,四边形是一个正方形,E是延长线上一点,且,则的度数为 .
【变式探究】
(2)如图2,将(1)中的沿折叠,得到,延长交于点F,若,求的长.
【延伸拓展】
(3)如图3,当(2)中的点E在射线上运动时,连接,与交于点P.探究:当的长为多少时,D,P两点间的距离最短?请求出最短距离.
【答案】(1);(2);(3)当的长为时,D,P两点间的距离最短,最短距离为
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、求一点到圆上点距离的最值、根据正方形的性质证明
【分析】(1)根据正方形的性质,得到,推出,由,得到,推出即可得出结果;
(2)根据正方形的性质,得到,求出,进而得到,由折叠的性质得到,,再根据(1)中,得到,进而得到,利用勾股定理求出,由即可求解;
(3)由折叠的性质,得到,即点P在以为直径的圆上运动,设的中点为Q,连接,则当点P在上时,D,P两点间的距离最短,设交于点G,如图,求出,进而得到,,证明,得到,即可求出,即可得出结论.
【详解】解:(1)四边形是正方形,





故答案为:;
(2)四边形是正方形,




由折叠的性质得到,,
由(1)知,




(3)由折叠知,

点P在以为直径的圆上运动,
设的中点为Q,连接,则当点P在上时,D,P两点间的距离最短,设交于点G,如图,



又,
,即,

故当的长为时,D,P两点间的距离最短,最短距离为.
【点睛】本题考查了正方形的性质,折叠的性质,勾股定理,点到圆上的最短距离,三角形相似的判定与性质,灵活运用点到圆上的最短距离,折叠的性质,是解题的关键.
【变式1】(2024·广西南宁·二模)几何探究
【课本再现】
(1)如图1,正方形的对角线相交于点,点又是正方形的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,边与边相交于点,边与边相交于点.在实验与探究中,小新发现无论正方形绕点怎样转动,之间一直存在某种数量关系,小新发现通过证明即可推导出来.请帮助小新完成下列问题:
①求证;
②连接,则之间的数量关系是____________.
【类比迁移】
(2)如图2,矩形的中心是矩形的一个顶点,与边相交于点与边相交于点,连接,矩形可绕着点旋转,猜想之间的数量关系,并进行证明;
【拓展应用】
(3)如图3,在中,,直角的顶点在边的中点处,它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转,当时,请直接写出线段的长度.
【答案】(1)①见解析;②;(2),理由见解析;(3)或.
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、矩形性质理解、根据正方形的性质证明
【分析】(1)①利用正方形的性质,证明即可;②由全等三角形的性质得到,则,再利用勾股定理即可得到结论;
(2)连接,延长,交于点,连接,证明,得到,,推出,得到,即可得出结论;
(3)分点在线段上和在线段的延长线上,两种情况进行讨论求解.
【详解】解:(1)①∵正方形的对角线相交于点O,点O又是正方形的一个顶点,
∴,
∴,
∴;
②连接,

∵正方形,
∴,
∵,
∴,
∴,
在中,,
∴;
(2),理由如下:
连接,

∵矩形的中心O是矩形的一个顶点,
∴,,,
延长,交于点,连接,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,,
∵,
∴是的中垂线,
∴,
∴,
∴;
解:(3)设,
①当点在线段上:

∵,,
∴,
∴,
由(2)可知:,
∴,
解得:,
∴;
②当点在线段的延长线上时:如图,

此时,
过点作,延长交于点,连接,
同(2)法可证:,
∴,
又,
∴,
解得:解得:,
∴;
综上:线段的长度为或.
【点睛】本题考查正方形的性质,矩形的性质,全等三角形的判定和性质,中垂线的性质,勾股定理.解题的关键是熟练掌握相关性质,构造全等三角形.
【题型六】圆中的课本再现问题
【例1】(2025·江西·二模)【课本再现】
(1)如图1,分别与相切于A,B两点,,则( )
A. B. C. D.
【变式探究】
(2)如图2,分别与相切于A,B两点,若.
①求的度数;
②若,求部分.
【答案】(1);(2)①,②
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、求扇形面积
【分析】(1)连接,根据切线的性质定理,结合四边形的内角和定理,即可推出的度数,然后根据圆周角定理,即可推出的度数.
(2)①连接,根据切线的性质定理,可得,平分,,,因此,结合,即可求出的度数.
②在中,过点A作于点H,,,,,可求得,再证明是等边三角形,即,在中,,如答图1,连接,交于点G,易知,且,,根据即可求出答案.
【详解】解:(1)连接,如图所示,
分别与相切于A,B两点,



,,
故选:B.
(2)①如答图1,连接.
分别与相切,
,平分,,.

又,


②如答图2,在中,过点A作于点H.
在中,,,,
,,.


,,
是等边三角形.

在中,,



如答图1,连接,交于点G,易知,且,


【点睛】本题考查了切线的性质,四边形的内角和,圆周角定理,扇形的面积,解直角三角形的相关计算,正确作出辅助线是解题的关键.
圆课本再现题解题技巧:活用垂径定理(作弦心距)、圆周角定理(找同弧角)、切线性质(连半径证垂直)。遇切线连半径,弦问题作垂线,构直角三角形用勾股。弧长/面积套公式,圆内接四边形用对角互补。规范步骤,借辅助线转化为三角形问题,注意隐含等弧/等角条件。
【例2】(2024·江西吉安·二模)课本再现
(1)如图1,是的直径,它所对的圆周角有什么特点?你能证明你的结论吗?
知识应用
(2)如图2,,,三点均在上,的延长线交于点,若的直径为8,,,求的长.

【答案】(1)直径所对的圆周角是,证明见解析,(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查的是圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质,证明是解题的关键.
(1)连接.由得.再由即可得出结论;
(2)延长交于点,连接.可得.可证得,从而得出.再证,可得,求得,再求解即可.
【详解】解:(1)直径所对的圆周角是.
证明:如图,连接.




∴直径所对的圆周角是
(2)如图,延长交于点,连接.

的直径为8,



,即.

在中,.
由,
得.
,即.


【变式1】(2024·江西南昌·模拟预测)课本再现
推论 直径所对的圆周角是________.
(1)补全课本再现中横线上的内容.
知识应用
(2)如图,内接于,是的直径的延长线上一点,.
①求证:是的切线;
②过圆心作的平行线交的延长线于点,若,求的长.
【答案】(1)直角;(2)①见解析;②.
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、由平行判断成比例的线段
【分析】(1)根据圆周角定理即可解答;
(2)①由等腰三角形的性质与已知条件得出,,由圆周角定理可得,进而得到,即可得出结论;
②根据平行线分线段成比例定理得到,设,则,,在中,根据勾股定理求出,据此即可求解.
【详解】(1)解:直径所对的圆周角是直角;
故答案为:直角;
(2)①证明:,



是的直径,



即,

是的半径,
是的切线;
②解:,

,,

设,则,,

是直角三角形,
在中,,

解得,(舍去),或,

【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理等知识;熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键.
【变式2】【课本再现】如下,是人教版九年级上册课本102页的第12题:(完成该题,并解答习题改编)
12.如图,为的直径,为上一点,和过点的切线互相垂直,垂足为.求证:平分.
【课本开发】一次数学课上,邓老师引导同学们一起对课本习题进行改编.
(1)如下是同学小安改编的题目:
如图1,为的直径,为上一点,于点,平分.求证:是的切线.请你利用所学知识解答同学小安改编的题目.
(2)同学小耿在同学小安的基础上进行了如下改编:
如图2,连接交于点,若,,求的长.请你利用所学知识解答同学小耿改编的题目.
【答案】(1)见详解
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用、已知圆内接四边形求角度、解直角三角形的相关计算
【分析】(1)连接,先判定,根据推出即可求解;
(2)结合角平分线的性质得,运用圆内接四边形性质,得,证明,分别运用勾股定理算出,,,再结合直角三角形的正弦值列式计算,即可作答.
【详解】(1)证明:如图,连接,


平分,







是的半径,
是的切线.
(2)解:∵,
∴,
如图,过点作于点,连接
∵平分,于点,于点,
∴,
∵在上,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
在中,,
在中,,
则,
∵平分,
∴,
则,
即,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了圆的切线判定定理,角平分线的性质,解直角三角形,勾股定理,全等三角形的判定与性质,圆内接四边形等知识,难度较大,综合性较强,正确掌握相关性质内容是解题的关键.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑

资源列表