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抢分秘籍14 函数选填压轴题
（含一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】二次函数的图象和性质 【题型二】一次函数与反比例函数
【题型三】反比例函数与特殊四边形 【题型四】几何图形中动点之函数问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：反比例函数求K值未考虑图象所在的象限错误
易错点二：一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题错误
易错点三：根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误错误
：函数选填压轴题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，一次函数常考图象性质、实际应用；反比例函数侧重k的几何意义、与几何综合；二次函数聚焦图象性质、最值、与方程结合，三者均高频，二次函数更甚，常为压轴核心。
2．从题型角度看，多为含参讨论、函数与几何动态结合题，如交点存在性、图形面积最值，需数形结合与分类讨论，选项/空设计具迷惑性，考验综合分析能力。
：在中考数学备考中，熟背函数基础性质与图象，针对综合题分类型训练（如含参函数、函数几何综合），强化数形结合思维，总结解题模型（如设参表示变量、利用几何性质列方程），提升计算准确性与逻辑严密性。
【题型一】二次函数的图象和性质
【例1】（2025·广东深圳·二模）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：
x … 0 …
y … 4 0 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大
C．当时， D．二次函数的最小值是
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h） +k的图象和性质、y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
【详解】解：将点，，代入到二次函数中，得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为．
A、，抛物线开口向上，A不正确；
B、，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，B不正确；
C、∵抛物线线与轴交于点，，且抛物线开口向上，
∴当时，，故C正确；
D、，二次函数的最小值是，D不正确；
故选：C．
紧抓图象三要素（开口、对称轴、顶点），结合参数符号（a、b、c）分析趋势。用特殊值法（如x=0、±1）快速定位关键点，借助判别式判断交点情况。善用对称性与最值特征，对含参问题通过临界值或代入选项验证，结合排除法缩小范围，数形结合直观破题。
【例2】（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线与交于点，以下结论：
①无论取何值，总是负数；
②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先增大后减小．
下列说法正确的是（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案．
【详解】解：，
，
，
无论取何值，总是负数，故①正确；
抛物线与交于点，
当时，，即，解得：，
，
可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故②正确；
，
随着的增大，的值减小；故③错误．
故选：C．
【变式1】（2025·陕西渭南·一模）老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下：
… …
… …
四位同学根据表格得到结论如下：
甲：该函数图象的对称轴为直线；
乙：当时，随的增大而减小；
丙：；
丁：图象开口向下．
针对四人的说法，其中不正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识点是关键．利用二次函数图象的特征，根据题意逐一判断即可．
【详解】解：将、代入得：
，
解得：，
二次函数的解析式为，
该函数图象的对称轴为直线，故甲正确；
又，函数图象的对称轴为直线，
二次函数的开口向下，当时，随的增大而增大，故乙不正确，丁正确；
当时，，即，故丙正确；
故选：B．
【变式2】（2025·湖南·二模）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、线段周长问题(二次函数综合)
【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线为，设，则，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，
当时，
解得：
∴
当时，
∴
设直线为，
∴
∴
直线为
设，则
∴
，当时，的长度随增大而减小
∴的取值范围是
故选：D．
【变式3】（2025·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（ ）
A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是
B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2
C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个
D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则
【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)
【分析】本题主要考查抛物线与一次函数的图像与性质，熟练掌握抛物线与一次函数的图像与性质是解题的关键．根据抛物线与一次函数的图像与性质进行判断即可．
【详解】解：A．因为抛物线的顶点横坐标是1，故A错误；
B．方程的解是或．
当时，，故B错误；
C．关于的方程在的范围内有两个整数解，即是整数，所以可以等于．所以满足条件的的值有3个．C正确；
D．时两个函数图象在第一象限也有公共点，故D错误．
故选C．
【题型二】一次函数与反比例函数
【例1】（2025·安徽滁州·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点A的横坐标为1，点B的横坐标为3．
（1）写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围 ；
（2）用含k的代数式表示的面积： ．
【答案】 或；
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式．
（1）根据图象找到反比例函数在一次函数上方部分，可得答案；
（2）由题意知，，，设直线的解析式为，将，代入，得直线的解析式为，分别令，即可得，，再根据三角形面积公式即可得解．
【详解】解：（1）由图象可知，写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围为：或；
故答案为：或；
（2）由题意知，，，
由图象可知，，
设直线的解析式为，将，代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
令得，，即，
令得，，即，
∴，，
∴，
故答案为：．
紧抓一次函数斜率（k）与截距（b）的几何意义，通过图象趋势分析增减性；反比例函数聚焦k的几何意义（面积不变性），联立方程转化为代数问题。遇动点或面积题，设参表示坐标，结合几何性质（如相似、面积公式）列等式，选项代入或临界值验证快速破题。
【例2】（2025·安徽滁州·一模）反比例函数的图象与直线交于点，点在线段上，过点作直线轴，直线与交于点，，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求出反比例函数解析式；设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可．
【详解】解：将代入得，
解得，
∴反比例函数表达式为；
∵点在上，
∴设点，那么点，
由可得，所以，
解得 （舍去），
∴．
故答案为：．
【变式1】（2025·广东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，根据点A的坐标，求出，结合，得到，即可求出，再求出直线的解析式为，设，代入，求出m的值即可．
【详解】解：∵点A的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
设，
代入，得：，即，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：．
【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键．
先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可．
【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于，两点，
当时，，当时，
∴，
∴，
∵为线段的中点，
∴点，
∵直线是第一象限的角平分线，且，
∴直线垂直直线，
∵对于，当时，，
∴在直线上，
∴当时，线段最小，此时点P在直线上，
∵点P在反比例函数的图象上，
联立与得：
，解得：或，
∴点，
∴，，
∴的最小值为．
故答案为：
【变式3】（2025·安徽宣城·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1） ．
（2）若（不与点，重合）是线段上的动点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为 ．
【答案】
【知识点】y=ax +bx+c的最值、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、矩形的判定和性质、二次函数的最值等知识，准确列出二次函数解析式是关键．
（1）求出点和点的坐标，利用勾股定理即可求出答案；
（2）设点C的坐标为，证明四边形是矩形，得到，则，得到四边形的面积为，利用二次函数的性质即可求出答案．
【详解】解：（1）当时，，解得，
∴点的坐标为，
联立得到，
解得或，
∴,
∴，
故答案为：
（2）设点C的坐标为，
∵过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形的面积
当时，四边形的面积取得最大值，
故答案为：
【题型三】反比例函数与特殊四边形
【例1】（2025·河北邯郸·一模）如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数值有 个．
【答案】9
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式
【分析】本题考查反比例函数与几何图形交点问题，反比例函数比例系数等．根据题意先求出，后将和均代入中即可得到和，继而得到取值范围及整数个数．
【详解】解：∵正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，
∴，
∵反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），
∴将代入中得：，将代入中得：，
∴的取值范围为，其中共有9个的整数值，
故答案为：9．
抓反比例函数点坐标特征（设为(a, k/a)），利用特殊四边形性质（如平行四边形对角线中点重合、菱形邻边相等）建立代数关系。通过中点坐标公式、距离公式联立方程，结合k的几何意义（面积）列等式，对动点问题分类讨论，代入选项或利用对称性简化运算。
【例2】（2025·广东深圳·一模）如图，矩形的两边，在坐标轴上，且，，分别为，的中点，与交于点，且四边形的面积为，则经过点的双曲线的解析式为 ．
【答案】
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，反比例函数的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．
过作，交于，过作于，设，，由题意可知：，，，，证明，，，然后根据相似三角形的性质和解方程求出点坐标即可．
【详解】解：过作，交于，过作于，
设，，
由题意可知：，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（负值已舍去）
∴，，
∴的坐标为，
∴，
∴经过的双曲线的解析式就是，
故答案为：．
【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的两个顶点都在反比例函数的图象上，对角线的交点恰好是原点，且对角线所在直线是第二、四象限的角平分线．若，，则反比例函数的表达式为 ．
【答案】/
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系的特点，待定系数法反比例函数解析式，勾股定理等知识的综合运用，掌握菱形的性质，勾股定理得到，待定系数法的运用是解题的关键．
根据菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，对角线所在直线是第二、四象限的角平分线，过点作轴于点，如图所示，可得，，即，则，运用待定系数法即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∵对角线所在直线是第二、四象限的角平分线，过点作轴于点，如图所示，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，（负值舍去），
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
故答案为： ．
【变式2】（2025·安徽合肥·一模）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，点关于的对称点为点，连接交反比例函数图象于点．
（1） ；
（2）点的横坐标为 ．
【答案】
【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、解直角三角形的相关计算、中点坐标
【分析】（1）由，可得，根据，可得，求出，再根据中点坐标公式求出点的坐标，即可求解；
（2）根据对称的性质求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后联立直线和反比例函数的解析式，即可求解．
【详解】解：（1），
，
在中，，
，
，
点是的中点，
，即，
，
（2）点关于的对称点为点，，
，
设直线的解析式为，将、代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
由（1）可得反比例函数的解析式为，
联立，
解得：（负值已舍去），
点的横坐标为；
故答案为：；．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解直角三角形，一次函数的图象与性质，中点坐标公式，对称的性质，解题的关键是掌握相关知识．
【变式3】（2025·安徽淮南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点.
（1）若点是的中点，则 ；
（2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是 .
【答案】 18
【知识点】反比例函数与几何综合、最短路径问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出、的坐标是解题的关键．
（1））由正方形的边长是6和中点，得到点的坐标为，利用待定系数法求解即可；
（2）由正方形的边长是6，得到点的横坐标和点的纵坐标为6，根据三角形的面积列方程得到两点坐标，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵正方形的边长是6，点是的中点，
∴点的坐标为，
∴，即；
（2）
∵正方形的边长是6，
∴，，
∴，，
∵的面积为16，
∴，
∴或（舍去），
∴，，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值，
∵，
∴，又，
∴，即的最小值为.
【变式4】（2025·安徽蚌埠·一模）在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数 的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸 绕着原点 旋转，当旋转至如图所示位置时，点 恰好落在反比例函数的图象上， 边与反比例函数图象交于点， 边与轴交于点 ，且 ．
（1）的值为 ；
（2） 的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了矩形与反比例函数图像的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定；分别过点作轴的垂线，垂足分别为，得出，根据相似三角形的性质以及点的坐标得出点的坐标，进而求得；延长交轴于点，过点作于点，求得直线的解析式，进而求得点的坐标，证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，
∴
∴
∴
∵
∴
又∵，则
∴
∴
∴
∴；
则反比例函数解析式为
如图，延长交轴于点，过点作于点，
∵
∴，
∴
又∵四边形是矩形
∴，，
∴
∴
∴
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
联立
解得：或（舍去）
∴
∴，
∵
∴
∴
故答案为：，．
【变式5】（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上（点在点的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象与斜边交于点，与斜边交于点．
（1）若是的中点，且点的坐标为，则点的坐标为 ．
（2）过点作轴于点，过点作轴于点．若是的中点，阴影部分（四边形的面积等于，则的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查反比例函数的图像上点的特征，等腰直角三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由点的坐标为可得，，设点的纵坐标为，则点的横坐标为，得到，求出值即可求解；
（2）设，得以得到点的坐标为，然后可以得到点的坐标为，然后得到点的坐标，根据阴影部分的面积求出值即可解题．
【详解】解：（1）点的坐标为，
，
是的中点，
，
设点的纵坐标为，则点的横坐标为，
，
解得：，（舍去），
，
点的坐标为，
故答案为：；
（2）设，
，
，
，都是等腰直角三角形，
点的坐标为，
是的中点，
点的坐标为，
，
阴影部分的面积等于，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
故答案为：．
【题型四】几何图形中动点之函数问题
【例1】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，点为斜边的中点，分别为边上的动点，且．设的长为的周长为，图2为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查的是动点形成的函数图象及全等三角形判定与性质，勾股定理，数形结合解决问题是解题关键，连接，先证明，得出，设，则，根据勾股定理求出，得出表达式，再根据图象代入求出a值，即可求出结论．
【详解】解：连接，
等腰直角三角形中，，点为斜边的中点，
，
，
，
，即，
，
，
设，则，
在中，，
的周长为，
由图2知，当时，，
，
解得：，
，
故选：C．
设动点参数（如时间t），用几何性质（相似、勾股定理等）表示坐标，建立函数关系式（常为面积、长度关于t的表达式）。抓临界位置（起点、终点、特殊位置）确定定义域，结合图象趋势分析增减性或最值。选填题可代入特殊值验证，或利用几何直观（如对称、极值）快速排除选项，注意分类讨论动点路径分段情况。
【例2】（2025·山东济南·模拟预测）如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，根据题意可得，的最大面积是，此时点与点重合，根据三角形的面积即可求出，进而求出的长，即可解答，根据图象得到的最大面积是是解题的关键．
【详解】解：根据题意可知：
的最大面积是，
此时点与点重合，
如图，
在中，，
设，则，
，
，
解得（负值舍去），
，
，，
，
故选：C．
【变式1】（2025·甘肃金昌·一模）如图，在平行四边形中，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为，线段的长度为，与的函数图象如图所示．若的最大值为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
连接，过点作于，根据函数图象可知：，，，所以，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，最后根据即可解答．
【详解】解：连接，过点作于，如图所示：
由图象可知，，，，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
故选：D．
【变式2】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，扇形，一个动点从点出发，沿路线匀速运动，当点运动的时间为时，的长为，则与的关系可以用图象大致表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】本题考查了动点问题函数图象，理清点P在各边时长度的变化情况是解题的关键．
分别判断出当点P在线段上运动时，的长逐渐变大，点P在弧线上时，点P在线段上时，点P在线段上时，的变化情况，然后可得答案．
【详解】解：当点P在线段上运动时，的长逐渐变大；点P在弧线上时，的长不变；当点P在线段上运动时，的长逐渐变小；
所以D选项的图象符合．
故选：D．
【变式3】（2025·河南驻马店·一模）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是1/秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、求角的余弦值
【分析】根据函数图象得到，结合矩形性质和三角形面积公式得到，利用勾股定理和函数图象得到，即可判断①；结合余弦定义，即可判断②，当时，设，利用待定系数法求出二次函数解析式，即可判断③，相似三角形判定定理证明，即可解题．
【详解】解：①由图（2）知，当时，，
由题知，当时，，
四边形为矩形，
，
与间距为，
，
，
，
故，即①正确；
②，故②错误；
③当时，设，
过点，
，解得，
，故③错误；
④当秒时，点在上，此时，则，
，，，
，故④正确；
综上所述，正确的结论是①④，
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，待定系数法求二次函数，相似三角形判定，锐角三角函数，矩形性质，解题的关键在于从函数图象获取需要的信息．
【变式4】（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点时停止．在此过程中，的面积随着运动时间的函数图象如图所示，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为，过点作交于点，根据图象可得，当点运动到点时，面积最大，为，求出，根据当点运动到点时，停止运动，此时面积为，求出，再根据，即可．
【详解】解：设菱形的边长为：，过点作交于点，
由图可得，当点运动到点时，面积最大，为，
∴，
解得：；
当点运动到点时，停止运动，此时面积为，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【变式5】（2025·新疆昌吉·一模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为 ．
【答案】5
【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．
首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．
【详解】解：，，
．
，
．
，
．
，
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
，
，
．
故答案为∶5．
【题型五】二次函数与其他函数综合问题
【例1】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线．
（1）当时，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ．
【答案】 或
【知识点】把y=ax +bx+c化成顶点式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】（1）配方成顶点式求解即可；
（2）首先求出对称轴为直线，然后分两种情况讨论：当时，当时，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）当时，
∴抛物线的顶点坐标为
故答案为：；
（2）∵抛物线
∴对称轴为直线
当时，抛物线开口向上
∴时，y随x的增大而增大
∵点，为抛物线上两点，若，总有，
∴
∴；
当时，抛物线开口向下
∴时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；
∵点，为抛物线上两点，若，总有，
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，将一般式配方成顶点式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
联立函数方程化为一元二次方程，用判别式判断交点个数，韦达定理分析坐标关系。结合二次函数图象开口、对称轴，通过特殊值（如顶点、端点）定位交点范围，对含参问题取临界值代入选项验证，数形结合快速排除错误答案，注意区间内交点存在性的分类讨论。
【例2】（2025·辽宁·一模）如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为 ．
【答案】/
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质并能正确求出二次函数解析式是解决此题的关键．先由题意得出抛物线的解析式为，然后将点A的纵坐标代入解析式得到两点的坐标，进而即可得解．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过坐标原点O，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∵点A的纵坐标是，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴矩形的周长，
故答案为： ．
【变式1】（2025·安徽滁州·一模）已知抛物线的对称轴与轴正半轴相交．
（1）不论取何值时，该抛物线过一定点，则该点坐标为 ；
（2）若点，在该抛物线上，且，，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，确定m的范围是本题的难点．
（1）将抛物线的解析式化为两根式，求得抛物线与轴的交点，其中一个是定点，不随的变化而变化；
（2）根据题意得，即，求得在抛物线上，且，判断出，得，求出的取值范围．
【详解】解：①，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
∴无论取何值，抛物线总与轴交于，
故答案为：；
②∵抛物线与轴的交点坐标为，且对称轴与轴正半轴相交．
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵在该抛物线上，且，
∴，
∵，
∴，
∵在抛物线上，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式2】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线经过点，，
（1）抛物线的对称轴为 ；
（2）点，在抛物线上，且，则t的取值范围是 ．
【答案】 直线
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】本题考查二次函数的图象和性质：
（1）根据对称性求出对称轴即可；
（2）根据对称轴求出值，求出和时的函数值，根据，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线；
故答案为：；
（2）∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵点，在抛物线上，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：．
【变式3】（2025·黑龙江大庆·一模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为 ．
【答案】或3/3或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．
②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：二次函数，
则设，
所以，解得，
所以，
（Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为4，
所以，
解得，符合题设；
（Ⅱ）当时，抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为4，
所以，
解得，符合题设；
综上，的值为或3．
故答案为：或3．
易错点一：反比例函数求K值未考虑图象所在的象限错误
求反比例函数k值时，图象所在象限是符号判断的核心： 1. 定象限，判符号：图象在一、三象限 k＞0；二、四象限 k＜0，勿混淆符号与象限对应关系。 2. 点坐标验符号：若点在某象限，其横纵坐标同号（一、三）或异号（二、四），代入y=k/x后符号与k一致，避免忽略坐标符号直接计算。 3. 含参问题需讨论：若k含参数（如k=m+1），先由象限定k范围（如k＜0），再解参数不等式（m+1＜0），防止直接代值忽略符号约束。 易混点：误将单一象限图象当作双支，或忽略多象限点的符号矛盾，需结合图象或坐标严格推导。
例1．（2025·陕西渭南·一模）如图，点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点作轴的平行线，交轴于点．点为轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是 ．
【答案】4
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于的方程是解题的关键．
本题设，得到，以为底边的高，然后根据的面积为2，即可求解；
【详解】解：∵点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，
∴设，
∴中，以为底边的高，
∴，
∴，
故答案为：4；
变式1：（2025·陕西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴负半轴上，顶点O在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，的面积为6，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查反比例图像上点的性质，涉及两点之间距离、平行四边形的性质和平行四边形面积公式，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
过点作于点，结合题意可得，通过平行四边形的面积可得，因为点A的坐标为，进而得出点的坐标，代入反比例图像即可得解．
【详解】解：过点作于点，
，
则，
的面积为6，
，即，
，
，
点A的坐标为，
点的坐标为即，
把代入反比例函数的图象，
可得，，
．
故答案为：．
变式2：（2025·河北张家口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，线段经过原点，以为边作等边，反比例函数恰好过点B，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、三线合一、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的图像与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点作轴于点，过点作轴于点，设，则，由是等边三角形，，推出，，证明，得到，求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
设，则，
是等边三角形，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
变式3：（2025·辽宁铁岭·一模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，在轴的正半轴上，与y轴交于点E，与轴交于点．若的面积为6，则的值是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合
【分析】本题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数解析式．
设，，则，，根据，得到，再由点在反比例函数的图象上，即可解答．
【详解】解：设，，
∵，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：
易错点二：一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题错误
图像共存易错点拔： 1. 符号一致性：一次函数k与b、反比例函数k、二次函数a/b/c符号需统一。如二次函数开口向上（a＞0），若一次函数过一、三象限，则k＞0，勿出现矛盾（如反比例函数k＜0却在一、三象限）。 2. 特殊点验证：x=0时，一次函数截距b与二次函数c值需对应；反比例函数无原点，勿误判图像过原点。 3. 对称轴与一次函数关联：二次函数对称轴x=-b/(2a)需与一次函数斜率k逻辑一致（如a＞0且对称轴在y轴左侧，则b＞0，对应一次函数若k=b，需k＞0）。 4. 象限分布矛盾：反比例函数双支象限需与一次函数、二次函数最值位置匹配，避免出现“二次函数最小值在第四象限，而反比例函数在一、三象限”的冲突。
例1．（2025·广东韶关·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【详解】解：A、由一次函数的图象可判断矛盾，故不符合题意；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，和轴的负半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项符合题意．
故选：D．
变式1：（2025·河南周口·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图像，熟练掌握一次函数与二次函数的图像特点是解题关键．分两种情况：①当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴正半轴上；②当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴负半轴上，由此即可得．
【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴正半轴上，
当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴负半轴上，
观察四个选项可知，只有选项B符合，
故选：B．
变式2：（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键．
根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解．
【详解】解：二次函数，对称轴直线为，
当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限；
当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限；
只有B选项符合题意，
故选：B ．
变式3：（2025·安徽宣城·一模）一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象性质，解题的关键是根据一次函数图象确定k的取值范围，再据此分析反比例函数与二次函数图象特征．
先由一次函数图象得出的取值范围，再分别根据反比例函数和二次函数性质，判断其图象所在象限和开口方向等特征，从而确定符合条件的选项．
【详解】解：对于一次函数，其图象经过一，二，四象限．根据一次函数（为斜率，为截距）性质，斜率，即；截距，
当时，根据反比例函数为常数且性质，反比例函数的图象在一，三象限，
，二次函数图象开口向下；又因为截距，所以二次函数图象与轴正半轴相交．
综上，反比例函数图象在一，三象限，二次函数图象开口向下且与轴正半轴相交，对比选项，A正确，
故选：A．
易错点三：根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误错误
1.开口方向定a：开口向上 a＞0，向下 a＜0，勿颠倒。 2.对称轴判ab符号：对称轴x=-b/(2a)在y轴左 ab同号，右 异号，忌单独看b。 3.与y轴交点定c：交点在正半轴 c＞0，负半轴 c＜0，过原点 c=0，勿与a混淆。 4.特殊点代入易漏符号：x=1时y=a+b+c，x=-1时y=a-b+c，注意b的符号；对称轴x=1 b=-2a，勿算反。 5.判别式与交点数错联：Δ=b -4ac＞0 两交点，易漏平方或符号，多结合图像验证系数逻辑链。
例1．（2025·山东聊城·一模）如图，二次函数的对称轴是直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列说法：
①；②；③关于x的一元二次方程的两个根为，3；④若，在该抛物线上，则；⑤对任意实数m，不等式恒成立．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次函数的对称轴和开口方向，可判断①④，根据二次函数与轴的交点可判断②③；根据二次函数的最值可判断⑤．
【详解】解：二次函数开口向上，对称轴是直线，
，，
，
，①正确；
二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点为，
二次函数与轴的一个交点为，
，
，②正确；
二次函数与轴的交点为和，
关于x的一元二次方程的两个根为，3，③正确；
二次函数开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
二次函数的对称轴是直线，，
，④错误；
二次函数的对称轴是直线，
当是，二次函数有最小值为，
对任意实数m，都有，即
对任意实数m，不等式恒成立，⑤正确，
故选：C．
变式1：（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与轴的交点坐标，根与系数的关系等知识逐项判断即可．
【详解】解：由图可知抛物线开口向上，
，
对称轴为直线，
符号相同，
，
与y轴的交点在之间（不含端点），
，
，
故①不正确；
对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
与轴交于另一点为，
当时，，
故②不正确；
由题意可得方程的两个根为，
，
，
，
，
，
故③正确；
若方程两根为，
则直线与抛物线的交点的横坐标为，
直线过第一、二、三象限且过点，
直线与抛物线的交点在第一，三象限，
如图所示，
由图象可知，
故④正确；
综上所述，正确的结论是③④，有个，
故选：B．
变式2：（2025·天津河东·一模）已知抛物线（是常数，）与轴交于点，对称轴为直线．有下列结论：①；②若，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；其中，正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识，通过抛物线经过点，对称轴为直线，可确定的关系，可判断①，由，根据，确定的范围，可判断②，当一元二次方程有两个相等的实数根时，，解得或，与题意不符，可判断③，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，
∴，
将点代入得：，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故①不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②符合题意；
∵，
∴，
∵
∴，
当一元二次方程有两个相等的实数根时，，
解得：或，
∵，
∴一元二次方程没有两个相等的实数根，故③不符合题意，
综上，符合题意的有，共个，
故选：B．
变式3：（2025·广东茂名·一模）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由二次函数与轴有两个交点，可对①进行判断；利用抛物线的对称性可得与关于对称轴对称，可对②进行判断；利用抛物线的开口方向可得，结合对称轴可得，根据抛物线与轴交于正半轴得到，可对③进行判断；当时，，即，则可对④进行判断．
【详解】解：由图象可知，二次函数与轴有两个交点，即，故①正确；
由图象可知，当时，，
抛物线的对称轴是直线，
与关于对称轴对称，
，故②正确；
抛物线开口向下，
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于正半轴，
，，
，故③正确；
当时，，
，故④正确；
故选：D．
变式4：（2025·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线不过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．利用二次函数的性质可以判断各个小题即可完成解答．
【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，因此①不正确；
当时，，
由图象可知此时，即，因此②正确；
对称轴是直线，即，
∴，而，
∴，故③正确；
对称轴是直线，即，
∴，而，
∴当时，，
∴顶点为，因此④正确；
在对称轴的左侧，随的增大而减小，
即：当时，随的增大而减小，因此⑤不正确；
综上所述，正确的结论有②③④，共3个，
故选：C．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)抢分秘籍14 函数选填压轴题
（含一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】二次函数的图象和性质 【题型二】一次函数与反比例函数
【题型三】反比例函数与特殊四边形 【题型四】几何图形中动点之函数问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：反比例函数求K值未考虑图象所在的象限错误
易错点二：一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题错误
易错点三：根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误错误
：函数选填压轴题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，一次函数常考图象性质、实际应用；反比例函数侧重k的几何意义、与几何综合；二次函数聚焦图象性质、最值、与方程结合，三者均高频，二次函数更甚，常为压轴核心。
2．从题型角度看，多为含参讨论、函数与几何动态结合题，如交点存在性、图形面积最值，需数形结合与分类讨论，选项/空设计具迷惑性，考验综合分析能力。
：在中考数学备考中，熟背函数基础性质与图象，针对综合题分类型训练（如含参函数、函数几何综合），强化数形结合思维，总结解题模型（如设参表示变量、利用几何性质列方程），提升计算准确性与逻辑严密性。
【题型一】二次函数的图象和性质
【例1】（2025·广东深圳·二模）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：
x … 0 …
y … 4 0 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大
C．当时， D．二次函数的最小值是
紧抓图象三要素（开口、对称轴、顶点），结合参数符号（a、b、c）分析趋势。用特殊值法（如x=0、±1）快速定位关键点，借助判别式判断交点情况。善用对称性与最值特征，对含参问题通过临界值或代入选项验证，结合排除法缩小范围，数形结合直观破题。
【例2】（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线与交于点，以下结论：
①无论取何值，总是负数；
②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先增大后减小．
下列说法正确的是（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确
【变式1】（2025·陕西渭南·一模）老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下：
… …
… …
四位同学根据表格得到结论如下：
甲：该函数图象的对称轴为直线；
乙：当时，随的增大而减小；
丙：；
丁：图象开口向下．
针对四人的说法，其中不正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式2】（2025·湖南·二模）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2025·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（ ）
A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是
B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2
C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个
D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则
【题型二】一次函数与反比例函数
【例1】（2025·安徽滁州·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点A的横坐标为1，点B的横坐标为3．
（1）写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围 ；
（2）用含k的代数式表示的面积： ．
紧抓一次函数斜率（k）与截距（b）的几何意义，通过图象趋势分析增减性；反比例函数聚焦k的几何意义（面积不变性），联立方程转化为代数问题。遇动点或面积题，设参表示坐标，结合几何性质（如相似、面积公式）列等式，选项代入或临界值验证快速破题。
【例2】（2025·安徽滁州·一模）反比例函数的图象与直线交于点，点在线段上，过点作直线轴，直线与交于点，，则点的坐标为 ．
【变式1】（2025·广东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为 ．
【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ．
【变式3】（2025·安徽宣城·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1） ．
（2）若（不与点，重合）是线段上的动点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为 ．
【题型三】反比例函数与特殊四边形
【例1】（2025·河北邯郸·一模）如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数值有 个．
抓反比例函数点坐标特征（设为(a, k/a)），利用特殊四边形性质（如平行四边形对角线中点重合、菱形邻边相等）建立代数关系。通过中点坐标公式、距离公式联立方程，结合k的几何意义（面积）列等式，对动点问题分类讨论，代入选项或利用对称性简化运算。
【例2】（2025·广东深圳·一模）如图，矩形的两边，在坐标轴上，且，，分别为，的中点，与交于点，且四边形的面积为，则经过点的双曲线的解析式为 ．
【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的两个顶点都在反比例函数的图象上，对角线的交点恰好是原点，且对角线所在直线是第二、四象限的角平分线．若，，则反比例函数的表达式为 ．
【变式2】（2025·安徽合肥·一模）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，点关于的对称点为点，连接交反比例函数图象于点．
（1） ；
（2）点的横坐标为 ．
【变式3】（2025·安徽淮南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点.
（1）若点是的中点，则 ；
（2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是 .
【变式4】（2025·安徽蚌埠·一模）在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数 的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸 绕着原点 旋转，当旋转至如图所示位置时，点 恰好落在反比例函数的图象上， 边与反比例函数图象交于点， 边与轴交于点 ，且 ．
（1）的值为 ；
（2） 的值为 ．
【变式5】（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上（点在点的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象与斜边交于点，与斜边交于点．
（1）若是的中点，且点的坐标为，则点的坐标为 ．
（2）过点作轴于点，过点作轴于点．若是的中点，阴影部分（四边形的面积等于，则的值为 ．
【题型四】几何图形中动点之函数问题
【例1】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，点为斜边的中点，分别为边上的动点，且．设的长为的周长为，图2为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（ ）
A．2 B．4 C． D．
设动点参数（如时间t），用几何性质（相似、勾股定理等）表示坐标，建立函数关系式（常为面积、长度关于t的表达式）。抓临界位置（起点、终点、特殊位置）确定定义域，结合图象趋势分析增减性或最值。选填题可代入特殊值验证，或利用几何直观（如对称、极值）快速排除选项，注意分类讨论动点路径分段情况。
【例2】（2025·山东济南·模拟预测）如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2025·甘肃金昌·一模）如图，在平行四边形中，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为，线段的长度为，与的函数图象如图所示．若的最大值为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，扇形，一个动点从点出发，沿路线匀速运动，当点运动的时间为时，的长为，则与的关系可以用图象大致表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2025·河南驻马店·一模）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是1/秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【变式4】（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点时停止．在此过程中，的面积随着运动时间的函数图象如图所示，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（2025·新疆昌吉·一模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为 ．
【题型五】二次函数与其他函数综合问题
【例1】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线．
（1）当时，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ．
联立函数方程化为一元二次方程，用判别式判断交点个数，韦达定理分析坐标关系。结合二次函数图象开口、对称轴，通过特殊值（如顶点、端点）定位交点范围，对含参问题取临界值代入选项验证，数形结合快速排除错误答案，注意区间内交点存在性的分类讨论。
【例2】（2025·辽宁·一模）如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为 ．
【变式1】（2025·安徽滁州·一模）已知抛物线的对称轴与轴正半轴相交．
（1）不论取何值时，该抛物线过一定点，则该点坐标为 ；
（2）若点，在该抛物线上，且，，则的取值范围是 ．
【变式2】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线经过点，，
（1）抛物线的对称轴为 ；
（2）点，在抛物线上，且，则t的取值范围是 ．
【变式3】（2025·黑龙江大庆·一模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为 ．
易错点一：反比例函数求K值未考虑图象所在的象限错误
求反比例函数k值时，图象所在象限是符号判断的核心： 1. 定象限，判符号：图象在一、三象限 k＞0；二、四象限 k＜0，勿混淆符号与象限对应关系。 2. 点坐标验符号：若点在某象限，其横纵坐标同号（一、三）或异号（二、四），代入y=k/x后符号与k一致，避免忽略坐标符号直接计算。 3. 含参问题需讨论：若k含参数（如k=m+1），先由象限定k范围（如k＜0），再解参数不等式（m+1＜0），防止直接代值忽略符号约束。 易混点：误将单一象限图象当作双支，或忽略多象限点的符号矛盾，需结合图象或坐标严格推导。
例1．（2025·陕西渭南·一模）如图，点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点作轴的平行线，交轴于点．点为轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是 ．
变式1：（2025·陕西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴负半轴上，顶点O在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，的面积为6，则k的值为 ．
变式2：（2025·河北张家口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，线段经过原点，以为边作等边，反比例函数恰好过点B，则k的值为 ．
变式3：（2025·辽宁铁岭·一模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，在轴的正半轴上，与y轴交于点E，与轴交于点．若的面积为6，则的值是 ．
易错点二：一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题错误
图像共存易错点拔： 1. 符号一致性：一次函数k与b、反比例函数k、二次函数a/b/c符号需统一。如二次函数开口向上（a＞0），若一次函数过一、三象限，则k＞0，勿出现矛盾（如反比例函数k＜0却在一、三象限）。 2. 特殊点验证：x=0时，一次函数截距b与二次函数c值需对应；反比例函数无原点，勿误判图像过原点。 3. 对称轴与一次函数关联：二次函数对称轴x=-b/(2a)需与一次函数斜率k逻辑一致（如a＞0且对称轴在y轴左侧，则b＞0，对应一次函数若k=b，需k＞0）。 4. 象限分布矛盾：反比例函数双支象限需与一次函数、二次函数最值位置匹配，避免出现“二次函数最小值在第四象限，而反比例函数在一、三象限”的冲突。
例1．（2025·广东韶关·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
变式1：（2025·河南周口·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
变式2：（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
变式3：（2025·安徽宣城·一模）一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
易错点三：根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误错误
1.开口方向定a：开口向上 a＞0，向下 a＜0，勿颠倒。 2.对称轴判ab符号：对称轴x=-b/(2a)在y轴左 ab同号，右 异号，忌单独看b。 3.与y轴交点定c：交点在正半轴 c＞0，负半轴 c＜0，过原点 c=0，勿与a混淆。 4.特殊点代入易漏符号：x=1时y=a+b+c，x=-1时y=a-b+c，注意b的符号；对称轴x=1 b=-2a，勿算反。 5.判别式与交点数错联：Δ=b -4ac＞0 两交点，易漏平方或符号，多结合图像验证系数逻辑链。
例1．（2025·山东聊城·一模）如图，二次函数的对称轴是直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列说法：
①；②；③关于x的一元二次方程的两个根为，3；④若，在该抛物线上，则；⑤对任意实数m，不等式恒成立．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式1：（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（ ）个
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2：（2025·天津河东·一模）已知抛物线（是常数，）与轴交于点，对称轴为直线．有下列结论：①；②若，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；其中，正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
变式3：（2025·广东茂名·一模）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
变式4：（2025·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线不过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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