资源简介

抢分秘籍16 利用函数解决实际应用问题
（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题）
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】用一次函数解决实际问题 【题型二】用反比例函数解决实际问题
【题型三】用二次函数解决实际问题 【题型四】用一次函数和反比例函数解决实际问题
【题型五】用一次函数和二次函数解决实际问题 【题型六】用一次函数、反比例函数和二次函数解决实际问题
：利用函数解决实际应用问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，一次函数（行程、方案选择）最频，二次函数（利润、抛物线型实际问题）次之，反比例函数（工程、几何面积）偶考。增长率、最优方案、图形最值为高频场景，常与方程结合。
2．从题型角度看，以解答题为主（占20%-30%分值），含图表分析（如函数图象解读）、建模求解（列解析式求最值）；选择/填空常考基础应用（如反比例函数k的实际意义）。题干多含“最大”“最省”“关系表达式”等关键词。
：在中考数学备考中，熟模型：掌握行程、利润、几何三类核心模型，牢记一次函数增减性、二次函数顶点最值、反比例函数k的几何意义。强建模：训练从文字/图表中提取变量关系，设元后准确列函数式，注意定义域（如自变量非负、实际意义限制）。重检验：求解后验证结果是否符合实际（如人数为整数、方案可行性），多练历年真题中的综合应用题（如跨学科情境题）。
【题型一】用一次函数解决实际问题
【例1】（2025·云南保山·模拟预测）某商场购进A、B两种服装共100件．已知购进这100件服装的总费用不超过7400元，A种服装不少于60件，它们的进价和售价如下表：
商品 进价（元/件） 售价（元/件）
A 80 130
B 60 100
(1)设购进A种服装x件（x为正整数），求x的取值范围；
(2)如果购进的这100件服装全部卖完，且利润为W，求W的最大值．
【答案】(1)
(2)4700元
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一元一次不等式解决实际问题，一次函数解决实际问题．
（1）根据“总费用不超过7400元”列出不等式，求解即可；
（2）根据“利润＝（售价－进价）×数量”分别得到A，B两种服装的利润，从而列出利润W关于x的函数解析式，根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得
，
解得，
∵，
∴x的取值范围是（x是正整数）．
（2）解：由题意得：，
化简得，，
，
随的增大而增大，
当时，，即的最大值是4700元．
答：如果购进的这100件服装全部卖完，利润的最大值是4700元．
1. 明变量定关系：确定自变量（如时间x）与因变量（如路程y），通过“每单位变化量固定”（如速度、单价）判定一次函数关系，设y=kx+b。 2. 找条件求参数：利用两组对应值（如两点坐标）列方程组求k、b，或根据题意直接确定k（如斜率为速度）。 3. 画图象助分析：画函数图象（注意定义域，如x≥0），利用增减性（k>0递增，k<0递减）解决最值问题（如最优方案、临界值）。 4. 联实际验结果：求解后验证是否符合实际意义（如人数为整数、费用非负），标注单位并规范作答。
【例2】（2025·广东深圳·二模）小明用的练习本可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买．已知两超市的标价都是每本1元，但甲超市的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙超市的优惠条件是每本都按标价的卖．
(1)当小明要买20本时，到哪家超市购买较省钱？
(2)写出在甲超市购买，总价（元）与购买本数x（本）的关系式．
(3)小明现有31元，只去一个超市购买，最多可以买多少本练习本？
【答案】(1)小明要买20本时，到两家超市购买的费用相同
(2)
(3)小明用31元最多可买40本
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、有理数乘法的实际应用
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，函数关系式等知识；求出总价y甲与购买本数的关系式是解题的关键．
（1）根据两家超市的优惠条件进行计算即可；
（2）当时，，求解即可；
（3）由（1）（2）知，超过17元时，甲商店每本显然低于乙店，故用31元应到甲商店买，当时，，求解即可．
【详解】（1）解：甲超市收款为：（元），
乙超市收款为：（元），
∴小明要买20本时，到两家超市购买的费用相同；
（2）解：当时，，
即总价（元）与购买本数x（本）的关系式为；
（3）解：由（1）（2）知，超过17元时，甲商店每本显然低于乙店，故用31元应到甲商店买，
当时，，
解得：，
答：小明用31元最多可买40本．
【变式1】（2025·云南玉溪·一模）2025年1月29日全国各影院上映奇幻动画电影《哪吒2》，截至2025年2月13日14时43分，该片总票房（含点映及预售）已突破100亿元，成为中国影史首部票房破100亿的电影，该片观影人次破2亿，成为中国影史首部观影人次破2亿的电影．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价x（元/张） 50 60
售出电影票数量y（张） 124 84
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)该影院将电影票售价x定为多少时，每天的利润w（单位：元）最大？最大值是多少？（注：每天的利润票房收入运营成本）
【答案】(1)
(2)该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式．
（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质和x的取值范围，可以求得该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式是，
由表格可得，，
解得，
即y与x之间的函数关系式是（，且x是整数）；
（2）解：由题意可得，
，
∵，且x是整数，
∴当或41时，w取得最大值，此时，
答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
【变式2】（2025·河北保定·二模）在一条直线上依次有，，三个海岛，某巡逻船执行海洋巡逻任务，从岛出发沿直线匀速行驶到岛，保持速度不变，继续行驶到达岛．设该巡逻船行驶（）后，与岛的距离为（km），与的函数关系如图所示．
(1)直接写出，两海岛间的距离，并求出函数图象中括号处缺失的数据；
(2)求段的关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)在岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为，请直接写出该巡逻船能接收到该信号的时长．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，理解题目信息是解题的关键．
（1）把到，到间的距离相加即可得到两个港口间的距离，再求出巡逻船的速度，最后利用公式可求出到间的时间；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；
（3）信号覆盖范围看作一个直径为的圆，路程除以速度即可得到接收信号的时间．
【详解】（1）解：由图象可知，
两岛之间的距离为，
两岛之间的距离为，
，，三个海岛在一条直线上,
，两海岛间的距离为；
由图象可知，
巡逻船从岛到岛的时间为，
∴巡逻船的速度为，
∴巡逻船从岛至岛的时间为，
所以函数图象中括号处缺失的数据为，
故答案为：，；
（2）解：设一次函数解析式为，
将代入解析式得，
解得
∴段的关于的函数解析式为；
（3）解：该巡逻船能接收到该信号的时长为．
【变式3】（2025·天津红桥·一模）已知学生宿舍、教室、餐厅、篮球场依次在同一条直线上，教室离宿舍，餐厅离宿舍，篮球场离宿舍．小明从教室出发，先匀速步行到达篮球场，在篮球场锻炼了，之后匀速步行到达餐厅，在餐厅停留后，匀速骑行返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
小明离开宿舍的时间 5 10 20 75
小明离宿舍的距离 2
(2)填空：小明从餐厅返回宿舍的骑行速度为______；
(3)当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
(4)当小明到达餐厅时，同宿舍的小华从餐厅出发，匀速步行直接返回宿舍，如果小华比小明晚到达宿舍，那么他在回宿舍的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】(1)填表见解析
(2)
(3)
(4)
【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息
【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程三者之间的关系和用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）根据图象以及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可；
（2）根据路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可；
（3）利用待定系数法求解即可，然后写成分段函数的形式；
（4）根据题意，利用待定系数法求出小华和小明返回时离宿舍的距离y与时间x之间的关系式，根据二人离宿舍的距离相等列方程，求解再进行计算即可．
【详解】（1）解：①小明从教室到篮球场过程中的速度为：，
当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：，
由图可知，当小明离开时，他离宿舍的距离为，
当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：．
如图填表：
小明离开宿舍的时间 5 10 20 75
小明离宿舍的距离 2 2
（2）小明从餐厅到宿舍的骑行速度为．
故答案为：；
（3）当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：（，，为常数，）
将代入，得，
解得，
∴，
当时，由图像可知，小明离宿舍的距离始终为．，
∴，
当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：（、、b均为常数），
将和代入，得，
解得，
∴
综上所述，小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：．
（4）解：∵小明到达餐厅时，同宿舍的小华从餐厅出发，匀速步行直接返回宿舍，
∴小华从第时回宿舍，
∵小华比小明晚到达宿舍，
∴小华第时到达宿舍，
设小华离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为，（均为常数）
将和代入，得，
解得，
∴，
设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：（均为常数）
将和代入，得，
解得，
∴，
∵小华杰在回宿舍前往自习室的途中遇到了小明，
∴，
解得，
此时离宿舍的距离为：．
【题型二】用反比例函数解决实际问题
【例1】（2025·陕西榆林·一模）近日，中国邮政在陕西商洛启动常态化无人机邮路试运行，通过科技赋能破解山区投递“最后一公里”难题．科技创新环境下，无人机产业蓬勃发展某科技公司设计了一款儿童“迷你无人机”，并投放网上某平台进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件） 40 60 80 100 120 …
每周销售量y（件） 400 350 300 250 200 …
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若每周销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是______函数关系；（请选填“一次”“二次”“反比例”）
(2)根据以上判断，求y关于x的函数表达式；
(3)当销售单价定为140元/件时，请推算这种无人机每周销售量．
【答案】(1)描点见解析，一次
(2)
(3)这种无人机每周销售量为150件
【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、用描点法画函数图象
【分析】本题考查一次函数的应用．
（1）根据表描点，结合描点即可得到图象；
（2）设y关于x的函数表达式为（为常数，），从表格找点代入求解即可得到答案；
（3）将代入解析式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：描出各点如图所示，
若每周销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是一次函数关系，
故答案为：一次；
（2）解：设y关于x的函数表达式为（为常数，），
把代入得：
，
解得，
关于x的函数表达式为；
（3）解：当时，，
当销售单价定为140元/件时，可推算这种无人机每周销售量为150件．
1. 辨关系定模型：识别变量间“乘积为定值”（如路程=速度×时间），设反比例函数y=（k≠0），明确k的实际意义（如总工程量）。 2. 用条件求参数：代入一组对应值求k，或利用几何意义（如矩形面积|k|）确定k，注意k的符号与变量增减性关联。 3. 限定义域分析：根据实际意义确定x>0或分段取值，结合函数单调性（k>0时，x增大y减小）解决最值（如最小成本、最长时间）。 4. 联实际验结果：验证解是否符合情境（如人数为正整数），必要时用不等式限定范围，结合图象直观判断合理性。
【例2】（2025·浙江湖州·一模）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表：
频率 5 10 15 20 25 30
波长 60 30 20 15 12 10
(1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式．
(2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？
【答案】(1)
(2)
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到与成反比例函数关系是解题的关键．
（1）观察表格可得是一个定值，即与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时的值即可得到答案．
【详解】（1）解；根据表格数据的关系，可得与成反比例函数关系，
设，把代入中得：，解得，
∴．
（2）解：当时，，
∴当该电磁波的频率为时，它的波长是．
【变式1】（2025·山西朔州·一模）如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，．
(1)求与之间的函数关系．
(2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不合理，理由见解析
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题意可得与之间的函数为反比例函数，利用待定系数法即可解答；
（2）把代入函数可得小路的长，得到的结果和起点和终点间的距离比较即可解答．
【详解】（1）解；根据石板搭建的小路面积一定，可得为定值，
与之间的函数为反比例函数，
设，
把，代入可得，
，
解得，
与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得，经检验分式成立，
，
故不符合题意，设计不合理．
【变式2】（2025·广东韶关·一模）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压（单位：）一定时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当时，．
(1)求电流关于电阻的函数关系式；
(2)若，求电阻的变化范围．
【答案】(1)电流关于电阻的函数关系式为
(2)电阻的变化范围为
【知识点】求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，利用待定系数法解得电流关于电阻的函数关系式是解题关键．
（1）设与满足反比例函数关系为，利用待定系数法求解即可；
（2）分别求得当和时电阻的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：设与满足反比例函数关系为，
当时，，
∴，
∴，
∴电流关于电阻的函数关系式为；
（2）当时，，
当时，，
∴若时，电阻的变化范围为．
【变式3】如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表：
(1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点；
(2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
(3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】实际问题与反比例函数、由反比例函数值求自变量、判断（画）反比例函数图象、求反比例函数解析式
【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题的关键．
（1）在坐标系中描点连线即可；
（2）根据图象猜测是反比例函数，利用待定系数法求解；
（3）将代入（2）中结论，求出x的值即可．
【详解】（1）解：由题意，可画出图象如下：
（2）解：猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，设函数关系式为，
∵当时，，
，
解得，
∴函数关系式为；
（3）解：当时，
解得，
即活动托盘B与点O的距离是．
【变式4】（2025·河南周口·一模）如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下：
… 4 6 8 10 12 …
… 9 6 4.5 3.6 3 …
(1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式；
(2)当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？
【答案】(1)画图见解析，
(2)；弹簧秤的示数将不断增大
【知识点】实际问题与反比例函数、判断反比例函数的增减性
【分析】本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质及其应用，由图象判断出y与x之间的函数关系是解题的关键．
（1）根据表格数值描点、连线即可画出图形 ，根据图象特点判断出y与x之间的函数关系，最后利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把代入（1）所得函数解析式即可求出x，根据函数的性质即可判断弹簧秤示数的变化情况；
【详解】（1）解∶画图如下∶
由图可得，y是x的反比例函数，设，把代入得，
，
解得，
∴；
（2）解∶把代入，得，
积的，
即当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是，
∵，在第一象限内，y的值随着x的值的增大而减小，
∴随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤的示数将不断增大．
【题型三】用二次函数解决实际问题
【例1】（2025·陕西榆林·一模）碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦．阳春三月，垂柳吐绿，生机盎然，依依垂柳的新芽，形成一道美丽的风景．如图1是某公园的一棵垂柳（局部），这棵垂柳中某一枝的形状呈如图2所示的抛物线形，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式（为常数），已知这枝柳条的始端A到地面的距离，末端B恰好距离水平地面处，且末端B到树干（y轴）的水平距离为．（注：树干近似看作直线，且与地面垂直，无风，柳条不动）
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)王刚的身高为，他从点O出发沿x轴正方向走，请计算王刚走了多少米时，头顶恰好碰到这枝柳条？
【答案】(1)
(2)王刚走了时，头顶恰好碰到这枝柳条
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，得该抛物线经过点和点，进而建立方程组计算可以得解；
（2）依据题意，在中，令，从而可得，求出x后即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意知，该抛物线经过点和点，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为．
（2）在中，令，
．
（不合题意，舍去），．
王刚走了时，头顶恰好碰到这枝柳条．
1. 建模型定关系式：识别“抛物线型最值”（如利润、面积），设一般式y=ax +bx+c或顶点式y=a(x-h) +k，根据题意（如顶点、对称轴）列方程。 2. 求顶点判最值：用公式x=-求对称轴，代入得最值（a<0有最大值，a>0有最小值），注意定义域限制（如x≥0）。 3. 用图象助分析：画开口方向、对称轴、与坐标轴交点，结合实际意义（如销量非负）确定自变量范围，端点值与顶点值比较取最优解。 4. 联实际验结果：验证解是否符合情境（如产量为整数、成本合理性），标注单位并结合问题作答（如“最大利润为XX元”）。
【例2】（2025·辽宁盘锦·二模）同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式；
(2)如果身高为的小明站在之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方？请说明理由；
(3)现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳人，摇绳人，共计人．某班挑选出身高都为的个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少，那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），左边第一位同学跑离点的水平距离的取值范围？请说明理由．
【答案】(1)该抛物线解析式为．
(2)绳子不能刚好甩过他的头顶上方．
(3)的取值范围是．
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、解一元二次方程——直接开平方法、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）根据题意得出点、点、点的坐标后，代入抛物线的顶点式即可求解函数表达式；
（2）代入横坐标计算对应纵坐标，比较即可得解；
（3）通过解一元二次方程确定抛物线满足高度的区间，结合队伍长度确定取值范围．
【详解】（1）解：依题得：，，最高点纵坐标为，
，，
绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线，
点是该抛物线的顶点，横坐标应为，
，
设抛物线解析式为，
将代入可得，
该抛物线解析式为．
（2）解：依题得，小明所站位置的横坐标为，
将代入抛物线解析式得，
绳子能刚好甩过他的头顶上方，
当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子不能刚好甩过他的头顶上方．
（3）解：当时，即，
解得，，
可以站立跳绳的距离范围为，
人队伍的总长度为，
左边第一位同学跑离点的水平距离需满足，，
综合可得，的取值范围是．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求函数解析式、二次函数的实际应用、一元二次方程和二次函数综合，解题关键是熟练掌握抛物线的顶点式求解、利用抛物线对称性求解．
【变式1】（2025·山东青岛·一模）打印技术通过数字化建模与增材制造特性，成为传统工艺数字化升级与消费体验迭代的核心驱动力．在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度与体积之间的数量关系进行了统计与分析：
1号水杯所盛水的水面高度与体积的关系如表：
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.45
0 2 4 m 8 9
水面高度与体积近似地满足一次函数关系．
2号水杯所盛水的水面高度与体积的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示：
请解答下列问题：
(1)_______；
(2)求2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式；
(3)当时，在所盛水的体积相同的情况下，_______号水杯的水面高度较高（填“1”或“2”），两个水杯水面高度差的最大值是多少？
【答案】(1)6，
(2)，
(3)1，两个水杯水面高度差的最大值是1．
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质．
（1）由表格数据可知高度与体积成正比例关系，由此即可得出答案；
（2）根据待定系数法求解即可；
（3）在坐标系画出两个图象，观察图象可知，当时，在上方，由此即可得出1号水杯的水面高度较高，根据函数解析式求出两个水杯水面高度差，利用二次函数的最值求解即可，
【详解】（1）解：由表格数据可知高度与体积成正比例关系，，
当时，，即．
（2）由图可知：时，；时，，
∴，解得：
∴2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式是．
（3）由图可知：
当时，在上方，即1号水杯的水面高度较高，
两个水杯水面高度差为 ：，
当时，的最大值为1．
即两个水杯水面高度差的最大值是1．
【变式2】（2025·陕西榆林·二模）【素材1】在毕业晚会上，为了烘托晚会气氛，需要在晚会上悬挂一串彩灯，如图①．挂好后彩灯灯绳形状可近似看成由两段抛物线拼接而成．
【素材2】将图①的两段抛物线抽象成如图②所示的抛物线和抛物线，抛物线和抛物线大小形状完全相同，，，三个支撑杆均垂直于地面，垂足分别是点，，，．
【素材3】点C是的中点，．以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为．
【任务】
(1)求的值；
(2)求抛物线的函数表迭式；
(3)在抛物线的点M处绑一根竖直彩带（彩带绷直，打结处的长度忽略不计，抛物线的形状不改变），彩带末端恰好接触到地面N处，于点，，求彩带的长度．
【答案】(1)；
(2)；
(3)彩带的长度为
【知识点】二次函数图象的平移、拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解答的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可得，抛物线可由抛物线向右平移4个单位得到，据此求解即可；
（3）根据题意，求得点N的横坐标为5，求得当时，的值即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，点，均在抛物线线上，
把点，代入，
得，
解得；
（2）解：由（1）可得抛物线的函数表达式为，
根据题意可得，抛物线可由抛物线向右平移4个单位得到，
抛物线的函数表达式为；
（3）解：点C是的中点，，
，
，
当时，，
彩带的长度为．
【变式3】（2025·湖南·二模）某单位汽车停车棚如图所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系，其图象如图所示，且点和点在图象上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由．
(3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点与顶棚的竖直距离至少为米，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升米，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）将点和点代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意，当时，，即可求解；
（3）根据（2）的结论以及题意可得在上，代入，即可求解．
【详解】（1）解：将点和点代入得
解得：
∴
（2），，
，
在中，
当时，，
，
校车不能完全停到车棚内，
（3）解：依题意，设
当时，
将代入得
∴
【变式4】（2025·山西阳泉·模拟预测）综合与实践
问题情境
如图1，窑洞是黄土高原独特的居住形式，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息．为响应国家乡村振兴战略，协助当地村民改善居住环境，留住文化底蕴．当地政府计划将窑洞现有的纱布糊窗统一改为玻璃窗户，并将门上方的窗户换为断桥窗户，进一步提升窑洞的采光和通风．
方案设计
小明对窑洞进行了测量并绘制了如图2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形和抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窑洞口的最高点到地面的距离为4米，其中点在上，点在抛物线上．
方案实施
在图2中，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请按照以上方法解决问题：
(1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式．
(2)当时，求和的长．
(3)如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中，点，在抛物线上，点在上，点分别在和上．若将抛物线和构成的封闭区域内的线段定制为木质框架（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度．
【答案】(1)图见解析，抛物线的函数表达式为；
(2)，；
(3)封闭区域内木质框架的总长度为米．
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）根据题意画出坐标系，利用待定系数法求解即可；
（2）由题意设，则点的坐标为，再代入，求得，据此求解即可；
（3）设，则矩形所需的木质框架总长度，求得当，矩形所需的木质框架总长度有最大值为5，再设正方形和正方形的边长为，得到，代入，求得的值，据此求解即可．
【详解】（1）解：坐标系如图所示，
由题意得，抛物线的顶点坐标为，，
则设抛物线的函数表达式为，
将代入得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由题意得四边形为矩形，设，
∵，
∴，
∴，，
∵点在抛物线上，
∴，
解得或（舍去），
∴，；
（3）解：如图，设，，
∵四边形为矩形，且点和在抛物线上，
∴，，
∴矩形所需的木质框架总长度
，
∴当，∴矩形所需的木质框架总长度有最大值，最大值为5，
此时，，
设正方形和正方形的边长为，则，，
将代入，
得，
整理得，
解得或（舍去），
∴，
∴封闭区域内木质框架的总长度米，
即，封闭区域内木质框架的总长度为米．
【变式5】（2025·河南周口·二模）爱思考的小芳在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究．
【提出问题】排球运动过程中距地面的竖直高度与距垫球点的水平距离近似满足怎样的函数关系？
【分析问题】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系．
测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度与水平距离的几组数据如下表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点．
水平距离 0 2 4 6 8 11 12
竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00
【解决问题】
(1)①请在如图的平面直角坐标系中画出表示排球运行的轨迹；
②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式；
③通过计算，判断小宛这次发球能否过网，并说明理由．
(2)小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度，球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界（排球压线属于没出界），求击球高度的取值范围．
【答案】(1)①作图见解析；②；③能，理由见解析
(2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数)、用描点法画函数图象、二次函数图象的平移
【分析】本题考查抛物线解实际应用题，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式、抛物线的图象与性质、抛物线的平移等知识是解题的关键．
（1）①根据图中描的点进行连线即可作出图象；②根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可得到答案；③将代入抛物线解析式，求得值与比较即可得到答案；
（2）设击球高度，则平移距离为，可得平移后的抛物线的解析式为，再根据，则，，当时解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：①如图所示：
②根据题意，设与的函数关系式为，
将代入，得，
解得，即，
将下表中数据：
水平距离 0 2 4 6 8 11 12
竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00
代入检验，可知排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式为；
③能，
理由如下：
小宛这次发球是站在点，
发球点到球网水平距离为，
当时，，
这次发球能过网；
（2）解：由（1）②可知，当时，抛物线的解析式为，
设击球高度，则平移距离为，
平移后的抛物线的解析式为，
，当时，，
，
，
当时，，
，
，
答：击球高度的取值范围是．
【变式6】（2025·山东潍坊·一模）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习．
【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图．
【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题：
（3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值．
（4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）；（4）或或
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、根据旋转的性质求解、y=ax +bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式
【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质．
（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出当时，正好是汽车宽度，求出即可；
（3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出；
（4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可．
【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点，
代入顶点式得：，
∴，
解得：，
∴；
（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下：
当宽、高的厢式货车从隧道驶过时，
∴，
∴代入解析式得：；
∴，
∴厢式货车能顺利通过隧道；
（3）假设，可得，
∴；
∵矩形的周长为l，
∴，
∴当时，l的最大值为：；
（4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，，
∴，，
过点P作于点M，
∵，
∴，，
∴，，
如图，分以下三种情况：
当时，根据旋转的性质得，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴；
当时，；
当时，；
综上所述，旋转角的度数为或或．
【题型四】用一次函数和反比例函数解决实际问题
【例1】（2024·陕西渭南·模拟预测）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于，玻璃温度与时间的函数的关系如图所示，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题：
(1)求能够对玻璃进行加工的时长；
(2)求玻璃从降至室温需要的时间．
【答案】(1)
(2)
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图象，获取信息是解决本题的关键．
（1）由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点可得，；设玻璃温度上升时的函数表达式为，求得y与x的函数关系式是，于是得到结论；
（2）将代入得，根据，于是得到结论．
【详解】（1）解：由题可得，在正比例函数图象和反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，代入点可得，，
玻璃温度下降时，与的函数关系式是，
设玻璃温度上升时的函数表达式为，代入点可得，，
玻璃温度上升时，与的函数关系式是，
将代入，得，
将代入，得，
，
能够对玻璃进行加工的时长为．
（2）解：将代入得，，
，
玻璃从降至室温需要的时间为．
1. 分关系建模：识别一次函数（如固定成本+线性变化量）与反比例函数（如乘积定值关系），分别设y1=k1x+b和y2=，明确实际意义（如k2为总量）。 2. 联条件求参：用两组数据分别求k1,b和k2，注意单位统一（如速度-时间对应反比例，费用-数量对应一次函数）。 3. 结合图象分析：画两函数图象，交点为临界值，利用一次函数增减性与反比例函数单调性（分象限）判断最优方案（如最小成本区间）。 4. 验实际定义域：根据变量非负性（如x>0）及实际情境（如人数为整数）筛选解，必要时用不等式联立确定范围。
【例2】（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期末）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式，并写出相应的自变量的取值范围；
(2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾去上班？请说明理由．
【答案】(1)
(2)第二天早上能驾车去上班，见解析
【知识点】实际问题与反比例函数、求一次函数解析式、求反比例函数解析式
【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．
（1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解；
（2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
直线过，
，
，
直线的解析式为，
当时，，即，
设双曲线的解析式为，
将点代入得：，
；
（2）解：由得，
当时，，
从晚上到第二天早上时间间距为10小时，
，
第二天早上能驾车去上班．
【变式1】（2025·吉林四平·一模）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题：
(1)求施工结束后关于的函数解析式；
(2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
【答案】(1)
(2)个月
【知识点】从函数的图象获取信息、实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获取所需信息是解题的关键．
（1）利用待定系数法，将点代入，求出反比例函数解析式即可；
（2）利用（1）求出的解析式，当时，，解得，即可求出答案．
【详解】（1）解：当时，设此阶段关于的函数解析式为，
将点代入，可得，解得：，
所以施工结束后关于的函数解析式为；
（2）解：当时，，解得：，
答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住．
【变式2】（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，见解析
【知识点】求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数
【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键．
（1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式；
（2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解．
【详解】（1）解：设的函数表达式为，则：
，
，
的函数表达式为，
当时，，
可设部分双曲线的函数表达式为，
由图象可知，当时，，
，
部分双曲线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，
可得：，
解之可得：，
晚上到第二天早上的时间间隔为，，
某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升），
某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行．
【变式3】某校对教室采用药薰法进行灭蚊．根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图）．已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．
(1)求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；
(2)求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式；
(3)根据灭蚊药品使用说明，当空气中每立方米的含药量低于时，对人体是安全的．那么从开始药薰，至少经过多少时间，学生才能进入教室？
(4)根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
【答案】(1)
(2)
(3)从药薰开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室
(4)能有效杀灭室内的蚊虫，见解析
【知识点】实际问题与反比例函数、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的应用，正确数形结合得出函数解析式是解题关键．
（1）依据题意，利用待定系数法可得出答案；
（2）依据题意，利用待定系数法可得出答案；
（3）依据题意，当时，求得反比例函数的值，可得出答案；
（4）依据题意，将分别代入两个解析式，得出答案．
【详解】（1）解：由题意，设药物燃烧时y关于x的函数关系式是，将点代入，
，
，
药物燃烧时y关于x的函数关系式是，自变量 x的取值范围是；
（2）解：由题意，设药物燃烧后y关于x的函数关系式是，把代入，
，
药物燃烧后y与x的函数关系式为，自变量 x的取值范围是；
（3）解：由题意，当时，代入，
，
从药薰开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室；
（4）解：此次灭蚊有效，将分别代入，，
和，
持续时间是，
能有效杀灭室内的蚊虫．
【题型五】用一次函数和二次函数解决实际问题
【例1】（2025·云南昆明·模拟预测）某水果店出售一批水果，已知该水果的销售量（千克）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示，其中该水果的销售单价不超过元．
(1)求与的函数解析式；
(2)当水果店将该批水果的销售单价定为多少元时，销售额最大，最大销售额是多少元？
【答案】(1)
(2)该批水果的销售单价定为元时，销售额最大是元
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用)、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，熟练根据题意正确确定取值范围并列出式子是解题的关键．
（1）根据题意分时和时两段分类讨论即可；
（2）设销售额为，利用对分段函数分别求最值即可．
【详解】（1）解：由题意得，当 时，；
当时，是关于的一次函数，
设，
将和代入，得：，
解得：，
∴，
综上所述，；
（2）解：设销售额为，
当时，，
是一次函数，且随的增大而增大，
∴当时取得最大值；
当 时，，
是二次函数，且开口向下，
∴当时取得最大值，
综上所述，该批水果的销售单价定为元时，销售额最大，最大销售额是元．
1. 分场景建模：一次函数（线性变化，如匀速运动、固定单价）设y1=k1x+b，二次函数（抛物线最值，如利润、面积）设y2=ax +bx+c，根据“每…增加”“最大/小”等关键词判断。 2. 联条件求参：用实际数据（如两点坐标）求一次函数参数，用顶点（如最值点）或三点坐标求二次函数参数，注意单位统一。 3. 结合图象分析：一次函数看增减性（k1正负），二次函数用顶点(-, )和开口方向（a正负）定最值，结合定义域（如x≥0）取有效解。 4. 验实际意义：验证解是否符合情境（如销量为整数、边长为正），必要时比较端点值与顶点值，规范作答带单位。
【例2】（2025·四川成都·一模）春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品．经销售发现：当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件．设该纪念品的售价为每件元（为整数且），每天的销售量为件．
(1)求出与的函数关系式；
(2)该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)当定价为50元时，商家每天获得的最大利润为1800元．
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）分情况列出一次函数关系式即可；
（2）根据题意，求出每种情况的最大利润，再比较即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，每天的销量为，
当时，日销量为，
∴；
（2）解：设商家获得的利润为w元，
当时，则，
对称轴为，
，且x为整数，此时w随x的增大而增大，
故当时，则最大利润，
当时，则，
对称轴为，
，且x为整数，此时w随x的增大而增大，
当时，则最大利润，
综上所述：当定价为50元时，商家每天获得的利润最大，最大利润为1800元．
【变式1】（2025·湖北襄阳·一模）某商家销售一种成本为元的商品，当售价定为元件时，每天可销售件，根据经验，售价每涨价元，每天销量将减少件，且单件该商品的利润率不能超过．
(1)求每天的销量（件）与当天的销售单价（元件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润；
(3)当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于元？
【答案】(1)；
(2)当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是元；
(3)当时每天获得的利润不低于元．
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据题意列出函数关系式即可；
（）设利润为元，得出，再求出，再通过，开口向下，当时，随的增大而增大，则当时， 有最大值；
（）根据题意，得，再根据根据二次函数性质可知当时，．
【详解】（1）解：；
（2）解：设利润为元，
，
又∵单件该商品的利润率不能超过，
∴，
解得，，
∵，开口向下，当时，随的增大而增大，
∴时， 最大为元，
答：当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是元；
（3）解：根据题意，得，
解这个方程，得，，
∵，开口向下，且，
根据二次函数性质：当时，，
答：当时每天获得的利润不低于元．
【变式2】（2025·山东滨州·一模）【问题背景】
2025年春晚小品《借伞》中集齐京剧、粤剧、川剧、越剧四种不同风格的《白蛇传》，且出现的西湖竹骨绸伞是浙江省杭州地区特有的特色传统手工艺品，造型灵巧、色彩鲜艳，既可遮蔽阳光，又可作为装饰品．某商店销售一种西湖竹骨绸伞，经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如下表：
售价（元/件）
周销售量
周销售利润（元）
注：周销售利润周销售量×售价
【建立模型】
(1)求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)求周销售利润关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围），并求出周销售利润的最大值．
【答案】(1)
(2)；当售价是元时，最大利润是元；
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了一次函数解析式和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键；
（1）设函数解析式为，再运用待定系数法解答即可；
（2）先确定进价，然后再利用销售利润销售量售价进价确定二次函数解析式，然后再确定函数解析式即可．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为，
根据题意，得
，
解得
所以与的函数表达式为．
（2）进价为（元/件），
所以
所以当元时，周销售利润最大，最大利润为元．
【变式3】（2025·江西吉安·一模）小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为元，这款“中国结”的批发单价（元）与一次批发量（为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系．
(1)当时，求与的函数关系式；
(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付元，求此次批发量；
(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”（）件，小黄获得的利润为元，当为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)件
(3)当时，小黄获得的利润最大，最大利润为元
【知识点】从函数的图象获取信息、销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式
【分析】本题主要涉及一次函数的求解、一元二次方程的应用以及二次函数的最大值问题，解题的关键是通过给定的函数图像和条件，逐步求解函数关系式、批发量以及最大利润．
（1）根据图像中的两点和，利用待定系数法，求解一次函数的系数和即可；
（2）根据支付金额位于元和元之间，确定批发量位于与之间，利用函数关系式，确定，通过方程求解；
（3）利润等于收入减去成本，当时，，通过二次函数的顶点式找到的最大值；当时，，利润随增加而增加，求出的最大值；和的最大值作比较，即可得出答案．
【详解】（1）解：设当时，与的函数关系式为：，
把点和代入解析式得：，，
解得：，，
当时，与的函数关系式为：；
（2）由图可知，当时，所付款为（元），
当时，所付款为（元），
，
购买数量位于与之间，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
答：此次批发量为件；
（3）①当时，，
，
当时，有最大值，最大值为元；
②当时，批发单价固定，批发量越大，则利润越大，
当时，利润最大，最大利润为元；
综上所述，，
当时，最大，最大利润为元．
【题型六】用一次函数、反比例函数和二次函数解决实际问题
【例1】（2024·广西钦州·一模）百惠超市从果农处购进柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当销售单价为10元时，该超市每天的销售利润最大，最大利润为980元
【分析】
本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得：，
∴当时，y与x的函数关系式为，
当时，设y与x的函数关系式为，
，
解得，
即当时，y与x的函数关系式为，
综上所述，y与x的函数关系式为；
（2）解：设利润为w元，
当时，，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，此时，
当时，，
∴当x=10时，w取得最大值，此时w=980，
∵980>480，
∴当销售单价为10时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元，
答：当销售单价为10时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元．
1. 辨模型：一次函数（线性变化，如单价×数量+固定成本）、反比例函数（乘积定值，如路程=速度×时间）、二次函数（抛物线最值，如利润=销量×单利）。 2. 定解析式：一次函数用两点法求k,b，反比例函数用一点求k，二次函数用顶点或三点求a,h,k。 3. 求最值与临界：一次函数看增减性，反比例函数分象限讨论，二次函数用顶点(-, )结合定义域取最值。 4. 验实际意义：确保变量非负、符合情境（如人数为整数），结合图象直观判断合理性。
【例2】（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据：
150 170 190 210 230 250 270
a
①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
【答案】(1)，能
(2)①成反比例函数关系，，验证见解析；②当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标．
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意可得抛物线经过点，对称轴为，从而得到抛物线的解析式为，令，求出，比较即可求解；
（2）①设，将代入得，．将代入验证：当时，成立，即可求解；②将和分别代入，得，．由得，即可求解．
【详解】（1）解： 由题意得：抛物线经过点，对称轴为，
可得，
解析式为，
令，则，
，
此运动员落地达标，
故答案为：，能；
（2）解：①由表格数据可知，与的乘积相等，所以与成反比例函数关系．
设，
将代入得，
解得，
．
将代入验证：当时，成立，
能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式．
②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点，
将和分别代入，
得，．
由得，
又
．
答：当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标．
【变式1】（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示：
月份x 2 3 4 5
售价份（元） 12 8 6 4.8
甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足．
乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示．
乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克．
(1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式
(2)求与x之间的函数关系式；
(3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？
【答案】(1)（，为整数）
(2)
(3)水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、反比例函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键．
（1）依据题意，根据表格数据，可得与之间成反比例函数关系，故可设，进而计算可以得解；
（2）依据题意，将，代入中，求出，即可得解；
（3）依据题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元，从而可得
，再结合二次函数的性质进行判断可以得解．
【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，，
与之间成反比例函数关系．
故可设，
．
（，为整数）；
（2）解：由题意，将，代入中，
．
．
．
（3）解：由题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元，
则
．
，
当时，最大，最大值为1480元．
答：水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元．
【变式2】（2024·广西·一模）某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中发现销售单价x（单位：元），年销售量y（单位：万件）之间的关系如下图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式．
(2)设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最大值；
(3)在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本），决定第二年将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（），当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，简单画出w与x之间函数关系的草图，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)当时的函数解析式为，当时的函数解析式为；
(2)当时，，当时，，
当第一年的售价为16元时，第一年年利润最大值为万元；
(3)画图见解析，
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）分别设出反比例函数解析式和一次函数解析式，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据公式“总利润单件利润数量”即可得出解析式，再根据反比例函数和二次函数的性质即可得出答案；
（3）根据（2）所求列出w关于x的二次函数关系式，再令年利润等于103，解一元二次方程并结合图像性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设当时的函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴当时的函数解析式为；
设当时的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴当时的函数解析式为；
（2）解：当时，，
∵，
∴w随x增大而增大，
∴当时，W最大，最大为万元；
当时，，
∵，
∴当时，w最大，最大为万元；
∵，
∴当第一年的售价为16元时，第一年年利润最大值为万元；
（3）解：由（2）得第一年的年利润为万元，
∴16万元应作为第二年的成本，
∴第二年的年利润，
当时，解得，
在坐标系中画函数图象如下：
∴由函数图象可知，当时，第二年年利润不低于103万元．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)抢分秘籍16 利用函数解决实际应用问题
（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题）
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】用一次函数解决实际问题 【题型二】用反比例函数解决实际问题
【题型三】用二次函数解决实际问题 【题型四】用一次函数和反比例函数解决实际问题
【题型五】用一次函数和二次函数解决实际问题 【题型六】用一次函数、反比例函数和二次函数解决实际问题
：利用函数解决实际应用问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，一次函数（行程、方案选择）最频，二次函数（利润、抛物线型实际问题）次之，反比例函数（工程、几何面积）偶考。增长率、最优方案、图形最值为高频场景，常与方程结合。
2．从题型角度看，以解答题为主（占20%-30%分值），含图表分析（如函数图象解读）、建模求解（列解析式求最值）；选择/填空常考基础应用（如反比例函数k的实际意义）。题干多含“最大”“最省”“关系表达式”等关键词。
：在中考数学备考中，熟模型：掌握行程、利润、几何三类核心模型，牢记一次函数增减性、二次函数顶点最值、反比例函数k的几何意义。强建模：训练从文字/图表中提取变量关系，设元后准确列函数式，注意定义域（如自变量非负、实际意义限制）。重检验：求解后验证结果是否符合实际（如人数为整数、方案可行性），多练历年真题中的综合应用题（如跨学科情境题）。
【题型一】用一次函数解决实际问题
【例1】（2025·云南保山·模拟预测）某商场购进A、B两种服装共100件．已知购进这100件服装的总费用不超过7400元，A种服装不少于60件，它们的进价和售价如下表：
商品 进价（元/件） 售价（元/件）
A 80 130
B 60 100
(1)设购进A种服装x件（x为正整数），求x的取值范围；
(2)如果购进的这100件服装全部卖完，且利润为W，求W的最大值．
1. 明变量定关系：确定自变量（如时间x）与因变量（如路程y），通过“每单位变化量固定”（如速度、单价）判定一次函数关系，设y=kx+b。 2. 找条件求参数：利用两组对应值（如两点坐标）列方程组求k、b，或根据题意直接确定k（如斜率为速度）。 3. 画图象助分析：画函数图象（注意定义域，如x≥0），利用增减性（k>0递增，k<0递减）解决最值问题（如最优方案、临界值）。 4. 联实际验结果：求解后验证是否符合实际意义（如人数为整数、费用非负），标注单位并规范作答。
【例2】（2025·广东深圳·二模）小明用的练习本可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买．已知两超市的标价都是每本1元，但甲超市的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙超市的优惠条件是每本都按标价的卖．
(1)当小明要买20本时，到哪家超市购买较省钱？
(2)写出在甲超市购买，总价（元）与购买本数x（本）的关系式．
(3)小明现有31元，只去一个超市购买，最多可以买多少本练习本？
【变式1】（2025·云南玉溪·一模）2025年1月29日全国各影院上映奇幻动画电影《哪吒2》，截至2025年2月13日14时43分，该片总票房（含点映及预售）已突破100亿元，成为中国影史首部票房破100亿的电影，该片观影人次破2亿，成为中国影史首部观影人次破2亿的电影．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价x（元/张） 50 60
售出电影票数量y（张） 124 84
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)该影院将电影票售价x定为多少时，每天的利润w（单位：元）最大？最大值是多少？（注：每天的利润票房收入运营成本）
【变式2】（2025·河北保定·二模）在一条直线上依次有，，三个海岛，某巡逻船执行海洋巡逻任务，从岛出发沿直线匀速行驶到岛，保持速度不变，继续行驶到达岛．设该巡逻船行驶（）后，与岛的距离为（km），与的函数关系如图所示．
(1)直接写出，两海岛间的距离，并求出函数图象中括号处缺失的数据；
(2)求段的关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)在岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为，请直接写出该巡逻船能接收到该信号的时长．
【变式3】（2025·天津红桥·一模）已知学生宿舍、教室、餐厅、篮球场依次在同一条直线上，教室离宿舍，餐厅离宿舍，篮球场离宿舍．小明从教室出发，先匀速步行到达篮球场，在篮球场锻炼了，之后匀速步行到达餐厅，在餐厅停留后，匀速骑行返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
小明离开宿舍的时间 5 10 20 75
小明离宿舍的距离 2
(2)填空：小明从餐厅返回宿舍的骑行速度为______；
(3)当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
(4)当小明到达餐厅时，同宿舍的小华从餐厅出发，匀速步行直接返回宿舍，如果小华比小明晚到达宿舍，那么他在回宿舍的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）
小明离开宿舍的时间 5 10 20 75
小明离宿舍的距离 2 2
【题型二】用反比例函数解决实际问题
【例1】（2025·陕西榆林·一模）近日，中国邮政在陕西商洛启动常态化无人机邮路试运行，通过科技赋能破解山区投递“最后一公里”难题．科技创新环境下，无人机产业蓬勃发展某科技公司设计了一款儿童“迷你无人机”，并投放网上某平台进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件） 40 60 80 100 120 …
每周销售量y（件） 400 350 300 250 200 …
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若每周销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是______函数关系；（请选填“一次”“二次”“反比例”）
(2)根据以上判断，求y关于x的函数表达式；
(3)当销售单价定为140元/件时，请推算这种无人机每周销售量．
1. 辨关系定模型：识别变量间“乘积为定值”（如路程=速度×时间），设反比例函数y=（k≠0），明确k的实际意义（如总工程量）。 2. 用条件求参数：代入一组对应值求k，或利用几何意义（如矩形面积|k|）确定k，注意k的符号与变量增减性关联。 3. 限定义域分析：根据实际意义确定x>0或分段取值，结合函数单调性（k>0时，x增大y减小）解决最值（如最小成本、最长时间）。 4. 联实际验结果：验证解是否符合情境（如人数为正整数），必要时用不等式限定范围，结合图象直观判断合理性。
【例2】（2025·浙江湖州·一模）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表：
频率 5 10 15 20 25 30
波长 60 30 20 15 12 10
(1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式．
(2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？
【变式1】（2025·山西朔州·一模）如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，．
(1)求与之间的函数关系．
(2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由．
【变式2】（2025·广东韶关·一模）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压（单位：）一定时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当时，．
(1)求电流关于电阻的函数关系式；
(2)若，求电阻的变化范围．
【变式3】如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表：
(1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点；
(2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
(3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？
【变式4】（2025·河南周口·一模）如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下：
… 4 6 8 10 12 …
… 9 6 4.5 3.6 3 …
(1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式；
(2)当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？
【题型三】用二次函数解决实际问题
【例1】（2025·陕西榆林·一模）碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦．阳春三月，垂柳吐绿，生机盎然，依依垂柳的新芽，形成一道美丽的风景．如图1是某公园的一棵垂柳（局部），这棵垂柳中某一枝的形状呈如图2所示的抛物线形，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式（为常数），已知这枝柳条的始端A到地面的距离，末端B恰好距离水平地面处，且末端B到树干（y轴）的水平距离为．（注：树干近似看作直线，且与地面垂直，无风，柳条不动）
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)王刚的身高为，他从点O出发沿x轴正方向走，请计算王刚走了多少米时，头顶恰好碰到这枝柳条？
1. 建模型定关系式：识别“抛物线型最值”（如利润、面积），设一般式y=ax +bx+c或顶点式y=a(x-h) +k，根据题意（如顶点、对称轴）列方程。 2. 求顶点判最值：用公式x=-求对称轴，代入得最值（a<0有最大值，a>0有最小值），注意定义域限制（如x≥0）。 3. 用图象助分析：画开口方向、对称轴、与坐标轴交点，结合实际意义（如销量非负）确定自变量范围，端点值与顶点值比较取最优解。 4. 联实际验结果：验证解是否符合情境（如产量为整数、成本合理性），标注单位并结合问题作答（如“最大利润为XX元”）。
【例2】（2025·辽宁盘锦·二模）同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式；
(2)如果身高为的小明站在之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点的水平距离为时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方？请说明理由；
(3)现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳人，摇绳人，共计人．某班挑选出身高都为的个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少，那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），左边第一位同学跑离点的水平距离的取值范围？请说明理由．
【变式1】（2025·山东青岛·一模）打印技术通过数字化建模与增材制造特性，成为传统工艺数字化升级与消费体验迭代的核心驱动力．在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度与体积之间的数量关系进行了统计与分析：
1号水杯所盛水的水面高度与体积的关系如表：
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.45
0 2 4 m 8 9
水面高度与体积近似地满足一次函数关系．
2号水杯所盛水的水面高度与体积的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示：
请解答下列问题：
(1)_______；
(2)求2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式；
(3)当时，在所盛水的体积相同的情况下，_______号水杯的水面高度较高（填“1”或“2”），两个水杯水面高度差的最大值是多少？
【变式2】（2025·陕西榆林·二模）【素材1】在毕业晚会上，为了烘托晚会气氛，需要在晚会上悬挂一串彩灯，如图①．挂好后彩灯灯绳形状可近似看成由两段抛物线拼接而成．
【素材2】将图①的两段抛物线抽象成如图②所示的抛物线和抛物线，抛物线和抛物线大小形状完全相同，，，三个支撑杆均垂直于地面，垂足分别是点，，，．
【素材3】点C是的中点，．以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为．
【任务】
(1)求的值；
(2)求抛物线的函数表迭式；
(3)在抛物线的点M处绑一根竖直彩带（彩带绷直，打结处的长度忽略不计，抛物线的形状不改变），彩带末端恰好接触到地面N处，于点，，求彩带的长度．
【变式3】（2025·湖南·二模）某单位汽车停车棚如图所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系，其图象如图所示，且点和点在图象上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由．
(3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点与顶棚的竖直距离至少为米，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升米，求的值．
【变式4】（2025·山西阳泉·模拟预测）综合与实践
问题情境
如图1，窑洞是黄土高原独特的居住形式，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息．为响应国家乡村振兴战略，协助当地村民改善居住环境，留住文化底蕴．当地政府计划将窑洞现有的纱布糊窗统一改为玻璃窗户，并将门上方的窗户换为断桥窗户，进一步提升窑洞的采光和通风．
方案设计
小明对窑洞进行了测量并绘制了如图2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形和抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窑洞口的最高点到地面的距离为4米，其中点在上，点在抛物线上．
方案实施
在图2中，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请按照以上方法解决问题：
(1)请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式．
(2)当时，求和的长．
(3)如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中，点，在抛物线上，点在上，点分别在和上．若将抛物线和构成的封闭区域内的线段定制为木质框架（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度．
【变式5】（2025·河南周口·二模）爱思考的小芳在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究．
【提出问题】排球运动过程中距地面的竖直高度与距垫球点的水平距离近似满足怎样的函数关系？
【分析问题】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系．
测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度与水平距离的几组数据如下表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点．
水平距离 0 2 4 6 8 11 12
竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00
【解决问题】
(1)①请在如图的平面直角坐标系中画出表示排球运行的轨迹；
②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式；
③通过计算，判断小宛这次发球能否过网，并说明理由．
(2)小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度，球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界（排球压线属于没出界），求击球高度的取值范围．
水平距离 0 2 4 6 8 11 12
竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00
【变式6】（2025·山东潍坊·一模）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习．
【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图．
【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题：
（3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值．
（4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
【题型四】用一次函数和反比例函数解决实际问题
【例1】（2024·陕西渭南·模拟预测）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于，玻璃温度与时间的函数的关系如图所示，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题：
(1)求能够对玻璃进行加工的时长；
(2)求玻璃从降至室温需要的时间．
1. 分关系建模：识别一次函数（如固定成本+线性变化量）与反比例函数（如乘积定值关系），分别设y1=k1x+b和y2=，明确实际意义（如k2为总量）。 2. 联条件求参：用两组数据分别求k1,b和k2，注意单位统一（如速度-时间对应反比例，费用-数量对应一次函数）。 3. 结合图象分析：画两函数图象，交点为临界值，利用一次函数增减性与反比例函数单调性（分象限）判断最优方案（如最小成本区间）。 4. 验实际定义域：根据变量非负性（如x>0）及实际情境（如人数为整数）筛选解，必要时用不等式联立确定范围。
【例2】（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期末）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式，并写出相应的自变量的取值范围；
(2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾去上班？请说明理由．
【变式1】（2025·吉林四平·一模）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题：
(1)求施工结束后关于的函数解析式；
(2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
【变式2】（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
【变式3】某校对教室采用药薰法进行灭蚊．根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图）．已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．
(1)求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；
(2)求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式；
(3)根据灭蚊药品使用说明，当空气中每立方米的含药量低于时，对人体是安全的．那么从开始药薰，至少经过多少时间，学生才能进入教室？
(4)根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
【题型五】用一次函数和二次函数解决实际问题
【例1】（2025·云南昆明·模拟预测）某水果店出售一批水果，已知该水果的销售量（千克）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示，其中该水果的销售单价不超过元．
(1)求与的函数解析式；
(2)当水果店将该批水果的销售单价定为多少元时，销售额最大，最大销售额是多少元？
1. 分场景建模：一次函数（线性变化，如匀速运动、固定单价）设y1=k1x+b，二次函数（抛物线最值，如利润、面积）设y2=ax +bx+c，根据“每…增加”“最大/小”等关键词判断。 2. 联条件求参：用实际数据（如两点坐标）求一次函数参数，用顶点（如最值点）或三点坐标求二次函数参数，注意单位统一。 3. 结合图象分析：一次函数看增减性（k1正负），二次函数用顶点(-, )和开口方向（a正负）定最值，结合定义域（如x≥0）取有效解。 4. 验实际意义：验证解是否符合情境（如销量为整数、边长为正），必要时比较端点值与顶点值，规范作答带单位。
【例2】（2025·四川成都·一模）春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品．经销售发现：当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件．设该纪念品的售价为每件元（为整数且），每天的销售量为件．
(1)求出与的函数关系式；
(2)该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？
【变式1】（2025·湖北襄阳·一模）某商家销售一种成本为元的商品，当售价定为元件时，每天可销售件，根据经验，售价每涨价元，每天销量将减少件，且单件该商品的利润率不能超过．
(1)求每天的销量（件）与当天的销售单价（元件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润；
(3)当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于元？
【变式2】（2025·山东滨州·一模）【问题背景】
2025年春晚小品《借伞》中集齐京剧、粤剧、川剧、越剧四种不同风格的《白蛇传》，且出现的西湖竹骨绸伞是浙江省杭州地区特有的特色传统手工艺品，造型灵巧、色彩鲜艳，既可遮蔽阳光，又可作为装饰品．某商店销售一种西湖竹骨绸伞，经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如下表：
售价（元/件）
周销售量
周销售利润（元）
注：周销售利润周销售量×售价
【建立模型】
(1)求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)求周销售利润关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围），并求出周销售利润的最大值．
【变式3】（2025·江西吉安·一模）小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为元，这款“中国结”的批发单价（元）与一次批发量（为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系．
(1)当时，求与的函数关系式；
(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付元，求此次批发量；
(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”（）件，小黄获得的利润为元，当为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少？
【题型六】用一次函数、反比例函数和二次函数解决实际问题
【例1】（2024·广西钦州·一模）百惠超市从果农处购进柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
1. 辨模型：一次函数（线性变化，如单价×数量+固定成本）、反比例函数（乘积定值，如路程=速度×时间）、二次函数（抛物线最值，如利润=销量×单利）。 2. 定解析式：一次函数用两点法求k,b，反比例函数用一点求k，二次函数用顶点或三点求a,h,k。 3. 求最值与临界：一次函数看增减性，反比例函数分象限讨论，二次函数用顶点(-, )结合定义域取最值。 4. 验实际意义：确保变量非负、符合情境（如人数为整数），结合图象直观判断合理性。
【例2】（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据：
150 170 190 210 230 250 270
a
①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
【变式1】（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示：
月份x 2 3 4 5
售价份（元） 12 8 6 4.8
甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足．
乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示．
乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克．
(1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式
(2)求与x之间的函数关系式；
(3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？
【变式2】（2024·广西·一模）某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中发现销售单价x（单位：元），年销售量y（单位：万件）之间的关系如下图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式．
(2)设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最大值；
(3)在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本），决定第二年将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（），当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，简单画出w与x之间函数关系的草图，直接写出x的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑