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抢分秘籍18 二次函数中平移、翻折、旋转综合问题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】二次函数中的平移综合问题 【题型二】二次函数中的翻折综合问题
【题型三】二次函数中的旋转综合问题
：二次函数中平移、翻折、旋转综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，平移为高频考点，常考解析式变化；翻折为中频，涉及对称轴变换；旋转低频，多与坐标系结合。各地差异小，平移占比约30%，翻折20%，旋转10%左右。
2．从题型角度看，平移、翻折多现选择填空（直接求解析式）或解答题第一问（基础变换）；旋转常融综合题（如与几何图形结合求坐标），压轴题占比约15%，侧重逻辑推导。
：在中考数学备考中，熟记变换规律（如平移“左加右减”、翻折符号变化、旋转坐标公式）；分类练基础题与综合题，注意变换后图形性质；压轴题需结合函数与几何，用方程思想联立求解，强化画图分析能力。
【题型一】二次函数中的平移综合问题
【例1】（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数解析式及其对称轴；
(2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值；
(3)当时，二次函数的最小值为，求的值．
1. 用顶点式分析：设原函数为y = a(x - h)2 + k，平移后顶点为(h', k')，则新解析式为y = a(x - h')2 + k'。 2. 记平移规律：左右平移变h（左加右减），上下平移变k（上加下减）。如向右移m个单位，得y = a(x - h - m)2 + k。 3. 分步平移：先左右再上下，或反之，结果一致。 4. 一般式转换：若为一般式，先配方成顶点式再平移，避免符号错误。
【例2】（2025·安徽合肥·一模）已知二次函数的图象经过点，．
(1)求，的值．
(2)求当时，二次函数的最大值．
(3)现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式．
【变式1】（2025·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值．
(3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
【变式2】（2025·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点，连接，当线段长度取得最大值时，求的最大值，及此时点的坐标；
(3)如图，将抛物线，先向右平移个单位长度，再像上平移个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点的坐标．
【变式3】（2025·湖南衡阳·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
(3)将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形．
【题型二】二次函数中的翻折综合问题
【例1】（2025·湖南·二模）已知抛物线．
(1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值；
(2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求的值；
②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）．
1. 明确对称轴： x轴翻折：顶点(h,k)变(h,-k)，开口反向（a变-a），解析式为y=-a(x-h)2-k。 y轴翻折：顶点变(-h,k)，开口不变，解析式为y=a(x+h)2 +k。 2. 一般式处理：先配方成顶点式再翻折，避免符号错误。 3. 利用对称点：任一点(x,y)关于轴翻折后坐标代入原函数，直接推导新解析式（如关于x轴翻折，用y→ -y替换）。
【例2】（2025·山东济南·一模）如图1，抛物线经过点、，对称轴为直线，直线与x轴所夹锐角为，与y轴交于点E．
(1)求抛物线和直线的表达式；
(2)将抛物线沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离；
(3)如图2，将抛物线沿直线翻折，得到新曲线，与y轴交于M、N两点，请直接写出点坐标．
【变式1】（2025·广西南宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
(1)求出该抛物线的解析式；
(2)当时，求的最小值；
(3)把抛物线的图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴下方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值．
【变式2】（2025·上海静安·一模）已知抛物线上，其与部分对应值如下表：
x … …
y … …
(1)求此抛物线的表达式；
(2)设此抛物线的顶点为，将此抛物线沿着平行于轴的直线翻折，翻折后得新抛物线．
①设此抛物线与轴的交点为（点在点的左侧），且的重心恰好落在直线上，求此时新抛物线的表达式；
②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线上所截得的线段长．
【变式3】（2025·吉林·一模）如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交轴于点．
(1)①求抛物线的解析式；
②求二次函数的最小值．
(2)①直接写出图象的解析式；
②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围．
(3)若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值．
【题型三】二次函数中的旋转综合问题
【例1】（2025·湖南永州·一模）如图，已知抛物线，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线相交于A，B两点．
(1)求m的值；
(2)求直线对应的一次函数表达式；
(3)抛物线位于A，B两点之间的部分图形记作W，过点M的直线l与W相交于E，F两点，连接，求面积的最大值及此时对应的E点坐标．
1. 确定旋转中心与角度：初中常考绕原点或顶点旋转180°。 绕原点转180°：顶点(h,k)变(-h,-k)，a变-a，解析式为y = -a(x + h)2 - k。 绕顶点转180°：顶点不变，开口反向，解析式为y = -a(x - h)2 + k。 2. 坐标变换法：任一点(x,y)旋转后坐标代入原函数，整理得新解析式（如绕原点转180°，用x→-x，y→-y替换）。 3. 验对称性：旋转后图像应关于中心对称，检查顶点与开口方向是否符合。
【例2】（2025·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求的面积；
(3)若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值．
【变式1】（2024·河南焦作·二模）已知抛物线的顶点为D．
(1)若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标；
(2)在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为．
①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）；
②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围．
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【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】二次函数中的平移综合问题 【题型二】二次函数中的翻折综合问题
【题型三】二次函数中的旋转综合问题
：二次函数中平移、翻折、旋转综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，平移为高频考点，常考解析式变化；翻折为中频，涉及对称轴变换；旋转低频，多与坐标系结合。各地差异小，平移占比约30%，翻折20%，旋转10%左右。
2．从题型角度看，平移、翻折多现选择填空（直接求解析式）或解答题第一问（基础变换）；旋转常融综合题（如与几何图形结合求坐标），压轴题占比约15%，侧重逻辑推导。
：在中考数学备考中，熟记变换规律（如平移“左加右减”、翻折符号变化、旋转坐标公式）；分类练基础题与综合题，注意变换后图形性质；压轴题需结合函数与几何，用方程思想联立求解，强化画图分析能力。
【题型一】二次函数中的平移综合问题
【例1】（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数解析式及其对称轴；
(2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值；
(3)当时，二次函数的最小值为，求的值．
【答案】(1)，对称轴为直线
(2)
(3)
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的最值、二次函数图象的平移
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键．
（1）代入点B坐标计算，求出b，再根据求出对称轴即可；
（2）设点、，则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，通过对称轴不变来解出t，从而得出上移距离m．
（3）先求出抛物线的顶点为，再分和两种情况来讨论函数的最小值即可，注意求出的值和和得到的范围一致才是有解．
【详解】（1）解：将代入函数表达式得：，则，
即抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）解：当时，
设点、，
则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，则，
则点、的坐标分别为：、，
则新抛物线的表达式为：，
即；
（3）解：由（1）知，抛物线的顶点为，
当，即时，
抛物线在顶点处取得最小值，即，则；
当时，即时，
则抛物线在时取得最小值，即，
解得：（舍去）或6（舍去），
综上，．
1. 用顶点式分析：设原函数为y = a(x - h)2 + k，平移后顶点为(h', k')，则新解析式为y = a(x - h')2 + k'。 2. 记平移规律：左右平移变h（左加右减），上下平移变k（上加下减）。如向右移m个单位，得y = a(x - h - m)2 + k。 3. 分步平移：先左右再上下，或反之，结果一致。 4. 一般式转换：若为一般式，先配方成顶点式再平移，避免符号错误。
【例2】（2025·安徽合肥·一模）已知二次函数的图象经过点，．
(1)求，的值．
(2)求当时，二次函数的最大值．
(3)现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，正确的理解题意是解题的关键．
（1）把点，代入，即可求得b、c的值；
（2）根据二次函数的性质即可求得；
（3）平移后新的二次函数的表达式为，分三种情况讨论：①当，即时，在对称轴的右侧，②当，即时， ③当，即时，在对称轴的左侧，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点，代入，
得解得
，的值分别是，．
（2）解：二次函数的表达式为，
二次函数图象的对称轴为直线．
，
二次函数图象的开口向上，当时，随的增大而减小．
，
当时，二次函数有最大值，最大值为．
（3）解：平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线．
分三种情况讨论：
①当，即时，在对称轴的右侧，
二次函数在取得最小值，
，解得或，不符合题意．
②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意．
③当，即时，在对称轴的左侧，
二次函数在时取得最小值，
，解得或（舍去），
此时二次函数的表达式为，即．
综上所述，平移后新的二次函数的表达式为．
【变式1】（2025·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值．
(3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)最小值为
(3)存在，点Q的横坐标为或．
【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)
【分析】（1）对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．由根与系数关系可得：，，得到，即可得到答案；
（2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．过点E作交y轴于点F．求出．得到．当时，点M坐标为，面积最大．得到的最小值为；
（3）点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限，分情况进行解答即可．
【详解】（1）解：对于，令．
∴．
∴根据图象可知：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为．
对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．
由根与系数关系可得：，
∴．
∴抛物线的解析式为．
（2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．
过点E作交y轴于点F．
根据题意，为等腰直角三角形．
故直线相当于直线向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线的解析式为：．
∴点G坐标为．
∵，，
．
∴．
当时，点M坐标为，面积最大．
此时点H与点E重合，点M与点G重合，
当点M坐标为时，为和为的中位线，点F坐标为，点N的轨迹在与射线平行的射线上．
作点C关于直线对称点，根据为等腰直角三角形，可得点坐标为．
∴．
∵，
∴四边形在平移时始终为平行四边形，．
∴．
对于，，．
∴．
∴的最小值为．
故面积最大时，的最小值为2．
（3）根据题意，则，故抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线．相当于抛物线y先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．如图，
根据平移性质可得．
由（2）知．
，则．
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴直线相当于直线向左平移了2个长度单位，
∴直线的解析式为．
如图，点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限：
①点是和新抛物线y′的交点，满足．
结合直线和新抛物线的解析式：．
解得或，
由于在第三象限，所以的横坐标为．
②作出点A关于的对称点，然后作轴，T为垂足，再连接交抛物线右侧于点．
这样根据轴对称的性质，．
设交于点R．
∵，
∴．，
∵，即，
把，，代入比例式解得：
．
在中， ．
∴点的坐标为．
设直线的解析式为：，代入点P和点的坐标得：
，解得．
∴直线的解析式为：y．
结合抛物线可得： ，解得或．
由于点在第四象限，所以的横坐标为：．
综合①②可得，点Q的横坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、函数的平移和对称等知识，分情况讨论是解题的关键．
【变式2】（2025·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点，连接，当线段长度取得最大值时，求的最大值，及此时点的坐标；
(3)如图，将抛物线，先向右平移个单位长度，再像上平移个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时点的坐标为
(3)点的坐标为或
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移
【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得直线的解析式为．设，则，得出的关系式，进而得出当点，，三点在一条直线上时，取得最大值为，延长，交轴于点，得出为等腰直角三角形，进而得出点的坐标为；
（3）根据平移得出新抛物线的解析式，设直线与轴交于点，证明，，根据相似三角形的性质得出的坐标，进而求得直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
，，
该抛物线的函数表达式为；
（2）设直线的解析式为，
，，
直线的解析式为．
设，则，
点是抛物线上位于直线下方一动点，
，
，
当时，取得最大值为，此时点．
点是轴上的一个动点，
，
当点，，三点在一条直线上时，取得最大值为，
延长，交轴于点，如图，
则轴，
，，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
．
当线段长度取得最大值时，的最大值为，此时点的坐标为；
（3），
将抛物线，先向右平移个单位长度，再像上平移个单位长度，得到新抛物线的解析式为 ．
设直线与轴交于点，如图，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
设直线的解析式为，
，，
直线的解析式为．
，，．
点的坐标为或
【变式3】（2025·湖南衡阳·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
(3)将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形．
【答案】(1)
(2)的值为定值10，理由见详解
(3)点坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，抛物线和菱形的综合等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和菱形的判定和性质．
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）过点作轴于点，得出，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于的代数式，化简代数式即可得出结论；
（3）根据菱形的判定和性质分类讨论，根据题意画出图形，假设出点的坐标，根据对边平行且相等列出方程，解方程即可得出坐标．
【详解】（1）解：将，两点代入得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：的值为定值10，理由如下，
如图，过点作轴于点,则,
∴,
即
假设点坐标为，则点坐标为，
∴，，,，，
∴，
整理得，
∴的值为定值10；
（3）解：平移后抛物线的表达式为，
整理得，
联立，
解得，
∴点坐标为，
∴根据勾股定理得，
抛物线的对称轴为直线，
①当以点为圆心长为半径画圆时，此圆与直线无交点，因为点到直线的距离为；
②当以点为圆心长为半径画圆时，如下图所示，
假设交点坐标为，
∴
解得或，
即，
假设，
∵,
∴，；，；
解得；；
所以此时；
③当为菱形的对角线时，作的垂直平分线，交对称轴于点，如下图所示，
假设，
∴
即
解得
∴
假设，根据得，
，
解得，
所以此时
综上可得点坐标为或．
【题型二】二次函数中的翻折综合问题
【例1】（2025·湖南·二模）已知抛物线．
(1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值；
(2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求的值；
②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线；
(2)①；②
【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、y=ax +bx+c的图象与性质、全等三角形综合问题、其他问题(二次函数综合)
【分析】本题考查二次函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；
（1）根据题意，分别求出抛物线的对称轴和点的纵坐标，即可求解；
（2）①证明，即可求解；
②当且和时，证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解；
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
当时
根据翻折可知点的纵坐标为，即点的坐标为 ．
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，
图象“W”的解析式为：，
①当时，图象“G”的解析式为：，
设直线的解析式为，
当时，
解得：或；
点的横坐标为，
当，
解得：或；
点的横坐标为；
当时，
解得：或；
点的横坐标为；
如图，作轴，过点作轴交于点，
作轴，过点作交于点，
由各点横坐标可得：，
，
，
轴，轴，
，
，
，，
，
，
，
；
②当且时，图象“G”是解析式为：，
由①可得点的横坐标为，点的横坐标为，
当，
解得：，
点的横坐标为：；
当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点；
由各点横坐标可得：，
，
，，
，
，
；
当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，
由各点横坐标可得：，
，
，，
，
，
则；
综上所述，用含的式子表示为；
1. 明确对称轴： x轴翻折：顶点(h,k)变(h,-k)，开口反向（a变-a），解析式为y=-a(x-h)2-k。 y轴翻折：顶点变(-h,k)，开口不变，解析式为y=a(x+h)2 +k。 2. 一般式处理：先配方成顶点式再翻折，避免符号错误。 3. 利用对称点：任一点(x,y)关于轴翻折后坐标代入原函数，直接推导新解析式（如关于x轴翻折，用y→ -y替换）。
【例2】（2025·山东济南·一模）如图1，抛物线经过点、，对称轴为直线，直线与x轴所夹锐角为，与y轴交于点E．
(1)求抛物线和直线的表达式；
(2)将抛物线沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离；
(3)如图2，将抛物线沿直线翻折，得到新曲线，与y轴交于M、N两点，请直接写出点坐标．
【答案】(1)和
(2)若抛物线向右下方平移单位
(3)
【知识点】其他问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移
【分析】本题考查二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键；
（1）根据题意，可得抛物线对称轴为直线，再将，，代入表达式，根据题意，再求解一次函数解析式，即可求解；
（2）根据题意，分情况若抛物线向左上方平移，若抛物线向右下方平移分别讨论，即可求解；
（3）根据题意，设，进而求解的坐标，将代入，求解即可
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，经过点，
∴抛物线 经过点，
设抛物线表达式为，
将，，代入表达式，
，
∴抛物线为，
∵直线 与轴所夹锐角为，
，
，
设直线表达式为，把，代入，
得，
解得
直线：，
∴抛物线和直线的表达式分别为：和；
（2）解：①若抛物线向左上方平移，则抛物线与直线始终有两个交点，不合题意；
②若抛物线向右下方平移，
∵二四象限角平分线表达式：，
∴抛物线向右平移单位的同时向下平移单位，
∵原抛物线 为，
∴其顶点为，
∴平移后顶点为，
∴平移后抛物线表达式为，
令，
若平移后抛物线与直线只有一个交点，
则,
，
平移的距离为；
（3）解：设，
则点关于的对称点为，
，
则的横坐标为：，
则的解析式为：，
因为该点在直线上，
则；
将代入，
可得：，
解得：或（舍去）；
点坐标为：
【变式1】（2025·广西南宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
(1)求出该抛物线的解析式；
(2)当时，求的最小值；
(3)把抛物线的图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴下方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值．
【答案】(1)
(2)当时，函数最小值为；当时，函数最小值为
(3)
【知识点】y=ax +bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到图象的翻折、待定系数法求函数表达式，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．
（1）由题意得：，即可求解；
（2）根据题意分和两种情况分别求解即可；
（3）由函数的对称性知，，则，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，当时，函数取得最小值，即；
当时，抛物线在顶点处取得最小值，即，
综上，当时，函数最小值为；当时，函数最小值为；
（3）解：由函数的对称性知，，则，
即，
解得：．
【变式2】（2025·上海静安·一模）已知抛物线上，其与部分对应值如下表：
x … …
y … …
(1)求此抛物线的表达式；
(2)设此抛物线的顶点为，将此抛物线沿着平行于轴的直线翻折，翻折后得新抛物线．
①设此抛物线与轴的交点为（点在点的左侧），且的重心恰好落在直线上，求此时新抛物线的表达式；
②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线上所截得的线段长．
【答案】(1)
(2)①②
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、重心的有关性质、折叠问题
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式及二次函数图象的性质，折叠的性质，重心的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据题意，运用两点式，设，运用待定系数法即可求解；
（2）①将抛物线的一般式化为顶点式得到点的坐标为，如图所示，过点作垂直轴于点，根据是的重心，得到，则新抛物线的顶点坐标为，根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反，由此即可求解；②设直线与轴的交点为，则关于直线的对称点为，由此得到新抛物线的表达式为，根据它经过原点，得到解得，所以令，代入，由此即可求解．
【详解】（1）解：当时，，当时，，
∴设抛物线的表达式为，
把代入，，
解得，
∴此抛物线的表达式为．
（2）解：①∵，
∴点的坐标为，
如图所示，过点作垂直轴于点，
∴，
∵是的重心，
∴，
∵在直线上，且新抛物线与原抛物线的图像关于直线对称，
∴新抛物线的顶点坐标为，
∴根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反，
∴新抛物线的表达式为；
②设直线与轴的交点为，
∴关于直线的对称点为，
∴新抛物线的表达式为，
∵它经过原点，
∴，
解得，
令，代入，
得，，
∴新抛物线在直线上所截得的线段长为．
【变式3】（2025·吉林·一模）如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交轴于点．
(1)①求抛物线的解析式；
②求二次函数的最小值．
(2)①直接写出图象的解析式；
②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围．
(3)若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值．
【答案】(1)①；②
(2)①；②或
(3)或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意数形结合是解题的关键．
（1）①根据待定系数法直接求解即可；②根据二次函数的图象性质即可求解；
（2）①先根据反转的性质求出点坐标，再根据待定系数法求解析式即可；②根据的图象性质求解即可；
（3）结合图像，分两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：①∵抛物线经过和两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式，
②，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴二次函数的最小值为．
（2）解： ①当时，，由对称性可得，
当时，，
解得，，
，，
设图象的解析式为，
将代入，得，
，
，
图象位于线段上方部分对应的函数关系式为，
∴图象的解析式为；
②对于，对称轴为，时，随增大而增大；
对于，对称轴为，时，随增大而增大，
∴随增大而增大时的取值范围是或．
（3）解：如图，直线与图象有个交点时，有两种情况，
一种情况是直线过点，把代入，得，解得；
另一种情况是直线与相切，
联立方程，消去得，即，
令判别式，解得；
综上所述，或．
【题型三】二次函数中的旋转综合问题
【例1】（2025·湖南永州·一模）如图，已知抛物线，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线相交于A，B两点．
(1)求m的值；
(2)求直线对应的一次函数表达式；
(3)抛物线位于A，B两点之间的部分图形记作W，过点M的直线l与W相交于E，F两点，连接，求面积的最大值及此时对应的E点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或，的最大值为
【知识点】面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）求出抛物线的顶点坐标，根据旋转的性质，得到抛物线的顶点坐标，进而求出抛物线的解析式即可；
（2）联立解析式求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）对称得到，进而得到，利用平移思想，将直线分别向上，向下平移直至两条直线分别与抛物线各有一个交点时，最大，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∵将抛物线绕点旋转，得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口方向向上，且开口大小与抛物线相同，
∴抛物线的解析式为：，
∴；
（2）联立，解得：或，
∴，，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴；
（3）∵将抛物线绕点旋转，得到抛物线，
∴图形W关于点成中心对称，
∴点关于点对称，
∴点在直线上，且为点的中点，
∵过点M的直线l与W相交于E，F两点，
∴也关于点对称，
∴为的中点，
∴，
∴，
∴当最大时，的值最大，
当点在直线上方时：
将直线向上平移至平移后的直线与图形只有一个交点时，最大，
设平移后的解析式为：，
令，
整理，得：，
∵直线与图形只有一个交点，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
同理，当点在直线的下方时，则：，，
；
综上：或，的最大值为．
1. 确定旋转中心与角度：初中常考绕原点或顶点旋转180°。 绕原点转180°：顶点(h,k)变(-h,-k)，a变-a，解析式为y = -a(x + h)2 - k。 绕顶点转180°：顶点不变，开口反向，解析式为y = -a(x - h)2 + k。 2. 坐标变换法：任一点(x,y)旋转后坐标代入原函数，整理得新解析式（如绕原点转180°，用x→-x，y→-y替换）。 3. 验对称性：旋转后图像应关于中心对称，检查顶点与开口方向是否符合。
【例2】（2025·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求的面积；
(3)若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】一次函数与几何综合、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为，进而推出抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，则抛物线的解析式为，联立，可得，则点M为中点，即可得；
（3）同理得到抛物线的解析式为，则，设，则可推出；利用待定系数法可得，，求出，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过原点O、，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式，
（2）解：∵抛物线的表达式，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线绕点旋转得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
∵，
∴点M为中点，
∴；
（3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
∴，
设，
联立得，
∴；
设直线解析式为，直线解析式为，
∴，
解得，
同理可得，
∴
，
∵是一个定值，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，旋转180度后点的坐标特点，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．
【变式1】（2024·河南焦作·二模）已知抛物线的顶点为D．
(1)若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标；
(2)在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为．
①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）；
②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①；②
【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax +bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）将原点代入抛物线方程即可求出值，再利用抛物线性质即可求出顶点坐标；
（2）①根据自变量的取值范围，结合图象性质及中心对称性质判断出图象上的特殊点即可求出解析式；
②再利用数形结合，分类讨论直线与曲线交点问题即可求出m的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线经过原点，
当时，，代入抛物线得：，
，
∴抛物线的方程为：．
∴抛物线的对称轴方程为：，
把代入，得，
∴点坐标为．
（2）解：在（1）中抛物线的方程为：，
①当时函数的图象记为，
∴对应的函数解析式为：，且图象经过和原点，
将图象绕原点旋转，得到新图象，新图象与原图象成中心对称，
∴新图象对应函数的自变量的范围为：，且新图象经过点和原点，
∴图象的解析式为：．
②直线与图象有3个交点，分两种情况，
当直线与有2个交点且与有1个交点时，，
，
令，得，
结合图象可得：，
同理，当直线与有1个交点且与有2个交点时，，
，
令，得，
结合图象可得：．
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，图形的旋转，直线与曲线相交等问题，解题过程还涉及数形结合，分类讨论等数学思想，难度较大．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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