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抢分秘籍17 二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】利用二次函数求线段最值的问题 【题型二】利用二次函数求线段和/差最值的问题
【题型三】利用二次函数求面积最值的问题 【题型四】利用二次函数求角度的问题
【题型五】利用二次函数求特殊三角形的问题 【题型六】利用二次函数求特殊四边形的问题
【题型七】利用二次函数求相似三角形的问题
：二次函数和几何图形综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数占比约15%-20%，高频考解析式、图像性质、最值；几何图形占比25%-30%，三角形全等/相似、圆性质、坐标系几何常考，压轴题多综合考查。
2．从题型角度看，二次函数多为应用题、图像分析题、与几何结合的综合题；几何图形以证明题、计算题、动点探究题为主，常与函数、方程结合命题。
：在中考数学备考中，牢记公式定理，多练函数与几何综合题，掌握数形结合、分类讨论思想；针对动点、存在性问题专项突破，分析真题总结解题模型，强化计算与逻辑推理能力。
【题型一】利用二次函数求线段最值的问题
【例1】（2025·云南楚雄·一模）如图，已知抛物线与直线相交于点和点B．
(1)求m和b的值．
(2)若直线与线段交于点P，与抛物线交于点Q，求P，Q两点间距离的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、线段最值问题，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点P的坐标为和点Q的坐标为，再得到关于a的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
将点A的坐标代入直线表达式得：，
解得；
（2）解：由（1）得，直线和抛物线的表达式为：，，
由题意得：点P的坐标为和点Q的坐标为，
∴
∵，
∴当时，的最大值为．
1. 设变量：设动点坐标为自变量（如x），目标线段端点用含x的式子表示。 2. 建模型：用距离公式或几何关系写出线段长度的二次函数表达式（如y = ax + bx + c）。 3. 求最值：通过配方法或顶点公式(-, )求极值，注意自变量取值范围（如线段端点限制）。 4. 验实际：结合几何意义验证最值是否符合题意，避免舍入误差。
【例2】（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为
(1)请直接写出A、B、D三点坐标．
(2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值；
(3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标．
【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；
(2)
(3)或
【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】由抛物线，分别令，，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶点坐标可确定点D的坐标；
设轴于点E，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论；
确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；理由如下：
在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，
当时，得，
解得：或，
当时，得，
，，，
抛物线，
，
点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；
（2）解：设轴于点E，设，如图1，
设直线的解析式为，将点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
过点M作x轴的垂线，交直线于点N，
，
，
，
当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为；
（3）解：设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
①如图2，
，
∴，
设直线的解析式为，将点C的坐标代入得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点P的坐标为；
②如图3，设交于点G，作射线交于点F，
，
，
，，
，
垂直平分，
点F是的中点，
点F的坐标是，即，
设直线的解析式为，过点，
，
，
直线的解析式为，
直线：与直线：交于点G，
联立，
解得：，
，
设直线的解析式为，将点C，点G的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和性质等知识点．掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键．
【变式1】（2025·安徽淮北·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，点A的坐标为，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M 是抛物线上位于直线下方的一个动点，过点M作轴交于点N，计算线段的最大值；
(3)若点P是抛物线上一动点，则是否存在点P，使．若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)的最大值为；
(3)点P的坐标为或．
【知识点】解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)
【分析】（1）先求得，，设抛物线的解析式为，利用用待定系数法求解即可；
（2）设，，用表示出，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）连接，作于点，求得是等腰直角三角形，利用三角函数再求得，设，作轴于点，由题意得到，再分别求解即可．
【详解】（1）解：对于直线，
令，则，令，则，
∴，，
设抛物线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设，，其中，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：连接，作于点，
∵，，
∴，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设，作轴于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，
整理得，
解得（舍去）或，
∴点P的坐标为；
当时，
整理得，
解得（舍去）或，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【变式2】（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P，对称轴与x轴交于点Q．
(1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴及点C关于对称轴的对称点的坐标；
(2)点M是线段上的一个点，过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．
①若点M在对称轴上，判断此时点M是否为线段的中点，并说明理由；
②当线段最长时，求点M的坐标．
【答案】(1)，直线，，
(2)①点M是线段的中点，理由见解析；②
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax +bx+c的最值、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用．
（1）将点代入中，求出b的值，再根据二次函数的性质确定对称轴和对称点即可；
（2）①设直线的表达式为，从而求出M的坐标为，根据二次函数解析式，求出点P的坐标为，进而判断即可；
②将的长度表示出来，根据二次函数的性质解答即可；
【详解】（1）解：将点代入得，，
解得，
，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，即，
点C关于对称轴的对称点的坐标为；
（2）解：①点M是线段的中点，理由如下：
设直线的表达式为，
将，代入得，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
此时点M的坐标为，
当时，，即点P的坐标为，，
点M为线段的中点；
②设，，则，
，
，
当时，最长，
将代入，得，即，
当线段最长时，点M的坐标为
【变式3】（2025·四川绵阳·一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，M是抛物线的对称轴上一点，连接，
若，求点M的坐标；
(3)如图②，P是直线上方抛物线上一动点，过点P作，交于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)点M的坐标为
(3)线段的最大值为，点P的坐标为
【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）先求出两点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）如图，以为圆心，为半径作圆，当点过上时，则，
得到，求出抛物线的对称轴为，设，建立方程求解即可；
（3）先求出点C的坐标，证明是等腰直角三角形，延长交y轴于点F，过点作y轴的平行线交于点H，过点Q作于点G，解直角三角形求出，当求最大值时，则取得最大值，求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：将代入，则，
令，解得：，
∴，，
把、的坐标代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，以为圆心，为半径作圆，
∵两点关于抛物线对称轴对称，即抛物线对称轴垂直平分，
∴，
当点过上时，则，
∴，
∵抛物线的对称轴为，，，
设，
∴，
解得：，
∴点M的坐标为；
（3）解：令，则，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
延长交y轴于点F，过点作y轴的平行线交于点H，过点Q作于点G，
∵轴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当求最大值时，则取得最大值，
设直线的解析式为，
将代入，则，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
此时，，，
∴线段的最大值为，点P的坐标为．
【点睛】主要考查了用待定系数法二次函数的解析式和二次函数的图象性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【题型二】利用二次函数求线段和/差最值的问题
【例1】（2025·甘肃张掖·一模）如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止．
(1)求抛物线的表达式：
(2)请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标：
(3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点P的坐标为（），可得点E的坐标为，点F的坐标为，由，可得，解得，即可求解；
（3）在上方作．使得，，连接，证明，可得．当M，Q，B三点共线时最小，则的最小值为的长，再求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴．
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，
设点P的坐标为（），
结合题意可得，点E的坐标为，点F的坐标为，
∵，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
（3）解：由题意得，．
如图，在上方作．使得，，连接，
∵点B的坐标为，轴，
∴，，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴．
∴（当M，Q，B三点共线时取等号），
∴的最小值为的长，
∵，
∴．
∴的最小值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
线段和最值：利用轴对称转化（如“将军饮马”模型），设动点坐标，将线段和表示为二次函数，结合几何对称找最小值，顶点处取最值需验证路径共线。 线段差最值：三点共线时取极值（三角形不等式），建系后用坐标差表示距离差，化为二次函数，注意定义域，最大值在端点或顶点，需结合图形判断符号。
【例2】（2025·青海西宁·一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中．
(1)求抛物线的函数表达式
(2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E；求的最大值并求出此时点P的坐标；
【答案】(1)；
(2)的最大值为4，此时点P的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、一次函数与几何综合
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点A坐标，进而求出直线解析式，设出点P坐标，进而表示出点K，点E的坐标，则可表示出，据此利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解；把代入中得：，
∴，
∴抛物线的函数表达式为
（2）解：在中，当时，，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为4，
∴的最大值为4，此时点P的坐标为．
【变式1】（2025·四川资阳·一模）已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标；
(3)将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了二次函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，作出图形，利用分类讨论的思想是解题的关键．
（1）根据待定系数法即可即可解答；
（2）证明为等腰直角三角形，则最大时，的周长最大，设，则，可利用表示出，利用二次函数的性质求得最大值即可；
（3）分类讨论，分当点在轴正半轴或当点在轴负半轴，利用相似三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解方程即可．
【详解】（1）解：把，代入可得，
解得，
∴此抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，则，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
，
为等腰直角三角形，
轴，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故要使的周长最大，即最大，
设，则，
，其中，
故当时，最大，即的周长最大，
此时；
（3）解：设新抛物线的解析式为：，则，
抛物线的对称轴为直线，
，
如图，当点在轴正半轴上时，过点作轴于点，
，，
,
，
，，
点必定在第一象限，
点必定在第三象限，
，
代入抛物线可得，
解得，
如图，当点在轴负半轴上时，过点作轴于点，
，，
,
，
，，
点必定在第四象限，
点必定在第四象限，
，
代入抛物线可得，
解得，
，
综上，点的坐标为或．
【变式2】（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点和点 B， 与y轴交于点 C．
(1)求a的值；
(2)如图，M是第一象限抛物线上的点，， 求点M的坐标；
(3)在直线上方的抛物线上有一动点 P，过点P作于点E， 作交于点 F．当的周长有最大值时，求点 P 的坐标和的周长．
【答案】(1)；
(2)；
(3)P( ， )；．
【知识点】解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，构造二次函数求三角形面积的最大值，熟练掌握抛物线的性质，待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键．
（1）运用待定系数法解答计算即可．
（2）首先求出二次函数的解析式得出点A，B，C，的坐标，)设，
作轴于点H，构造直角三角形，利用锐角三角函数建立关于m的方程求解即可;
（3）连接，，．设，结合的周长为，得当的值最大时，的周长最大，利用求得最值，代入计算即可．
【详解】（1）∵抛物线经过点，
∴，
解得，
（2）∵，
∴二次函数表达式为：，
令，解得或，
令得，
∴，，．
∴，
设，
作轴于点H，如图，
∵，
∴，即，
∴
解得或（舍去），
∴，
∴M的坐标为；
（3）设直线的解析式为，，
则，
解得：．
∴直线的解析式为．
连接，，．
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的周长为，
∴当的值最大时，的周长最大，
∵
，
∵，
∴时，的面积最大，面积的最大值为，，根据是定值，故此时的值最大，
∵，
∴，
∴的周长的最大值：，此时．
【变式3】（2025·四川自贡·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
(3)如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为，或
【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出直线解析式为，过N作轴于D，设，则，故，判定是等腰直角三角形，得出，进而求出，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据平移法则得到抛物线的解析式为，设点，分为为对角线，为对角线，为对角线，三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：将点，分别代入，
得，
解得．
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴，
∴，，，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：令，解得，，
∴，
设直线解析式为，
则，解得，
∴，
过N作轴于D，
，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，取最大值，最大值为，此时；
（3）解：存在．理由如下：
原抛物线，对称轴为直线，
∴F的横坐标为，
∵点，点，
∴，，
∴．
∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线y，
∴抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到y，
∴抛物线的解析式为．
设点．
①当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为．
②当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为；
③当为对角线时，
∴，解得，
∴
∴点E的坐标为．
综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，等腰三角形的性质，二次函数与特殊四边形的综合题，二次函数的面积问题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想及分类讨论的数学思想解答是解题的关键．
【题型三】利用二次函数求面积最值的问题
【例1】（2025·甘肃陇南·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，．
(1)求点，，的坐标，
(2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)存在，或
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与坐标轴的交点，一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）分别令，，利用解析式解答即可；
（2）先求出，过点作所在直线于点，设，则，利用铅锤法得出，列式求解即可．
【详解】（1）解：令，得，
则，
令，得，
解得：，，
∴，；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，过点作所在直线于点，
设，则，
则，
则，
同理当点在抛物线上段时，，
当点在抛物线上点右侧时，，
综上，，
则，
∴，
即，
当时，解得，，
分别代入，
得，，
即点的坐标为或；
当时，由，无解；
综上所述，点的坐标为或．
1. 设变量：选关键线段长或坐标为自变量x，用几何关系表示相关边长或高。 2. 列面积式：利用公式（如S=ah、矩形面积）写出S关于x的二次函数，注意图形分割或坐标法。 3. 求最值：配方或顶点公式得极值，结合定义域（如线段范围、图形存在性）确定最值位置，端点值需验算。 4. 几何验证：确保函数模型符合图形实际意义，避免虚构解。
【例2】（2025·山西运城·一模）综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
(3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点P的坐标为；
(3)存在，点P的坐标为，四边形的面积最大，最大值为
【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，勾股定理，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
将点和代入解方程组得到结论；
由得点，，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为；设点，得到，根据勾股定理得到，根据题意列方程即可得到结论；
如图2，过点P作轴交直线于G，设点P的坐标为，则，根据点的坐标得到，，，根据三角形的面积公式得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：将点和代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由得点，，
设直线的解析式为，
解得，
直线的解析式为；
设点，
轴，
，
，
，
，
，
解得或不合题意，舍去，
当时，，
点P的坐标为；
（3）存在．
如图2，过点P作轴交直线于G，
设点P的坐标为，则，
，，，
，，，
，
，
当时．有最大值，最大值为，
点P的坐标为，四边形ABPC的面积最大，最大值为
【变式1】（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点．
①若点是的中点，求的面积；
②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线；
(2)①；②的值为或．
【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据题意求得，，再根据抛物线的对称性质求解即可；
（2）①先利用待定系数法求得抛物线的解析式，求得点，再求得直线的解析式，求得，再利用三角形的面积公式求解即可；
②分当点在原点上方和下方两种情况讨论，根据，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：①将，代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵点是的中点，
∴点，
当时，，
则点，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∴；
②∵点是抛物线上一个动点，
∴，则，
当点在原点上方时，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
∴，即，
解得，
∴；
当点在原点下方时，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
∴，即，
解得，
∴；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离公式和平行四边形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．
【变式2】（2025·福建泉州·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上．
(1)求直线的解析式；
(2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值；
(3)如图2，若直线与直线相交于点M，且，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标
【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）先求出点A，B，C的坐标，设直线的解析式为，代入点B，C的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，利用割补法表示出以A，B，P，C为顶点的四边形面积，再利用二次函数的性质求出最大值，再比较2种情况的最大值的大小即可得出答案；
（3）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、，得出，，通过证明，得到，结合图形列出方程，解出的值即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，，
，，
令，则，
，
设直线的解析式为，
代入和，得，
解得：，
直线的解析式为．
（2）解：由（1）得，，，，
，，
设，
①若点在直线上方，则，
如图，连接、、、，
，
，
当时，有最大值；
②若点在直线下方，则，
如图，连接、、，
，
，
当时，有最大值；
，
以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值为．
（3）解：由（1）得，直线的解析式为，，
设，
①若点在直线上方，则，
如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、，
，
当，则，
，
，
轴，
，
，
，
解得：，，
点的坐标为或；
②若点在直线下方，则，
如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、，
同理①中的方法可得，，，
轴，
，
，
，
解得：（舍去），，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
【题型四】利用二次函数求角度的问题
【例1】（2025·山东济南·一模）抛物线与x轴分别交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，D是抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标．
(2)如图1，线段下方抛物线上是否存在一点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，P是抛物线第二象限上的点，连接．当时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)存在，或
(3)
【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、一次函数与几何综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可；
（2）可证明，求出点B坐标，进而得到，则，求出直线解析式，过点E作轴交于F，设，则，根据建立方程求解即可；
（3）利用勾股定理的逆定理证明取中点G，连接，过点P作轴于H，过点C作于M，通过导角证明；则，求出的长设，则，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：，代入抛物线解析式中得，解得：，
∴抛物线的表达式为：，
∴点；
（2）解：∵，
∴，
在中，当时，解得或，
∴，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，则，
∴，
∴直线解析式为，
如图所示，过点E作轴交于F，设，则，
∴，
∵，
∴，
解得或，
∴或；
（3）解：∵，
∴，，
，
∴，
∴是直角三角形，且，
如图所示，取中点G，连接，过点P作轴于H，过点C作于M，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
解得（经检验是原方程的解）或（舍去）；
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理及其逆定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
1. 设坐标：设所求点坐标为(x, ax + bx + c)，代入二次函数解析式。 2. 转角度条件：用正切函数、斜率或向量表示角度关系（如tanθ=），建立方程。 3. 联立求解：结合几何图形性质（如直角、等腰三角形）列方程，化简为二次方程求x，注意判别式△≥0。 4. 验图形意义：代入验证角度是否符合题意，舍去不合理解（如坐标超出图形范围）。
【例2】（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点，为轴上一动点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点在线段上时，连接，，过点作交直线于点．
①直接写出面积的最大值及此时点的坐标；
②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后的抛物线上一动点，连接，若，求点的坐标；
(3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①面积的最大值为，此时点的坐标为；②点的坐标为或
(3)或
【知识点】面积问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、根据旋转的性质求解
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由，即可求解；
②当时，在中，，用解直角三角形的方法求出点H的坐标，即可求解；当点在y轴右侧时，同理可解；
（3）由题意可分：当点M在线段上时，当点M在点A的左侧时，然后分别画出函数图象，根据旋转的性质及二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：①由题意知，点、、，
设直线的表达式为：，
∴，解得：，
∴直线的表达式为：，
同理可得直线的表达式为：，
连接，
∵，则面积面积，
则直线的表达式为：，
联立直线和直线的表达式得：，
解得：，
则点，
则，
故面积的最大值为，此时，则点；
②由可知：是等腰直角三角形，即，
∴该抛物线沿射线方向平移个单位长度，则相当于将抛物线向左向上分别平移1个单位，
则新抛物线的表达式为：，
当时，如图：
当点P在y轴左侧时，
设交x轴于点H，过点H作于点N，
在中，，，，
则设，则，
则，则，
则，
则点，
∴，
设直线的表达式为：，
∴，解得：，
∴直线的表达式为：，
将上式和新抛物线的表达式联立得：，
解得：（舍去），
即点；
当点在y轴右侧时，
同理可得直线的表达式为：，
将上式和新抛物线的表达式联立得：，
解得：（不合题意的值已舍去），
即点；
（3）解：由题意可分：当点M在线段上时，且与点O重合，将线段绕点顺时针旋转得到线段，此时点与点B重合，符合题意；
当点M不与点O重合时，且旋转后恰好在抛物线上时，如图所示：
由旋转的性质可知：，
∴，
∴，
解得：（负根舍去），
∴当时，线段与抛物线只有一个公共点；
当点M在点A的左侧时，且旋转后恰好在抛物线上时，如图所示：
∴，
∴，
解得：（正根舍去），
当点M在点A的左侧时，且旋转后恰好在抛物线上时，如图所示：
由旋转可知：，，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴当时，线段与抛物线只有一个公共点；
综上所述：当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、二次函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握旋转的性质、二次函数与几何的综合及三角函数是解题的关键．
【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点在抛物线上，当时，求点的横坐标．
【答案】(1)
(2)或
【知识点】解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）先将代入，求出点B的坐标，根据，得到点A的坐标，利用待定系数法将点A坐标代入即可求解；
（2）先求出点C的坐标，由，可得是等腰直角三角形，得到，根据，则，可得点P在y轴右侧，分点P在x轴上方和下方两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：将代入，则，
∴，
∵，
∴，
将点A坐标代入得，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：令，则，
解得：或，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点P在y轴右侧，
当点P在x轴下方时，设延长线交x轴于点E，
则，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，即
解得：或（舍去），
∴点的横坐标为；
当点P在x轴上方时，设与x轴交于点F，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，即
解得：或（舍去），
∴点的横坐标为；
综上，点的横坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数与几何综合、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
【变式2】（2025·广东中山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标；
(3)如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点P的坐标为或或；
(3)点D的坐标为．
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)
【分析】（1）将A，B坐标代入抛物线解析式中，利用待定系数法可求；
（2）求出线段的长，分类讨论解答即可；
（3）取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，这样．利用三角形的相似得出．从而得到M的坐标；求出直线的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组可求交点D的坐标．
【详解】（1）解：将代入得：
．
解得：．
∴此抛物线的函数表达式为；
（2）解：令，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
若是等腰三角形，分三种情形：
当时，，
∴，
∴P点坐标为或；
当时，
．
∴P点坐标为；
当时，设点P的坐标为，
∵，，
∴．
解得：．
∴点P的坐标为．
综上，是等腰三角形，点P的坐标为或或；
（3）解：存在，D点坐标为．理由：
如图，取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴M的坐标为，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴联立得，
解得：或，
当时，，
∴D点的坐标为，
∴存在点D使得，点D的坐标为．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．待定系数法是确定解析式的重要方法；利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．将两个解析式联立可以求出交点的坐标．
【变式3】（2025·江苏盐城·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．其中，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)是该抛物线上一点．
①连接，若，求点的坐标；
②在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）设抛物线的表达式为，把点代入，即可求解；
（2）①过点B作交于点F，过点F作轴于点G，过点D作轴于点H，根据题意可得，再由，可得，，从而得到，再求出点，可得，在中，利用勾股定理可得，，从而得到点F的坐标为，再求出直线的解析式，进而得到直线的解析式，即可求解；②过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，则，设点E的坐标为，则，可得，然后根据，求出m的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴可设抛物线的表达式为，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：①如图，过点B作交于点F，过点F作轴于点G，过点D作轴于点H，
∵点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
对于，
当时，，
解得：，
∴点，
∴，
在中，，
∴，
∴或0（舍去），
∴，
∴点F的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∴可设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点E的坐标为；
②如图，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，则，
∵点，，
∴，
当时，，
∴点，
∴，
设点E的坐标为，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：或0（舍去），
∴点E的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，解直角三角形，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【题型五】利用二次函数求特殊三角形的问题
【例1】（2025·天津红桥·一模）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若P是该抛物线的对称轴上一点．
①当点P在第一象限，且是等腰三角形时，求点P的坐标；
②当时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①或或；②或
【知识点】角度问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理
【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、二次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①分三种情况分别进行解答即可；②画出图形利用数形结合进行解答即可．
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）①∵
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴点C的坐标为，
设点P的坐标为，，
，
，
，
当时，，
则，
解得，或（不合题意，舍去）；
当时，，
则，
解得，或（不合题意，舍去）；
当时，，
则，解得，
综上可知，点P的坐标为或或；
②如图，以为邻边作正方形，分别以点为圆心，以的长为半径画圆分别交直线于点、，连接，根据圆周角定理可知，得到，即为所求的角，
如图，连接
由题意可知，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
综上可知，点P的坐标为或
1.设点坐标：设二次函数上点为(x, ax + bx + c)，结合特殊三角形（等腰、直角等）性质。 2.转几何条件：等腰：用距离公式列两边相等方程； 直角：勾股定理或斜率乘积为-1； 等边：边相等+60°角（用向量或三角函数）。 3. 联立求解：化简得二次方程，用判别式验根，分类讨论顶点位置（如等腰顶角顶点）。 4. 验图形合理性：舍去坐标不符或构不成三角形的解。
【例2】（2025·安徽淮南·二模）如图，抛物线（）.
(1)若抛物线经过点，求的值；
(2)若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点.
①若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，求的值；
②当时，若点是该抛物线位于轴上方的一点，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)①当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，或；②当时，有最大值，最大值为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】（1）把点代入解析式，解答即可.
（2）①先确定A，B，C的坐标，再根据等腰三角形的定义去分类解答即可，注意c的正数性质的应用；
②当时，确定抛物线的解析式，根据点是该抛物线位于轴上方的一点，构造新二次函数，结合，利用二次函数的最值，求的最大值.
【详解】（1）解：∵点在抛物线上，
∴，
解得.
（2）解：当时，，
∴，
解得或，
∵点在点的左侧，
∴点坐标为，点坐标为，
∴；
当时，，
∴点坐标为.
①∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
分两种情况：
（ⅰ）当时，则，
∴，
解得或（不合题意，舍去）；
（ⅱ）当时，，
∴，
解得或（不合题意，舍去）；
综上，当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，或；
②当时，抛物线的函数表达式为，
∵点在该抛物线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是该抛物线位于轴上方的一点，
∴，即，
解得，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为.
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，等腰三角形的定义，解方程，构造二次函数求最值，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键.
【变式1】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段的最大值；
(3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)有最大值
(3)或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、y=ax +bx+c的最值
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，与轴交于点得，解出、的值，即可求解；
（2）设点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可；
（3）分两种情况讨论：当时；当时；即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点，
，
解得：，
；
（2）解：设点，
设直线的解析式为，
直线经过点，，
，
解得：，
直线的表达式为：，
即点，
，
，
，
时，开口向下，当时，有最大值，
；
（3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况：
当时，过作于点，则点为的中点，即，
，
，
，（舍去）；
当时，
，
，
，（舍去），
综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
【题型六】利用二次函数求特殊四边形的问题
【例1】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点F为抛物线上一点，点E为直线上一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)点F的坐标为，，，
【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】此题考查了二次函数图象和性质、平行四边形的性质等知识，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）画出图形根据平行四边形的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴将，，代入得：
，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）∵点F为抛物线上一点，
设，
∵点E为上一点，
设，
当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，
，解得或，
∴点F的坐标为，，，．
1. 设点坐标：设二次函数上点为(x, ax + bx + c)，结合特殊四边形（平行四边形、矩形等）性质。 2. 转几何条件：平行四边形：对边平行（斜率相等）且相等（距离公式）； 矩形：邻边垂直（斜率积-1）+ 对边相等； 菱形：四边相等或对角线垂直。 3. 联立方程：按条件列方程求解，用判别式验根，分类讨论顶点顺序。 4. 验图形存在性：舍去坐标不符或四边形退化的解。
【例2】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标．
(3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或或
【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）先求出，求出，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为；
（3）先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解．
【详解】（1）解：把代入中，得
，
解得
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：存在．
∵，
∴，
设，
①当为菱的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
∴或；
②当为矩形的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得，
∴；
③当为矩形的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
∴或；
综上，存在E点坐标为或或或或使得以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数面积问题，勾股定理，菱形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【变式1】（2025·陕西西安·二模）已知抛物线交轴于点，交轴于点，连接，将抛物线平移后得到抛物线，且点对应点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)在轴上是否存在一点，使得以点为顶点的四边形为矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，当时，点的坐标为，点的坐标为．当时，点的坐标为，点的坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，矩形的性质．
（1）将点代入，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点为，分两种情况讨论：①当时，证明即可得，可求得M的坐标，再根据矩形的性质可求得E的坐标；②当时，此时点与原点重合，而可得答案．
【详解】（1）解：将点代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在．
设点为，
分以下两种情况讨论：
①当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
四边形为矩形，
∴
解得，
点的坐标为，
②当时，此时点与原点重合，
点的坐标为．
四边形为矩形，
，
点的坐标为．
【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求面积的最大值；
(3)若点是平面直角坐标系中的一点，以，，，为顶点的四边形是正方形，求点的坐标．
【答案】(1)二次函数的解析式；
(2)面积的最大值为；
(3)点的坐标为或．
【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（）利用待定系数法求函数解析式即可；
（）过点作轴，交于点，设，求出直线解析式为，则，然后求出，再通过面积为，最后二次函数的性质即可求解；
（）分以，，，为顶点的四边形是正方形，当时和以，，，为顶点的四边形是正方形，当时两种情况分析即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式；
（2）解：如图，过点作轴，交于点，
设，
∴点的横坐标为，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∴，
∵点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上，
∴，
∴面积为
，
∴当时，面积有最大值为；
（3）解：如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时，
∴，，
过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，
∴，，
∴点，
∵点在直线：上，
∴，
解得：（舍去），，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时，
∴，，
过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点，
同上理得：，，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
综上可知：点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的性质，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
【题型七】利用二次函数求相似三角形的问题
【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线经过A，C两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)动点M在直线上，且与相似，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)点M的坐标为或
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）先求出一次函数图象与坐标轴的交点，再将交点坐标代入抛物线解析式，求解即可；
（2）分两种情况讨论：先通过证明或，得出得长度，过点M作轴于点H，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
将点A、C的坐标代入，得，
解得，，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，
∵对称轴直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
①当时，，
∴，
∴，
如图，过点M作轴于点G，
∴，
当时，，
∴；
当时，，
∴，
∴，
如图，过点M作轴于点G，
∴，
当时，，
∴；
综上，M点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
1. 设点坐标：设二次函数上点为(x, ax + bx + c)，确定相似三角形对应顶点。 2. 列比例式：利用相似比（如对应边成比例、对应角相等），结合距离公式或斜率表示边长/角度，建立方程。 3. 分类讨论：按对应顶点不同分情况，化简得二次方程，用判别式验根。 4. 验相似性：代入坐标验证对应角相等且比例一致，舍去图形矛盾的解。
【例2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图1，直线与、轴分别相交于、两点，抛物线的图象经过点，与轴交于两点（点在点左侧），且顶点也在直线上，为抛物线上第四象限内一动点且不与点重合．
(1)求该抛物线的关系式；
(2)如图2，连接、，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标；
(3)如图3，点也为抛物线一动点，连接交抛物线对称轴于点．若，点是否是一定点？若是，请直接写出点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
（1）先求出点和的坐标，然后代入解析式计算解题即可；
（2）求出点和的坐标，即可求出和长，，然后分为或两种情况求出长，即可解题；
（3）设直线的解析式为，直线的解析式为，求出点P和Q的坐标，过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N，得到，即可得到，然后求出直线的解析式，即可得到点M的坐标解题即可．
【详解】（1）解：当时，，令，则，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
当时，，
∴点C的坐标为，
把和代入得：
，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴点D的坐标为，点E的坐标为，
∴，，
∴，即，
∴，
当时，，即，
解得：，
过点F作轴于点G，则，
∴，
∴点F的坐标为；
当时，，即，
解得：，不符合题意舍去；
综上，点F的坐标为；
（3）解：∵点C的坐标为，
设直线的解析式为，
联立解得：
或，
∴点P的坐标为，
设直线的解析式为，
同理可得点Q的坐标为，
再过点Q作轴，点P作轴交过点C与x轴平行的直线于点H，N，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
设直线的解析式为，
把点P和Q的坐标代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴与对称轴的交点M是定点，为．
【变式1】（2025·陕西商洛·一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线关于轴对称得到抛物线，点的对应点为为抛物线上一点且在轴上方，过点作轴于点，连接．当和相似时，求符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标是或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合)、y=ax +bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数与相似三角形综合、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由待定系数法求二次函数表达式即可得到答案；
（2）先求出关于轴对称得到抛物线，由题意可知，从而由题中和相似，分两种情况分类讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：抛物线关于轴对称得到抛物线，
抛物线的函数表达式为，
，抛物线的对称轴为，
，，
，
，
若和相似，则分两种情况：①；②；
设，则，
当时，
，则，
，则，
解得或（与重合，舍去），
为抛物线上一点且在轴上方，
；
当时，
，则，
，则，
解得或（与重合，舍去），
为抛物线上一点且在轴上方，
；
综上所述，当和相似时，符合条件的点的坐标是或．
【变式2】（2025·陕西西安·三模）如图，已知抛物线的图象与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点．
(1)求抛物线的解析式和的值；
(2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为，
(2)存在，点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合)、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识与方法，画出符合条件的图形是解答本题的关键．
（1）用待定系数法，将B、C两点的坐标代入二次函数解析式求解，再把代入即可得答案；
（2）若存在这样的点P，根据相似三角形的判定，与应均为等腰直角三角形，所以有两种可能情况，即，或，由此画出对应的图形并求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为，
把代入，
得，
；
（2）解：把代入，得，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
由于点在轴上，设，则，
若∽，
得，即，
解得，
点的坐标为，
若∽，
得，即，
解得，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)抢分秘籍17 二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】利用二次函数求线段最值的问题 【题型二】利用二次函数求线段和/差最值的问题
【题型三】利用二次函数求面积最值的问题 【题型四】利用二次函数求角度的问题
【题型五】利用二次函数求特殊三角形的问题 【题型六】利用二次函数求特殊四边形的问题
【题型七】利用二次函数求相似三角形的问题
：二次函数和几何图形综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数占比约15%-20%，高频考解析式、图像性质、最值；几何图形占比25%-30%，三角形全等/相似、圆性质、坐标系几何常考，压轴题多综合考查。
2．从题型角度看，二次函数多为应用题、图像分析题、与几何结合的综合题；几何图形以证明题、计算题、动点探究题为主，常与函数、方程结合命题。
：在中考数学备考中，牢记公式定理，多练函数与几何综合题，掌握数形结合、分类讨论思想；针对动点、存在性问题专项突破，分析真题总结解题模型，强化计算与逻辑推理能力。
【题型一】利用二次函数求线段最值的问题
【例1】（2025·云南楚雄·一模）如图，已知抛物线与直线相交于点和点B．
(1)求m和b的值．
(2)若直线与线段交于点P，与抛物线交于点Q，求P，Q两点间距离的最大值．
1. 设变量：设动点坐标为自变量（如x），目标线段端点用含x的式子表示。 2. 建模型：用距离公式或几何关系写出线段长度的二次函数表达式（如y = ax + bx + c）。 3. 求最值：通过配方法或顶点公式(-, )求极值，注意自变量取值范围（如线段端点限制）。 4. 验实际：结合几何意义验证最值是否符合题意，避免舍入误差。
【例2】（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为
(1)请直接写出A、B、D三点坐标．
(2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值；
(3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标．
【变式1】（2025·安徽淮北·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，点A的坐标为，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M 是抛物线上位于直线下方的一个动点，过点M作轴交于点N，计算线段的最大值；
(3)若点P是抛物线上一动点，则是否存在点P，使．若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标．
【变式2】（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点P，对称轴与x轴交于点Q．
(1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴及点C关于对称轴的对称点的坐标；
(2)点M是线段上的一个点，过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．
①若点M在对称轴上，判断此时点M是否为线段的中点，并说明理由；
②当线段最长时，求点M的坐标．
【变式3】（2025·四川绵阳·一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，M是抛物线的对称轴上一点，连接，
若，求点M的坐标；
(3)如图②，P是直线上方抛物线上一动点，过点P作，交于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标．
【题型二】利用二次函数求线段和/差最值的问题
【例1】（2025·甘肃张掖·一模）如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止．
(1)求抛物线的表达式：
(2)请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标：
(3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值．
线段和最值：利用轴对称转化（如“将军饮马”模型），设动点坐标，将线段和表示为二次函数，结合几何对称找最小值，顶点处取最值需验证路径共线。 线段差最值：三点共线时取极值（三角形不等式），建系后用坐标差表示距离差，化为二次函数，注意定义域，最大值在端点或顶点，需结合图形判断符号。
【例2】（2025·青海西宁·一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中．
(1)求抛物线的函数表达式
(2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E；求的最大值并求出此时点P的坐标；
【变式1】（2025·四川资阳·一模）已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标；
(3)将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标．
【变式2】（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点和点 B， 与y轴交于点 C．
(1)求a的值；
(2)如图，M是第一象限抛物线上的点，， 求点M的坐标；
(3)在直线上方的抛物线上有一动点 P，过点P作于点E， 作交于点 F．当的周长有最大值时，求点 P 的坐标和的周长．
【变式3】（2025·四川自贡·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
(3)如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【题型三】利用二次函数求面积最值的问题
【例1】（2025·甘肃陇南·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，．
(1)求点，，的坐标，
(2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
1. 设变量：选关键线段长或坐标为自变量x，用几何关系表示相关边长或高。 2. 列面积式：利用公式（如S=ah、矩形面积）写出S关于x的二次函数，注意图形分割或坐标法。 3. 求最值：配方或顶点公式得极值，结合定义域（如线段范围、图形存在性）确定最值位置，端点值需验算。 4. 几何验证：确保函数模型符合图形实际意义，避免虚构解。
【例2】（2025·山西运城·一模）综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
(3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点．
①若点是的中点，求的面积；
②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值．
【变式2】（2025·福建泉州·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上．
(1)求直线的解析式；
(2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值；
(3)如图2，若直线与直线相交于点M，且，求点P的坐标．
【题型四】利用二次函数求角度的问题
【例1】（2025·山东济南·一模）抛物线与x轴分别交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，D是抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标．
(2)如图1，线段下方抛物线上是否存在一点E，使，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，P是抛物线第二象限上的点，连接．当时，求点P的坐标．
1. 设坐标：设所求点坐标为(x, ax + bx + c)，代入二次函数解析式。 2. 转角度条件：用正切函数、斜率或向量表示角度关系（如tanθ=），建立方程。 3. 联立求解：结合几何图形性质（如直角、等腰三角形）列方程，化简为二次方程求x，注意判别式△≥0。 4. 验图形意义：代入验证角度是否符合题意，舍去不合理解（如坐标超出图形范围）。
【例2】（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点，为轴上一动点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点在线段上时，连接，，过点作交直线于点．
①直接写出面积的最大值及此时点的坐标；
②在①的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后的抛物线上一动点，连接，若，求点的坐标；
(3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出的取值范围．
【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点在抛物线上，当时，求点的横坐标．
【变式2】（2025·广东中山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标；
(3)如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3】（2025·江苏盐城·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．其中，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)是该抛物线上一点．
①连接，若，求点的坐标；
②在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标．
【题型五】利用二次函数求特殊三角形的问题
【例1】（2025·天津红桥·一模）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若P是该抛物线的对称轴上一点．
①当点P在第一象限，且是等腰三角形时，求点P的坐标；
②当时，求点P的坐标．
1.设点坐标：设二次函数上点为(x, ax + bx + c)，结合特殊三角形（等腰、直角等）性质。 2.转几何条件：等腰：用距离公式列两边相等方程； 直角：勾股定理或斜率乘积为-1； 等边：边相等+60°角（用向量或三角函数）。 3. 联立求解：化简得二次方程，用判别式验根，分类讨论顶点位置（如等腰顶角顶点）。 4. 验图形合理性：舍去坐标不符或构不成三角形的解。
【例2】（2025·安徽淮南·二模）如图，抛物线（）.
(1)若抛物线经过点，求的值；
(2)若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点.
①若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，求的值；
②当时，若点是该抛物线位于轴上方的一点，且，求的最大值.
【变式1】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段的最大值；
(3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【题型六】利用二次函数求特殊四边形的问题
【例1】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点F为抛物线上一点，点E为直线上一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点F的坐标．
1. 设点坐标：设二次函数上点为(x, ax + bx + c)，结合特殊四边形（平行四边形、矩形等）性质。 2. 转几何条件：平行四边形：对边平行（斜率相等）且相等（距离公式）； 矩形：邻边垂直（斜率积-1）+ 对边相等； 菱形：四边相等或对角线垂直。 3. 联立方程：按条件列方程求解，用判别式验根，分类讨论顶点顺序。 4. 验图形存在性：舍去坐标不符或四边形退化的解。
【例2】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标．
(3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式1】（2025·陕西西安·二模）已知抛物线交轴于点，交轴于点，连接，将抛物线平移后得到抛物线，且点对应点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)在轴上是否存在一点，使得以点为顶点的四边形为矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求面积的最大值；
(3)若点是平面直角坐标系中的一点，以，，，为顶点的四边形是正方形，求点的坐标．
【题型七】利用二次函数求相似三角形的问题
【例1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线经过A，C两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)动点M在直线上，且与相似，求点M的坐标．
1. 设点坐标：设二次函数上点为(x, ax + bx + c)，确定相似三角形对应顶点。 2. 列比例式：利用相似比（如对应边成比例、对应角相等），结合距离公式或斜率表示边长/角度，建立方程。 3. 分类讨论：按对应顶点不同分情况，化简得二次方程，用判别式验根。 4. 验相似性：代入坐标验证对应角相等且比例一致，舍去图形矛盾的解。
【例2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图1，直线与、轴分别相交于、两点，抛物线的图象经过点，与轴交于两点（点在点左侧），且顶点也在直线上，为抛物线上第四象限内一动点且不与点重合．
(1)求该抛物线的关系式；
(2)如图2，连接、，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标；
(3)如图3，点也为抛物线一动点，连接交抛物线对称轴于点．若，点是否是一定点？若是，请直接写出点坐标；若不是，请说明理由．
【变式1】（2025·陕西商洛·一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线关于轴对称得到抛物线，点的对应点为为抛物线上一点且在轴上方，过点作轴于点，连接．当和相似时，求符合条件的点的坐标．
【变式2】（2025·陕西西安·三模）如图，已知抛物线的图象与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点．
(1)求抛物线的解析式和的值；
(2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由．
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