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抢分秘籍19 二次函数新定义型综合问题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】新定义型二次函数之共生或伴随抛物线 【题型二】新定义型二次函数之特殊形状问题
【题型三】新定义型二次函数与其他函数的综合问题 【题型四】新定义型二次函数与几何图形的综合问题
：二次函数新定义型综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，属中频偏高考点，多在压轴题出现，约占解答题15%-20%。近年随核心素养考查加重，频率略有上升，各地试卷年均1-2题，常与函数性质、几何综合结合。
2．从题型角度看，以解答题为主（占比超80%），分三类：①新定义概念（如“友好抛物线”），需根据定义求解析式；②新性质探究（如“最值点”关系），需推导规律；③跨知识应用（如结合坐标系定义“距离函数”），综合度高，分步设问（2-3小问）。
：1.强化读题建模：圈画新定义关键词，用示例辅助理解（如通过图像标注“新顶点”）；
2.分阶训练：先练单一知识点新定义（如仅含函数），再攻几何代数综合题；
3.提炼通法：按“理解定义→翻译条件→联立方程/几何关系→验证结果”步骤解题，注意分类讨论与数形结合，积累典型模型（如“对称型”“最值型”新定义）。
【题型一】新定义型二次函数之共生或伴随抛物线
【例1】（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）新定义：若二次函数为（，，，是常数），则称为的“关联”二次函数，称这两个函数为互为“关联”二次函数．
(1)写出的“关联”二次函数的表达式，并写出该互为“关联”二次函数的图象的一个性质；
(2)若（1）中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象只有两个交点，求的值；
(3)如图，二次函数与互为“关联”二次函数，，分别是互为“关联”的两个二次函数与的图象的顶点，是的图象与轴正半轴的交点，连接，，，若点为，且为直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)，性质：图象关于原点成中心对称（答案不唯一，合理即可）
(2)或
(3)或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）根据定义可知互为“关联”二次函数的解析式二项式系数互为相反数，常数项互为相反数，即可得到答案，观察图象，可知图象关于原点成中心对称；
（2）互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象都关于原点成中心对称，且题（1）中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象只有两个交点，所以的图象与的图象只有一个交点，关于的方程有两个相等的实数根，那么判别式为零，从而解得答案；
（3）由（1）知，若二次函数与互为“关联”二次函数，则二次函数与的图象关于原点成中心对称，先求得点、，分、分类讨论即可得出答案．
【详解】（1）解：的“关联”二次函数的表达式是
性质：图象关于原点成中心对称． （答案不唯一，合理即可）
（2）解：互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象都关于原点成中心对称，且题（1）中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象只有两个交点，
的图象与的图象只有一个交点，
关于的方程有两个相等的实数根，
整理得，
，
解得或，
的值为或．
（3）解：由（1）知，若二次函数与互为“关联”二次函数，
则二次函数与的图象关于原点成中心对称，
，分别是互为“关联”的两个二次函数与的图象的顶点，点，
点，点为的中点．
设，则，
当时，，
点，
是的图象与轴正半轴的交点，
若为直角三角形，则或；
当时，
点为的中点，
，
，
，
点的坐标为．
当时，，
∴，
解得，
，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，直角三角形的性质，抛物线与一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
1. 明确定义：紧扣题目对“共生伴随抛物线”的定义（如顶点关联、系数对称等），例：若定义为“与原抛物线对称轴相同，开口方向相反”，则设原抛物线为y=a(x-h)2+k，伴随抛物线为y=-a(x-h)2+k。 2. 联立关系：根据定义列解析式，结合交点、最值等条件联立方程（如两抛物线交于x轴同一点，代入求解a、h、k）。 3. 分类讨论：若定义含多种情形（如伴随抛物线顶点为原抛物线与y轴交点），需分情况推导，验根时确保符合所有约束条件。 4. 数形结合：通过画图直观呈现两抛物线位置关系，辅助分析参数取值范围。
【例2】（2025·河南焦作·一模）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．
(1)若抛物线与轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
(2)已知抛物线（，为常数，且）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式；
（1）根据题意“定点抛物线”与轴只有一个公共点，且经过点，得出，解方程组，即可求解；
（2）①将代入解析式，即可求解；
②根据题意才抛物线的对称轴为直线，进而分类讨论，即可求解．
【详解】（1）∵“定点抛物线”与轴只有一个公共点，且经过点，
∴解得
∴.
（2）①证明：将代入，得，
∴在抛物线上.
∴该抛物线为“定点抛物线”.
②∵，
∴抛物线的开口向下.
由①知抛物线经过点
∴当抛物线的顶点在处时，抛物线的顶点在最低位置.
∵点在轴上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.
∴抛物线上有两点，，且，
∴当点在对称轴右侧时，则，
当点在对称轴左侧时，
∵，
∴离对称轴更近，
∴
解得：，
当点在对称轴上时，则.
综上，当时，的取值范围为．
【变式1】（23-24九年级上·浙江·期中）新定义：我们把抛物线与抛物线其中称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出抛物线的函数表达式（用含的式子表示）　　，顶点坐标为 　　．
(2)对于和，当时，求的取值范围．
(3)若，当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【答案】(1)；
(2)当时，或；当时，
(3)的值为或
【知识点】根据交点确定不等式的解集、y=ax +bx+c的图象与性质、把y=ax +bx+c化成顶点式
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及新定义，二次函数的图象及性质，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；即可得顶点坐标为；
（2）由，得，即，当时，，可得或；当时，，得；
（3）求出当时，．当 时，；当 时，；分三种情况讨论：Ⅰ．当，即时，若，，若，，Ⅱ．当时，，Ⅲ．当时，，分别解方程可得答案．
【详解】（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；
，
顶点坐标为；
故答案为：；；
（2），
，
，
当时，，
或；
当时，，
；
综上所述，当时，或；当时，；
（3），
当时，．
当 时，；
当 时，；
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ．当，即时，
若，即，则；，
，
解得或（舍或（舍；
若，即时，；，
，
解得或（舍或（舍；
Ⅱ．当，即时，；．
，
解得（舍或（舍；
Ⅲ．当，即时，，，
，
解得（舍去）或（舍去），
综上所述，的值为或．
【变式2】（2025·山东·一模）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E．
(1)若点E的坐标为，求的解析式；
(2)设的顶点为F，若是以为底的等腰三角形，求点E的坐标；
(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N．
①当时，求点P的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①或；②a的值为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标；
（2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论；
（3）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标；
②当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值．
【详解】（1）解：∵与y轴交点的坐标为，
∴，解得．
∴的解析式为 ；
（2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为，
∵，
∴的顶点的坐标为
易得点，
过点作轴于点，连接．

∴，，，
∵，
∴，即．
解得，
∴点E的坐标为；
（3）解：①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得或，
∴或；
②∵的解析式为，
∴当时，，
当时，；
当时，．
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ．当时，，且当时，函数的最大值为；函数的最小值为．
∴，解得或（舍）或（舍）；
当时，函数的最大值为，函数的最小值为．
∴，解得或（舍）或（舍）；
Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为，
∴，解得（舍）或（舍）；
Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去．
综上，a的值为或．
【点睛】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
【变式3】（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成：
(1)点的“和”点是______；
(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”；
(3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．
①当时，求n的取值范围．
②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可；
（2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可；
（3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可；根据题意确定原函数的顶点坐标，得出相应的二次函数解析式，确定顶点坐标即可得出结果．
【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是，
∴点的“和”点的纵坐标为，即．
故答案为：．
（2）将点代入抛物线得：，
解得：，
即抛物线的解析式为，
∴抛物线的“和抛物线”为，
即．
（3）根据题意可知，点是点的“和”点，
∴，解得：，即，
将点代入抛物线得：，则，
∴抛物线为，
∴抛物线的“和抛物线”为：，
即
∵其顶点坐标为，
∴，
将n看作c的函数，
∵，
时，n有最大值，且最大值为1，
当时，，n有最小值，且最小值为，
∴n的取值范围是；
由得：原抛物线为，
∴，
将变形为代入得出，
∵所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，
∴，
∴顶点坐标为：；
同理：∵所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，
∴，
∴顶点坐标为：；
∴距离为：．
【点睛】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
【变式4】如图，抛物线上的点，，，分别关于直线的对称点为，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，如下表：
… …
… …

（1）①补全表格；
②在下图中，描出表格中的点，，，，再用平滑的曲线依次连接各点得到的图象记为；描出表格中的点，，，，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成新定义：直线与轴交于点，我们把抛物线关于直线的对称抛物线，叫作抛物线的“共线抛物线”；把抛物线关于点中心对称的抛物线，叫作抛物线的“共点抛物线”．
问题探究
（2）①若抛物线与它的“共点抛物线”的函数值都随着的增大而减小，求的取值范围；
②若直线与抛物线、“共线抛物线”，“共点抛物线”有且只有四个交点，求的取值范围．
③已知抛物线：的“共线抛物线”的解析式为．请写出抛物线的“共点抛物线”的解析式．
【答案】（1）①，；②见解析；（2）①；②且；③
【知识点】其他问题(二次函数综合)、成中心对称、y=ax +bx+c的图象与性质、把y=ax +bx+c化成顶点式
【分析】（1）①根据题意，利用中点坐标公式求出的坐标即可；
②通过描点连线，画出和的图象即可；
（2）①观察图象，即可得到答案；
②先求出抛物线的顶点坐标，然后分四种情况讨论即可；
③根据抛物线中保持不变，利用抛物线的解析式，得到抛物线的顶点坐标和的值，进而求出抛物线的解析式，得到抛物线的顶点坐标，再利用轴对称和中心对称的性质，求出，抛物线的顶点坐标，然后根据抛物线解析式中的值与抛物线中的值相同，即可求出抛物线的解析式．
【详解】解：（1）①由题意可知，和点关于点中心对称，
点是的中点，
设，
，
，，
，
故答案为：，；
②通过描点连接，和的图象如下：

（2）①由图象可知，当时，抛物线的函数值随着的增大而减小，
当时，抛物线的函数值随着的增大而减小，
若抛物线与它的“共点抛物线”的函数值都随着的增大而减小，的取值范围为；
②抛物线，
抛物线的顶点坐标为，
如图1，当时，直线与抛物线、“共线抛物线”，“共点抛物线”没有交点，

如图2，当时，直线与抛物线、“共线抛物线”，“共点抛物线”有且只有两个交点，

如图3，当时，直线与抛物线、“共线抛物线”，“共点抛物线”有且只有四个交点，

当时，直线 与抛物线 L、“共线抛物线” ，“共点抛物线” 有且只有三个交点，

若直线与抛物线、“共线抛物线”，“共点抛物线”有且只有四个交点，的值为且；
③由题意可知，抛物线中保持不变，
的解析式为，
的顶点坐标为，抛物线的解析式中的，
将代入抛物线：，得：，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线的顶点和抛物线的顶点关于点对称，
，
抛物线的顶点和抛物线的顶点关于点中心对称，
抛物线的顶点坐标为，
，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线解析式中的值与抛物线中的值相同，
抛物线的解析式为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，抛物线上点的坐标特征，抛物线顶点坐标，中心对称的点的特征，中点坐标公式等知识，属于阅读型题目，理解题干中的新定义并灵活运用是解题关键．
【变式5】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）阅读以下材料，并解决相应问题：
定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为．
(1)的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________；
(2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；
②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
③的“友好对称二次函数”为；
④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点．
(3)如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值．
【答案】(1)，
(2)①②③
(3)或或或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，正确理解“友好对称二次函数”的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据“友好对称二次函数”的定义分别求出二次项系数、常数项和对称轴，再根据二次函数的对称轴公式求出一次项系数，由此即可得；
（2）根据“友好对称二次函数”的定义即可判断①②③正确；举例二次函数，根据一元二次方程根的判别式可得其函数图象与轴没有交点，由此即可判断④错误；
（3）先根据“友好对称二次函数”的定义可求出二次函数的解析式，再分别求出点的坐标，从而可得的长，然后根据四边形的邻边之比为建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：由题意得：的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线，
所以的“友好对称二次函数”为；
二次函数的对称轴为直线，
则二次函数的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线，
设二次函数的“友好对称二次函数”的一次项系数为，
所以，解得，
所以的“友好对称二次函数”为，
故答案为：，．
（2）解：∵，
∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，则结论①正确；
∵，互为“友好对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同，
∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同，
∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，则结论②正确；
的对称轴为直线，
则的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线，
设的“友好对称二次函数”的一次项系数为，
则，解得，
∴的“友好对称二次函数”为，则结论③正确；
若二次函数为，则其“友好对称二次函数”为，
∵方程的根的判别式为没有实数根，
∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误；
综上，结论正确的是①②③，
故答案为：①②③．
（3）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴其“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线，
设二次函数的一次项系数为，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为，
将代入二次函数得：，
将代入二次函数得：，
∴，，
∵点关于直线的对称点分别为，，
∴，，即，，
∴，，
∵四边形的邻边之比为，
∴或，
∴或，
解得或或或，
所以的值为或或或．
【题型二】新定义型二次函数之特殊形状问题
【例1】定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
（1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
（2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为．
①求的值．
②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围．
【答案】（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；（2）①的值为；②线段长的取值范围是．
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念．
（1）求出两抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线的开口方向相同，即可知抛物线与抛物线围成“月牙线”；
（2）①求出抛物线与轴交点为和，代入求得，据此求解即可；
②先求得两抛物线的顶点坐标，再根据的值始终不大于2，有，即解得，而，；故，从而可得线段长的取值范围是．
【详解】解：（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；理由如下：
在中，令得或，
抛物线与轴的交点为和；
在中，令得或，
抛物线与轴交点为和，
抛物线与抛物线与轴有相同的交点，
又抛物线与抛物线开口方向相同，
抛物线与抛物线围成“月牙线”；
（2）①在中，令得或，
抛物线与轴交点为和，
把和代入得：
，
解得，
；
∴的值为；
②由①知，，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点为，，
，
抛物线在抛物线上方；
，，
，
的值始终不大于2，
，
整理得：，
解得，
，
；
在中，令得，
，
在中，令得，
；
，
；
，
线段长的取值范围是．
1. 拆解新定义：明确“特殊形状”的几何特征（如抛物线与坐标轴围成等腰梯形、顶点与交点构成等边三角形等），标注关键条件（边长、角度、对称关系）。 2. 坐标代数化：设二次函数为y = ax + bx + c，求顶点、与坐标轴交点坐标，用距离公式、斜率表示形状边/角关系（如|AB| = |BC|、kABkBC = -1）。 3. 分类讨论建模：按形状顶点位置或边的对应关系分情况，列方程（组）求解（如等腰三角形分顶角在顶点或底边），注意判别式与定义域限制。 4. 图形验证：代入解验证是否满足形状定义，舍去退化解（如三点共线的三角形），结合图像判断参数合理性。
【例2】二次函数的图象交轴于原点及点．
感知特例
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
… （___，___） …
… …
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
【答案】（1）①2，0；②见解析；（2）①；②；③m=1．
【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为 (3m，)，再根据题意即可求解．
【详解】（1）∵点B(-1，3)与点B′(5，-3)关于点A中心对称，
∴点A的坐标为(，)，即A(2，0)，
故答案为：2，0；
②描点，连线，得到的图象如图所示：
（2）①当m= 1时，抛物线L为，对称轴为，
它的“孔像抛物线”L′的解析式为，对称轴为，
画出草图如图所示：
∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小，
则x的取值范围为：；
②画出草图，
由图象知，这条抛物线的解析式只能是；
故答案为：；
③L：，设顶点为，过点P作PM⊥轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，
由题意可知△PMA≌△A，
得 (3m，0)，所以 (3m，)，
∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，
∴=m或=m，
解得m=1或0，
当m=0时，与只有一个交点，不合题意，舍去，
∴m=1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
【变式1】定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于，．
(1)抛物线的“反碟长”________．
(2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．
①当抛物线的顶点平移到点，抛物线的解析式是________．抛物线的“反碟长”是________．
②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是________．（填写所有正确的选项）
A．15 B．16 C．24 D．25
③当抛物线的顶点和抛物线与直线的两个交点，构成一个等边三角形时（点在点左右），求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；4；②AC；③
【分析】（1）根据定义，令，解方程即可求解；
（2）①根据抛物线的平移，即可求解；令，解方程即可求解；
②由题意可设抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为，令，得出抛物线的“反碟长”为，根据抛物线的“反碟长”是一个偶数，是整数，结合选项即可求解；
③由②可知，，过点作于点，则，，根据是等边三角形，得出，即，解方程即可求解．
【详解】（1）解： 令，则或，
∴．
（2）①由题意抛物线的顶点坐标为
∴由平移的性质可得抛物线的解析式为，
令，
解得：或，
∴抛物线的“反碟长”为：
②解：由题意可设抛物线的顶点坐标为，
则抛物线的解析式为，
令，
解得：或，
∴抛物线的“反碟长”为
∵抛物线的“反碟长”是一个偶数
∴是整数
结合选项可知：当或24时符合题意，故A，C正确．
③解：∵点在直线上
∴可设
由②可知，
∴
过点作于点，
则，
∵是等边三角形
∴
∴
解得：或（不合题意，舍去）
∴点的坐标为
【点睛】本题考查了新定义，二次函数与直线交点问题，等边三角形的性质，正切的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【题型三】新定义型二次函数与其他函数的综合问题
【例1】（2025·湖南岳阳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”；
【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________；
(2)求点在函数图象上的“积值”；
(3)已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值．
【答案】(1)
(2)6
(3)
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、y=ax +bx+c的图象与性质、根据反比例函数的定义求参数
【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答．
（2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答．
（3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答．
【详解】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点，
∴，
∴点B在该函数图象上的“积值”为；
故答案为：；
（2）解：∵点在函数图象上，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
则点在函数图象上的“积值”为；
（3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上，
∴
∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，
∴，
∵，
函数开口向上，则对称轴为，
∵，
∴，
即当时，有最小值，且
∴当时，随的增大而减小，
∴时，有最小值，最小值为
∴
即．
1. 吃透双定义：先明确二次函数新定义（如“联动函数”），再分析其他函数（一次/反比例）性质，标注交点、增减性等关联点。 2. 联立方程求解：将两函数解析式联立，转化为一元二次方程（如ax + bx + c = kx + m），用判别式判断交点个数，或用韦达定理求参数关系。 3. 数形结合分析：画草图观察两函数位置（如二次函数顶点在反比例函数图象上），结合新定义条件（如“最低点纵坐标等于一次函数截距”）列等式。 4. 分类讨论参数：若新定义含参数，分情况讨论参数对两函数交点、最值的影响，验根时兼顾定义域与实际意义。
【例2】（2025·辽宁盘锦·模拟预测）定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式；
(2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式；
(3)二次函数过点，，，则的解析式为______；
如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标；
如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标．
【答案】(1)或；
(2)；
(3)；；或．
【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合)
【分析】本题考查二次函数综合题，通过新定义“等边点”确定解析式，正比例函数，等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特点等知识点，理解新定义和熟悉二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据图象和、的坐标即可得解；
（2）由题意得是等边三角形，轴，通过解三角形的计算即可得到点坐标，即可得解；
（3）的解析式为：，作垂足为，通过勾股定理可得，设，，，求出的值即可得解；
当，重合时，过作，交延长线于点，过点作轴于点，证明，设，可求得，，将代入，即可得解．
【详解】（1）解：，，
，
边上的高为：，
点的纵坐标为：，
∵点P的横坐标为，
设正比例函数的解析式为，
∴
∴或；
（2）解：如图所示，由题意得是等边三角形，轴，
，，
中，
，
，
，
设，
将代入，
解得，，
的解析式为；
（3）解：∵抛物线过，，
∴设抛物线的解析式为，
代入，得，
∴抛物线的解析式为；
作垂足为，如图所示，
由题意得，
，，
，，
，
设，，，
则，
解得，，
，
，
∴；
如图所示，当，重合时，，显然符合题意；
如图所示，过作，交延长线于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
设，
∵点是上关于，的等边点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，即P是中点，
∴，
将代入，
解得（舍），，
∴，
综上，的横坐标为：或．
【变式1】（2024·浙江湖州·一模）定义：对于y关于x的函数，函数在 范围内的最大值，记作 如函数，在范围内，该函数的最大值是6， 即，．
请根据以上信息，完成以下问题：
已知函数 （a为常数）
(1)若．
①直接写出该函数的表达式，并求 的值；
②已知 求p的值．
(2)若该函数的图象经过点， 且， 求k的值．
【答案】(1)①；②
(2)的值是12，或2
【分析】本题考查了二次函数与正比例函数的图形与性质，根据二次函数的对称轴，a的正负判断出二次函数开口方向，找到最大值是解答本题的关键．
（1）①先求出二次函数解析式，根据二次函数对称轴，开口方向即可找到范围内的最大值，进而得出结果；
②根据二次函数对称轴，开口方向即可知当时，，即可求出p值；
（2）根据函数图象经过点，得到，分两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：①，
．
该函数的图象对称轴为直线，且开口向上，
在范围内，当时，有最大值，
当时，，即．
②，该函数的图象对称轴为直线，且开口向上，
又当时，，
，解得，．
，
；
（2）函数图象经过点，
，即，
当，函数为正比例函数，随的增大而减小，
，
，即；
当时，函数为二次函数，函数图象开口向下，对称轴为直线．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
，
若，则，解得，，
；
若，则，解得，
；
综上所述，的值是12，或2．
【题型四】新定义型二次函数与几何图形的综合问题
【例1】（2024·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．
已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．
(1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；
(3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、y=ax +bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，
（1）将点代入表达式，求出m的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；
（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E、F坐标，并求出P、Q坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m值，进而解决问题；
（3）求出，由点关于对称，平行于y轴，得到，根据和相似，分，两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：抛物线：与轴交于点坐标为，
当，代入，得，
，
抛物线表达式为，
抛物线的“轮换抛物线”为表达式为；
（2）解：抛物线：，
当时，，即与y轴交点为，
抛物线：的“轮换抛物线”为，
抛物线表达式为，
同理抛物线与y轴交点为，
抛物线对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，
抛物线的对称轴与直线交点，
点在点的上方，
，
解得：，
，
四边形为平行四边形，
，即，
解得：，
；
（3）解：由（2）知
：，：，，，，，
点在抛物线上，
即，
如图，
点关于对称，
，
又平行于y轴，
，
，
和相似，
有两种可能：
情形1：，
，
，，
，
解得：（符合题意）；
情形2：，
，
，，
，
解得：（符合题意）或（符合题意），
综上，当与相似时，的值为或或．
1. 译定义条件：将新定义（如“抛物线与三角形构成‘关联图形’”）转化为坐标关系，例：顶点在三角形某边上，或与边交点满足特定距离。 2. 建函数与几何桥梁：用二次函数解析式表示几何图形顶点/交点坐标，结合全等/相似、面积公式等列方程（如用距离公式表示边长相等）。 3. 分情况讨论：按几何图形位置（如顶点在左/右侧）或新定义多情形分类，避免漏解。 4. 验图形逻辑：代入解验证是否符合几何图形完整性（如三角形不共线、抛物线不与边重合），结合图像舍去矛盾解。
【例2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D．
(1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标；
(2)点在这个黄金抛物线上．
①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值．
②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标．
【答案】(1)，
(2)①；②或．
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质、求角的正切值、角度问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)
【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可；
（2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正切的定义，求解即可；②分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解： 抛物线是黄金抛物线，
，
抛物线的表达式为，
配方得：，
点的坐标为；
（2）解：①由（1）得：抛物线的对称轴是直线，
点的坐标为，
点在这个黄金抛物线上，
，
，
点的坐标为，
点在这个黄金抛物线的对称轴上，
，
，
，
，
，
，
．
②存在，
过点作，垂足为
抛物线与轴交于点，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
，
要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况
第一种：，
∵，
，
，
，
，，
，
点在射线上，
点的坐标为；
第二种：，则，
又，，
∴与全等，相似比为1，
∴，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
【变式1】新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”．
(1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、．
①当四边形为正方形时，求：a的值．
②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②，，
【知识点】二次函数图象的平移、y=ax +bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)
【分析】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质、正方形的性质、不等式等知识点，解题的关键是根批题意画出图形，利用数形结合的思想解题，考查计算能力，属于难题．
（1）求出函数的顶点，由“同轴对称抛物线”的定义，求出它的顶点为，即可求解析式；
（2）①由题意可求点，，，的坐标，再由正方形的性质可得或，求出即可；
②根据有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值，求得切点的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标．
【详解】（1）解：，
“同轴对称抛物线”的顶点坐标为，
；
（2）解：①由题可知，，
，
抛物线的对称轴为，
，，
，
或，
或，
（舍去）或；
②由题意得，的“同轴对称抛物线”的表达式为：，
设抛物线向上平移了个单位符合题设条件，则，
联立和得：，
解得：或，
即，
联立和得：，
则，，
则，
，
，
直线和轴的夹角为，
则，，
而，
则，
即，
解得：，
则①；
设直线交轴于点（即点，在轴上方取点，
过点作直线使和抛物线只有一个交点，取，过点作，
则此时，在抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值，
设直线的表达式为：②，
联立①②并整理得：，
则，
解得：，
则直线的表达式为：，
则点，
当时，即，
解得：，
则点；
则，
则点，
则直线的表达式为：，
联立和得：，
解得：，
则点和的坐标分别为：,．
综上，，，的坐标分别为：,,．
【变式2】（2024·广东东莞·三模）阅读理解
【信息提取】
新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”．
新知识：对于直线和，若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则．
【感知理解】
（1）抛物线的“友好抛物线”为____________________；
（2）若抛物线与互为“友好抛物线”，则a与m的数量关系为__________，b与n的数量关系为__________，c与q的数量关系为__________；
【综合应用】
（3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长．
【答案】（1）
（2），，
（3）
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质、y=ax +bx+c的图象与性质、利用菱形的性质求线段长、特殊四边形(二次函数综合)
【分析】（1）根据“友好抛物线”定义可得顶点关于坐标原点对称，开口方向相反，形状相同写出解析式即可．
（2）将抛物线与化为顶点式，根据它们互为“友好抛物线”求解；
（3）求出抛物线的顶点为的坐标为，根据“友好抛物线”可得．抛物线，利用待定系数法可得直线的解析式为．根据新知识得直线的解析式为．由，可得，．利用两点的距离公式即可求解．
【详解】解：（1）由已知抛物线与它的“友好抛物线”的顶点关于坐标原点对称，形状相同，开口方向相反．
抛物线的顶点坐标为，
它的“友好抛物线”的顶点坐标为，
，
故答案为：；
（2）抛物线，，
抛物线的顶点坐标为，，抛物线的顶点坐标为，，
抛物线与互为“友好抛物线”．
，，，
，，．
故答案为：，，．
（3）抛物线的顶点为，，
．
抛物线的顶点为，的“友好抛物线” 的顶点为，
．
抛物线，
．．
直线的解析式为．
若四边形为菱形，则．
直线的解析式为．
由，可得，．
，．
．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的顶点坐标以及新定义的问题，菱形的性质，着重理解“友好抛物线”这个新定义，解题的关键是根据新定义找出等量关系．
【变式3】（24-25九年级上·辽宁·期末）定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“友好函数”，函数和的图象交点叫做“友好点”．
例如：函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．
(1)求函数关于直线的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标；
(2)函数关于直线的“友好点”的纵坐标为，当时，求的取值范围；
(3)函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数与的图象组成的图形记为．
①若，判断的形状，并说明理由；
②若，求的值；
③点，点，若与线段有且只有两个交点，直接写出的值或取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)①是等腰直角三角形．理由见解析；②或；③或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）根据“友好函数”的定义即可求解；
（2）由题易得，再根据的取值范围即可得到的范围；
（3）①当时可得和的表达式，从而得到、、的坐标，再根据图形性质易得其是等腰直角三角形，或者由勾股定理逆定理亦可证明；
②用含的式子表示出和的表达式，进而得到、、的坐标，然后可得到和的长度，最后根据，建立方程求解即可；
③分类讨论，开口向上或者开口向下，画出图形，找出临界值代入求解即可．
【详解】（1）解：，
顶点，它关于直线 的对称点为，
“友好函数”为，
两个函数图象关于直线 对称，
其交点必在直线 上，将代入中，，
“友好点”坐标为；
（2）解：由题意得，
，
关于的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为，
当 时，有最小值，
当 时，，当 时，，
；
（3）解：① 是等腰直角三角形，
当 时，，
，
，
，
当 时，，
，
如图，直线 是线段的垂直平分线，点在直线，
，
设直线交线段于点，则，
，
，．
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
②，
，
在中，当 时，，
，
在中，当 时，，
，
，
将 代入中，，
，
点，的纵坐标相同，
，
，
，
当时，，
；
当时，，
；
综上所述，的值为或；
③第一种情况，，
如图，当“友好点”恰好在线段上时，此时“友好点”坐标为，
将代入得，
，
解得，
此时，与轴恰好交于点，
当时，与线段会有3个交点，
当时，与线段有且只有两个交点；
，如图，当的两个顶点恰好在线段上时，
，
，
，
即当时，与线段有且只有两个交点；
第二种情况：，
此时，则与轴交正半轴，
如图，当经过点，此时经过点，与线段有两个交点，
当向下平移时，则与依然会有两个交点，
，
，
，
即当时，与线段有且只有两个交点；
综上，或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数点的坐标特征、二次函数交点问题等内容，利用数形结合是解题的关键．
【变式4】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线．
问题：
(1)已知点，，则的外接抛物线的解析式为______；
(2)如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标；
(3)如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标；
(4)已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
①当是等腰直角三角形时，求的面积；
②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围．
【答案】(1)
(2)点A的坐标是，点B的坐标是
(3)
(4)①1；②或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据点A、B、O三点坐标即可设抛物线解析式为，再将代入计算即可；
（2）根据等边三角形的性质设B点坐标，代入解析式求解即可；
（3）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明∽，设点，点，根据相似比可得，再联立直线和二次函数解析式得到关于x的方程组，利用根与系数的关系即可求出点P坐标；
（4）①由抛物线对称性可得点C为抛物线顶点，设，从而得到点B和点C的坐标，代入抛物线解析式即可求出a值，因而得解；
②由图象得当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形，此时；当点A和点B在y轴两侧时，可讨论的临界值，因此得解．
【详解】（1）解：，，
抛物线的对称轴为直线，即y轴，
在抛物线上，
设抛物线解析式为，
将代入得，
的外接抛物线的解析式为；
故答案为：；
（2）解：设与y轴交于点M，
为等边三角形，
，，
，
，
设，则，
，
将B坐标代入得，，
解得，（不合题意，舍去，
点A的坐标是，点B的坐标是；
（3）解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点，
设点，点，则，，，，
，
，，
，
，
，
，
，
解得或（舍去），
设直线的解析式为，
由，
得，
，
，
当时，，
点P的坐标是；
（4）解：①如图，设抛物线的对称轴交于点，
由抛物线和等腰直角三角形的对称性，
得，，，
设，
对称轴为，
点B的坐标为，点C的坐标为，
将点B，C的坐标分别代入，得，
解得或（舍去），

，，
；
②点A和点B在x轴上，点C在y轴上，
若当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形，
如图，
此时或，
抛物线开口向上，
；
若时，则可先讨论的c的值，
如图，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得或舍去，
此时时，；
综上，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)抢分秘籍19 二次函数新定义型综合问题
目录
【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】新定义型二次函数之共生或伴随抛物线 【题型二】新定义型二次函数之特殊形状问题
【题型三】新定义型二次函数与其他函数的综合问题 【题型四】新定义型二次函数与几何图形的综合问题
：二次函数新定义型综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，属中频偏高考点，多在压轴题出现，约占解答题15%-20%。近年随核心素养考查加重，频率略有上升，各地试卷年均1-2题，常与函数性质、几何综合结合。
2．从题型角度看，以解答题为主（占比超80%），分三类：①新定义概念（如“友好抛物线”），需根据定义求解析式；②新性质探究（如“最值点”关系），需推导规律；③跨知识应用（如结合坐标系定义“距离函数”），综合度高，分步设问（2-3小问）。
：1.强化读题建模：圈画新定义关键词，用示例辅助理解（如通过图像标注“新顶点”）；
2.分阶训练：先练单一知识点新定义（如仅含函数），再攻几何代数综合题；
3.提炼通法：按“理解定义→翻译条件→联立方程/几何关系→验证结果”步骤解题，注意分类讨论与数形结合，积累典型模型（如“对称型”“最值型”新定义）。
【题型一】新定义型二次函数之共生或伴随抛物线
【例1】（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）新定义：若二次函数为（，，，是常数），则称为的“关联”二次函数，称这两个函数为互为“关联”二次函数．
(1)写出的“关联”二次函数的表达式，并写出该互为“关联”二次函数的图象的一个性质；
(2)若（1）中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数的图象只有两个交点，求的值；
(3)如图，二次函数与互为“关联”二次函数，，分别是互为“关联”的两个二次函数与的图象的顶点，是的图象与轴正半轴的交点，连接，，，若点为，且为直角三角形，求点的坐标．
1. 明确定义：紧扣题目对“共生伴随抛物线”的定义（如顶点关联、系数对称等），例：若定义为“与原抛物线对称轴相同，开口方向相反”，则设原抛物线为y=a(x-h)2+k，伴随抛物线为y=-a(x-h)2+k。 2. 联立关系：根据定义列解析式，结合交点、最值等条件联立方程（如两抛物线交于x轴同一点，代入求解a、h、k）。 3. 分类讨论：若定义含多种情形（如伴随抛物线顶点为原抛物线与y轴交点），需分情况推导，验根时确保符合所有约束条件。 4. 数形结合：通过画图直观呈现两抛物线位置关系，辅助分析参数取值范围。
【例2】（2025·河南焦作·一模）新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．
(1)若抛物线与轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
(2)已知抛物线（，为常数，且）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围．
【变式1】（23-24九年级上·浙江·期中）新定义：我们把抛物线与抛物线其中称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为．
(1)写出抛物线的函数表达式（用含的式子表示）　　，顶点坐标为 　　．
(2)对于和，当时，求的取值范围．
(3)若，当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【变式2】（2025·山东·一模）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E．
(1)若点E的坐标为，求的解析式；
(2)设的顶点为F，若是以为底的等腰三角形，求点E的坐标；
(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N．
①当时，求点P的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求a的值．
【变式3】（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成：
(1)点的“和”点是______；
(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”；
(3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．
①当时，求n的取值范围．
②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离．
【变式4】如图，抛物线上的点，，，分别关于直线的对称点为，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，如下表：
… …
… …

（1）①补全表格；
②在下图中，描出表格中的点，，，，再用平滑的曲线依次连接各点得到的图象记为；描出表格中的点，，，，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成新定义：直线与轴交于点，我们把抛物线关于直线的对称抛物线，叫作抛物线的“共线抛物线”；把抛物线关于点中心对称的抛物线，叫作抛物线的“共点抛物线”．
问题探究
（2）①若抛物线与它的“共点抛物线”的函数值都随着的增大而减小，求的取值范围；
②若直线与抛物线、“共线抛物线”，“共点抛物线”有且只有四个交点，求的取值范围．
③已知抛物线：的“共线抛物线”的解析式为．请写出抛物线的“共点抛物线”的解析式．
【变式5】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）阅读以下材料，并解决相应问题：
定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为．
(1)的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________；
(2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；
②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
③的“友好对称二次函数”为；
④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点．
(3)如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值．
【题型二】新定义型二次函数之特殊形状问题
【例1】定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
（1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
（2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为．
①求的值．
②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围．
1. 拆解新定义：明确“特殊形状”的几何特征（如抛物线与坐标轴围成等腰梯形、顶点与交点构成等边三角形等），标注关键条件（边长、角度、对称关系）。 2. 坐标代数化：设二次函数为y = ax + bx + c，求顶点、与坐标轴交点坐标，用距离公式、斜率表示形状边/角关系（如|AB| = |BC|、kABkBC = -1）。 3. 分类讨论建模：按形状顶点位置或边的对应关系分情况，列方程（组）求解（如等腰三角形分顶角在顶点或底边），注意判别式与定义域限制。 4. 图形验证：代入解验证是否满足形状定义，舍去退化解（如三点共线的三角形），结合图像判断参数合理性。
【例2】二次函数的图象交轴于原点及点．
感知特例
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
… （___，___） …
… …
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
【变式1】定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于，．
(1)抛物线的“反碟长”________．
(2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．
①当抛物线的顶点平移到点，抛物线的解析式是________．抛物线的“反碟长”是________．
②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是________．（填写所有正确的选项）
A．15 B．16 C．24 D．25
③当抛物线的顶点和抛物线与直线的两个交点，构成一个等边三角形时（点在点左右），求点的坐标．
【题型三】新定义型二次函数与其他函数的综合问题
【例1】（2025·湖南岳阳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”；
【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________；
(2)求点在函数图象上的“积值”；
(3)已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值．
1. 吃透双定义：先明确二次函数新定义（如“联动函数”），再分析其他函数（一次/反比例）性质，标注交点、增减性等关联点。 2. 联立方程求解：将两函数解析式联立，转化为一元二次方程（如ax + bx + c = kx + m），用判别式判断交点个数，或用韦达定理求参数关系。 3. 数形结合分析：画草图观察两函数位置（如二次函数顶点在反比例函数图象上），结合新定义条件（如“最低点纵坐标等于一次函数截距”）列等式。 4. 分类讨论参数：若新定义含参数，分情况讨论参数对两函数交点、最值的影响，验根时兼顾定义域与实际意义。
【例2】（2025·辽宁盘锦·模拟预测）定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式；
(2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式；
(3)二次函数过点，，，则的解析式为______；
如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标；
如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标．
【变式1】（2024·浙江湖州·一模）定义：对于y关于x的函数，函数在 范围内的最大值，记作 如函数，在范围内，该函数的最大值是6， 即，．
请根据以上信息，完成以下问题：
已知函数 （a为常数）
(1)若．
①直接写出该函数的表达式，并求 的值；
②已知 求p的值．
(2)若该函数的图象经过点， 且， 求k的值．
【题型四】新定义型二次函数与几何图形的综合问题
【例1】（2024·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．
已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．
(1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；
(3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值．
1. 译定义条件：将新定义（如“抛物线与三角形构成‘关联图形’”）转化为坐标关系，例：顶点在三角形某边上，或与边交点满足特定距离。 2. 建函数与几何桥梁：用二次函数解析式表示几何图形顶点/交点坐标，结合全等/相似、面积公式等列方程（如用距离公式表示边长相等）。 3. 分情况讨论：按几何图形位置（如顶点在左/右侧）或新定义多情形分类，避免漏解。 4. 验图形逻辑：代入解验证是否符合几何图形完整性（如三角形不共线、抛物线不与边重合），结合图像舍去矛盾解。
【例2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D．
(1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标；
(2)点在这个黄金抛物线上．
①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值．
②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标．
【变式1】新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”．
(1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、．
①当四边形为正方形时，求：a的值．
②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标．
【变式2】（2024·广东东莞·三模）阅读理解
【信息提取】
新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”．
新知识：对于直线和，若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则．
【感知理解】
（1）抛物线的“友好抛物线”为____________________；
（2）若抛物线与互为“友好抛物线”，则a与m的数量关系为__________，b与n的数量关系为__________，c与q的数量关系为__________；
【综合应用】
（3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长．
【变式3】（24-25九年级上·辽宁·期末）定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“友好函数”，函数和的图象交点叫做“友好点”．
例如：函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．
(1)求函数关于直线的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标；
(2)函数关于直线的“友好点”的纵坐标为，当时，求的取值范围；
(3)函数关于直线的“友好函数”为，“友好点”为．函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数的图象的顶点为，与轴交点为，函数与的图象组成的图形记为．
①若，判断的形状，并说明理由；
②若，求的值；
③点，点，若与线段有且只有两个交点，直接写出的值或取值范围．
【变式4】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线．
问题：
(1)已知点，，则的外接抛物线的解析式为______；
(2)如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标；
(3)如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标；
(4)已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
①当是等腰直角三角形时，求的面积；
②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围．
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