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临考押题卷01（全国通用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各数：，，0，，其中比3大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．截止2025年3月30日9时30分．动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破亿，成为我国首部百亿电影！将数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正六边形中，直线，分别经过边，上一点；且．则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代著作《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，得到方程组为，则根据图2所示的算筹图，列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．某市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．这周最高气温的平均数是
B．这组数据的中位数是
C．这组数据的众数是
D．周三与周五的最高气温相差
8．如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直线翻折至，与反比例函数的图象交于点．若，为的中点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知的半径长是1，，分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则的长是（　　）
A． B．3 C． D．4
10．如图，抛物线 与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．当时，
C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．不等式组的解为 ．
13．直线 经过点，则的值为 ．
14．如图，在中，以点A为圆心AB长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，，，则的长为 ．
15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
16．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ．
三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（1）计算：．
（2）解方程：．
18．（1）解方程：；
（2）计算：．
19．近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为________；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有________人；
(2)补全条形统计图；
(3)学校准备从组内的甲，乙，丙，丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型 应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表法或画树状图法求甲和乙两名同学同时被选中的概率．
20．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值．
对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于12，
∴，即，
21．如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都调整为，摄像头高度，识别的最远水平距离．
(1)小张站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小张的身高约为多少厘米？
(2)身高的小军，头部高度为，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军能被摄像头识别吗？（参考数据：，，）
22．如图，是的直径，，是上两点，且，连接，．过点作交的延长线于点．
(1)判定直线与的位置关系，并说明理由；
(2)连接和交于点，若，，
①求证：四边形是矩形；
②求图中阴影部分的面积．
23．探究发现
（1）如图1，在正方形中，点P，Q分别在边，上，连接，．若，若，则线段和的数量关系是 ；线段和的数量关系是 ．
类比延伸
（2）如图2，在正方形中，点P是边上的一个动点，连接，作的垂直平分线分别交，于点E，F，过点P作交于点Q，猜想线段，，的数量关系，并证明．
拓展应用
（3）在（2）的条件下，若设的长为x，的长为，的长为，测量数据后画出的函数图象如图3所示，其中点M是图象的最高点．
①直接写出正方形的边长；
②在点P的运动过程中，当时，直接写出线段的长．
24．定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若点关于抛物线的对称点存在．
①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标；
②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由；
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数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各数：，，0，，其中比3大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较
【分析】本题考查有理数大小比较，熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键．先求解，再比较即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴比3大的数为，
故选：A．
2．未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
D，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，积的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
B．，故原计算正确；
C．，故原计算错误；
D．，故原计算错误；
故选：B．
4．截止2025年3月30日9时30分．动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破亿，成为我国首部百亿电影！将数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，先把亿转化为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：亿，
故选：C．
5．如图，正六边形中，直线，分别经过边，上一点；且．则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、正多边形的外角问题
【分析】本题考查了平行线的性质、多边形外角和、三角形外角的性质，根据多边形的外角和是，正多边形的每个外角度数都相等，可以求出，延长交直线于点，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质可得．
【详解】解：如下图所示，延长交直线于点，
，
，
六边形是正六边形，
，
在中，，
，
．
故选：B．
6．我国古代著作《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，得到方程组为，则根据图2所示的算筹图，列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，此题要理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推出图2所示的方程组．
【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，
可推出图2所示的算筹表示的方程组：．
故选：A．
7．某市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．这周最高气温的平均数是
B．这组数据的中位数是
C．这组数据的众数是
D．周三与周五的最高气温相差
【答案】C
【知识点】折线统计图、求一组数据的平均数、求中位数、求众数
【分析】本题考查了折线统计图、平均数、中位数、众数，解决本题的关键是根据平均数、中位数、众数的定义，求出这些数据，再根据求出的结果判断正误．
【详解】解：A选项：由折线统计图可知，本周最高气温的平均数是，故A选项错误；
B选项：把这周的最高气温按照从小到大排列，依次是、、、、、、，中间的数是，这组数据的中位数是，故B选项错误；
C选项：这组数据中出现次数最多的数据是，这组数据的众数是，故C选项正确；
D选项：由折线统计图可知，周三的最高气温是，周五的最高气温是，，周三与周五的最高气温相差，故D选项错误．
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直线翻折至，与反比例函数的图象交于点．若，为的中点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与几何综合、等边对等角、折叠问题、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，折叠性质，解直角三角形，反比例函数的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
过点作轴于点，由等腰三角形的性质可得，，由折叠性质可知：，从而可证明三点共线，设，则，，所以，，再求出，代入，得出的值即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
∵是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，，
由折叠性质可知：，
∴，，
∴，
∴三点共线，
设，
∴，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点在的图象，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴，
故选：．
9．如图，已知的半径长是1，，分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则的长是（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质求线段长、切线的性质定理
【分析】本题考查菱形的性质，切线的性质，含30度的直角三角形，掌握圆的切线的性质是解题关键．连接，，根据切线的性质得到，再根据等边对等角的性质推出，进而得到，则，即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，，
，分别切于点A，B，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
10．如图，抛物线 与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．当时，
C． D．
【答案】D
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据二次函数的图象与系数关系、图象与x轴的两交点，二次函数的性质，逐项判断即可解答本题．
【详解】解：A、由抛物线的对称轴位于y轴的右侧知a，b异号，即．由抛物线与y轴交于负半轴知，故，故此选项不符合题意；
B、由图可知当时，或，故此选项不符合题意；
C、由图可知，当时，，即，故此选项不符合题意；
D、由题意得二次函数的对称轴为直线，则，故此选项符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．不等式组的解为 ．
【答案】
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
13．直线 经过点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入一次函数解析式中，求出的值，即可求出结果．
【详解】解：将点代入，
得到：，
即：，
两边乘2得：，
∴．
故答案为：．
14．如图，在中，以点A为圆心AB长为半径作弧交于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接并延长交于点E，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】如图：连接，根据尺规作图可得，平分，证明是菱形可得，再运用勾股定理可得，进而可求出的长．
【详解】解：如图所示：连接，交于点O，
由题中作图可知：，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
，
∴，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定、尺规作图、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线的尺规作图成为解题的关键．
15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
且，
∴且．
故答案为：且
16．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了解直角三角形，“邻补四边形”的定义．分四种情况讨论，作于点，利用四边形的面积，列式计算即可求解．
【详解】解：作于点，
∵，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是“邻补四边形”，
分情况讨论，
①当时，
∵，，
∴这种情况不符合题意，舍去；
②当时，由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点和点重合，
∴这种情况不符合题意，舍去；
③当时，同②得，
∴，
∴，
∴，
作于点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴四边形的面积是；
④当时，
同理，
∴，
设，则，，
∵，
∴，即，
解得，
则，，，
∴四边形的面积是；
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）6；（2）．
【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、解分式方程（化为一元一次）、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了实数的运算以及解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以要注意检验．
（1）根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则以及绝对值的意义先化简，然后合并计算即可；
（2）根据解分式方程的步骤解答：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【详解】解：（1）
；
（2），
方程两边同乘以，得
，
解得，
检验：当时，，
所以方程的解为．
18．（1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【知识点】分式加减乘除混合运算、公式法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程和分式的混合运算；
（1）利用公式法求解即可；
（2）先根据分式的加法法则进行计算括号内的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
该方程有两个不等的实数根．
．
方程的两根为．
（2）
原式
．
19．近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为________；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有________人；
(2)补全条形统计图；
(3)学校准备从组内的甲，乙，丙，丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型 应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表法或画树状图法求甲和乙两名同学同时被选中的概率．
【答案】(1)，；
(2)见解析
(3)
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得抽取的学生人数，用乘以的人数占抽取的人数的百分比，即可得扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数；根据用样本估计总体，用乘以扇形统计图中的百分比，即可得出答案．
（2）求出B．比较了解的人数，补全条形统计图即可．
（3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及和两名同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为(人)，
∴扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为；
估计全校非常了解交通法规的约有(人)，
故答案为：，；
（2）解：比较了解的人数为(人)，
补全条形统计图如图所示：
（3）解；设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四名同学，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中和两名同学同时被选中的结果有种，
∴和两名同学同时被选中的概率为．
20．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值．
【答案】(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：；
(2)或
【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式；
（2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，根据的面积等于12，再建立方程即可求解．
【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，
对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于12，
∴，即，
解得：或；
∴或．
21．如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都调整为，摄像头高度，识别的最远水平距离．
(1)小张站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小张的身高约为多少厘米？
(2)身高的小军，头部高度为，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军能被摄像头识别吗？（参考数据：，，）
【答案】(1)184.3厘米
(2)小军能被摄像头识别
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
（1）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数求出即可求出，进而可求出小张的身高；
（2）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，同上，
在中，根据三角函数求出，，即可求出，进而可确定小军头部以下的高度．
【详解】（1）解：过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，
由题意知，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴小张的身高约是184.3厘米；
（2）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，
同上，可知四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，同理，
∴，，
小军头部以下的高度为，且小军身高，
∴小军能被摄像头识别．
22．如图，是的直径，，是上两点，且，连接，．过点作交的延长线于点．
(1)判定直线与的位置关系，并说明理由；
(2)连接和交于点，若，，
①求证：四边形是矩形；
②求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析
(2)①证明见解析；②
【知识点】圆周角定理、切线的性质和判定的综合应用、求其他不规则图形的面积
【分析】本题考查圆的切线，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，扇形的面积，熟练掌握以上知识是解题关键．
（1）先证明，即可得出，由可得，从而得出是的半径；
（2）①证明即可得证；
②图中阴影部分的面积，分别求出梯形的面积和扇形的面积即可解答．
【详解】（1）解：直线与相切，
理由：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）证明：，
，，
是的直径，
，
，
四边形是矩形；
解：如图，连接，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
23．探究发现
（1）如图1，在正方形中，点P，Q分别在边，上，连接，．若，若，则线段和的数量关系是 ；线段和的数量关系是 ．
类比延伸
（2）如图2，在正方形中，点P是边上的一个动点，连接，作的垂直平分线分别交，于点E，F，过点P作交于点Q，猜想线段，，的数量关系，并证明．
拓展应用
（3）在（2）的条件下，若设的长为x，的长为，的长为，测量数据后画出的函数图象如图3所示，其中点M是图象的最高点．
①直接写出正方形的边长；
②在点P的运动过程中，当时，直接写出线段的长．
【答案】（1）， （2）, 理由见解析 （3）①正方形的边长为 ②
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等和相似、中垂线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键.
（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）证明， 则，即可求解；
（3）①由，即， 即， 即可求解；
②由（2）知，，则， 设， 则，则， 则， 则， 则， 由（2）知，则， 而， 则，即可求解.
【详解】（1）如图中， 设交于，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
故答案为： ，；
（2）， 理由：
连接交于点，
∵垂直平分， 则且，
∴为的中位线， 即，
∵，
∴，O，
，
则，
∴；
（3）①设， 则，
∵，，
∴，
∴， 即，
由图可得时， ， 即，
解得： ，
即正方形的边长为；
②作于点，
由（1）知，，则，，
设， 则，
∴，
∴，
∴，
则，
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
∴ ．
24．定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若点关于抛物线的对称点存在．
①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标；
②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由；
【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为
(2)存在，点的坐标为
(3)①为所有实数，点的坐标为；②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、已知两点坐标求两点距离、特殊四边形(二次函数综合)
【分析】（1）把点，点的坐标代入，利用待定系数法求解即可；
（2）假设存在点关于抛物线的对称点，结合题意可知，的中点在抛物线上，进而求得，即可得点的坐标；
（3）①设点关于抛物线的对称点为，得的中点为，代入抛物线解析式可得，即可求解；
②由题意得，由①可知，，，求得，，，分三种情况当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，结合菱形的性质分别讨论即可求解．
【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，顶点坐标为．
（2）存在，点的坐标为，理由如下：
假设存在点关于抛物线的对称点，
∵点在抛物线的对称轴上
∴，
又∵的中点在抛物线上，且，
∴在抛物线上，
对于，当，，
∴，解得，
∴点的坐标为；
（3）①设点关于抛物线的对称点为，
∴的中点为，
∵的中点在抛物线上，
∴，
∴，
则为所有实数，点的坐标为；
②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵对称轴为直线，，
∴，
由①可知，，，
∴，，，
当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，
则，解得或，
此时，或，；
当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，
则，此时方程无解，不存在使得；
当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，
则，此时方程无解，不存在使得；
综上，存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
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