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临考押题卷02（全国通用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列有理数中，比小的数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ）．
A． B． C． D．
5．实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：甲、乙两人各有钱，但数目未知．若甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱，问甲、乙原有多少钱？设甲原有钱，乙原有钱，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（ ）
A．20 B．24 C．40 D．48
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
12．《政府工作报告》中明确提出新开工改造城镇老旧小区万个，涉及居民近700万户，改善居民居住条件的同时，亦扩大了内需，促进有效投资．将700万户用科学记数法表示为 户．
13．今年春节档电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》在网络上持续引发热议，甲、乙两位同学打算去观看这四部电影中的一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为 ．
14．如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，此时的最小值为 ．
16．在中，，，和关于直线对称，、、的对应点分别是、、．现将沿射线平移，连接、，平移过程中，当时， ．
三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18．（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
19．学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：__________，__________；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是__________年级的学生；
(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
20．如图，四边形内接于，对角线是的直径，且点为弦所对优弧的中点，连接，分别延长、相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求直径的长．
21．按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，，，，，，，都在同一平面内）．如图2，伸缩臂高空作业车固定不动，转轴固定不动，转动点离地面的高度为，起重臂长为，，楼高为，操作平台A在上．
(1)求此时操作平台离地面的高度；
(2)若起重臂可以绕点上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为，则操作平台A能到达楼顶吗？为什么？（结果精确到，参考数据：，，）
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离；
(3)如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标．
23．滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光．该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来．某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏．建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功．已知碗池边缘，均垂直地面，点与点关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线．
(1)求“U”型碗池最低点到地面的距离；
(2)①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点，求此抛物线的解析式；
②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围．
24．【问题情境】综合与实践课，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)【操作发现】
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点A落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图1中________°．
(2)【迁移探究】
小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接，．
①如图2，当点在上时，与的数量关系是________．
②如图3，当改变点在上的位置（点不与点，重合），使点不在上时，判断①中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】
在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，请直接写出的长为多少？
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数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列有理数中，比小的数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查有理数比较大小，熟练掌握有理数大小比较法则是解题的关键．
根据有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，两全负数，绝对值大的反而小，求解即可．
【详解】解：∵，
∴比小的数是，
故选：D．
2．印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】其俯视图为：
．
故选：B．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法等．根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的关键．由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：如图，过点D作，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
5．实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置，判断出a，b，c的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断．
【详解】解：由数轴知：，，
∴，，，，
故选：C．
6．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
故选：A．
7．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了尺规作角平分线，平行线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
根据作图可得是角平分，由平行可得，在中有内角和定理即可求解．
【详解】解：根据题意可得是角平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
8．《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：甲、乙两人各有钱，但数目未知．若甲得到乙钱的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱的三分之二，则乙也有50钱，问甲、乙原有多少钱？设甲原有钱，乙原有钱，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列二元一次方程组，找出相等关系列出方程组是解题的关键．
设甲原有钱，乙原有钱，根据“甲钱加乙钱的一半等于50钱”，“乙钱加甲钱的三分之二等于50钱”即可列出方程组．
【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱，根据题意，得
．
故选：A
9．已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据题意可知，，，据此判断函数的图象大致位置即可．
【详解】解：根据图示可知，，，，
∴，对称轴，，
∴函数的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴相交，
故选：B．
10．如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（ ）
A．20 B．24 C．40 D．48
【答案】B
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，连接交于O，由菱形的性质得到，再由函数图象可得，且当点P运动到上，且时，，据此可得的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半求解即可．
【详解】解：如图所示，连接交于O，
∵四边形是菱形，
∴，
由函数图象可知，，且当点P运动到上，且时，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．利用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12．《政府工作报告》中明确提出新开工改造城镇老旧小区万个，涉及居民近700万户，改善居民居住条件的同时，亦扩大了内需，促进有效投资．将700万户用科学记数法表示为 户．
【答案】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此求解即可．
【详解】解：700万
故答案为：
13．今年春节档电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》在网络上持续引发热议，甲、乙两位同学打算去观看这四部电影中的一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握用列表法或树状图法求概率．
运用列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解．
【详解】解：分别记《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》为、、、，画树状图如下：
一共有种等可能的情况，其中两位同学选择观看相同影片的情况共有种，
这两位同学选择观看相同影片的概率为．
故答案为：．
14．如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】先证明四边形是矩形，再证明得到，得到矩形是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点C是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵， ，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不规则图形的面积的计算，勾股定理，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，此时的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、勾股定理，先求出，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则点即为所求，由轴对称的性质可得，，则，当、、在同一直线上时，最小，为，由勾股定理求出的长即可得解．
【详解】解：将代入直线得，即，故，
将代入直线得，解得，即；
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则点即为所求，
由轴对称的性质可得：，，
∴，
当、、在同一直线上时，最小，为，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
16．在中，，，和关于直线对称，、、的对应点分别是、、．现将沿射线平移，连接、，平移过程中，当时， ．
【答案】或
【分析】本题主要考查坐标与图形，三角函数值，两点间距离公式等知识，以点为原点，边所在水平线为轴建立平面直角坐标系，由，可得，，和关于直线对称，可得，设沿射线平移的距离为，则平移后的的距离为，点的坐标为，根据两点间距离公式得，，由可得，求出的值即可解决问题．
【详解】解：以点为原点，边所在水平线为轴建立平面直角坐标系，如图，
，
∵，，
∴，，
∵和关于直线对称，
∴，
设沿射线平移的距离为，则平移后的的距离为，点的坐标为，
∴，
，
∵，
∴，
解得，或，
经检验，或是原方程的解，
∴当时，，
当时，，
综上，或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【分析】此题考查了零指数幂，负指数幂和特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算零指数幂，负指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减即可求解；
（2）别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：（1）原式，
；
（2）解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
18．（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题考查的是分式的化简求值和解分式方程，熟知分式混合运算的法则和分式方程的解法步骤是解题的关键．
（1）按照解分式方程的一般步骤解分式方程即可；
（2）根据分式混合运算的法则进行化简；再将x值代入求出结果．
【详解】解：（1）去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
经检验是原方程的解．
（2）原式＝
，
将代入，
原式．
19．学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：__________，__________；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是__________年级的学生；
(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】(1)，，七
(2)人
(3)八年级的总体水平好，理由见解析
【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【详解】（1）解： 把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71， 76， 79，83，84，86，87，90，90，94，根据中位数的定义可知中位数分；
八年级的成绩的众数为，则
由于A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，又因为七年级中位数为85分，八年级中位数为87分，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：，，七；
（2）解：由题意可知，样本中七年级的优秀率是，八年级的优秀率是，
所以该校七八年级达到优秀等次的学生估计有；
（3）解：我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级的中位数大于七年级的中位数，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
20．如图，四边形内接于，对角线是的直径，且点为弦所对优弧的中点，连接，分别延长、相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求直径的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，延长交于点，由垂径定理可推出，得到点与点重合，由是的直径，可得，，推出，得到，由得到，进而推出，即可得证；
（2）由是的直径，可得，可得，，根据相似三角形的性质求出，即可求解．
【详解】（1）证明：过点作于点，延长交于点，
，
，
点为弦所对优弧的中点，
，
点与点重合，
四边形内接于，对角线是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）四边形内接于，对角线是的直径，
，
，
，，
，，
，即，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆的性质，等腰三角形的判定与与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
21．按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，，，，，，，都在同一平面内）．如图2，伸缩臂高空作业车固定不动，转轴固定不动，转动点离地面的高度为，起重臂长为，，楼高为，操作平台A在上．
(1)求此时操作平台离地面的高度；
(2)若起重臂可以绕点上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为，则操作平台A能到达楼顶吗？为什么？（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】(1)操作平台离地面的高度约为
(2)能，理由见解析
【分析】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
（1）如图：过点作，垂足为点，则四边形为矩形，，，，进而得到，再解直角三角形可得，然后根据线段的和差即可解答；
（2）如图：连接，由题意可知，，最长为，再解直角三角形可得，即，再根据勾股定理可得，则即可判断．
【详解】（1）解：如图：过点作，垂足为点，则四边形为矩形，，，，
，，，
，
在中，，
，
．
答：操作平台A离地面的高度约为．
（2）解：能，理由如下：
如图：连接，由题意可知，，最长为，
在中，，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
操作平台能到达楼顶．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离；
(3)如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先将点代入一次函数，求得一次函数解析式，再求出点，即可求出把比例函数解析式；
（2）法1：作轴交直线于点，根据，即可求．
法2：设直线平移前后与轴分别交于两点，连接，根据与同底等高，，即可求；
（3）连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于，由旋转的性质可证明，得，设，则，得点的坐标为，列方程，解方程进而可求点的坐标．
【详解】（1）解：点在一次函数上，
，
一次函数的表达式为；
点在直线上，
，
．
，
把代入得，
解得：，
反比例函数的表达式为；
（2）解：法1：作轴交直线于点，
，
，
，
，
．
法2：设直线平移前后与轴分别交于两点，
连接，
与同底等高，
，
，
，
，
；
（3）解：连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于，
由旋转的性质可知：，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
点，
为等腰直角三角形．
设，则，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：（不合题意，舍去），
当时，，
点的坐标为．
【点睛】本题主要涉及一次函数与反比例函数的性质及应用，还包括图形的旋转等知识，解题的关键在于利用函数图像上点的坐标满足函数解析式这一性质，求出函数中的未知参数，进而确定函数解析式；对于三角形面积问题，通过合理设点坐标利用面积公式求解；对于图形旋转问题，根据旋转的性质得到对应点坐标的关系，再结合反比例函数解析式求解．
23．滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光．该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来．某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏．建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功．已知碗池边缘，均垂直地面，点与点关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线．
(1)求“U”型碗池最低点到地面的距离；
(2)①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点，求此抛物线的解析式；
②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围．
【答案】(1)“U”型碗池最低点到地面的距离为米
(2)①；②
【分析】（1）根据题意可得，可得两点关于抛物线对称轴对称，利用抛物线的对称性质即可求出，将代入，求出k的值，即可解答；
（2）①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为，根据题意设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，过点作于点H，证明，推出，求出米米，得到，结合，利用待定系数法求解即可；
②由①知，结合，根据题意：，解不等式组即可解答．　　
【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称，米，米，
∴米，
∴米，
∵米，
∴，
∴两点关于抛物线对称轴对称，
∴，
将代入，则，
解得：，
则“U”型碗池最低点到地面的距离为米；
（2）解：①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为，
∵甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，
设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，
过点作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵点为斜坡的中点，
∴，即，
∴米，米，
∴米，
∴，
∵，
∴，
解得：
∴此抛物线的解析式为；
②由①知，
∵，
根据题意：，
解得：；
∴若此次挑战成功，b的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
24．【问题情境】综合与实践课，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)【操作发现】
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点A落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图1中________°．
(2)【迁移探究】
小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接，．
①如图2，当点在上时，与的数量关系是________．
②如图3，当改变点在上的位置（点不与点，重合），使点不在上时，判断①中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】
在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，请直接写出的长为多少？
【答案】(1)30
(2)①；②①中关系仍成立，理由见详解
(3)
【分析】（1）由折叠的性质可知：，然后可得，进而根据平行线的性质可进行求解；
（2）①由折叠得，证明，得到，再根据平角定义和三角形内角和定理可得结论；②方法同①；
（3）的周长表示为，，当取最小值时，的周长最小，设，则，由勾股定理列方程求解即可
【详解】（1）解：由折叠的性质可知：，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
故答案为30；
（2）解：①∵四边形是正方形，
∴，，
∵沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②①中与的数量关系仍然成立；理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由折叠得：，
∴的周长为，
当取最小值时，的周长最小，
∵点M的轨迹是以点B为圆心，的长为半径的圆弧；
以点B为圆心，的长为半径画圆，当点D，M，B共线时，最小，
设，则，
由折叠得：，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质以及全等三角形的判定定理．
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