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猜押01 数与式
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
数 2024年广东卷第3题，2024年北京卷第2题、2024年上海卷第1题、2024年浙江卷第17题 数与式为中考基础核心板块，近三年全国卷高频考点包括科学记数法（必考）、实数运算（含零指数幂、三角函数值）、整式分式化简求值、二次根式性质及运算，题型以选择、填空为主，解答题侧重代数综合应用，分值占比约15%-20%，难度中等偏低，强调运算准确性与实际情境结合。 1. 趋势：2025年模拟题延续基础考点，科学记数法结合大数字（如6710亿）、实数运算融入负指数幂与绝对值综合，分式化简求值或升级为异分母运算，二次根式与实际问题（如几何面积）结合概率高。 2. 创新：数学思想方法（整体代入、数形结合）渗透，如代数式求值中隐含条件挖掘、数轴与实数大小比较；实际应用类题目（如费用计算、增长率）可能升级为代数模型构建。 3. 易错：分式方程增根、二次根式化简符号问题、因式分解公式法应用仍是高频失分点，需重点强化。
式 2024年北京卷第18题，2024年内蒙古卷第22题、2024年广东卷第1题、2024年江苏盐城卷第7题
题型一 有理数
1．（2025·广东江门·一模）下列各数是负数的是（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】正负数的定义、求一个数的绝对值
【分析】本题主要考查了正负数的定义，根据正负数的定义求解即可．
【详解】解：．0既不是正数也不是负数，故该选项不符合题意；
．2是正数，故该选项不符合题意；
．，0.2是正数，故该选项不符合题意；
．是负数，故该选项符合题意；
故选：D．
2．（2025·吉林松原·一模）下列各数中，最大的数是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数大小比较
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小，据此求解即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴四个数中，最大的数为，
故选：B．
3．（2025·广西河池·一模）若气温为零上记作，则表示气温为（ ）
A．零下 B．零下 C．零下 D．零上
【答案】B
【知识点】相反意义的量
【分析】本题主要考查正数和负数，理解正负数是具有相反意义的量成为解题的关键．
根据正负数表示两种具有相反意义的量求解即可．
【详解】解：气温为零上记作，则表示气温为零下。
故选：B．
4．（2025·宁夏银川·一模）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算
【分析】本题主要考查了数轴，能够根据有理数在数轴上对应点的位置进行判断是解题的关键．根据有理数，在数轴上对应点的位置进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
故选：D．
5．（文化背景）魏晋时期的数学家刘徽在“正负术的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可记作，则图2应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正负数的实际应用
【分析】此题考查了正负数的意义，根据“正放表示正数，斜放表示负数”，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：图2应记作
故选：B．
6．（2025·贵州铜仁·模拟预测）有理数2025的相反数是 ．
【答案】
【知识点】相反数的定义
【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义解答即可．
【详解】解：有理数2025的相反数是，
故答案为：．
7．（2025·安徽淮南·二模）比较大小： （填“”“”或“”）．
【答案】
【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了求一个数的绝对值、乘方运算、有理数的大小比较，先计算，再比较大小即可，正确计算、比较大小是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，即，
故答案为：．
8．（2025·河北沧州·一模）若m和n互为相反数，p和q互为倒数，a是最大的负整数，则的值为 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义、倒数
【分析】本题考查相反数，倒数，负整数．根据相反数、倒数、负整数的性质求出相关数据，代入所给代数式计算即可求解．
【详解】解：∵m和n互为相反数，p和q互为倒数，是最大的负整数，
∴，，，
∴．
故答案为：．
9．（新情境）如图，有一根木条（在的左边）在数轴上移动，数轴上两点之间的距离，当点移动到与点重合时，点恰好对应数轴上的数为4；当点移动到与线段的中点重合时，点所对应的数为 ．
【答案】
【知识点】用数轴上的点表示有理数、整式的加减运算、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了数轴上点表示的数，整式加减运算，理解，的移动方向和距离相同是解题的关键．根据题意，由，的移动方向和距离相同即可得出所对应的数．
【详解】解：设的长度为，
∵当点移动到与点重合时，点恰好对应数轴上的数为4，
∴此时点N对应的数为，
∵，
∴当点到的中点时，点此时对应的数为：，
∴点对应的数为：
故答案为：．
10．（新情境）对于各数互不相等的正整数组（n是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”．例如数组中，，，则“1，”为一个逆序，且此数组所有的逆序为“1，”，“1，”，“，”，“3，”，其逆序数为4．则数组的逆序数是 ．
【答案】6
【知识点】有理数大小比较
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较及新定义的理解，理解题意是解题关键，根据新定义结合有理数的大小比较即可求解．
【详解】解：根据题意得：数组中所有的逆序为“”，“”，“”，“” ，“” ，“”，
∴数组的逆序数是6，
故答案为：6．
题型二 有理数的运算
1．（2025·广东惠州·一模）与的和为0的有理数是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数加法运算
【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则．
把各个选项中的数与相加，然后根据计算结果进行判断即可．
【详解】解：A．∵，故此选项符合题意；
B．∵，故此选项不符合题意；
C．∵，故此选项符合题意；
D．∵，故此选项符合题意；
故选：A．
2．（2025·海南三亚·一模）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数加法运算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查求代数式的值，直接将的值代入计算即可．解题的关键是掌握有理数的加法运算法则．
【详解】解：∵，
∴，
∴代数式的值为．
故选：D．
3．（2025·广东东莞·模拟预测）2024年新能源汽车销量突破千万辆大关，达到1286.6万辆，其中数据1286.6万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此求解即可．
【详解】解：1286.6万，
故答案为：B．
4．（2025·湖北武汉·三模）的倒数是 ．
【答案】
【知识点】倒数
【分析】本题考查了倒数的定义，根据到倒数的定义解答即可，熟练掌握倒数的定义是解此题的关键．
【详解】解：的倒数是，
故答案为：．
5．（2025·宁夏银川·一模）截至目前，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房已突破155亿元人民币，目前位居全球影史票房榜第5位。数据“155亿”用科学记数法表示为 .
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：155亿．
故答案为：．
6．（2025·西藏拉萨·一模）已知，则 ．
【答案】8
【知识点】乘方运算的符号规律、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性
【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性、代数式求值，熟练掌握绝对值和偶次方的非负性是解题关键．先根据绝对值和偶次方的非负性求出的值，再代入计算即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
7．（2025·陕西西安·模拟预测）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新运算，列出算式进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：．
8．（2025·江苏连云港·一模）计算．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算、负整数指数幂
【分析】本题考查了负整数指数幂，有理数的混合运算，先计算乘方和负整数指数幂、除法运算，最后计算加减，即可求解．
【详解】解：
．
9．（2025·甘肃陇南·一模）计算：．
【答案】
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：原式
．
题型三 实数
1．（2025·福建泉州·一模）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数
【分析】本题考查的知识点是无理数的定义，解题关键是熟练掌握无理数的定义．
根据无理数的定义对选项进行逐一判断即可．
【详解】解：选项，是有理数，不属于无理数，选项错误，不符合题意；
选项，是无理数，选项正确，符合题意；
选项，是有理数，不属于无理数，选项错误，不符合题意；
选项，是有理数，不属于无理数，选项错误，不符合题意．
故选：．
2．（2025·广西南宁·一模）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】A
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题主要考查了无理数估算大小，熟练掌握无理数估算大小方法是解题关键．
由，即，即可解答．
【详解】解：∵，即，
∴的值在1和2之间，
故选：A．
3．（2025·湖南衡阳·一模）如图，数轴上表示的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算
【分析】本题主要考查了无理数大小的估算，在数轴上表示无理数等知识点，解题的关键是正确估算无理数的取值．
利用无理数的估算方法进行估值，介于整数2和3之间即可得出答案．
【详解】解：
即
故选：D．
4．（2025·江苏苏州·一模）4的算术平方根是 ．
【答案】2
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了算术平方根，算术平方根是正的平方根．根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：4的算术平方根是．
故答案为：2．
5．（2025·吉林松原·一模）计算： ．
【答案】2
【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、零指数幂
【分析】本题考查的是立方根的含义，零次幂的含义，先计算立方根，零次幂，再合并即可．
【详解】解：；
故答案为：
6．（2025·山东淄博·一模）若，且x为整数，则 ．
【答案】2
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题考查了二次根式的估值求参数值的问题，熟练掌握二次根式的估值计算是解题的关键．利用二次根式的估值方法进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
7．比较大小： （填“＞”“＜”“＝”）
【答案】>
【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算
【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比较被减数的大小．分母相同时，分子大的大．
首先确定与1的大小，进行比较即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：>．
8．（2025·陕西汉中·一模）计算：．
【答案】10
【知识点】负整数指数幂、二次根式的混合运算、实数的混合运算
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算以及实数的混合运算，根据相关运算法则计算出各项结果，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：

=10
9．（2025·广东惠州·一模）计算：
【答案】
【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、零指数幂
【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，先进行零指数幂和负整数指数幂，去绝对值运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
10．（2025·广东深圳·模拟预测）计算：．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、求一个数的算术平方根、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及负整数指数幂，零指数幂和求一个数的算术平方根，掌握运算法则，正确化简计算是解题的关键．
分别进行乘方运算，求算术平方根，负整数指数幂，零指数幂，再化简绝对值，最后进行加减计算．
【详解】解：

．
题型四 代数式
1．（2025·河南南阳·一模）运算结果为的是（ ）
A． B．
C．（6个a相乘） D．（6个a相加）
【答案】C
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、合并同类项
【分析】本题考查了幂的相关运算：同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项等知识，掌握它们是解题的关键；依照这些知识逐项计算即可作出判断．
【详解】解：A、，结果不符合题意；
B、，结果不符合题意；
C、（6个a相乘），结果符合题意；
D、（6个a相加），结果不符合题意；
故选：D．
2．（2025·辽宁抚顺·一模）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、积的乘方运算
【分析】此题考查了幂的运算、合并同类项、乘法公式等知识．根据合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式、积的乘方分别进行计算即可得到答案．
【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项正确，符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：B
3．（2025·云南文山·二模）按一定规律排列的单项式： ，…，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查数字的变化规律，由所给的单项式可得，系数是，次数为奇数，则可求第个单项式为：．根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键．
【详解】解：由所给的单项式可得，系数为，
则第n个单项式的系数为，
由所给的单项式可得，次数为，
则第n个单项式的次数为，
第个单项式为：，
故选：D．
4．（跨学科融合）烷烃是由碳、氢元素组成的有机化合物质，碳原子个数为~，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示．如甲烷、乙烷、丙烷的化学式分别为、、，分子结构如图所示，则癸烷的分子结构中氢原子的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查的知识点是图形类的规律探索，解题关键是根据题中所给图形归纳出变化规律．
根据题目中的图形，可以发现氢原子的个数的变化特点，然后即可写出癸烷的分子结构中氢原子的个数．
【详解】解：由图可得：甲烷分子结构中氢原子的个数是个，
乙烷分子结构中氢原子的个数是个，
丙烷分子结构中氢原子的个数是个，
丁烷分子结构中氢原子的个数是个，
……
癸烷的分子结构中氢原子的个数是个．
故答案为：．
5．（2025·陕西咸阳·一模）计算： ．
【答案】
【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式
【分析】本题主要考查积的乘方，单项式的乘法．先根据乘方运算法则计算，再计算单项式的乘法即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
6．（2025·四川成都·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解及代数式求值．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再将变形为，最后整体代入计算即可求解．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∵
．
故答案为：．
7．（文化背景）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据杨辉三角形的规律，第7行最中间的数字是 ．
【答案】20
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查数字找规律，解题关键是掌握杨辉三角每行数字个数规律、数字对称特点及除两端1外每个数等于它肩上两数和的规律来推导所需数字．
观察杨辉三角形的规律，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小到1，第n行有n个数．要求第7行最中间的数字，需要先确定第7行的数字个数以及中间位置．
【详解】观察杨辉三角形的规律是：
每行数字左右对称，由1开始逐渐增大再减小到1
每行除两端的1以外，每个数都是它肩上两个数的和．
第n行有n个数，
∴第7行有7个数．
∵第5行是1 4 6 4 1，
根据规律，第6行第一个数是1，第二个数是第5行第一个数1与第二个数4相加，即；第三个数是第5行第二个数4与第三个数6相加，即；第四个数是第5行第三个数6与第四个数4相加，即；第五个数是第5行第四个数4与第五个数1相加，即；最后一个数是1．
∴第6行是1 5 10 10 5 1．
第7行：第一个数是1；第二个数是第6行第一个数1与第二个数5相加，即；第三个数是第6行第二个数5与第三个数10相加，即；第四个数是第6行第三个数10与第四个数10相加，即．
∴第7行：1 6 15 20 15 6 1
∵第7行共7个数，最中间是第4个数，
∴第7行最中间数字是20．
7个数的中间位置是第4个．
∴第7行最中间的数字是20．
故答案为：20．
8．（跨学科融合）在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为 ．
【答案】20
【知识点】图形类规律探索
【点睛】本题考查图形类规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现“”的个数的变化特点．
根据题目中的图形，可以发现“”的个数的变化特点，然后即可写出癸烷分子结构式中“”的个数．
【详解】解：由图可得，
甲烷分子结构式中“”的个数是；
乙烷分子结构式中“”的个数是；
丙烷分子结构式中“”的个数是；
，
可以总结出规律：对于n烷（n为天干顺序数），其分子中 “H” 的个数为．
∵“壬” 是十天干中的第9个，即．
∴壬烷分子结构式中“”的个数是：；
故答案为：20．
9．（2025·湖南·模拟预测）化简求值：，其中，．
【答案】，3
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据完全平方公式、单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可化简，代入，计算即可得出答案．
【详解】解：原式
，
当，时，原式．
10．（2025·陕西西安·三模）先化简，再求值：．其中，．
【答案】，
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用平方差公式和完全平方公式，再合并同类项即可化简，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
当，时，
原式．
11．（2025·河北石家庄·一模）已知整式．
(1)若，求整式；
(2)对任意实数，判断整式的值能为负数吗？说明理由．
【答案】(1)；
(2)整式不能为负数．理由见解析．
【知识点】整式的加减运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查了整式的混合运算、公式法分解因式，解决本题的关键是根据平方的非负性判断整式的取值范围．
把整式，，代入，根据整式的加法法则进行计算即可；
利用公式法分解因式可得：，根据平方的非负性可得：，从而可得整式的值不能为负数．
【详解】（1）解：整式，，
；
（2）解：整式不能为负数，
理由如下：
，
不论为何值，，
，
即该化简结果不能为负数．
12．（2025·安徽宿州·一模）观察下列等式：
第个等式：．
第个等式：．
第个等式：．
第个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第个等式：______．
(2)写出你猜想的第（为正整数）个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析．
【知识点】数字类规律探索、整式四则混合运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】（1）根据前个等式所总结的规律即可写出第个等式；
（2）根据规律猜想出第个等式，证明方法：计算出左边的结果看是否等于，即是否左、右相等．
【详解】（1）解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
故答案为：．
（2）解：猜想第个等式为，
证明：左边，
又右边，
左边右边，
即．
【点睛】本题考查的知识点是数字类规律探索、整式四则混合运算、完全平方公式，解题关键是能正确总结概括出规律．
题型五 因式分解
1．（2025·重庆·一模）对多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握因式分解的方法是关键．
先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故选：B ．
2．（2025·安徽·二模）下列多项式中，不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．逐项分解因式的即可求解．
【详解】解：A. ，能因式分解，故该选项不符合题意；
B. ，能因式分解，故该选项不符合题意；
C. ，不能因式分解，故该选项符合题意；
D. ，能因式分解，故该选项不符合题意；
故选：C．
3．（2025·湖南衡阳·一模）下列各式在实数范围内因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握公式法和提公因式法进行因式分解．
利用公式法或提公因式法进行因式分解逐项判断即可．
【详解】解：A. ，该选项正确，故符合题意；
B. ，该选项错误，故不符合题意；
C. ，该选项错误，故不符合题意；
D. ，该选项错误，故不符合题意；
故选：A．
4．（2025·山西吕梁·一模）当，时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】因式分解的应用、已知字母的值，化简求值
【分析】本题考查了整式的化简求值，因式分解，实数的运算，涵盖二次根式的加减乘除、平方差公式应用．解题关键是通过因式分解简化表达式，再利用实数运算法则（尤其二次根式运算）逐步求值，体现了实数运算中 “先化简再计算” 的策略．先对因式分解，提取公因式得，再用平方差公式进一步分解为．接着代入，分别计算的值，最后相乘得出结果．
【详解】解：
，
，
当，时，
，
原式=，
故选；．
5．（2025·广东东莞·模拟预测）因式分解： ．
【答案】
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：
6．（2025·四川成都·一模）分解因式： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握提公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
提公因式x，而后运用平方差公式分解．
【详解】解：．
故答案为：．
7．（2025·山东潍坊·一模）因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】解：
．
故答案为：．
8．（2025·山东淄博·一模）若，，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用
【分析】本题主要考查因式分解的应用、求代数式值等知识点，掌握因式分解的步骤以及公式的运用是解题的关键．先局部提公式、再运用公式法因式分解以及加括号，然后将已知条件代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴
．
故答案为：．
9．（新情境）复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
习题1：因式分解
解：
………第一步
………第二步
………第三步
习题2：因式分解
解：
………第一步
………第二步
………第三步
(1)从中任选一题，写出此题从第几步开始出现错误，并写出它的正确解答过程；
(2)若习题1和习题2中的两个代数式的值相等，求出x的值．
【答案】(1)习题1从第二步开始出现错误，习题2从第一步开始出现错误，解答过程见解析
(2)或
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解法解一元二次方程、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据平方差公式和完全平方公式进行解答；
（2）列出方程，通过因式分解进行计算即可．
【详解】（1）解：习题1：从第二步开始错误；正确的解答过程为：
；
习题2：从第一步开始错误；正确的解答过程为：
；
（2）解：由题意得：
∴或．
解得：或．
题型六 分式
1．（2025·天津·一模）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查分式的加减运算，利用分式加减运算法则结合因式分解求解即可．
【详解】解：
故选：D．
2．（2025·河北·模拟预测）下列分式计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的运算法则，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、，故此选项计算正确，不符合题意；
B、，故此选项计算正确，不符合题意；
C、，故此选项计算错误，符合题意；
D、，故此选项计算正确，不符合题意；
故选：C．
3．（2025·河北邢台·一模）已知，表示整式，则是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的减法运算，根据分式的减法运算法则计算即可，掌握分式的减法运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选：．
4．（新情境）若为负整数，且，则的值都在图中数轴上的部分可能为（ ）
A．② B．③ C．①加上② D．④加上⑤
【答案】B
【知识点】无理数的大小估算、分式化简求值
【分析】本题考查分式化简求值，无理数大小估算等．根据题意先将分式除法进行化简计算，继而得到本题答案．
【详解】解：∵，
为负整数，且，，
，即，
，
故选：B．
5．（2025·北京·一模）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是关键．
分式有意义，即分母不为0，由此列式求解即可．
【详解】解：分式有意义，
∴，
解得，，
故答案为： ．
6．（2025·重庆渝中·模拟预测）计算： ．
【答案】/
【知识点】分式除法
【分析】本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是正确解答此题的关键．
原式利用分式除法法则变形成乘法，约分即可得到结果．
【详解】解：，
故答案为：．
7．（2025·安徽淮北·二模）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分母不为零的条件进行解题即可．
【详解】解：若分式在实数范围内有意义，
则，
解得，且．
故答案为：且．
8．（新情境）如图，若x为大于1的正整数，则表示分式的值落在段 处．（请从中选择正确答案填在横线上）
【答案】
【知识点】分式化简求值、不等式的性质
【分析】本题主要考查了分式化简求值，不等式的性质等知识点，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
先将化简为，然后利用不等式的性质得出，即，于是得解．
【详解】解：
，
为大于1的正整数，
，
，
，
，
，
，
分式的值落在段处，
故答案为：．
9．（2025·陕西汉中·一模）先化简，然后再从1，，2，四个数中选择一个合适的数作为m的值代入求值．
【答案】，当时，值为；当时，值为
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【详解】解：原式．


根据题意，得，，，
∴m的值可以是2或．
当时，原式；
当时，原式．
10．（2025·江西景德镇·一模）在学完分式运算以后，老师布置了一道这样的化简求值题：
化简：，请你从1，2，3这三个数中合适的数代入求值．
以下是夏天同学的化简过程，请你完成下面的填空．
；
(1)填空：①______；②______；③______；
(2)请将化简后的结果求值．
【答案】(1)，，
(2)
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）先计算括号，同时将除法转化为乘法，即可求解；
（2）根据分式有意义的条件确定的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
，
故答案为：，，；
（2）∵，，
∴且，
∴只能取1，
则当时，原式．
11．（2025·安徽淮北·二模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：__________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的规律性问题，异分母分式加减法，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）根据上述等式可知，第一个加数的分子比分母大2，第二个加数是第一个加数的倒数，减数是2，等式右边是两个分母倒数差的2倍，据此写出第5个等式即可；
（2）根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明即可．
【详解】（1）解：∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
∴第5个等式为，
故答案为：；
（2）解：猜想：；
证明如下：
等式左边
，
等式右边，
等式左边=等式右边，
猜想成立．
12．（新情境）【阅读理解】已知，求的值．
解：由已知可得，则，
．①
，②
．
（1）第②步运用了______公式；（A．平方差 B．完全平方）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值．
【答案】（1）B；（2）
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值
【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解；
【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式，
故答案为：B
（2）由已知可得，则，
∴，即，
∵，
∴
题型七 二次根式
1．（2025·河南驻马店·一模）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据负数的绝对值是它的相反数求解即可．
【详解】解，
故选：A．
2．（2025·广东东莞·模拟预测）化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的除法、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
先把括号里的二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，再算除法即可得答案．
【详解】解：，
故答案为：B．
3．（2025·湖南娄底·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．
【详解】解：使二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得：，
则x的取值范围在数轴上表示为：
故选：C．
4．（2025·河北·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据二次根式的加减法法则，二次根式的性质逐项判断即可解答．
【详解】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项正确；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项错误；
故选：B．
5．（2025·贵州·模拟预测）计算 的结果是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘法
【分析】本题考查二次根式的乘法．二次根式相乘，把被开方数相乘，然后化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
6．（2025·山东济宁·二模）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．利用二次根式有意义的条件列不等式，再求解即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
7．（2025·河北邢台·一模）若，则
【答案】/
【知识点】二次根式的乘法
【分析】本题主要考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算出，得出，从而可计算出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（2025·河北·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了运用二次根式的性质化简二次根式以及二次根式的减法运算，掌握运用二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．先根据二次根式的性质化简，再确定、、的值，最后计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴．
故答案为：．
9．（2025·陕西西安·模拟预测）计算：
【答案】5
【知识点】负整数指数幂、利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查实数的运算，涉及二次根式的化简，负整数指数幂的计算，完全平方公式的应用，熟练掌握计算法则是解题的关键．按照各运算法则化简计算即可．
【详解】解：
10．（2025·陕西西安·三模）计算：．
【答案】．
【知识点】求一个数的立方根、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的运算，立方根；先根据绝对值和二次根式的性质，二次根式的乘法法则，立方根的意义化简，再计算即可．
【详解】解：
．
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数 2024年广东卷第3题，2024年北京卷第2题、2024年上海卷第1题、2024年浙江卷第17题 数与式为中考基础核心板块，近三年全国卷高频考点包括科学记数法（必考）、实数运算（含零指数幂、三角函数值）、整式分式化简求值、二次根式性质及运算，题型以选择、填空为主，解答题侧重代数综合应用，分值占比约15%-20%，难度中等偏低，强调运算准确性与实际情境结合。 1. 趋势：2025年模拟题延续基础考点，科学记数法结合大数字（如6710亿）、实数运算融入负指数幂与绝对值综合，分式化简求值或升级为异分母运算，二次根式与实际问题（如几何面积）结合概率高。 2. 创新：数学思想方法（整体代入、数形结合）渗透，如代数式求值中隐含条件挖掘、数轴与实数大小比较；实际应用类题目（如费用计算、增长率）可能升级为代数模型构建。 3. 易错：分式方程增根、二次根式化简符号问题、因式分解公式法应用仍是高频失分点，需重点强化。
式 2024年北京卷第18题，2024年内蒙古卷第22题、2024年广东卷第1题、2024年江苏盐城卷第7题
题型一 有理数
1．（2025·广东江门·一模）下列各数是负数的是（ ）
A．0 B．2 C． D．
2．（2025·吉林松原·一模）下列各数中，最大的数是（ ）
A．0 B． C． D．
3．（2025·广西河池·一模）若气温为零上记作，则表示气温为（ ）
A．零下 B．零下 C．零下 D．零上
4．（2025·宁夏银川·一模）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（文化背景）魏晋时期的数学家刘徽在“正负术的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可记作，则图2应记作（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·贵州铜仁·模拟预测）有理数2025的相反数是 ．
7．（2025·安徽淮南·二模）比较大小： （填“”“”或“”）．
8．（2025·河北沧州·一模）若m和n互为相反数，p和q互为倒数，a是最大的负整数，则的值为 ．
9．（新情境）如图，有一根木条（在的左边）在数轴上移动，数轴上两点之间的距离，当点移动到与点重合时，点恰好对应数轴上的数为4；当点移动到与线段的中点重合时，点所对应的数为 ．
10．（新情境）对于各数互不相等的正整数组（n是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”．例如数组中，，，则“1，”为一个逆序，且此数组所有的逆序为“1，”，“1，”，“，”，“3，”，其逆序数为4．则数组的逆序数是 ．
题型二 有理数的运算
1．（2025·广东惠州·一模）与的和为0的有理数是（ ）
A．5 B． C． D．
2．（2025·海南三亚·一模）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广东东莞·模拟预测）2024年新能源汽车销量突破千万辆大关，达到1286.6万辆，其中数据1286.6万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖北武汉·三模）的倒数是 ．
5．（2025·宁夏银川·一模）截至目前，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房已突破155亿元人民币，目前位居全球影史票房榜第5位。数据“155亿”用科学记数法表示为 .
6．（2025·西藏拉萨·一模）已知，则 ．
7．（2025·陕西西安·模拟预测）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．
8．（2025·江苏连云港·一模）计算．
9．（2025·甘肃陇南·一模）计算：．
题型三 实数
1．（2025·福建泉州·一模）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广西南宁·一模）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
3．（2025·湖南衡阳·一模）如图，数轴上表示的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
4．（2025·江苏苏州·一模）4的算术平方根是 ．
5．（2025·吉林松原·一模）计算： ．
6．（2025·山东淄博·一模）若，且x为整数，则 ．
7．比较大小： （填“＞”“＜”“＝”）
8．（2025·陕西汉中·一模）计算：．
9．（2025·广东惠州·一模）计算：
10．（2025·广东深圳·模拟预测）计算：．
题型四 代数式
1．（2025·河南南阳·一模）运算结果为的是（ ）
A． B．
C．（6个a相乘） D．（6个a相加）
2．（2025·辽宁抚顺·一模）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·云南文山·二模）按一定规律排列的单项式： ，…，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
4．（跨学科融合）烷烃是由碳、氢元素组成的有机化合物质，碳原子个数为~，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示．如甲烷、乙烷、丙烷的化学式分别为、、，分子结构如图所示，则癸烷的分子结构中氢原子的个数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·陕西咸阳·一模）计算： ．
6．（2025·四川成都·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
7．（文化背景）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据杨辉三角形的规律，第7行最中间的数字是 ．
8．（跨学科融合）在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为 ．
9．（2025·湖南·模拟预测）化简求值：，其中，．
10．（2025·陕西西安·三模）先化简，再求值：．其中，．
11．（2025·河北石家庄·一模）已知整式．
(1)若，求整式；
(2)对任意实数，判断整式的值能为负数吗？说明理由．
12．（2025·安徽宿州·一模）观察下列等式：
第个等式：．
第个等式：．
第个等式：．
第个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第个等式：______．
(2)写出你猜想的第（为正整数）个等式（用含的式子表示），并证明．
题型五 因式分解
1．（2025·重庆·一模）对多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·安徽·二模）下列多项式中，不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南衡阳·一模）下列各式在实数范围内因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·山西吕梁·一模）当，时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．4
5．（2025·广东东莞·模拟预测）因式分解： ．
6．（2025·四川成都·一模）分解因式： ．
7．（2025·山东潍坊·一模）因式分解： ．
8．（2025·山东淄博·一模）若，，，则的值为 ．
9．（新情境）复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
习题1：因式分解
解：
………第一步
………第二步
………第三步
习题2：因式分解
解：
………第一步
………第二步
………第三步
(1)从中任选一题，写出此题从第几步开始出现错误，并写出它的正确解答过程；
(2)若习题1和习题2中的两个代数式的值相等，求出x的值．
题型六 分式
1．（2025·天津·一模）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2025·河北·模拟预测）下列分式计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·河北邢台·一模）已知，表示整式，则是（　　）
A． B． C． D．
4．（新情境）若为负整数，且，则的值都在图中数轴上的部分可能为（ ）
A．② B．③ C．①加上② D．④加上⑤
5．（2025·北京·一模）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
6．（2025·重庆渝中·模拟预测）计算： ．
7．（2025·安徽淮北·二模）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
8．（新情境）如图，若x为大于1的正整数，则表示分式的值落在段 处．（请从中选择正确答案填在横线上）
9．（2025·陕西汉中·一模）先化简，然后再从1，，2，四个数中选择一个合适的数作为m的值代入求值．
10．（2025·江西景德镇·一模）在学完分式运算以后，老师布置了一道这样的化简求值题：
化简：，请你从1，2，3这三个数中合适的数代入求值．
以下是夏天同学的化简过程，请你完成下面的填空．
；
(1)填空：①______；②______；③______；
(2)请将化简后的结果求值．
11．（2025·安徽淮北·二模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：__________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
12．（新情境）【阅读理解】已知，求的值．
解：由已知可得，则，
．①
，②
．
（1）第②步运用了______公式；（A．平方差 B．完全平方）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值．
题型七 二次根式
1．（2025·河南驻马店·一模）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东东莞·模拟预测）化简：（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南娄底·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·河北·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·贵州·模拟预测）计算 的结果是 ．
6．（2025·山东济宁·二模）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
7．（2025·河北邢台·一模）若，则
8．（2025·河北·模拟预测）已知，则 ．
9．（2025·陕西西安·模拟预测）计算：
10．（2025·陕西西安·三模）计算：．
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