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猜押02 方程与不等式
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
一元一次方程 二元一次方程组 一元二次方程 2024年辽宁第1题，2024年山东省泰安市第3题、2024年广东省广州市第20题 方程与不等式占中考数学15%-20%，高频考点为分式方程应用题、不等式组方案设计、一元二次方程根的应用，题型覆盖选择、填空、解答，侧重基础解法与实际建模能力。 分式方程结合古代数学问题（如《九章算术》），不等式组方案设计与函数最值结合，一元二次方程根的判别式与几何面积问题，综合应用跨模块（函数、几何），易错点聚焦增根与不等式变号。
分式方程 不等式与不等式组 2024年四川省德阳市第1题，2024年浙江省第16题，2024年广东省第5题
题型一 一元一次方程
1．（2025·湖南衡阳·一模）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤．
利用解一元一次方程的步骤进行求解即可．
【详解】解：，
，
；
故选：C．
2．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数
【分析】此题考查了一元一次方程的解．注意使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．由关于的方程的解是，即可得，继而求得答案．
【详解】解：关于的方程的解是，
，
解得：．
故选：A．
3．（文化背景）《九章算术》中“均输章”有云：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”受此启发，我们构建如下生活情境：在两座城市A和B之间，甲车从城市A驶向城市B，全程需7天；乙车从城市B驶向城市A，全程需9天．若甲车先出发2天后，乙车才从城市B出发，两车相向而行．设从乙车出发后，经过天两车相遇．则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设从乙车出发后，经过天两车相遇，将A和B之间的总路程看作“1”，则甲车一天走，乙车一天走，列方程即可．
【详解】解：设从乙车出发后，经过天两车相遇，
根据题意得，
故选：B．
4．（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ．
【答案】
【知识点】判断是否是一元一次方程解
【分析】本题考查了一元一次方程的解即使方程左右两边相等的未知数的值，正确运用解的定义是解题的关键．把代入求解即可．
【详解】解∶∵是关于的一元一次方程的解，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（新情境）规定一种新运算：，若，则x的值为 ．
【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，再解出，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
6．（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以的速度沿C-B-C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为．
（1）当点P和点Q相遇时，t的值为 ；
（2）连接，在点P和点Q不重合的情况下，连接．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的，且，则t的值为 ．
【答案】 或4 或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据矩形的性质求面积
【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用．
（1）由题意知，，当点P和点Q第一次相遇时，，列方程计算即可；当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C，列式计算即可；
（2）先求出以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是，再分两种情况讨论：当，即点P，Q相遇前；当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前，分别求出结果即可．
【详解】解：（1）由题意知，，
①当点P和点Q第一次相遇时，，即，
解得；
②当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C，
此时，
即当点P和点Q相遇时，t的值为或4；
故答案为：或4；
（2）如图，
矩形的面积为，
∴以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是，
当，即点P，Q相遇前，
，
则，
解得；
当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前，
，
则，
解得．
综上，当或时，以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的．
故答案为：或．
7．（2025·安徽淮南·二模）解方程：．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了解一元一次方程，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是关键．
【详解】解，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
8．（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？
【答案】应分配25名工人生产电压表
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设应分配x名工人生产电压表．根据题意列出方程，解出的值即可解答．
【详解】解：设应分配x名工人生产电压表，
根据题意，得，
解得：．
答：应分配25名工人生产电压表．
9．（2025·吉林·一模）五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，求这次参加游玩的家长和学生各多少人？
【答案】这次参加游玩的家长有5人，学生有4人，
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这次参加游玩的家长有x人，则学生有人，根据门票费一共630元建立方程求解即可．
【详解】解：设这次参加游玩的家长有x人，则学生有人，
由题意得，元，
解得，
∴，
答：这次参加游玩的家长有5人，学生有4人．
10．（跨学科融合）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有2个碳原子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子；
(1)按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；
(2)按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)不存在，理由见解析．
【知识点】图形类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可；
（2）根据（1）所求得到方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论．
【详解】（1）解：第1种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第2种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第3种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
第4种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：
，
，
∴第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个，
当时，
（个），
∴第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个，
故答案为：，；
（2）解：不存在，理由如下：
令，
解得：，
∵为正整数，
∴不存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子．
题型二 二元一次方程组
1．（2025·天津红桥·一模）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法
【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组．由可得出，把代入①即可得出x的值．
【详解】解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为，
故选：C．
2．（文化背景）我国明代有位著名数学家叫程大位，他编撰的《增删算法统宗》里记载“绳索量竿”问题：“一根竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．问索子与竿子各几何？”“一托”是古代长度单位，大约相当于现在的长．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短．设绳索长，竿长为，根据题意列二元一次方程组，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键．设绳索长，竿长为，根据题意列出方程组即可求解．
【详解】解：设绳索长，竿长为，
根据题意得，．
故选：A．
3．（新情境）“扎龙湿地芦苇米”富含硒元素，是齐齐哈尔市特色物产．现将160千克芦苇米全部分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱可装20千克，每个小箱可装15千克，大、小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用个大箱，个小箱，利用每个大箱可装20千克，每个小箱可装15千克，建立方程，求出方程的正整数解可得答案．
【详解】解：设用个大箱，个小箱，
∴，
∴
∴，
∴方程的正整数解为：
或，
∴所装的箱数最多为箱；
故选：C．
4．（2025·吉林长春·模拟预测）在二元一次方程中，用含的代数式表示，则 ．
【答案】
【知识点】代入消元法
【分析】本题考查解二元一次方程，解题关键是熟练掌握解二元一次方程的一般步骤．
按照解方程的一般步骤，将y看作已知数求出x即可．
【详解】解：
．
故答案为：
5．（2025·山东·一模）已知方程组，则的值为 ．
【答案】
【知识点】加减消元法
【分析】此题考查解二元一次方程组．根据题意，即可得到，即可得到的值．
【详解】解： ，
得到：，
∴，
故答案为．
6．（2025·江苏盐城·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入原方程组得，得：即可．注意整体思想的应用．
【详解】解：将代入原方程组得，
得：，
∴的值为6．
故答案为：6．
7．（2025·江苏苏州·一模）解方程组：
【答案】．
【知识点】加减消元法
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．直接运用加减消元法解答即可．
【详解】解：，
可得：，解得，
将代入①可得：，解得．
所以方程组的解为．
8．（2025·浙江杭州·二模）对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由．
【答案】同意他的结论，理由见解析
【知识点】加减消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组，，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用代入消元法解二元一次方程组得到，，即可证明结论．
【详解】解：同意他的结论，理由如下：
由①得，③
将代入②，
∵，
∴可解得
将代入③得，
∴
9．（2025·云南·三模）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力，某店销售扎染和刺绣两种工艺品，第一天共卖出件．第二天卖出扎染的数量比第一天多，卖出刺绣的数量比第一天少，两种工艺品的总销售数量增加了件，第一天两种工艺品各卖出多少件？
【答案】第一天扎染卖出了件， 刺绣卖出了件
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列二元一次方程组的关键是找相等关系，根据相等关系列方程，首先 设第一天扎染卖出了 件，刺绣卖出了 件，根据第一天共卖出件，可列方程，根据第二天卖出扎染的数量比第一天多，卖出刺绣的数量比第一天少，两种工艺品的总销售数量增加了件，可列方程，解方程组即可求出第一天两种工艺品各卖出多少件．
【详解】解： 设第一天扎染卖出了 件，刺绣卖出了 件，
根据题意得： ，
解方程组得： ，
答： 第一天扎染卖出了件， 刺绣卖出了件．
10．（2025·广东珠海·一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计35万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元，求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元．
【答案】型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，依题意列出方程组，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意得：，
解得：，
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
题型三 一元二次方程
1．（2025·云南·三模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的值不可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个实数根，可得不等式，解不等式可得，所以可知实数的值不可能为．
【详解】解：一元二次方程有两个实数根，
，
解不等式得：，
则实数的值不可能为．
故选：A．
2．（2025·河北邯郸·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．实数根的个数由b的值确定 B．没有实数根
C．两根互为倒数 D．若，则两根互为相反数
【答案】D
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：由题知，
所以此一元二次方程有两个不相等的实数根，
两根之积等于，
当时，方程变形为，解得或，即两根互为相反数，
故选：D．
3．（2025·湖北武汉·三模）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．－2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，由于，是一元二次方程的两根，可得到，，代入即可得到答案．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
故选：B．
4．（2025·宁夏银川·一模）已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．
根据，是方程的两根，得出，，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，，
∴，
故选：B．
5．（2025·湖南·模拟预测）已知关于的方程的一个根为，则另一个根为 ．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，熟练掌握若一元二次方程两根为，，则，是解决问题的关键．
根据一元二次方程根与系数关系，结合关于的方程的一个根为2，代入求解即可得到另一个根．
【详解】解：关于的方程的一个根为，
根据根与系数关系可得，即，解得，
故答案为：6．
6．（2025·吉林·二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为 ．
【答案】
【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，设小川及兄弟姐妹一共有人，则每人需赠送出份礼物，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：．
7．（2025·黑龙江大庆·一模）已知和是方程的两个解，则的值为 ．
【答案】2027
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
根据题意可得，，原式变形为，代入计算即可．
【详解】解：∵和是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
．
8．（新情境）对于三个实数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：，，，请结合上述材料，解决问题：若，则 ．
【答案】或/或
【知识点】新定义下的实数运算、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了新定义、解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程是解决本题的关键．
根据表示这三个数中最小的数以及偶次方非负性，得，再根据用表示这三个数的平均数，据此求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
或．
故答案为：或．
9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程：
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
10．（2025·四川达州·一模）已知关于的方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根及的值．
【答案】(1)
(2)当时，另一个根为；当时，另一个根为5
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的解、根的判别式．
（1）根据方程有两个实数根，则，求解即可．
（2）把代入，得出关于m的方程求解即可求出m值，再把m值代入方程，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：把代入，得，
解得：或，
分以下两种情况：
当时，方程为，
解得或，
此时另一个根为；
当时，方程为，
解得或，
此时另一个根为5；
综上所述，当时，另一个根为；当时，另一个根为5．
11．（2025·四川南充·模拟预测）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)的值为0或
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，，结合题意可列出关于k的等式，解出k即可．
【详解】（1）解：（1）根据题意得，
∴该方程有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
∴的值为0或．
12．（24-25八年级下·山东泰安·期中）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米．
(1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率；
(2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？
【答案】(1)
(2)场地的宽为8米
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设这个增长率为x，由题意可得方程，然后进行求解即可；
（2）由题意易得，设矩形空地的宽为y米，则的长为米，然后可得方程，进而求解即可
【详解】（1）解：设这个增长率为，由题意得：
，
解得：（不合题意舍去），，
答：这个增长率为；
（2）解：∵矩形，面积为360平方米，墙的长为15米，
，
设矩形空地的宽为y米，则的长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，的长为：，不合题意，舍去；
当时，的长为：，符合题意．
米．
答：场地的宽为8米．
题型四 分式方程
1．（2025·湖北·二模）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查解分式方程．根据题意方程两边同时乘以最简公分母，再移项合并同类项计算即可．
【详解】解：，
去分母：，
去括号：，
即：，
检验：当时，原分式方程有解，
∴时分式方程的根，
故选：A．
2．（新情境）掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时．则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程．
【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，
依题意得，
故选：B．
3．（2025·安徽宣城·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，求出的值，代入整式方程中，求出的值即可．
【详解】解：，
方程去分母，得：，
∵方程有增根，
∴，
∴，
把代入，得：，
∴；
故选：C．
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的解，求解方程可得，再由方程无解可得分式方程没有意义时，或，两种情况即可求的值，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解的意义是解题的关键．
【详解】解：
，
，
∵方程无解，可分为以下两种情况：
分式方程没有意义时，或，
此时，
整式不成立时，，
∴，
∴的值为或，
故选：．
5．（2025·山东济南·一模）代数式和代数式的值相等，则 ．
【答案】1
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是解决本题的关键．通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可．
【详解】解：由题可得：，
去分母得，，
解得，，
检验：当时，，
∴是所列方程的根，
故答案为：1．
6．（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个．
【答案】3
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得且，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值．
【详解】解：解分式方程得且，
∵分式方程的解为整数，
∴的值为或，
解得m的值为，，，共3个．
故答案为：3．
7．（2025·四川广安·二模）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______．
【答案】且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】解：原方程去分母，得，得：且，
∵关于的方程的解是非负数，
∴且，
解得：且，
故答案是：且．
8．（新情境）若，两个数满足关系式：，则，称为“协变数对”，记作，例如：当8与2满足时，则是“协变数对”，若是“协变数对”，则 ．
【答案】或
【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了新定义，以及解分式方程，解题的关键在于正确理解“协变数对”概念．根据“协变数对”定义建立分式方程求解，即可解题．
【详解】解：根据，则，称为“协变数对”，
又是“协变数对”，
则有
整理得，
解得或，
经检验，或是方程的解，
故答案为：或．
9．（2025·陕西咸阳·一模）解方程：．
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了分式方程的解法，解题的关键是熟练掌握分式方程解题步骤，要注意验根．先去分母，化为整式方程，解出整式方程，然后代入最简公分母检验是否为零，即可．
【详解】解：去分母得：，
化简得，
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解．
10．（新情境）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：．
解：去分母，得……第一步
去括号，得……第二步
移项、合并同类项，得……第三步
解得……第四步
经检验：是原分式方程的解……第五步
(1)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
(2)请你帮这个同学正确解答这个分式方程．
【答案】(1)一；去分母时等号右边忘记符号（负号）
(2)见解析
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验的方法是解题的关键．
（1）根据去分母的方法即可判定；
（2）运用解分式方程的方法即可求解．
【详解】（1）解：，
去分母得，，
∴第一步开始出错，出错的原因是去分母时等号右边忘记符号（负号）；
（2）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验，当时，原分式方程的分母，
∴原分式方程无解．
11．（2025·山西临汾·一模）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．为丰富学生的课后服务活动，某校准备为社团购买 A，B两种型号的“文房四宝”共 30 套，共花费 6720 元，其中 B型号的“文房四宝”花费 2400 元．已知每套A 型号的“文房四宝”的价格是 B 型号的“文房四宝”的价格的 1.2 倍．求 A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？
【答案】A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是240元和200元
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据购买 A，B两种型号的“文房四宝”共 30 套列方程求解即可．
【详解】解：设型号“文房四宝”的单价是元，由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是240元和200元
12．（2025·广东惠州·一模）为推进惠州市新质生产力发展，某企业决定对现有的甲、乙两类共25条生产线设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业更新生产线设备，惠州市出台补贴政策：更新1条甲类生产线设备，企业可获3万元补贴；更新1条乙类生产线设备，可获2万元补贴．更新完这25条生产线设备后，该企业共获得65万元补贴．问该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，更新1条甲类生产线设备的费用，比更新1条乙类生产线设备费用的2倍少5万元，用200万元购买更新甲类生产线设备的数量与用180万元购买更新乙类生产线设备的数量相同．那么该企业在获得65万元补贴后，还需投入多少资金用于更新生产线的设备？
【答案】(1)该企业甲、乙两类生产线各有15条和10条
(2)85万元
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题主要考查了二元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系．
（1）设企业甲生产线有条，企业乙生产线有条，根据甲、乙总数量和总补贴数列出方程，解方程即可；
（2）设1条乙类生产线的设备费用为万元，则1条甲类生成线的设备费用为万元，根据甲乙的数量关系列出分式方程，解方程后求出花费的资金，从而可以算出还需投入的资金．
【详解】（1）解：设企业甲生产线有条，企业乙生产线有条，
根据题意得，
解方程组得，
所以，该企业甲、乙两类生产线各有15条和10条；
（2）解：设1条乙类生产线的设备费用为万元，则1条甲类生成线的设备费用为万元，
根据题意得，
解方程得，
经检验为分式方程的解，
一条甲设备的费用：万元，一条乙设备的费用万元
再投入费用：万元
所以，还需投入85万元资金用于更新生产线的设备．
题型五 不等式与不等式组
1．（2025·山东临沂·一模）一元一次不等式组：的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求不等式组的解集
【分析】主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤和确定不等式组解集的公共部分．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
故选：D．
2．（2025·山东临沂·一模）若，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的性质，能灵活运用不等式的性质进行变形是解本题的关键．不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的性质，依次分析各个选项，选出不等式的变形正确的选项即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，故A选项正确，符合题意；
当时，，故B选项错误，不符合题意；
当，时，，故C选项错误，不符合题意；
当，时，，故D选项错误，不符合题意．
故选：A．
3．（2025·云南·三模）若不等式组有且仅有个整数解，则满足条件的整数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．无数个
【答案】B
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是根据一元一次不等式组的整数解的个数得到的取值范围，再根据的取值范围，确定符合条件的整数的个数．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组有且仅有个整数解，
不等式组的解集为，
，
满足条件的整数是，
满足条件的整数有个．
故选：B．
4．（2025·山东临沂·一模）在知识问答竞赛中，答对一题加分，答错一题减分，每道题必须作答．已知王明共答题道，得分分；李红共答题道，那么两位同学答对与答错题目的差相加可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了首先根据王明答题的数量和得分情况求出王明答对与答错题目的差，根据李红共答题道，设李红答对了道题，答错了道题，可知为奇数且最大值为，从而可知两位同学答对与答错题目的差相加的数值一定是奇数且不超过，利用排除法得到正确选项．
【详解】解：设王明答对了道题，则答错了道题，
根据题意可得：，
解得：，
王明答对了道题，则答错了道题，
王明答对与答错题目的差，
设李红答对了道题，答错了道题，
则，
为奇数，
一定为奇数，
一定为奇数，
A、C选项排除，
如果这道题李红全部答对了，则李红答对与答错的题目的差为，
，
D选项排除，
两位同学答对与答错题目的差相加可能是．
故选：B．
5．（2025·广东汕头·一模）不等式的解集是
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
6．（2025·江苏宿迁·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列式求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
故答案为：
7．（2025·辽宁铁岭·二模）不等式组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第二个不等式的解集，根据不等式组无解得出关于a的不等式，解不等式可得．
【详解】解：
解不等式①得：；
解不等式②得：；
∵不等式组无解，
∴，
故a的取值范围是：．
8．（新情境）定义一种新运算：，则不等式组的整数解共有 个．
【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
利用题中的新定义运算化简不等式组，求出解集，即可求出整数解的个数．
【详解】解：，
将不等式组化简得，
解得，
解得，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，共个，
故答案为：．
9．（2025·陕西汉中·一模）解不等式，并在如图所示的数轴上表示该不等式的解集．
【答案】，见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．对不等式去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出不等式的解集，并在数轴上表示该不等式的解集即可．
【详解】解：去分母、去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
将不等式的解集表示在数轴上如图所示：
10．（2025·湖北·二模）解不等式组：．
【答案】
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题主要考查解不等式组，熟练掌握解不等式组是解题的关键．根据运算法则进行求解即可．
【详解】解：解不等式，
得，
解不等式，得，
11．（2025·辽宁抚顺·二模）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
(1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若进价、售价均保持不变，该超市准备用不多于5400元的金额再次采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台．
【答案】(1)A种型号的电风扇的销售单价为250元，B种型号的电风扇的销售单价为210元
(2)A种型号的电风扇最多能采购10台
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】该题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意．
（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，根据题意列方程组求解；
（2）设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇台，根据“不多于5400元的金额”列不等式求解；
【详解】（1）解：设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元．
由题意，得，
解得．
答：A种型号的电风扇的销售单价为250元，B种型号的电风扇的销售单价为210元．
（2）解：设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇台．
由题意，得．
解得．
答：A种型号的电风扇最多能采购10台．
12．（2025·重庆·一模）某科技公司为研发一项数据加密技术，需使用服务器处理任务．已知技术升级后的新型服务器每小时处理的任务量是旧型服务器的1.5倍．若共有100项任务需处理，先启用一台旧型服务器处理40项任务后，再加入一台新型服务器同时处理，则共用了小时完成任务．
(1)求一台新型服务器每小时能处理的任务量是多少项？
(2)公司为加快研发进度，计划投入不超过68万元另外购入10台新旧服务器．若每台旧型服务器是5万元，每台新型服务器是8万元，且两种服务器每天的工作时长均满8小时，公司需要这批新购入的服务器在3天内完成2880项任务，则有哪几种购买方案？
【答案】(1)15
(2)3种
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、求不等式组的解集、分式方程的其它实际问题、不等式组的方案选择问题
【分析】本题主要考查了分式方程和不等式组的应用，理解题意并解方程和不等式组是解题的关键．
（1）根据题意列出分式方程求解即可；
（2）根据题意列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设旧型服务器每小时处理x项任务，则新型服务器每小时处理1.5x项，
小时小时，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
则，
答：一台新型服务器每小时能处理的任务量是15项．
（2）解：设购入y台新服务器，则购入台旧服务器，
，
解不等式组，得，
∵y为正整数，
∴，5，6，
则，5，4，
方案一：购入4台新服务器，6台旧服务器；
方案二：购入5台新服务器，5台旧服务器；
方案三：购入6台新服务器，4台旧服务器；
即共有三种方案．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)猜押02 方程与不等式
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
一元一次方程 二元一次方程组 一元二次方程 2024年辽宁第1题，2024年山东省泰安市第3题、2024年广东省广州市第20题 方程与不等式占中考数学15%-20%，高频考点为分式方程应用题、不等式组方案设计、一元二次方程根的应用，题型覆盖选择、填空、解答，侧重基础解法与实际建模能力。 分式方程结合古代数学问题（如《九章算术》），不等式组方案设计与函数最值结合，一元二次方程根的判别式与几何面积问题，综合应用跨模块（函数、几何），易错点聚焦增根与不等式变号。
分式方程 不等式与不等式组 2024年四川省德阳市第1题，2024年浙江省第16题，2024年广东省第5题
题型一 一元一次方程
1．（2025·湖南衡阳·一模）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（文化背景）《九章算术》中“均输章”有云：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”受此启发，我们构建如下生活情境：在两座城市A和B之间，甲车从城市A驶向城市B，全程需7天；乙车从城市B驶向城市A，全程需9天．若甲车先出发2天后，乙车才从城市B出发，两车相向而行．设从乙车出发后，经过天两车相遇．则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ．
5．（新情境）规定一种新运算：，若，则x的值为 ．
6．（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以的速度沿C-B-C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为．
（1）当点P和点Q相遇时，t的值为 ；
（2）连接，在点P和点Q不重合的情况下，连接．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的，且，则t的值为 ．
7．（2025·安徽淮南·二模）解方程：．
8．（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？
9．（2025·吉林·一模）五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，求这次参加游玩的家长和学生各多少人？
10．（跨学科融合）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有2个碳原子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子；
(1)按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；
(2)按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明理由．
题型二 二元一次方程组
1．（2025·天津红桥·一模）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（文化背景）我国明代有位著名数学家叫程大位，他编撰的《增删算法统宗》里记载“绳索量竿”问题：“一根竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．问索子与竿子各几何？”“一托”是古代长度单位，大约相当于现在的长．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短．设绳索长，竿长为，根据题意列二元一次方程组，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（新情境）“扎龙湿地芦苇米”富含硒元素，是齐齐哈尔市特色物产．现将160千克芦苇米全部分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱可装20千克，每个小箱可装15千克，大、小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
4．（2025·吉林长春·模拟预测）在二元一次方程中，用含的代数式表示，则 ．
5．（2025·山东·一模）已知方程组，则的值为 ．
6．（2025·江苏盐城·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
7．（2025·江苏苏州·一模）解方程组：
8．（2025·浙江杭州·二模）对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由．
9．（2025·云南·三模）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力，某店销售扎染和刺绣两种工艺品，第一天共卖出件．第二天卖出扎染的数量比第一天多，卖出刺绣的数量比第一天少，两种工艺品的总销售数量增加了件，第一天两种工艺品各卖出多少件？
10．（2025·广东珠海·一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计35万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元，求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元．
题型三 一元二次方程
1．（2025·云南·三模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的值不可能为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·河北邯郸·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．实数根的个数由b的值确定 B．没有实数根
C．两根互为倒数 D．若，则两根互为相反数
3．（2025·湖北武汉·三模）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．－2
4．（2025·宁夏银川·一模）已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2025·湖南·模拟预测）已知关于的方程的一个根为，则另一个根为 ．
6．（2025·吉林·二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为 ．
7．（2025·黑龙江大庆·一模）已知和是方程的两个解，则的值为 ．
8．（新情境）对于三个实数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：，，，请结合上述材料，解决问题：若，则 ．
9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程：
10．（2025·四川达州·一模）已知关于的方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根及的值．
11．（2025·四川南充·模拟预测）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值．
12．（24-25八年级下·山东泰安·期中）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米．
(1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率；
(2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？
题型四 分式方程
1．（2025·湖北·二模）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（新情境）掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时．则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·安徽宣城·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．（2025·山东济南·一模）代数式和代数式的值相等，则 ．
6．（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个．
7．（2025·四川广安·二模）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______．
8．（新情境）若，两个数满足关系式：，则，称为“协变数对”，记作，例如：当8与2满足时，则是“协变数对”，若是“协变数对”，则 ．
9．（2025·陕西咸阳·一模）解方程：．
10．（新情境）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：．
解：去分母，得……第一步
去括号，得……第二步
移项、合并同类项，得……第三步
解得……第四步
经检验：是原分式方程的解……第五步
(1)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
(2)请你帮这个同学正确解答这个分式方程．
11．（2025·山西临汾·一模）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．为丰富学生的课后服务活动，某校准备为社团购买 A，B两种型号的“文房四宝”共 30 套，共花费 6720 元，其中 B型号的“文房四宝”花费 2400 元．已知每套A 型号的“文房四宝”的价格是 B 型号的“文房四宝”的价格的 1.2 倍．求 A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？
12．（2025·广东惠州·一模）为推进惠州市新质生产力发展，某企业决定对现有的甲、乙两类共25条生产线设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业更新生产线设备，惠州市出台补贴政策：更新1条甲类生产线设备，企业可获3万元补贴；更新1条乙类生产线设备，可获2万元补贴．更新完这25条生产线设备后，该企业共获得65万元补贴．问该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，更新1条甲类生产线设备的费用，比更新1条乙类生产线设备费用的2倍少5万元，用200万元购买更新甲类生产线设备的数量与用180万元购买更新乙类生产线设备的数量相同．那么该企业在获得65万元补贴后，还需投入多少资金用于更新生产线的设备？
题型五 不等式与不等式组
1．（2025·山东临沂·一模）一元一次不等式组：的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东临沂·一模）若，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·云南·三模）若不等式组有且仅有个整数解，则满足条件的整数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．无数个
4．（2025·山东临沂·一模）在知识问答竞赛中，答对一题加分，答错一题减分，每道题必须作答．已知王明共答题道，得分分；李红共答题道，那么两位同学答对与答错题目的差相加可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广东汕头·一模）不等式的解集是
6．（2025·江苏宿迁·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
7．（2025·辽宁铁岭·二模）不等式组无解，则的取值范围是 ．
8．（新情境）定义一种新运算：，则不等式组的整数解共有 个．
9．（2025·陕西汉中·一模）解不等式，并在如图所示的数轴上表示该不等式的解集．
10．（2025·湖北·二模）解不等式组：．
11．（2025·辽宁抚顺·二模）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
(1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若进价、售价均保持不变，该超市准备用不多于5400元的金额再次采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台．
12．（2025·重庆·一模）某科技公司为研发一项数据加密技术，需使用服务器处理任务．已知技术升级后的新型服务器每小时处理的任务量是旧型服务器的1.5倍．若共有100项任务需处理，先启用一台旧型服务器处理40项任务后，再加入一台新型服务器同时处理，则共用了小时完成任务．
(1)求一台新型服务器每小时能处理的任务量是多少项？
(2)公司为加快研发进度，计划投入不超过68万元另外购入10台新旧服务器．若每台旧型服务器是5万元，每台新型服务器是8万元，且两种服务器每天的工作时长均满8小时，公司需要这批新购入的服务器在3天内完成2880项任务，则有哪几种购买方案？
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