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猜押03 一次函数与反比例函数
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
一次函数 2024年天津市卷第21题，2024年浙江省卷第7题，2024年北京市卷第24题 一次函数与反比例函数占中考数学10%-15%，高频考点为图像性质、实际应用（如行程问题、方案设计）、函数交点及反比例函数与几何面积结合，题型以解答题为主，侧重建模与数形结合能力。 一次函数与不等式组方案设计（如利润最大化）、反比例函数k的几何意义与几何图形面积结合（如三角形、矩形），综合考查函数交点及实际场景应用（如经济、物理问题）。
反比例函数 2024年广东省卷第18题，2024年浙江省卷第10题，2024年江苏省苏州卷第24题
题型一 一次函数图象和性质问题
1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数的图象不经过第一象限
C．函数的图象与x轴的交点坐标是
D．函数的图象向上平移5个单位长度得的图象
2．（2025·陕西汉中·一模）在平面直角坐标系中，直线关于y轴对称的直线为，则直线、直线与x轴围成的三角形面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
3．（2025·河北·一模）如图，8个边长为1的小正方形按照图中方式放置在平面直角坐标系中，直线经过小正方形的顶点P和Q，则直线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（新情境）如图，已知直线与直线都经过点，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为轴上任意一点，连接、、，有以下说法：
①方程组的解为
②；
③当的值最小时，点P的坐标为
其中正确说法的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
5．（2025·湖北·模拟预测）已知一次函数（为常数）的图象不经过第二象限．写出一个符合条件的的值为 ．
6．（2025·辽宁阜新·一模）已知一次函数，函数值y随x的值增大而减小，那么m的取值范围是 ．
7．（2025·辽宁·一模）如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为 ．
8．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与y轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与x轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，…，则点的纵坐标为 ．
9．（2025·陕西汉中·一模）最美人间四月天，恰逢春日正盛时．依依和洋洋两人登山以观春日美景，两人距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)当时，求洋洋距离地面的高度与登山时间x之间的函数关系式；
(2)当时，x的值为多少时，洋洋距离地面的高度比依依高10米？
10．（2025·湖北·模拟预测）荆楚文化源远流长，在第二届楚文化节来临之际，某商家预测A种文创饰品能够畅销．根据预测，每件A种文创饰品节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A种文创饰品的数量是节后用相同金额购进数量的．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商家节后每件A种文创饰品的进价是多少元？
(2)若该商家在节前和节后共购进A种文创饰品400件，且总费用不超过4600元，并按照节前每件20元，节后每件16元全部售出，则该商家节前购进多少件A种文创饰品获得总利润最大？最大总利润是多少？
11．（2025·河北·一模）甲苯是一种重要的化工原料，它可以用于制作炸药、农药、油漆等，各行业都有应用．已知甲苯的沸点在标准大气压下高于，因为温度计量程限制，无法测量其沸点，为了测量甲苯的沸点，设计了以下实验，在实验室安全通风环境下，取一定质量的甲苯在烧杯中用酒精灯均匀加热，甲苯的初温为，每隔分钟记录一次温度，得到了如表所示的数据．
时间
温度
(1)因为酒精灯均匀加热，实验中某个时间的温度在测量中出现了错误，请指出表中错误的温度并修改；
请在直角坐标系中描出表中修正后的数据对应的点，并将这些点连起来；
在甲苯达到沸点前，甲苯温度（单位：）与加热的时间（单位：）符合我们学习过的某种函数关系，填空：可能是______函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
(2)根据以上判断，求关于的函数解析式；
(3)当加热分钟时，甲苯沸腾了，请推算甲苯的沸点是多少．
12．（2025·广西柳州·二模）综合与探索
【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、，
(1)直接写出______，______；
(2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式：
小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______；
(3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式．
题型二 反比例函数图象和性质问题
1．（2025·重庆江津·一模）经过点，则的值是（ ）
A．1 B． C．12 D．
2．（2025·安徽宿州·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，轴于点C，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．（跨学科融合）在实验课上，小明做了一个实验．如图①在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总重量 10 12 15 20 30
加入水的质量 5 7 10 15 25
通过描点连线得到如图②所示的，关于x的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．分别是关于x的反比例函数 B．的图象向下平移4个单位可得的图象
C．随的增大而减小 D．当托盘B与点C距离为时，比多5克
4．（2025·陕西汉中·一模）已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为 ．
5．（新情境）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．

6．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则 ．
7．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______．
8．（2025·江西景德镇·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上的两点，满足，的边轴，边轴，且．
(1)求的长．
(2)若是反比例函数图象上的一点，且，求点的坐标．
9．（2025·河南许昌·二模）如图，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)将矩形平移得到矩形，平移后点O的对应点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，求点B的对应点的坐标．
10．（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？
11．（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形是菱形，其中点，点在反比例函数的图像上，与轴正方向的夹角为，且，反比例函数的图像与线段交于点．
(1)求的值；
(2)点为反比例函数图像上的一个动点（点在点，之间运动，不与，重合），过点作，垂足为点，过点作，交于点，连接．若的面积为，求点的坐标．
题型三 一次函数与反比例函数交点问题
1．（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽滁州·一模）已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．若，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．24
3．（24-25九年级下·安徽·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，反比例函数与一次函数交于点，若，则 ．
5．（2025·陕西·模拟预测）若直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、，则的值为 ．
6．（2025·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在坐标轴上，连接，若线段和反比例函数在第一象限的图像围起来的封闭区域内有2个整点（不包含边界），则k的取值范围是 ．
7．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直线与y轴交于点C，点D，E分别在一次函数和反比例函数的图象上，当四边形是平行四边形时，求点D的坐标．
8．（2025·山东潍坊·一模）如图，一次函数与反比例函数相交于，两点，过点A作轴于点C，连接并延长，交反比例函数的图象于点D，连接．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积．
9．（2025·江西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过点A 作x轴的垂线，交x轴于点B，连接，交y轴于点D，的面积为6．
(1)求k的值；
(2)若点A的纵坐标为2，求D的坐标．
10．（2025·山东滨州·一模）如图，直线（，为常数）与双曲线（为常数）相交于两点．
(1)求的值．
(2)在双曲线上任取两点和．若，试确定和的大小关系，并写出判断过程．
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
题型四 一次函数、反比例函数与几何综合问题
1．（新情境）如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)求直线的函数解析式．
2．（2025·河南许昌·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与y轴交于点B，第一象限内的点C在反比例函数的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B．
(1)求和的值；
(2)根据图象，当时，直接写出x的取值范围．
3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点的横坐标为，反比例函数的图像经过点．
(1)求的值；
(2)过点作的平行线交反比例函数的图象于点，求点的坐标．
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)在直线上是否存在点，且，若存在求点的坐标，若不存，请说明理由．
5．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，B．
(1)求k的值和点B的坐标．
(2)不等式的解集是 ．
(3)以为边作正方形，再以为直径作弧，以点B为圆心，长为半径作弧，求阴影部分的面积．
6．（2025·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，双曲线与矩形的两边、分别交于、两点，连接、、，将沿翻折后得．
(1)探究一：如图2，若点为中点时，点又恰好落在线段上，证明：平分：
(2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积：
(3)探究三：如图4，若点在直线上，是否存在的值使点落在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五 一次函数与反比例函数的实际应用问题
1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（ ）
A．元 B．45元 C．元 D．48元
2．（新情境）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是
C．在一个加热周期内水温不低于的时间为
D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
3．（2025·湖北·二模）在电压不变时，通过导体的电流（单位：A）与这段导体的电阻（单位：）是反比例函数关系，其函数图象如图所示，当一段导体的电阻时，通过该导体的电流的值为 A．
4．（新情境）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为 ．

5．（新情境）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表：
频率 5 10 15 20 25 30
波长 60 30 20 15 12 10
(1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式．
(2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？
6．（跨学科融合）综合与实践-项目式学习
【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界．
【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
【项目素材】
素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点．
素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系：
【项目任务】根据项目素材解决问题：
任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值．
任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为（）时，测量物体的成像的高度为．
(1)请你利用所学的知识求出与的关系式．
(2)当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）．
7．（2025·黑龙江佳木斯·一模）2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题：
(1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？
(2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个．
8．（跨学科融合）如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下：
… 4 6 8 10 12 …
… 9 6 4.5 3.6 3 …
(1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式；
(2)当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)猜押03 一次函数与反比例函数
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
一次函数 2024年天津市卷第21题，2024年浙江省卷第7题，2024年北京市卷第24题 一次函数与反比例函数占中考数学10%-15%，高频考点为图像性质、实际应用（如行程问题、方案设计）、函数交点及反比例函数与几何面积结合，题型以解答题为主，侧重建模与数形结合能力。 一次函数与不等式组方案设计（如利润最大化）、反比例函数k的几何意义与几何图形面积结合（如三角形、矩形），综合考查函数交点及实际场景应用（如经济、物理问题）。
反比例函数 2024年广东省卷第18题，2024年浙江省卷第10题，2024年江苏省苏州卷第24题
题型一 一次函数图象和性质问题
1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数的图象不经过第一象限
C．函数的图象与x轴的交点坐标是
D．函数的图象向上平移5个单位长度得的图象
【答案】C
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性
【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移、一次函数图象与坐标轴的交点，根据一次函数性质可判断A、B选项；令，求得，可判断C选项；由函数图象平移规则“上加下减”可判断D选项，进而可求解．
【详解】解：对于一次函数，，，
A、函数值随自变量的增大而减小，此选项结论正确，不符合题意；
B、该函数图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限，此选项结论正确，不符合题意；
C、令，由得，
则函数的图象与x轴的交点坐标是，此选项结论错误，符合题意；
D、函数的图象向上平移5个单位长度得即的图象，此选项结论正确，不符合题意，
故选：C．
2．（2025·陕西汉中·一模）在平面直角坐标系中，直线关于y轴对称的直线为，则直线、直线与x轴围成的三角形面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【知识点】求直线围成的图形面积、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查求直线与坐标轴围成的三角形的面积，先求出直线与轴、轴的交点坐标，再求出关于轴对称的交点坐标，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，解得，
当时，，
∴直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
∴直线与轴的交点关于y轴对称的坐标为，直线过点，
∴直线、直线与x轴围成的三角形面积为，
故选：C．
3．（2025·河北·一模）如图，8个边长为1的小正方形按照图中方式放置在平面直角坐标系中，直线经过小正方形的顶点P和Q，则直线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】求一次函数解析式
【分析】本题考查了用待定系数求函数解析式，解题的关键是将函数点的坐标代入解析式，然后解方程组．
利用待定系数法即可求出函数的解析式．
【详解】从图示来看，点P和Q的坐标分别是、，
设直线l的解析式为，将点P和Q的坐标代入直线l的解析式得：，
∴．
∴直线l的解析式为．
故选：D．
4．（新情境）如图，已知直线与直线都经过点，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为轴上任意一点，连接、、，有以下说法：
①方程组的解为
②；
③当的值最小时，点P的坐标为
其中正确说法的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】C
【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，①根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，利用交点坐标可得方程组的解；②求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；③根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为．
【详解】解：①∵直线与直线都经过点，
∴方程组的解为，
故说法①正确，符合题意；
②把，，代入直线，
可得，
解得，
∴直线，
令，则，
∴，
∴．
把代入直线，可得，
∴直线，
令，则，
∴，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
③点A关于y轴对称的点为，
由点C、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，
∴当的值最小时，点P的坐标为，
故③正确，符合题意；
所以，正确说法的个数有3个，
故选：C
5．（2025·湖北·模拟预测）已知一次函数（为常数）的图象不经过第二象限．写出一个符合条件的的值为 ．
【答案】0（答案满足均可）
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据一次函数的图象可知，即可得出答案．
【详解】解∶函数 (b是常数)的图象不经过第二象限，
可取．
故答案为∶0(答案不唯一，满足即可)
6．（2025·辽宁阜新·一模）已知一次函数，函数值y随x的值增大而减小，那么m的取值范围是 ．
【答案】/
【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围．
【详解】解：由题意得，
解得．
故答案为：．
7．（2025·辽宁·一模）如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为 ．
【答案】
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
根据一次函数与轴交点坐标可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，即一次函数的图象轴交点坐标为，
∴关于的方程的解为，
故答案为：．
8．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与y轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与x轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，…，则点的纵坐标为 ．
【答案】
【知识点】一次函数的规律探究问题、等边三角形的性质、解直角三角形的相关计算
【分析】先求出，根据等边得到，解直角三角形求出，则，依次类推求出，找到规律，即可求解．
【详解】解：当，
∴，
∵等边，
∴，，
∴，
∵过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴同理可求，
...
∴以此类推，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，点的坐标规律探索，涉及与坐标轴的交点，等边三角形的性质，解直角三角形的相关运算等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．（2025·陕西汉中·一模）最美人间四月天，恰逢春日正盛时．依依和洋洋两人登山以观春日美景，两人距离地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)当时，求洋洋距离地面的高度与登山时间x之间的函数关系式；
(2)当时，x的值为多少时，洋洋距离地面的高度比依依高10米？
【答案】(1)
(2)x的值为7时，洋洋距离地面的高度比依依高10米
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程的应用．
（1）设与x之间的函数关系式为，利用待定系数法来求解即可；
（2）设依依距离地面的高度与登山时间x之间的函数关系式为，利用待定系数法求出解析式，再令，得，解方程即可．
【详解】（1）解：设与x之间的函数关系式为，
将，代入得，
，
解得，
∴当时，洋洋距离地面的高度与登山时间x之间的函数关系式为；
（2）解：设依依距离地面的高度与登山时间x之间的函数关系式为，
根据题意得，
解得，
∴与x之间的函数关系式为，
令，得，
解得，
∴x的值为7时，洋洋距离地面的高度比依依高10米．
10．（2025·湖北·模拟预测）荆楚文化源远流长，在第二届楚文化节来临之际，某商家预测A种文创饰品能够畅销．根据预测，每件A种文创饰品节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A种文创饰品的数量是节后用相同金额购进数量的．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商家节后每件A种文创饰品的进价是多少元？
(2)若该商家在节前和节后共购进A种文创饰品400件，且总费用不超过4600元，并按照节前每件20元，节后每件16元全部售出，则该商家节前购进多少件A种文创饰品获得总利润最大？最大总利润是多少？
【答案】(1)节后每件A种文创饰品的进价为10元
(2)节前购进300件A种文创饰品获得的总利润最大，最大总利润为3000元
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组和一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，不等式组和一次函数关系式，是解题的关键：
（1）设节后每件A种文创饰品的进价为x元，根据节前用240元购进A种文创饰品的数量是节后用相同金额购进数量的，列出方程进行求解即可；
（2）设该商家节前购进m件A种文创饰品，获得的总利润为w元，根据题意，列出一次函数的解析式和不等式，求出的范围，利用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）设节后每件A种文创饰品的进价为x元，则节前每件A种文创饰品的进价为元，
根据题意得，
解得，
经检验是所列方程的解且符合题意，
答：节后每件A种文创饰品的进价为10元．
（2）由（1）可知，节前的进价为元，
设该商家节前购进m件A种文创饰品，获得的总利润为w元，则有：
，
由题意：
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且，
即节前购进300件A种文创饰品获得的总利润最大，最大总利润为3000元．
11．（2025·河北·一模）甲苯是一种重要的化工原料，它可以用于制作炸药、农药、油漆等，各行业都有应用．已知甲苯的沸点在标准大气压下高于，因为温度计量程限制，无法测量其沸点，为了测量甲苯的沸点，设计了以下实验，在实验室安全通风环境下，取一定质量的甲苯在烧杯中用酒精灯均匀加热，甲苯的初温为，每隔分钟记录一次温度，得到了如表所示的数据．
时间
温度
(1)因为酒精灯均匀加热，实验中某个时间的温度在测量中出现了错误，请指出表中错误的温度并修改；
请在直角坐标系中描出表中修正后的数据对应的点，并将这些点连起来；
在甲苯达到沸点前，甲苯温度（单位：）与加热的时间（单位：）符合我们学习过的某种函数关系，填空：可能是______函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
(2)根据以上判断，求关于的函数解析式；
(3)当加热分钟时，甲苯沸腾了，请推算甲苯的沸点是多少．
【答案】(1)时间为分钟的时候温度是不正确的，正确的温度应该是；见解析；一次
(2)
(3)
【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，求函数值等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可；描出点并连接即可；由图象可知与可能是一次函数关系；
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）把代入函数关系式，求出函数值即可．
【详解】（1）解：时间为分钟的时候温度是不正确的，正确的温度应该是；
如图所示；
一次；
（2）解：该一次函数经过点和，
设其解析式为，则，
解得：，
该一次函数的解析式为；
（3）解：当时，，
所以甲苯的沸点为．
12．（2025·广西柳州·二模）综合与探索
【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、，
(1)直接写出______，______；
(2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式：
小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______；
(3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)的函数表达式为．
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（）由即可求出点的坐标为，点的坐标为，从而求解；
（）根据“型全等”证明，则有点的坐标为，设解析式为，然后把，坐标代入求解即可；
（）过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，证明，则有，设，则，，得出，最后通过待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，
令，解得，令，得，解得：，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：过点作轴于，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴点的坐标为，
设解析式为，
∴，解得：，
∴解析式为，
故答案为：，；
（3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，解得，
∴，
∴设直线解析式为
，解得，
∴的函数表达式为．
题型二 反比例函数图象和性质问题
1．（2025·重庆江津·一模）经过点，则的值是（ ）
A．1 B． C．12 D．
【答案】D
【知识点】求反比例函数解析式
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
将点直接代入，即可求解．
【详解】解：∵经过点，
∴，
故选：D．
2．（2025·安徽宿州·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查的知识点是比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是熟练掌握比较反比例函数值或自变量的大小方法．
将函数值代入求出对应的自变量，比较大小即可．
【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
，，，
．
故选：．
3．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，轴于点C，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由A与点B关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴，
∵轴，
∴的面积．
故选：A．
3．（跨学科融合）在实验课上，小明做了一个实验．如图①在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总重量 10 12 15 20 30
加入水的质量 5 7 10 15 25
通过描点连线得到如图②所示的，关于x的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．分别是关于x的反比例函数 B．的图象向下平移4个单位可得的图象
C．随的增大而减小 D．当托盘B与点C距离为时，比多5克
【答案】D
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象的平移．根据反比例函数的定义即可判断A选项，由A选项知则是关于x的反比例函数；不是关于x的反比例函数即可判断B选项，根据表格数据即可判断C选项，根据，间的数值变化即可判断D选项．
【详解】解：A、，则是关于x的反比例函数，，则不是关于x的反比例函数，故错误，不符合题意；
B、由A选项知则是关于x的反比例函数；不是关于x的反比例函数，故的图象向下平移4个单位得不到的图象，故错误，不符合题意；
C、由表格数据得随的增大而增大，故错误，不符合题意；
D、由表格数据得为定值，则托盘B与点C距离为时，比多5克，故正确，符合题意；
故选：D．
4．（2025·陕西汉中·一模）已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为 ．
【答案】9
【知识点】求反比例函数解析式
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将点A、B的坐标分别代入已知反比例函数解析式，分别求得m、k的值，再求出n的值，然后再代入计算即可．
【详解】解：将点、代入得，，，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入，得，
∴，
∴，
故答案为：9．
5．（新情境）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．

【答案】3
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查反比例函数的应用；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解．
【详解】解：设该反比例函数的解析式为，
由题意得：，
∴，
∴当时，则；
故答案为：3．
6．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则 ．
【答案】
【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，求角的正切值，相似三角形的性质与判定．过A、B作轴，轴，根据条件得到：，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：如图所示，过A、B作轴，轴，垂足分别为C、D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______．
【答案】
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质与判定求面积
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数的几何意义可得，然后根据计算即可得．
【详解】解：∵过点分别作轴于点，轴于点，
∴，四边形是矩形，
∵反比例函数的图象分别与，相交于两点，
∴，
∵四边形的面积为4，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
8．（2025·江西景德镇·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上的两点，满足，的边轴，边轴，且．
(1)求的长．
(2)若是反比例函数图象上的一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【知识点】反比例函数与几何综合、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查反比例函数的性质、坐标与图形，勾股定理解三角形及线段垂直平分线的性质，掌握相关知识是解题关键．
（1）根据题意得出，然后代入反比例函数确定，得出，，，即可求解；
（2）根据题意得出点P在的垂直平分线上，结合（1）中结果得出点P的横坐标为3，代入反比例函数即可求解
【详解】（1）解：∵，满足，的边轴，边轴，且．
∴，
∵点A、B在反比例函数图象上，
∴，
解得：，
∴，，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴点P在的垂直平分线上，
∵，，
∴点P的横坐标为3，
把代入得，，
∴点的坐标为．
9．（2025·河南许昌·二模）如图，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)将矩形平移得到矩形，平移后点O的对应点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为2，求点B的对应点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据矩形的性质求线段长、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题主要考查了矩形的性质，求反比例函数解析式，平移的规律等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）由矩形的性质结合已知条件可得，然后代入得即可解答；
（2）先求出可得点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点，然后根据平移规律即可解答．
【详解】（1）解：∵在矩形中，
，
，
，
，
把点代入得，
，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：∵点的纵坐标为2，
，
∴．即点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点．
由（1）知点的坐标为，
∴点向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到点．
10．（2025·广西河池·一模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？
【答案】(1)
(2)销售单价应为160元
【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、分式方程的经济问题
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键．
（1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可．
（2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可．
【详解】（1）解：设函数式为，
∵当销售定价为120元时，每日可销售20件，
∴，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：．
（2）解：设单价是x元，
∵，
∴，解得：，
检验：当时，利润为元，符合题意．
答：销售单价应为160元．
11．（2025·江苏苏州·一模）如图，四边形是菱形，其中点，点在反比例函数的图像上，与轴正方向的夹角为，且，反比例函数的图像与线段交于点．
(1)求的值；
(2)点为反比例函数图像上的一个动点（点在点，之间运动，不与，重合），过点作，垂足为点，过点作，交于点，连接．若的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)12
(2)
【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、三角函数综合
【分析】（1）延长交x轴于点Q，根据题意，得,结合已知得到,设，于是，确定，继而确定，求．
（2）延长交于点F，过点N作于点G，得,，得到四边形是平行四边形即，得到，设，求得，过点E作轴于点H，则四边形是矩形，当时，，求解即可．
【详解】（1）解：延长交x轴于点Q，
∵四边形是菱形，点，
∴，，
∴，
∵与轴正方向的夹角为，且，
∴,
设，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
解得．
（2）解：延长交于点F，过点N作于点G，
∵四边形是菱形，点，
∴,，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
解得；
∴，
过点E作轴于点H，
则四边形是矩形，
∴，
∴，
故当时，，
故点．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形面积计算，三角函数的应用，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键．
题型三 一次函数与反比例函数交点问题
1．（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合．根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，
∴关于原点中心对称，
∵点的坐标是，
∴点的坐标是．
故选：A．
2．（2025·安徽滁州·一模）已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．若，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．24
【答案】D
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，求得点A的坐标是解题的关键．
由一次函数的解析式求得点B的坐标，得到，根据三角形的面积公式求得，将代入求得．
【详解】如图所示，
一次函数的图象与轴交于点，
令，则，
，
∴，
，即，
解得，
将代入，
，
∴将代入得，
解得．
故选：D．
3．（24-25九年级下·安徽·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图像与交点问题，主要考查数形结合的思想的应用．不等式的解集，即为一次函数的图象在反比例函数的图象上方时的自变量的取值范围．
【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，，
是向下平移了个单位长度得到的，
∴一次函数与反比例函数的图象交于点，．
由图象可知，关于的不等式的解集是：或，
故选：A．
4．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，反比例函数与一次函数交于点，若，则 ．
【答案】8
【知识点】求点到坐标轴的距离、根据反比例函数的定义求参数、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及两点间距离公式的应用，解题关键是熟练掌握一次函数的性质及两点间距离公式。
由一次函数的性质可知，其图象上点的横、纵坐标相等，设，然后根据两点间距离公式，得到点坐标，然后代入反比例函数即可解答。
【详解】∵反比例函数与一次函数交于点A，
∴直线上的点的横、纵坐标相等，
∵点A在第一象限，
∴设点的坐标为．
∵原点和点，
∴．
∵，
∴，．
∵ ，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
将点的坐标代入反比例函数得
．
故答案为：8．
5．（2025·陕西·模拟预测）若直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数是中心对称图形，可得，，可将化简为，再结合反比例函数图象上的坐标特征求解即可．
【详解】解：直线（为常数，）与反比例函数的图象交点为、，
和关于原点中心对称，，
，，
．
故答案为：6．
6．（2025·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在坐标轴上，连接，若线段和反比例函数在第一象限的图像围起来的封闭区域内有2个整点（不包含边界），则k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】列一次函数解析式并求值、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出直线的解析式为，再作图，结合当反比例函数过两个点和时，得；当过点或或时，则，运用数形结合思想进行作答即可．
【详解】解：∴设直线的解析式为，
把和分别代入，
得，
解得
∴直线的解析式为，与坐标轴围成的区域中的整点的个数如图所示，
当反比例函数过两个点和时，
故
∴反比例函数的；
当过点或或时，
则
∴反比例函数的，
∴要使反比例函数与直线所围成的区域内只有两个整点，
则反比例函数的图象应该在两条双曲线之间，且可以与左边的图象重合，
故k的取值范围是．
故答案为：．
7．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直线与y轴交于点C，点D，E分别在一次函数和反比例函数的图象上，当四边形是平行四边形时，求点D的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)或
【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，平行四边形的性质，画出图形，利用平行四边形的性质列出方程是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）画出图形，根据平行四边形的性质可得，列方程即可解答．
【详解】（1）解：把代入，
可得，解得，
反比例函数的解析式为；
把代入，可得，
，
把，代入，
可得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
，
，
如图，当四边形为平行四边形时，
四边形为平行四边形，
，即轴，且，
设点，则，
则可得，
整理得，
解得，
，，
即点D的坐标为或
8．（2025·山东潍坊·一模）如图，一次函数与反比例函数相交于，两点，过点A作轴于点C，连接并延长，交反比例函数的图象于点D，连接．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)5
【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象的交点、运用待定系数法求函数的解析式，求三角形的面积．
（1）将点代入求出k，再将点代入反比例函数求出m，即可得点C的坐标，直线过B、C两点，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先令，求出点D的坐标，再根据求面积即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，
解得，
∵点在反比例函数上，
∴，
解得，
即，
∵轴于点C，
∴，
设直线的函数表达式为，将、代入得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：令，
解得，，
当时，，
∴，
由（1）可得，
，
即的面积为5．
9．（2025·江西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过点A 作x轴的垂线，交x轴于点B，连接，交y轴于点D，的面积为6．
(1)求k的值；
(2)若点A的纵坐标为2，求D的坐标．
【答案】(1)
(2)点D 的坐标为
【知识点】求一次函数解析式、根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，求一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点，正确求得是解题的关键．
（1）得到的面积为，则可得；
（2）求得点坐标，再求坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，即可解答．
【详解】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，
，
的面积为6，
，
根据反比例函数的几何意义可得，
反比例函数图象为第一、三象限，
；
（2）解：反比例函数解析式为，
把代入，可得，
∴点A的坐标为，
∴点C的坐标为，点B的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得
直线的解析式，
当时，，
∴点D的坐标为．
10．（2025·山东滨州·一模）如图，直线（，为常数）与双曲线（为常数）相交于两点．
(1)求的值．
(2)在双曲线上任取两点和．若，试确定和的大小关系，并写出判断过程．
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)当或时，；当时，，判断过程见详解
(3)或
【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的结合，以及数形结合，
（1）利用待定系数法求得，即可求得点中a的值；
（2）根据反比例函数k，可知反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，分情况讨论即可；
（3）结合一次函数和反比例函数的交点，以及图象位置关系即可求得满足条件的x．
【详解】（1）解：将代入，得，
双曲线的解析式为．
将代入，得．
则，；
（2）解：对于，故反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
当或时，；
当时，根据图象可得．
综上所述，当或时，；当时，．
（3）解：∵交于两点，且，
∴或．
题型四 一次函数、反比例函数与几何综合问题
1．（新情境）如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)求直线的函数解析式．
【答案】(1)
(2)
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式．
（2）根据待定系数法求出直线的函数解析式，再利用平移即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解（1）的关键是将点A的坐标代入，解（2）的关键是求出直线的函数解析式．
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，
∵反比例函数的图象经过点
∴，
解得：
∴反比例函数的解析式为
（2）设直线的函数解析式为，
把点代入得，，解得，
∴直线的函数解析式为，
由图象可知，直线向上平移3个单位长度得到直线
∴直线的函数解析式为，
2．（2025·河南许昌·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且与y轴交于点B，第一象限内的点C在反比例函数的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B．
(1)求和的值；
(2)根据图象，当时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数图象综合判断、切线的性质定理
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
（1）求出B点坐标，再利用切线的性质结合正方形的判定与性质得出C点坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式；
（3）利用A点坐标结合函数图象得出x的取值范围．
【详解】（1）解：连接，
∵与x轴，y轴相切于点D，B，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
当时，，
∴点的坐标是
∴，
∴
把代入得到，则，
∴
把代入得到，，
解得，
∴
∴，
解得，
∴，
（2）由图象可知，当时，，即当时，x的取值范围为．
3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点的横坐标为，反比例函数的图像经过点．
(1)求的值；
(2)过点作的平行线交反比例函数的图象于点，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质求线段长、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】（1）作于D，通过菱形的性质和勾股定理求出点的坐标和的值，再证明，由全等三角形的性质得出，，即可得出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出m的值．
（2）利用直线的解析式和的条件求出的解析式，再求一次函数与反比例函数的交点即可．
【详解】（1）解：作于D，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∵点A的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴， ，
∴．
∵反比例函数的图像经过点，
∴，
解得：
（2）解：设直线解析式为，．
∵，，
则，
解得：，
∴直线的解析式为
∵，
∴直线为，
联立直线的解析式与反比例函数，
，
解得：或（舍去）
∴点D的坐标为．
【点睛】本题主要利用菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、以及反比例函数和一次函数的解析式求其交点，利用数形结合的思想求解．
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)在直线上是否存在点，且，若存在求点的坐标，若不存，请说明理由．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)或；
(3)存在，点的坐标为或．
【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、利用菱形的性质求线段长、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数与几何的综合应用，待定系数法求函数解析式、菱形的性质及三角形的面积，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键．
（）连接，交轴于点，由菱形的性质可知关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
（）求出点坐标，再根据图象即可得出不等式的解集；
（）根据菱形的性质可求得点坐标，可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标．
【详解】（1）解：如图，连接，交轴于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点，
∴，，
∴，，
∴，
将代入直线可得，解得；
将代入反比例函数可得，解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：由（）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点，
∴不等式的解集为或；
（3）解：存在，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，S△OAP＝2，
设点坐标为，与轴相交于，则，
∴，
∴，
当在的左侧时，，
∴，，
∴；
当在的右侧时，，
∴，，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
5．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，B．
(1)求k的值和点B的坐标．
(2)不等式的解集是 ．
(3)以为边作正方形，再以为直径作弧，以点B为圆心，长为半径作弧，求阴影部分的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【知识点】求反比例函数解析式、求其他不规则图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象的性质，函数与不等式的关系，正方形的性质，坐标与图形的性质等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
（1）将点分别代入正比例函数和反比例函数，可得m和k的值，再利用反比例函数图象是中心对称图形可得点B的坐标；
（2）根据图象直接可得答案；
（3）先利用勾股定理求得的长，再由可得答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，
∴，，
∴，，
∴，
∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴点A与B关于原点O对称，
∴；
（2）解：，，
由图象知，不等式的解集为或；
故答案为：或；
（3）解：∵，，
由勾股定理得，
∴，
∵为正方形，
∴，
∴
．
即阴影部分的面积为．
6．（2025·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，双曲线与矩形的两边、分别交于、两点，连接、、，将沿翻折后得．
(1)探究一：如图2，若点为中点时，点又恰好落在线段上，证明：平分：
(2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积：
(3)探究三：如图4，若点在直线上，是否存在的值使点落在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据，利用表示出的长度，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长是解本题的关键．
探究一：证明平分可转化为证明，即证明是的中点即可，根据、的坐标满足函数的解析式即可证得；
探究二：证明四边形是正方形，证，即可求得，则和的比值是，则可利用的长表示出的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得的长，则面积即可求解；
探究三：首先解方程组求得的坐标，作于点，则，利用表示出的长度，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长，即可求得，求得的长，则的横坐标即可求得，代入反比例函数解析式即可求得纵坐标．
【详解】（1）探究一：证明：，，
的坐标是，
的坐标是：，
在线上，
，
又的横坐标是，把代入，则，
是的中点，即，
又，
，
在的平分线上，即平分；
（2）探究二：解：设正方形的边长是，则，，
则的坐标是：，的坐标是，
则，
．
四边形是正方形．
∴，，
∵，
∴
又∵，
∴，
，
又平分，
，
，
设，则，
∴的坐标是，
代入得：，
∴，
∴正方形的面积是；
（3）解：根据题意得：
解得：或 舍去，
则的坐标是．
的横坐标是，则的横坐标是，则，
在中，当时，
，，
如图所示，作于点．
折叠
又
则，
解得：，
∴在中，，
则，
，
，
把代入中得：，
．
题型五 一次函数与反比例函数的实际应用问题
1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（ ）
A．元 B．45元 C．元 D．48元
【答案】C
【知识点】梯度计价问题
【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可．
本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键．
【详解】解：当时，设解析式为，
把代入解析式，得，
解得，
故解析式为
当时，设直线的解析式为，代入，，
得，
解得，
直线的解析式为，
，
故，
故选：C．
2．（新情境）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是
C．在一个加热周期内水温不低于的时间为
D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
【答案】D
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意、掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
A．根据“从加热到水温升高的温度加热时每分钟上升的温度”计算即可；
B．利用待定系数法求出y与x的函数关系式即可；
C．根据x的取值范围对应的函数关系式，分别计算当时对应的x的值，求出两个x值的差即为在一个加热周期内水温不低于的时间；
D．求出将水温从加热到，再降到一处循环需要的时间，写出这个过程中y与x的函数关系式并据此计算即可．
【详解】解：水温从加热到，需要的时间为，
∴A正确，不符合题意；
设水温上升过程中，y与x的函数关系式是，
将坐标，代入，
得，
解得，
∴水温上升过程中，y与x的函数关系式是，
∴B正确，不符合题意；
当时，当时，得，
解得，
当时，当时，得，
解得，
，
∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，
∴C正确，不符合题意；
当时，得，
解得，
∴水温从加热到，再降到所用时间为，即一个循环是，
∴水温y与通电时间x之间的函数关系式为，
上午10点到共90分钟，则（分钟），
当时，得，
∴上午10点接通电源，可以保证当天水温为，
∴D不正确，符合题意；
故选：D．
3．（2025·湖北·二模）在电压不变时，通过导体的电流（单位：A）与这段导体的电阻（单位：）是反比例函数关系，其函数图象如图所示，当一段导体的电阻时，通过该导体的电流的值为 A．
【答案】
【知识点】求自变量的值或函数值、求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量值求函数值等．根据题意设反比例函数解析式为，将点代入其中得到，再将代入求出得反比例解析式即可求出本题答案．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
将点代入中，得到，
∴，
∴电阻时，通过该导体的电流的值为：，
故答案为：．
4．（新情境）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为 ．

【答案】/
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：当时，，
∵开始时甲容器液面高，
∴，
又∵时，，
∴设，
将代入得，解得，
∴，
∵甲容器向乙容器注水，始终有，
∴，
∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，即，
∴，
解得，
故答案为：．
5．（新情境）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表：
频率 5 10 15 20 25 30
波长 60 30 20 15 12 10
(1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式．
(2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？
【答案】(1)
(2)
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到与成反比例函数关系是解题的关键．
（1）观察表格可得是一个定值，即与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时的值即可得到答案．
【详解】（1）解；根据表格数据的关系，可得与成反比例函数关系，
设，把代入中得：，解得，
∴．
（2）解：当时，，
∴当该电磁波的频率为时，它的波长是．
6．（跨学科融合）综合与实践-项目式学习
【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界．
【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
【项目素材】
素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点．
素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系：
【项目任务】根据项目素材解决问题：
任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值．
任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为（）时，测量物体的成像的高度为．
(1)请你利用所学的知识求出与的关系式．
(2)当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）．
【答案】(1)任务一：
(2)任务二：（1）；（2）减小
【知识点】实际问题与反比例函数、相似三角形实际应用
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；
任务一：由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解；
任务二：（1）由任务一可知，，，则，从而得，然后根据可得出与
（2）根据反比例数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵光轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）任务二：（1）依题意得：四边形为矩形，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
由任务一可知：，设，
∴，
∴，
，
，
解得：，
∴，
即与的关系式是：；
（2）由（1）可得，可以看成向右平移个单位，
∵
∴时，随的增大而减小
故答案为：减小．
7．（2025·黑龙江佳木斯·一模）2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题：
(1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？
(2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个．
【答案】(1)每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元；
(2)，有4种购买方案；
(3)捐赠的滨滨10个，妮妮10个．
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的经济问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）设每个滨滨的进价为每个元，则每个妮妮的进价是元，根据题意得：，即可解得每个冰墩墩的进价140元，每个雪容融的进价为75元；
（2）由题意可得，根据商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，可得，而为整数，即可得答案；
（3）由，，由一次函数性质可得最大值为24050，设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个，即得，而、都为非负整数，故知捐赠的冰墩墩10个，雪容融10个．
【详解】（1）解：设滨滨每个进价为每个元，则妮妮每个进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
（元，
答：每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元；
（2）解：根据题意得：，
商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，
，
解得：，
，
而为整数，
可取347或348或349或350；
有4种购买方案；
（3）解：由（2）知，，
，
随的增大而增大，
时，取最大值，最大值为，
设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个，
根据题意得：，
，
、都为非负整数，
，，
答：捐赠的滨滨10个，妮妮10个．
【点睛】本题考查分式方程和一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，方程的正整数解的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式．
8．（跨学科融合）如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下：
… 4 6 8 10 12 …
… 9 6 4.5 3.6 3 …
(1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式；
(2)当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？
【答案】(1)画图见解析，
(2)；弹簧秤的示数将不断增大
【知识点】实际问题与反比例函数、判断反比例函数的增减性
【分析】本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质及其应用，由图象判断出y与x之间的函数关系是解题的关键．
（1）根据表格数值描点、连线即可画出图形 ，根据图象特点判断出y与x之间的函数关系，最后利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把代入（1）所得函数解析式即可求出x，根据函数的性质即可判断弹簧秤示数的变化情况；
【详解】（1）解∶画图如下∶
由图可得，y是x的反比例函数，设，把代入得，
，
解得，
∴；
（2）解∶把代入，得，
积的，
即当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是，
∵，在第一象限内，y的值随着x的值的增大而减小，
∴随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤的示数将不断增大．
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