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猜押04 二次函数
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
二次函数 2024年广东省第24题，2024年浙江省杭州市第22题、2024年上海市第24题 二次函数占比约15%-18%，聚焦解析式求解、图像性质、几何综合（如角度、面积）及实际应用（如抛物线型问题），压轴题高频考查动态几何与参数讨论，强调数形结合与分类思想。 高频考点包括对称性、最值优化、跨学科建模（如物理运动、经济利润），结合几何变换（平移、旋转）与新定义问题（如“三倍点”），含参分类讨论与代数推理是命题核心。
题型一 二次函数的图象和性质
1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线的解析式为：，则该抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的顶点为即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点左边为．
故选：B
2．（2025·广东中山·一模）抛物线有三点，，，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，熟练的掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
依据题意，根据抛物线的性质得抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：由题意得，，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线．
∵离直线最远， 离直线最近，
∴最小，最大．
∴．
故选：D．
3．（2025·广东深圳·二模）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：
x … 0 …
y … 4 0 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大
C．当时， D．二次函数的最小值是
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h） +k的图象和性质、y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
【详解】解：将点，，代入到二次函数中，得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为．
A、，抛物线开口向上，A不正确；
B、，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，B不正确；
C、∵抛物线线与轴交于点，，且抛物线开口向上，
∴当时，，故C正确；
D、，二次函数的最小值是，D不正确；
故选：C．
4．（2025·陕西·一模）已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最大值为5 B．该函数的图象开口向上
C．该函数的图象一定经过点 D．该函数的图象对称轴在y轴右侧
【答案】D
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质、把y=ax +bx+c化成顶点式
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先把二次函数解析式化为顶点式，得到二次函数开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，可判断B错误；结合可判断A错误；把代入解析式可判断C错误；根据对称轴为直线，可判断D正确．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，
∵，
∴，
∴该函数的最大值大于5，故A错误；
∵当时，，
∴该函数的图象不经过点，故C错误；
∵，
∴，
∴该函数的图象对称轴在y轴右侧，故D正确．
故选：D．
5．（2025·上海普陀·一模）已知抛物线经过点、，那么 ．（填“”、“”、或“”）
【答案】
【知识点】y=ax +k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
找出二次函数的开口方向和对称轴，即可根据位置信息求解．
【详解】解：∵
∴开口向上，有最小值，且对称轴为轴，
∴越靠近轴，值越小，
∵
∴
故答案为：．
6．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到顶点坐标和函数的增减性，进而确定函数值的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，函数有最小值，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越大，
∵，且当时，，
∴，
故答案为：．
7．（2025·江苏·模拟预测）将二次函数的图象绕原点O旋转，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
【答案】
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转一定角度的点的坐标
【分析】本题考查关于原点对称的点坐标特点，二次函数顶点式等．根据题意先得出二次函数顶点坐标为，再求出点关于原点对称的点坐标为，再根据二次函数图象性质即可求出本题答案．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴绕原点O旋转点坐标为，
∴，
∴所得到的图象对应的函数表达式：，
故答案为：．
8．（2025·湖北武汉·三模）已知二次函数．下列四个结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②若时，随的增大而增大，则；③无论为何值，该函数的图象必经过一个定点；④抛物线的顶点一定不在轴的上方．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【知识点】y=ax +k的图象和性质、把y=ax +bx+c化成顶点式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：①当时，，故对称轴为轴，说法正确；
②由题意可得抛物线开口向上，
∵时，随的增大而增大，
∴，
解得：，故说法错误；
③，
令，即时，，
∴无论为何值，该函数的图象必经过一个定点，故说法正确；
④，
∴顶点坐标为，
∵，
∴抛物线的顶点一定不在轴的上方，故说法正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
9．（2025·北京海淀·模拟预测）在平而直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求拋物线的对称轴；
(2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)或
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质、把y=ax +bx+c化成顶点式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
（1）先把函数解析式化成顶点式，然后确定对称轴即可；
（2）分、两种情况，分别根据二次函数的性质列不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线对称轴为直线．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
∴①若，则时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
设抛物线上的点关于直线的对称点为
对于，，都有，
，
，
，
，
，
；
②当时，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
对于，，都有，
，
．
综上，或．
10．（2025·河南南阳·一模）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍．
(1)b的值为 ．
(2)已知点在抛物线上，点在抛物线上．
①若，，求m的值；
②若，且，求t的最小值．
【答案】(1)8
(2)①或；②当时，t有最小值，最小值为
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=a（x-h） +k的图象和性质、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的图像和性质是解题的关键．
（1）先求出抛物线的顶点横坐标，再根据题意求出抛物线的顶点横坐标，即可得到答案；
（2）①根据题意求出，根据题意得到，即可得到答案；
②由题意得，，得到，解得，当时，t有最小值，最小值为．
【详解】（1）解：的顶点横坐标为，
抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍，
抛物线的顶点横坐标为，
，
；
故答案为：．
（2）解：①点在抛物线上，，
．
点在抛物线上，，
，
整理，得，
解得或．
②由题意得，．
．
．
，
．
，
，解得．
易得对称轴为直线．
，且．
当时，t有最小值，最小值为．
11．（2025·江西·二模）已知二次函数．
(1)当时，此函数图象的顶点坐标为________．
(2)若此函数图象经过点，求m的值．
(3)求证：此函数图象与直线必有两个不同的交点．
(4)设（3）中的交点为A，B，请判断：的长是否是一个定值？若是，求出的长；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或2
(3)见解析
(4)是一个定值，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h） +k的图象和性质、抛物线与x轴的交点问题、线段周长问题(二次函数综合)
【分析】（1）把代入解析式，然后根据二次函数的性质求解即可；
（2）把代入解析式，然后解关于m的解析式即可；
（3）令，求出根的判别式即可判断；
（4）先求出，，然后根据求解即可．
【详解】（1）把代入，得
，
∴此函数图象的顶点坐标为．
故答案为：；
（2）解：根据题意，得．
解得，，即m的值为或2．
（3）证明：令，化简得．
，
此函数图象与直线必有两个不同的交点．
（4）解：AB的长是一个定值．
根据题意，设点A，B的坐标分别为，，则，，
．
，为定值，
的长为定值，且．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与几何综合等知识，熟练掌握，二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键．
12．（2025·安徽安庆·一模）已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）．
(1)求的值和的顶点坐标．
(2)已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________；
(3)当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
(3)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h） +k的图象和性质、y=ax +bx+c的最值、面积问题(二次函数综合)
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式及顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的平移，以及利用二次函数解决几何面积最值问题，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）解析式联立利用根的判别式确定交点的个数，整理解析式即可求解；
（3）根据题意画出图形，利用函数解析式表示出顶点纵坐标，利用三角形面积公式列出关于的二次函数，根据顶点坐标求最值即可．
【详解】（1）解：将代入得：，
解得，
，
顶点坐标为；
（2）解：联立得，
整理得
∴两个图形一定有交点，
整理得
∴当时，无论取何值，
由（1）得，的顶点坐标为，
∴与总交于一个定点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：
如图所示，
当时，抛物线，
平移之后顶点坐标为，即
∴平移之后
，此二次函数抛物线开口向下，
可求顶点横坐标为，，
∴顶点纵坐标为最大值
当时，代入二次函数得，
∴面积的最大值
题型二 二次函数的图象与系数的关系
1．（2025·贵州·模拟预测）如图，抛物线 与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．当时，
C． D．
【答案】D
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据二次函数的图象与系数关系、图象与x轴的两交点，二次函数的性质，逐项判断即可解答本题．
【详解】解：A、由抛物线的对称轴位于y轴的右侧知a，b异号，即．由抛物线与y轴交于负半轴知，故，故此选项不符合题意；
B、由图可知当时，或，故此选项不符合题意；
C、由图可知，当时，，即，故此选项不符合题意；
D、由题意得二次函数的对称轴为直线，则，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（2025·广东惠州·一模）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．（为任意实数）
【答案】D
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对称轴，顶点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质．
利用二次函数图象的性质，对称轴，顶点坐标等知识点逐项判断即可．
【详解】解：A.根据抛物线的图象可知，开口向下，，对称轴位于轴的左侧，，交轴于正半轴，，
∴，该选项错误，故该选项不符合题意；
B.由抛物线的图象可知，交轴于点和，
∴该抛物线的对称轴为直线
∴
∴，则，该选项错误，故该选项不符合题意；
C.当时，，根据抛物线图象可知，该点的纵坐标大于零，
∴，该选项错误，故该选项不符合题意；
D. 由抛物线的图象可知顶点坐标为，为最高点，
∴，
即，该选项正确，故该选项符合题意；
故选：D．
3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴，易知，结合对称轴为直线，易得，即可判断结论①；首先确定该抛物线与轴的另一交点为，故当时，可有，易得，即可判断结论②；由抛物线的对称性可知，故当时，可得，即可判断结论③；若方程的两个根为，，则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标，结合图形即可判断结论④．
【详解】解：由图像可知，该抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
∴，
又∵对称轴为直线，
∴，
∴，故结论①正确；
∵该抛物线过点，对称轴为直线，
∴该抛物线与轴的另一交点为，
∴当时，可有，
∴，
∴，故结论②错误；
∵是抛物线上的两点，
∴由抛物线的对称性可知，
∴当时，，
故结论③正确；
∵该二次函数图像与轴交于，，
∴，
若方程的两个根为，，
则，为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
∵，
∴，故结论④正确．
综上所述，结论正确的有①③④，共计3个．
故选：C．
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴的正半轴交于点．下列结论：①；②；③若和是关于的一元二次方程的两根，则；④抛物线上有两点，．若，则的取值范围是；⑤当是等腰三角形时，符合条件的值有3个．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、根与系数的关系、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
根据抛物线的开口方向可得，再根据抛物线的对称轴可得即可判定①；由抛物线交y轴与y轴的正半轴，则，当时，则，即；又，即可判定②；根据根与系数的关系可得，将，将、代入计算化简即可判定③；根据二次函数的性质可得，然后求解即可判定④；分、、分别求a的值即可判定⑤．
【详解】解：由抛物线开口方向向下，则，
该抛物线的对称轴为：，即，则，即①错误；
由抛物线交y轴与y轴的正半轴，则，
当时，则，即，解得：
由，即②正确；
由和是关于的一元二次方程的两根，则，
所以，
将代入可得，
将、代入可得：，即③正确；
因为抛物线的对称轴为：，
所以当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
因为点到对称轴的距离为，
要使，则点到对称轴的距离小于，即，解得：，即④正确；
由题意可得：，
当，，即，解得：，故；
当，，即，解得：，故；
当，无解．则即符合条件的值有2个，即⑤错误．
综上，正确的有②③④，共3个．
故选B．
5．（2025·山东烟台·一模）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有 ．（填序号）
①；②抛物线的顶点坐标为；
③；④当时，．
【答案】①③④
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号
【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数的图像与性质等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
首先将代入一元二次方程，可求得，即可判断①；确定，即可确定该抛物线的对称轴，再求得，，可确定顶点坐标为，即可判断②；结合，，，可知，即可判断③；由题意易知该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，且当时和当时，函数值相等，易得，进而可得当时，，即可判断④．
【详解】解：由题意，一元二次方程有两实根，
∴得，由②①，可得．
∴，故①正确；
由可得，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线的顶点为，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴顶点坐标为，故②不正确；
∵，
∴，
又∵，，
∴，故③正确；
∵，且抛物线的对称轴是直线，
∴该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，
又∵，
∴当时和当时，函数值相等，
∴当时，可有，
即当时，，故④正确．
综上，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
6．（2025·河南洛阳·一模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ．
【答案】
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即)，对称轴在轴左；当与异号时即)，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．根据抛物线与轴有两个交点，可得，据此解答即可；根据抛物线的对称轴，开口向下，据此判断即可；根据抛物线与轴的一个交点A在点和之间，可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当时，据此判断即可；根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可；首先根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出即可．
【详解】解：抛物线与轴有两个交点，
，
结论不正确．
抛物线的对称轴，开口向下，，是图象上的两点，
，
结论正确．
抛物线与轴的一个交点A在点和之间，
抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
当时，，
结论正确．
的最大值是，
方程没有实数根，则，
结论正确．
抛物线的对称轴，
，
，
，
，
结论正确．
综上，可得正确结论的序号是：．
故答案为：．
7．（2025·江苏宿迁·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为 ．
【答案】
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，得以解决．
【详解】解：二次函数的图象开口向下，
，
∵，
∴，
二次函数的图象与轴交于正半轴，
，
，故①正确，
∵，
∴，故②正确，
∵二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线，
∴二次函数的图像与轴的另一个交点在和之间，
∴当时，，即，故③正确，
∵，
∴，故④正确，
综上所述，其中正确的个数有4个，
故答案为：．
8．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：

①当时，．
②若且，则；
③若，则；
④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．
其中正确的有 ．
【答案】①③④
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、已知抛物线上对称的两点求对称轴、用勾股定理解三角形
【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得，，把代入抛物线解析式中求出，则点，可判断③；先求出，设，利用勾股定理得，则，解得，可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，，
∴当时，，即，故①正确；
当且时，则直线和直线关于对称轴对称，，故②错误；
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
，
∴点的坐标为，
把代入抛物线解析式中得，，
，
∴点的坐标为，，故③正确；
，抛物线对称轴为直线，
，设，
，，，
，
，
，解得，
，故④正确．
故答案为①③④．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理等．利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键．
题型三 二次函数与方程、不等式
1．（2025·河北保定·二模）已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（ ）
A．－5 B．－1 C．3 D．7
【答案】A
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】根据韦达定理可知，，然后将其代入所求的代数式求值即可．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时，充分利用了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的根与系数的关系，难度不大．
【详解】解： 由抛物线与x轴交于点A和B，
知，．
∴．
故选：A．
2．（2025·宁夏吴忠·一模）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【知识点】抛物线与x轴的交点问题、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题，根据二次函数与x轴有交点得到，列不等式求解即可，注意二次项系数不为零这一隐含条件．
【详解】解：∵二次函数的图象和轴有交点，
∴方程有实数解，
∴且，
解得且，
故选：C．
3．（2025·辽宁铁岭·二模）已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、利用不等式求自变量或函数值的范围、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的值，即可求得取值范围，根据抛物线与方程的关系，从而求得的取值范围，解答即可．
【详解】解：∵，
解得或，
∵点，在抛物线上，且，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴；
∴；
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解析式与不等式的关系，根与系数关系定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（2025·宁夏银川·一模）若抛物线的图象与轴有交点，则的值可能是 .
【答案】（答案不唯一）
【知识点】抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查方程与二次函数的关系，根的判别式，数形结合思想是解这类题的关键．
根据抛物线与x轴有交点，的方程就有两个的实数根，根的判别式．据此列不等式即可求解．
【详解】解：∵抛物线与轴有交点，
∴方程有两个的实数根，
∴，
解得：．
∴的值可能是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
5．（2025·辽宁·一模）一次函数与抛物线的交点个数为 个．
【答案】2（或“两”）
【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，求出方程的的值，据此即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一次函数和二次函数的交点个数的关系是解题的关键．
【详解】解：联立方程组，
化简得，
∴，
∴方程有2个不等的实数根，
∴一次函数与抛物线的交点个数为2个，
故答案为：2．
6．（2025·山东青岛·模拟预测）已知二次函数与一次函数的图象有交点，则的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】根据二次函数的定义求参数、根据交点确定不等式的解集
【分析】本题考查二次函数与一次函数交点问题，二次函数定义．根据题意由二次函数定义可知，再将二次函数和一次函数联立方程组，再利用即可得到本题答案．
【详解】解：∵二次函数，
∴，
∵二次函数与一次函数的图象有交点，
∴，
整理得：，
∴，解得：，
∴的取值范围是：且，
故答案为：且．
题型四 二次函数的实际应用问题
1．（新情境）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是 ．
【答案】
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
因为，所以抛物线的顶点坐标为，
得到当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，即可得到答案．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标为，
当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，
故答案为：．
2．（2025·甘肃张掖·一模）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球，发射时的速度为．小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．已知实验楼高，则这两次间隔的时间为 ．
【答案】2
【知识点】因式分解法解一元二次方程、投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用以及因式分解法解一元二次方程，根据题意可得：，从而可得当时，，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，
当时，，
解得：，，
∴，
∴这两次间隔的时间为，
故答案为：2．
3．（2025·辽宁抚顺·一模）某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果．该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为W元．
(1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
(2)若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当售价定为35元／千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元
【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数)、用一元一次不等式解决实际问题、y=ax +bx+c的最值
【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是关键．
（1）利用待定系数法进行解答即可；
（2）先求出自变量的取值范围，再根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为．
把点代入，
得
解得
与之间的函数关系式为．
（2）根据題意，得．
解得．
．
．
∴抛物线的开口向下．
对称轴为直线，
在时，随的增大而增大，
当时，取最大值，此时，
答：当售价定为35元／千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元．
4．（2025·湖北·二模）如图，用总长为48的篱笆，围成一块一边靠墙的矩形花圃，一道垂直于墙的篱笆将矩形分成两个矩形和．墙的最大可用长度为．篱笆在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形花圃与墙垂直的一边长为（单位：m），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）．

(1)直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写的取值范围）；
(2)矩形花圃的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由；
(3)当的值是多少时，矩形花圃的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)，；
(2)能，18；
(3)当时，有最大值，的最大值是．
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键．
（1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式；
（2）将代入函数中，求出的值，结合题意解答即可；
（3）先求出的取值范围，将与的函数配成顶点式，求出的最大值．
【详解】（1）解：，
，
，
，
故，．
（2）解：令，则，
解得：， ，
当时，，不合题意，舍去，
，
．
（3）解：，
由得，
由得，
，
在中，随的增大而减小，
当时，有最大值，
，即的最大值是，
答：当时，有最大值，的最大值是．
5．（新情境）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变）
(1)请写出经过，，三点的抛物线的函数解析式．
(2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？
【答案】(1)；
(2)两条水柱的相遇点距离地面米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数)、二次函数图象的平移
【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，二次函数平移变换等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据平移变换得到新抛物线解析，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，
又两辆车喷水口的水平距离为60米，即，
将代入解析式，得：，
解得：，
；
（2）解：两辆车同时后退米，即抛物线向右平移后的抛物线解析式为：
，
当时，，
∴两条水柱的相遇点距离地面米．
6．（文化背景）小聪在设计奖杯时，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体是抛物线的一部分，抛物线的顶点在轴上，杯口直径，且点，关于轴对称，杯脚高，杯高，杯底在轴上．
(1)求杯体所在抛物线的函数表达式（不必写出的取值范围）；
(2)为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)杯口直径的长为
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键．
（1）运用待定系数法，由题意设顶点式，进而求得答案；
（2）由题意知，进而求得，再由题意得抛物线，过，，从而列方程求出和，进而求得的长．
【详解】（1）解：∵，
∴顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵，
∴，
∵，
∴，
将代入，
得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
又∵杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，
∴设，，
∴当时，，
解得：，，
∴，
∴杯口直径的长为．
7．（新情境）滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光．该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来．某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏．建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功．已知碗池边缘，均垂直地面，点与点关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线．
(1)求“U”型碗池最低点到地面的距离；
(2)①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点，求此抛物线的解析式；
②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围．
【答案】(1)“U”型碗池最低点到地面的距离为米
(2)①；②
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据题意可得，可得两点关于抛物线对称轴对称，利用抛物线的对称性质即可求出，将代入，求出k的值，即可解答；
（2）①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为，根据题意设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，过点作于点H，证明，推出，求出米米，得到，结合，利用待定系数法求解即可；
②由①知，结合，根据题意：，解不等式组即可解答．　　
【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称，米，米，
∴米，
∴米，
∵米，
∴，
∴两点关于抛物线对称轴对称，
∴，
将代入，则，
解得：，
则“U”型碗池最低点到地面的距离为米；
（2）解：①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为，
∵甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，
设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，
过点作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵点为斜坡的中点，
∴，即，
∴米，米，
∴米，
∴，
∵，
∴，
解得：
∴此抛物线的解析式为；
②由①知，
∵，
根据题意：，
解得：；
∴若此次挑战成功，b的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
8．（跨学科融合）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
(1)喷水口离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界处．
①在图2中以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端到点的距离；
(2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数)、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标
【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式．
（1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
②令，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可；
（2）由题意可得：，，分别代入，求得的最小值和最大值，再令，即可分别求出的最小值和最大值，即可求出的取值范围；
解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
【详解】（1）解：①以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
如图所示：
，
设抛物线解析式为，把代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
②令，得，
解得：，，
∴，
∴，
∴喷灌器低端到点的距离为；
（2）如图所示：
，
∴，
∴，，
设，
把代入得：，
解得：，
∴，
当时，，
∴此时，
∴；
设，
把代入得：，
解得：，
∴，
当时，，
∴此时，
∴，
∴使水柱落在花坛的上方边上，的取值范围为．
题型五 二次函数线段周长、面积、角度问题
1．（2025·河北·模拟预测）二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；
(3)二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，(4，2)
【知识点】利用二次函数对称性求最短路径、面积问题(二次函数综合)、y=ax +bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）根据二次函数解析式，利用二次函数的性质即可得出二次函数图象的顶点坐标，再代入即可得出点D的坐标；
（3）根据两点之间线段最短，找出使得的周长最小的点C的位置，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再代入即可求出点C的坐标．
【详解】（1）解：把，代入，
得解得，
∴二次函数的解析式为
（2）由，得二次函数图象的顶点坐标为．
令，得，解得，，
∴D点的坐标为；
（3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得的周长最小．
连接，如图，
∵点C在二次函数的对称轴上，
，，的周长，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，最小，
此时，由于是定值，因此的周长最小．
设直线的解析式为，
把，代入，得’解得
∴直线的解析式为．当时，，
∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为时，的周长最小．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质以及轴对称中的最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标；（3）利用两点之间线段最短确定点C的位置．
2．（2025·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），过作轴的垂线，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式：
(2)若点的横坐标为，用含的代数式表示；
(3)过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)当PQ取最大值时，点P的坐标为，的最大值为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，翻折变换，等腰直角三角形三边关系等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）用待定系数法可得该抛物线的表达式为；
（2）求出直线的表达式为，进而表示出的坐标，即可求解；
（3）由点，，可得，根据的长，根据二次函数性质即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入，得：
解得：
抛物线的表达式为；
（2）设直线的表达式为，
把，代入，得：
解得
直线的表达式为．
点的横坐标为，
，
（3）如图
点，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，则时有最大值
此时
当取最大值时，点的坐标为，的最大值为．
3．（2025·河北·一模）如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当的面积为21时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，当点P在上方时，M是抛物线上的动点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)P的坐标为或
(3)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题和线段问题，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求出直线的函数解析式为，进一步得到点Q的坐标为．设点P的坐标为，得到，即可求出答案；
（3）连接并延长交抛物线于点M，则点M即为所求．的最大值为的长．过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，进一步利用勾股定理进行解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，且它的对称轴为
∴
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，
设直线的函数解析式为，把点代入，得，解得．
∴直线的函数解析式为，
设和对称轴的交点为点Q．
当时，
∴点Q的坐标为．
∵点P在对称轴上，
∴设点P的坐标为，
∴，
∴，
即，
解得或．
∴点P的坐标为或；
（3）如图2，连接并延长交抛物线于点M，则点M即为所求．的最大值为的长．
过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，
∵，，
∴，，
∴．
即最大值为．
4．（2025·安徽池州·二模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标．
(3)动点在直线上方的二次函数图像上，连接，相交于点，的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移
【分析】（1）把，代入抛物线，再建立方程组求解即可；
（2）先表示平移后，，再利用对称性可得答案；
（3）如图，过作轴交于，过作轴交于，可得，可得，求解直线为，，可得，设，则，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：把，代入抛物线，
得：，解得：，
∴该抛物线解析式为；
（2）解：∵将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；
∴，
∵将点向右平移个单位，则到达图象上的点，
∴，
∵，关于抛物线的对称轴对称，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，过作轴交于，过作轴交于，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，的面积为，
∴，
∵，，
∴直线为，
∵当，
解得：，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴
当时，的最大值为，
此时，，
∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的对称性，平移的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
5．（2025·重庆·一模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点，连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值；
(3)如图2，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点为，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程．
【答案】(1)
(2)，的最小值为
(3)或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)
【分析】（1）先求出，再利用，，求出，，得，，再利用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，先求出直线的解析式为，通过，得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，证明，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点，利用含角的直角三角形的性质进行求解即可；
（3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为，联立抛物线求出，在直线上取一点，使得， 则，则，则直线与抛物线的另一交点即为点，设，则利用列式求出，求出直线解析式为，联立抛物线即可求解；利用对称性，在直线上取另一点，使得， 再进行列式求解即可．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
代入抛物线，
得：，
解得：，
∴；
（2）解：如图，过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，
∵轴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，
则，，
则，
∵，
∴当时，最大，
此时，
则此时，
∵， ，
∴，
∴，
由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点，
由，得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即最小值为；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，的顶点为，
∴新抛物线的解析式为，
设直线解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
如图，在直线上取一点，使得，
则，
∴，
则直线与抛物线的另一交点即为点，
设，
则，，
∴，
解得：，
∴，
设直线解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立抛物线，得，
解得：（舍），，
故点的横坐标为；
如图，利用对称性在直线上取另一点，使得，
则，
则直线与抛物线的另一交点即为点，
设，
则，，
∴，
解得：（舍），，
∴，
设直线解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立抛物线，得，
解得：（舍），，
故点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合，涉及待定系数法，二次函数的图象与性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
题型六 二次函数特殊三角形、特殊四边形问题
1．（2025·广东惠州·一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于两点，且线段．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)动点在轴上移动，当是直角三角形时，求点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为或或或
(3)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)
【分析】（1）首先得点，，那么把，坐标代入即可求得函数解析式；
（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点的坐标．是直角三角形，应分点为直角顶点，点是直角顶点，点是直角顶点三种情况探讨；
（3）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点，连接交对称轴的一点就是．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点坐标．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，
当时，，
，
∵，
，
过和，
则，
解得：
抛物线的解析式为：
（2）设点的横坐标为，则它的纵坐标为，
即点的坐标，
又点在直线上，
解得（舍去），，
的坐标为．
（Ⅰ）当为直角顶点时，
过作交轴于点，设，
∵直线与x轴交于点D，
令，则
∴点坐标为，
∵，
∴
∵
∴，
∴，即，
，
．
（Ⅱ）同理，当为直角顶点时，过作交轴于点，过作轴于，
同理可证，
∴，
∵点坐标为，的坐标为
∴
即，
，
，
，
∴点坐标为．
（Ⅲ）当为直角顶点时，设，
由，得，
∴，
由得，
解得，，
此时的点的坐标为或，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或；
（3）抛物线的对称轴为，
、关于对称，
，
要使最大，即是使最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当、、在同一直线上时的值最大．
∵，，
设直线的解析式为
∴，解得
∴直线的解析式为
由，得，
．
【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的判定与性质等知识，根据一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点得出是解题关键．
2．（2025·湖北武汉·三模）已知抛物线与直线在第一象限交于点，且．
(1)求点的坐标及的值；
(2)如图1，为抛物线上一点，轴交线段于点．若为等腰三角形，直接写出点的横坐标；
(3)如图2，直线交抛物线于，两点，若平分，求的面积．
【答案】(1)点的坐标为，
(2)点的横坐标为3或4或
(3)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)
【分析】（1）根据题意设，过点作轴，则，由勾股定理可得，可求得点的坐标为，再利用待定系数法可求得的值；
（2）由（1）可知抛物线为，设，由题意得，且，则，，，分三种情况：当时，即，当时，即，当时，即，分别列出方程即可求解；
（3）过点作轴，由（1）可知，，令直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，则，则平分，先证明，得，过点作轴，过点作轴，则，得证，可知，，而直线交抛物线于，两点，得，解得：，由，可知，即，解得，可得，则，再根据即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与直线在第一象限交于点，
∴设，过点作轴，则，
由勾股定理可得，
∵，
∴，即点的坐标为，
将代入，得，
解得：；
（2）由（1）可知抛物线为，
设，
∵轴交线段于点，
∴，且，
则，，
当时，即，
∴，解得：（或5不符题意，应舍去）
当时，即，
∴，解得：（不符题意，应舍去）
当时，即，
∴，解得：（或不符题意，应舍去）
综上，点的横坐标为3或4或；
（3）过点作轴，由（1）可知，
∴，
令直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，
则，则平分，
∴，，则，
∵平分，
∴，则
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作轴，过点作轴，则，
∴，
∴，，
而直线交抛物线于，两点，
∴，整理得，
解得：，
即，，
∴，，
∵，
∴，即
解得，
∴，直线的解析式为，
当时，，当时，，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析，图形与坐标，等腰三角形，勾股定理，全等三角形的判定及性质等知识点，理解题意，分类讨论，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
3．（2025·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）求出直线的表达式为，设，则，，分情况表示出，，结合，列方程求出，即可求解；
（3）画出图形，分是四边形的边和是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理，相似三角形的判定与性质，函数图像的交点，平移等知识点进行解答即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线过原点，
，
将代入抛物线中，得，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，，其中．
当在点上方时，，．
∵，
∴．
∴，
解得：（不合题意，舍去）；
当M在N点下方时， ．
∴，
解得：（不合题意，舍去）．
∴满足条件的点M的坐标有两个．
（3）解：存在，满足条件的点的坐标有 4 个．
如图，若是四边形的边，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴抛物线的对称轴与直线相交于点，
联立，
解得：或（舍去），
，
过点分别作直线的垂线交抛物线于点，
，
，
，
，
，
∴点与点重合．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到．
∴向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到，
此时直线的解析式为．
∵直线与平行且过点，
∴直线的解析式为．
∵点是直线与抛物线的交点，
∴，
解得：（舍去）．
，
当时，四边形是矩形，
∵向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到．
∴向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到．
如图，若是四边形的对角线，
当时．过点作轴，垂足为，过点作，垂足为．
可得，
，
，
设，
，
∵点不与点重合，
和，
，
，
∴如图，满足条件的点有两个．
即．
当时，四边形是矩形．
∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．
∴向向平移个单位，向下平移个单位得到．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．
∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．
综上，满足条件的点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形，进行分类讨论是解题的关键．
4．（2025·四川达州·一模）如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
(3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当的值最大时，点的坐标为，最大值为
(3)不存在，理由见解析
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)
【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点；
（1）根据抛物线与轴交于，对称轴：直线，列方程组求解即可；
（2）先求出直线解析式为，过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，得到，则，再求出，设，则，，代入计算求最大值即可；
（3）过作轴，由得到，根据给定的条件发现在内部，即，但是由以为顶点的四边形为正方形，得到必定是等腰直角三角形，或，与矛盾，据此得到不存在以为顶点的四边形为正方形．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，令，则，解得，
∴，，
设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，
∴，
∴，
当时，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，最大，此时，
∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为；
（3）解：不存在，理由如下：
过作轴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，
∴在内部，
∴，
假设存在以为顶点的四边形为正方形，
∴必定是等腰直角三角形，
∴或，与矛盾，
∴假设不成立，
∴不存在以为顶点的四边形为正方形．
5．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点是抛物线 在第四象限上的任意一点，
①连接，点D为y轴上一个动点，是否存在这样的点P和点D，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
②将点P按竖直方向向下平移m个单位到点Q，求点Q到x轴距离的最大值．
【答案】(1)抛物线 的解析式为；
(2)①存在，点P的坐标为；②点Q到x轴的距离的最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数与几何综合，二次函数的性质，正确求得二次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据待定系数法即可解答；
（2）①画出图形，利用平行四边形的性质即可解答；
②求得点的纵坐标的表达式，利用配方法即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点，
可得，
解得，
抛物线 的解析式为；
（2）解：①存在，如图，过点作轴，交于点，
，
当四边形为平行四边形时，，，
，
，
，
，即点的横坐标为，
当时，，
则，
故存在点，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形；
②∵点是抛物线在第四象限上的任意一点
∴，，
∵点按竖直方向向下平移个单位到点，
∴，
∴点到x轴的距离为，
此时满足，
∴点到x轴的距离的最大值为．
6．（2025·湖南·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若点关于抛物线的对称点存在．
①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标；
②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由；
【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为
(2)存在，点的坐标为
(3)①为所有实数，点的坐标为；②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、已知两点坐标求两点距离、特殊四边形(二次函数综合)
【分析】（1）把点，点的坐标代入，利用待定系数法求解即可；
（2）假设存在点关于抛物线的对称点，结合题意可知，的中点在抛物线上，进而求得，即可得点的坐标；
（3）①设点关于抛物线的对称点为，得的中点为，代入抛物线解析式可得，即可求解；
②由题意得，由①可知，，，求得，，，分三种情况当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，结合菱形的性质分别讨论即可求解．
【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，顶点坐标为．
（2）存在，点的坐标为，理由如下：
假设存在点关于抛物线的对称点，
∵点在抛物线的对称轴上
∴，
又∵的中点在抛物线上，且，
∴在抛物线上，
对于，当，，
∴，解得，
∴点的坐标为；
（3）①设点关于抛物线的对称点为，
∴的中点为，
∵的中点在抛物线上，
∴，
∴，
则为所有实数，点的坐标为；
②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵对称轴为直线，，
∴，
由①可知，，，
∴，，，
当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，
则，解得或，
此时，或，；
当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，
则，此时方程无解，不存在使得；
当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，
则，此时方程无解，不存在使得；
综上，存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
题型七 二次函数平移、翻折、旋转综合问题
1．（2025·河北保定·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到新的抛物线，的顶点为，与轴的交点为，（点在点左侧），连接；
求出点和点的坐标；
点为抛物线在第二象限内任意一点（不与点重合），过点作轴，垂足为，直线交轴于点，连接．求证：；
(3)若直线与抛物线，共有两个公共点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)．
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移
【分析】（1）利用顶点式求二次函数解析式即可；
（2）根据平移规律得到的解析式，令根据题意求取点的坐标即可；
设 点、点坐标，将点坐标带入中得，利用两点得到直线的方程，代入点整理得，求解直线的斜率，与的斜率相同，故
（3）联立 与 ，求判别式，联立与，求判别式 ，根据题意求解即可．
【详解】（1）解：已知抛物线 顶点为 ，
设其顶点式为 ，
代入点 得 ，
解得 ，
故解析式为 ；
（2）由题可知原顶点 平移后为 ，即顶点 ，
则的解析式为 ，
令 ，解得 或 ，
又点在点左侧，
点的坐标为 ；
设 点坐标为 ，点坐标为，
坐标为,
点在 上，
，
直线过、两点,
直线 的斜率,
直线 的方程为 ，
代入点整理得 ，
直线 过点、,
直线 的斜率为 ，
与 的斜率相同，
故 ；
（3） 整理得 ，
则判别式，
解得；
整理得 ，
判别式 ，
解得．
直线与抛物线，共有两个公共点，
故的取值范围为．
【点睛】本题是一道二次函数的综合题目，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标的特征，抛物线的平移规律、抛物线与直线的交点个数问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（新情境）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点．
(1)如图1，若点的坐标为，求抛物线的表达式和点的坐标；
(2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形．
①在（1）的条件下，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，已知点和点是图形上的点．设，当时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①存在点的坐标为：或；②的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)
【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，翻折变换的性质，综合性较强，难度较大．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①根据，可得，，即，由翻折得到，分两种情况：当时，当时，根据三角形面积公式建立方程求解即可；
②由，得抛物线的顶点为，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，得，分两种情况：当时，当时，分别求出的范围即可．
【详解】（1）解：将代入抛物线，得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
令，得，
；
（2）解：①存在点，使得，理由如下：
如图：
在中，令得：，
解得：，，
，，
，
，
顶点为，
过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到，
图象形的函数表达式为，
若轴上方的图形上存在点，使得，则，
当时，将 代入 得，
解得（舍去），；
，
当时，将 代入得，解得；
，
综上，存在点，使得，点的坐标为：或；
②在中，令，
得，
，
直线，
，
抛物线的顶点为，
将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，得，
点和点是图形上的点，
当时，，，
即点在轴左侧，点在轴右侧，如图，
，，
，
，
，
；
当时，，，
即点、均在轴右侧，
，，
，
，
，
，
此不等式组无解，即不成立；
综上，的取值范围为．
3．（新情境）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求的面积；
(3)若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】一次函数与几何综合、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为，进而推出抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，则抛物线的解析式为，联立，可得，则点M为中点，即可得；
（3）同理得到抛物线的解析式为，则，设，则可推出；利用待定系数法可得，，求出，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过原点O、，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式，
（2）解：∵抛物线的表达式，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线绕点旋转得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
∵，
∴点M为中点，
∴；
（3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
∴，
设，
联立得，
∴；
设直线解析式为，直线解析式为，
∴，
解得，
同理可得，
∴
，
∵是一个定值，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，旋转180度后点的坐标特点，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．
题型八 二次函数新定义型综合问题
1．（新情境）定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点．
【定义解析】
例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点．
【定义应用】
（1）求反比例函数图象的完美点；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标．
【答案】（1）反比例函数图象的完美点是，；（2）（3）．
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图像和性质，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据完美点的定义设点是反比例函数图象的完美点，得到，即可得到答案；
（2）根据完美点的定义，得到有两个相等的实数根，计算求出的值即可得到答案；
（3）过点B作轴交于E，设，则，过点D作轴交于F，证明，得到，计算求解即可．
【详解】解：（1）设点是反比例函数图象的完美点，
，
或，
反比例函数图象的完美点是，；
（2）二次函数的图象上有且只有一个完美点，
，
即有两个相等的实数根，
，
解得①，
将代入得，
②，
联立①②，得，
（3）由（2）可知，
；
如图，过点B作轴交于E，过点D作轴交于F，
则，
，
设，则，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
（舍），
当时，，
．
2．（新情境）记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线．
(1)若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ；
(2)设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
①求p，q的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、y=a（x-h） +k的图象和性质、抛物线与x轴的交点问题、其他问题(二次函数综合)
【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图像求解是解题关键．
（1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；
②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
【详解】（1）解：二次函数和都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，
解得：，
故答案为：；
（2）解：①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
，
整理得：，
．
②∵与轴有两个不同的交点，
由①得：函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图像上滑动，顶点为，
当时，
解得：，
抛物线与x轴交两个点，
∵顶点坐标为：，
故当时，的顶点在轴上方，则与轴没有交点，
当时，抛物线与轴有两个交点，，
当时，∵的顶点也在上，
∴．
综上所述，或．
3．（新情境）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上．
(1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由：
(2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标；
(3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”，
①求点的坐标；
②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标．
【答案】(1)点是直线上的点的“共圆点”，理由见解析
(2)或或
(3)①；②
【知识点】反比例函数与几何综合、线段周长问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、圆的基本概念辨析
【分析】（1）先求解，，再计算，，即可判断；
（2）先求解反比例函数为：，如图，结合，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得答案；
（3）①如图，求解，设，则，由点与点是抛物线上的点的“共圆点”，可得，再建立方程求解即可；
②求解平移后的抛物线为：，平移后的对应点，如图，关于轴的对称点，连接，可得，当三点共线时，，此时周长最短；再进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图，
当时，，当时，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴点为直线上的点的“共圆点”；
（2）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数为：，
如图，，
∵点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，
∴根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得：
或或，
综上：的坐标为：或或
（3）解：①如图，
∵抛物线为，
∴对称轴为直线，此时，
∴，
设，则，
∵点与点是抛物线上的点的“共圆点”，
∴，
∴，
解得：，（舍去），，
∴；
②∵，将抛物线平移，使其顶点落在原点，
∴平移后的抛物线为：，
∴平移后的对应点，
如图，∵关于轴的对称点，连接，
∴，
当三点共线时，，
此时周长最短；
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，一次函数，反比例函数，二次函数的图象与性质，平移的性质，勾股定理的应用，圆的定义，理解题意是解本题的关键．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)猜押04 二次函数
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
二次函数 2024年广东省第24题，2024年浙江省杭州市第22题、2024年上海市第24题 二次函数占比约15%-18%，聚焦解析式求解、图像性质、几何综合（如角度、面积）及实际应用（如抛物线型问题），压轴题高频考查动态几何与参数讨论，强调数形结合与分类思想。 高频考点包括对称性、最值优化、跨学科建模（如物理运动、经济利润），结合几何变换（平移、旋转）与新定义问题（如“三倍点”），含参分类讨论与代数推理是命题核心。
题型一 二次函数的图象和性质
1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线的解析式为：，则该抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东中山·一模）抛物线有三点，，，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·广东深圳·二模）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：
x … 0 …
y … 4 0 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大
C．当时， D．二次函数的最小值是
4．（2025·陕西·一模）已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最大值为5 B．该函数的图象开口向上
C．该函数的图象一定经过点 D．该函数的图象对称轴在y轴右侧
5．（2025·上海普陀·一模）已知抛物线经过点、，那么 ．（填“”、“”、或“”）
6．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
7．（2025·江苏·模拟预测）将二次函数的图象绕原点O旋转，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
8．（2025·湖北武汉·三模）已知二次函数．下列四个结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②若时，随的增大而增大，则；③无论为何值，该函数的图象必经过一个定点；④抛物线的顶点一定不在轴的上方．其中正确结论的序号是 ．
9．（2025·北京海淀·模拟预测）在平而直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求拋物线的对称轴；
(2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围．
10．（2025·河南南阳·一模）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍．
(1)b的值为 ．
(2)已知点在抛物线上，点在抛物线上．
①若，，求m的值；
②若，且，求t的最小值．
11．（2025·江西·二模）已知二次函数．
(1)当时，此函数图象的顶点坐标为________．
(2)若此函数图象经过点，求m的值．
(3)求证：此函数图象与直线必有两个不同的交点．
(4)设（3）中的交点为A，B，请判断：的长是否是一个定值？若是，求出的长；若不是，请说明理由．
12．（2025·安徽安庆·一模）已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）．
(1)求的值和的顶点坐标．
(2)已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________；
(3)当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值．
题型二 二次函数的图象与系数的关系
1．（2025·贵州·模拟预测）如图，抛物线 与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．当时，
C． D．
2．（2025·广东惠州·一模）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．（为任意实数）
3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线．现有下列结论：①；②；③若是抛物线上的两点，则当时，；④若方程的两个根为，且，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴的正半轴交于点．下列结论：①；②；③若和是关于的一元二次方程的两根，则；④抛物线上有两点，．若，则的取值范围是；⑤当是等腰三角形时，符合条件的值有3个．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2025·山东烟台·一模）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有 ．（填序号）
①；②抛物线的顶点坐标为；
③；④当时，．
6．（2025·河南洛阳·一模）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ．
7．（2025·江苏宿迁·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为 ．
8．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：

①当时，．
②若且，则；
③若，则；
④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．
其中正确的有 ．
题型三 二次函数与方程、不等式
1．（2025·河北保定·二模）已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（ ）
A．－5 B．－1 C．3 D．7
2．（2025·宁夏吴忠·一模）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
3．（2025·辽宁铁岭·二模）已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·宁夏银川·一模）若抛物线的图象与轴有交点，则的值可能是 .
5．（2025·辽宁·一模）一次函数与抛物线的交点个数为 个．
6．（2025·山东青岛·模拟预测）已知二次函数与一次函数的图象有交点，则的取值范围是 ．
题型四 二次函数的实际应用问题
1．（新情境）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是 ．
2．（2025·甘肃张掖·一模）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球，发射时的速度为．小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．已知实验楼高，则这两次间隔的时间为 ．
3．（2025·辽宁抚顺·一模）某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果．该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为W元．
(1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
(2)若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
4．（2025·湖北·二模）如图，用总长为48的篱笆，围成一块一边靠墙的矩形花圃，一道垂直于墙的篱笆将矩形分成两个矩形和．墙的最大可用长度为．篱笆在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形花圃与墙垂直的一边长为（单位：m），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）．

(1)直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写的取值范围）；
(2)矩形花圃的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由；
(3)当的值是多少时，矩形花圃的面积最大？最大面积是多少？
5．（新情境）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变）
(1)请写出经过，，三点的抛物线的函数解析式．
(2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？
6．（文化背景）小聪在设计奖杯时，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体是抛物线的一部分，抛物线的顶点在轴上，杯口直径，且点，关于轴对称，杯脚高，杯高，杯底在轴上．
(1)求杯体所在抛物线的函数表达式（不必写出的取值范围）；
(2)为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长（结果保留根号）．
7．（新情境）滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光．该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来．某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏．建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功．已知碗池边缘，均垂直地面，点与点关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线．
(1)求“U”型碗池最低点到地面的距离；
(2)①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点，求此抛物线的解析式；
②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围．
8．（跨学科融合）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
(1)喷水口离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界处．
①在图2中以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式；
②求喷灌器底端到点的距离；
(2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求的取值范围．
题型五 二次函数线段周长、面积、角度问题
1．（2025·河北·模拟预测）二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；
(3)二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由．
2．（2025·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），过作轴的垂线，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式：
(2)若点的横坐标为，用含的代数式表示；
(3)过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值．
3．（2025·河北·一模）如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当的面积为21时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，当点P在上方时，M是抛物线上的动点，求的最大值．
4．（2025·安徽池州·二模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标．
(3)动点在直线上方的二次函数图像上，连接，相交于点，的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标．
5．（2025·重庆·一模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点，连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值；
(3)如图2，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点为，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程．
题型六 二次函数特殊三角形、特殊四边形问题
1．（2025·广东惠州·一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于两点，且线段．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)动点在轴上移动，当是直角三角形时，求点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求点的坐标．
2．（2025·湖北武汉·三模）已知抛物线与直线在第一象限交于点，且．
(1)求点的坐标及的值；
(2)如图1，为抛物线上一点，轴交线段于点．若为等腰三角形，直接写出点的横坐标；
(3)如图2，直线交抛物线于，两点，若平分，求的面积．
3．（2025·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2025·四川达州·一模）如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
(3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点是抛物线 在第四象限上的任意一点，
①连接，点D为y轴上一个动点，是否存在这样的点P和点D，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
②将点P按竖直方向向下平移m个单位到点Q，求点Q到x轴距离的最大值．
6．（2025·湖南·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若点关于抛物线的对称点存在．
①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标；
②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由；
题型七 二次函数平移、翻折、旋转综合问题
1．（2025·河北保定·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到新的抛物线，的顶点为，与轴的交点为，（点在点左侧），连接；
求出点和点的坐标；
点为抛物线在第二象限内任意一点（不与点重合），过点作轴，垂足为，直线交轴于点，连接．求证：；
(3)若直线与抛物线，共有两个公共点，请直接写出的取值范围．
2．（新情境）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点．
(1)如图1，若点的坐标为，求抛物线的表达式和点的坐标；
(2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形．
①在（1）的条件下，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，已知点和点是图形上的点．设，当时，请直接写出的取值范围．
3．（新情境）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，求的面积；
(3)若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值．
题型八 二次函数新定义型综合问题
1．（新情境）定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点．
【定义解析】
例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点．
【定义应用】
（1）求反比例函数图象的完美点；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标．
2．（新情境）记二次函数和的图像分别为抛物线G和．给出如下定义：若抛物线的顶点在抛物线G上，则称是G的伴随抛物线．
(1)若抛物线和抛物线都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ；
(2)设函数的图像为抛物线．若函数的图像为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
①求p，q的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
3．（新情境）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上．
(1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由：
(2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标；
(3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”，
①求点的坐标；
②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标．
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