资源简介

猜押05 全等三角形及相似三角形
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
全等三角形 2024年北京市第27题，2024年广东省广州市第7题、2024年甘肃省临夏州第14题 从近年成都中考来看，全等三角形的性质与判定考查以基本性质和判定为主，试题以选填题形式呈现，整体难度不高；相似（位似）的性质考查以基本性质和实际应用为主，试题以填空题形式呈现，整体难度中等。 全等判定是几何证明核心，全等可解决诸多几何问题，与其他几何图形结合成综合题，考查学生综合运用能力，位似属相似变换特殊情形，能考查学生对图形变换理解，预计2025年成都卷还将继续重视相似（位似）的性质及相关应用、全等三角形的性质与判定的考查。
相似三角形、位似 2024年广东省第22题、2024年湖北省武汉市第23题、2024年四川省凉山州第11题
题型一 全等三角形的判定和性质
1．（2025·云南·三模）如图所示，已知点在同条一直线上，，．求证：．
2．（2025·福建泉州·一模）如图，点E是的中点，．求证：．
3．（2025·湖北·二模）已知：如图，点，分别在线段上，，，，交于点．
求证：
(1)；
(2)．
4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知：如图，在与中，，点在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
5．（2025·江苏苏州·一模）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且．

(1)求证：；
(2)已知，，求的长度．
6．（2025·辽宁抚顺·二模）如图，在中，，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，取的中点E，直线与直线交于点F，连接．
(1)如图，当时．
①求证：．
②求的度数．
③若，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长．
(2)当时，若，在线段的旋转过程中，当时，请直接写出线段的长．
7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，的延长线交于点．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在变化的过程中，当时，解答下列问题：
①猜测与的数量关系，并加以证明；
②若，求的长．
8．（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)如图1，是的中线，，，求的取值范围；
(2)如图2，，，，D为的中点，求证，；
(3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由．
9．（2025·山东·一模）在中，，点D为线段上一点，连接．
(1)如图1，若，求线段的长；
(2)如图2，以为边作等边，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G．
①取的中点O，连接，求证：；
②若，探究与之间的数量关系，并说明理由．
10．（2025·江西景德镇·一模）综合与实践
在综合实践活动课上，李老师让同桌的两位同学用全等的两块含的直角三角尺开展数学探究活动，两块三角尺分别记作和，，，．
操作探究
先将和的边，重合（点与点重合），再将绕着点按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．
(1)如图1，当时，点到的距离为________；
当时，的度数为________．
拓展延伸
(2)如图2，当时，求两块三角尺重叠部分图形的周长．
(3)如图3，取的中点，的中点，当是轴对称图形且有三条对称轴时．
求点运动的路径长；
求两块三角尺重叠部分图形的周长．

题型二 相似三角形的判定和性质
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知：如图，在中，和是中线．
(1)求证：．
(2)、的面积分别表示为、，则___________．
2．（2025·北京·一模）在中，，D是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到的位置，使得．
(1)如图1，当，连接交于点，若平分，，
①则________；________；
②求的长；
(2)如图2，连接，取的中点，连接，猜想与存在的数量关系，并证明．
3．（2025·湖北武汉·三模）（1）【提出问题】如图1，在中，为边上一点，为边上一点，且．求证：；
（2）【探究问题】如图2，在中，，是的中点，于点，连接，．若，求的值；
（3）【拓展问题】如图3，在中，，是的中点，是边上一点．若，，直接写出的值．

4．（2025·湖北武汉·三模）【问题背景】在中，，是上一点，是延长线上一点，连接，，且．
【问题探究】（1）如图1，求证：；
（2）如图1，若，求证：；
【拓展迁移】（3）如图2，延长交于点，若，直接写出的值．
5．（2025·湖南·模拟预测）【问题背景】如图，等腰中，，点为的中点，过点作，交于，将绕点顺时针旋转，连结，如图①．
【基本感受】
（1）当时，判断与的数量关系，并说明理由；
【深入研究】
（2）当时，如图②，与满足怎样的数量关系？请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若，在旋转过程中，当三点共线时，求的面积．
6．（2025·辽宁·一模）是边长为的等边三角形，点在边上，点在边的延长线上，且，延长交于点．
(1)将问题特殊化：如图，当为的中点时，求的长．
(2)将问题一般化：如图，当时，求的长．
(3)将问题再拓展：如图，点在边上，且，若此时满足，连接并延长交于点，当时，求的长．
7．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知在四边形中，．
(1)当时，
①如图1，若，求证：；
②如图2，若，请写出线段满足的等量关系________；
(2)如图3，当时，求的长度．
8．（2025·山东临沂·一模）在中，，．将绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为，线段与相交于点，线段分别交于点．
(1)如图1，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，始终为等腰三角形，请你证明这一结论；
(2)如图2，当时，求的长；
(3)如图3，当时，求的长．
9．（2025·吉林四平·二模）【感知】如图①，在中，点D、E在边上，连接，若，则 度；
【探究】如图②，在中，点D、E分别在边上，连接，若 ，求的度数；
【应用】如图③，在中，点E在边上，点D、F在边上，连接、，且，，， 则= ．
10．（2025·江苏宿迁·一模）在中，，，是边上一点，连接．
(1)如图1，是延长线上一点，与垂直，求证：；
(2)如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：；
(3)如图3，将（1）中的以点为中心逆时针旋转得，，对应点分别是，为上任意一点，为的中点，连接，若，，最大值为，最小值为，求的值．
题型三 位似
1．（2025·云南·三模）在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是（　　）
A．或 B． C． D．或
2．（2025·重庆渝中·模拟预测）如图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则位似中心的坐标为 ．
4．（2025·四川广安·模拟预测）如图，正方形的面积为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形四边形．若，则四边形的面积为 ．
5．（2025·宁夏银川·一模）如图，是平面直角坐标系中的格点三角形（顶点都是网格线的交点），已知顶点A为.
(1)作出关于轴对称的；
(2)以点为位似中心，在给定的网格里作，使得与位似，其中点的坐标为.
6．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于x轴对称的；
(2)以原点O为位似中心，在第一象限内将按相似比2放大，画出放大后的图形．
7．（2025·安徽·二模）在图中网格上用无刻度直尺作出图形，保留作图痕迹：
(1)将三角形绕点向逆时针方向旋转，使得点、点、点的对应点分别为点、点、点，请画出；
(2)以为位似中心，在第四象限内画出将放大两倍后的位似，点，，的对应点分别为点，，；
(3)若轴上存在一点，使得的和最小，请在图中标出点的位置．
8．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)以点为位似中心，在平面直角坐标系中画出的位似图形（点，，的对应点分别为，，），使与的相似比为，且点在第一象限．
(2)画出以点为旋转中心，将旋转后得到的．
(3)的值为______．
题型四 ××
题型五 ××
题型六 ××
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)猜押05 全等三角形及相似三角形
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
全等三角形 2024年北京市第27题，2024年广东省广州市第7题、2024年甘肃省临夏州第14题 从近年成都中考来看，全等三角形的性质与判定考查以基本性质和判定为主，试题以选填题形式呈现，整体难度不高；相似（位似）的性质考查以基本性质和实际应用为主，试题以填空题形式呈现，整体难度中等。 全等判定是几何证明核心，全等可解决诸多几何问题，与其他几何图形结合成综合题，考查学生综合运用能力，位似属相似变换特殊情形，能考查学生对图形变换理解，预计2025年成都卷还将继续重视相似（位似）的性质及相关应用、全等三角形的性质与判定的考查。
相似三角形、位似 2024年广东省第22题、2024年湖北省武汉市第23题、2024年四川省凉山州第11题
题型一 全等三角形的判定和性质
1．（2025·云南·三模）如图所示，已知点在同条一直线上，，．求证：．
【答案】详见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】此题考查了全等三角形的判定．证明，再由已知条件即可证明．
【详解】证明：，
，
即，
在 和 中，
．
2．（2025·福建泉州·一模）如图，点E是的中点，．求证：．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证明．
【详解】证明：点E是的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
3．（2025·湖北·二模）已知：如图，点，分别在线段上，，，，交于点．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据线段的和差关系得，再证明，即可作答．
（2）由得，结合等角对等边得，根据线段的和差关系列式计算，即可作答．
【详解】（1）证明： ，
，
即，
，，
，
，
（2）解：∵
∴，，
∴，
∵，
，
即．
4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知：如图，在与中，，点在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用即可证明全等，再根据全等三角形的性质求证；
（2）利用即可证明全等，再根据全等三角形的性质求证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵
∴，
∵，，
∴，
∴．
5．（2025·江苏苏州·一模）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且．

(1)求证：；
(2)已知，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．
（1）由条件可求得，利用可证明；
（2）根据全等三角形的性质得，，则，然后再根据即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
6．（2025·辽宁抚顺·二模）如图，在中，，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，取的中点E，直线与直线交于点F，连接．
(1)如图，当时．
①求证：．
②求的度数．
③若，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长．
(2)当时，若，在线段的旋转过程中，当时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)①见解析；②45°；③
(2)
【知识点】根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）①由旋转的性质知．根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可得是的垂直平分线．即可证明．
②根据，得出．由①知是的垂直平分线，得出，再根据三角形内角和定理即可求出．
③由①知，，得出．在中，解直角三角形得出，，在中，由勾股定理，求出，再根据即可求解．
（2）当时，画出图，同③得出．
【详解】（1）解：①证明：由旋转的性质，知．
∵E是的中点，
∴，
∴是的垂直平分线．
∴．
②∵，
∴．
由①知是的垂直平分线，
∴．
∴．
③由①知，，
∴．
在中，，
．
∴在中，由勾股定理，得．
∴．
（2）解：当时，如图，
由①知，，
∴．
在中，，
．
∴在中，由勾股定理，得．
∴．
【点睛】该题考查了旋转的性质，垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形内角和定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，的延长线交于点．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在变化的过程中，当时，解答下列问题：
①猜测与的数量关系，并加以证明；
②若，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①，见解析；②
【知识点】等腰三角形的性质和判定、由平行判断成比例的线段、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据余角的性质得出，根据等腰三角形的性质求出．根据三角形内角和定理求出；
（2）连接，根据等腰三角形的判定和性质，进行证明即可；
（3）①过点作，垂足为，证明，得出，证明，得出，证明，即可得出结论；
②设．在中，根据勾股定理得出，得出，求出，根据勾股定理得出，求出，最后根据中位线性质求出结果即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
．
；
（2）证明：如图，连接．
根据旋转可知：，
，
由（1）知，
，
，
；
（3）解：①．
证明：如图，过点作，垂足为，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②如图2，设．
由①知，
，
．
，
在中，，
，
解得（舍去）或，
，
在中，，
，
解得或（舍去），
．
由①知，
是的中位线
．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，余角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
8．（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)如图1，是的中线，，，求的取值范围；
(2)如图2，，，，D为的中点，求证，；
(3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，见解析
【知识点】三角形内角和定理的证明、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识．
（1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解；
（2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到；
（3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到．
【详解】（1）解：延长到点E．使，连接，
∵是的中线，
∴，又，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
故答案为：；
（2）证明：延长至G，使，连接，则
∵点D为的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
（3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，
∵点F是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
9．（2025·山东·一模）在中，，点D为线段上一点，连接．
(1)如图1，若，求线段的长；
(2)如图2，以为边作等边，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G．
①取的中点O，连接，求证：；
②若，探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析，②，理由见解析
【知识点】全等三角形综合问题、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）在中根据，可得，再根据可得线段的长；
（2）证为等边三角形得，，再根据为等边三角形得，，由此得，进而可依据“”判定和全等得，进而可证，据此即可得出结论；
（3）过点作交于点，先证和全等得，，再证即可得出线段，，之间的数量关系．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
，
；
（2）①证明：在中，，点为边中点，
，
，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
即，
，
在和中，
，
，
，
，
∴；
②解：，，之间的数量关系是，理由如下：
过点作交于点，如下图所示：
则，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
在（2）的条件下，
，，
，
∴，
，
又，
，
，
又，
，
．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决问题的关键．
10．（2025·江西景德镇·一模）综合与实践
在综合实践活动课上，李老师让同桌的两位同学用全等的两块含的直角三角尺开展数学探究活动，两块三角尺分别记作和，，，．
操作探究
先将和的边，重合（点与点重合），再将绕着点按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．
(1)如图1，当时，点到的距离为________；
当时，的度数为________．
拓展延伸
(2)如图2，当时，求两块三角尺重叠部分图形的周长．
(3)如图3，取的中点，的中点，当是轴对称图形且有三条对称轴时．
求点运动的路径长；
求两块三角尺重叠部分图形的周长．

【答案】(1)①；②或
(2)
(3)①或；②
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解
【分析】（1）①延长交于点，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，可求得，接着证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求得，从而求得答案；②先证明，得到，那么当点C在点D下方时，此时，三点共线，则；当点C在点D上方时，此时，两点重合，则；
（2）不妨设交于，交于，交于，过点作，过点作，先求得，接着利用等腰直角三角形的性质，可证明，，利用三角形内角和，可知和为等腰直角三角形，和为含的直角三角形，不妨设，那么，，通过，可算得，得出，利用求得，接着不妨设，那么， ，，从而求得，推出，最后表示出重叠部分的周长；
（3）①是轴对称图形且有三条对称轴，可知为等边三角形，，当点在点右侧，可求得，从而得到，推导出，当点在点左侧，同理可求得，然后利用弧长的计算公式求得答案；②当点在点右侧，不妨设交于，交于，交于，过点作，过点作，由（3）①可知，，，不妨设，那么，，，由求得，得到，接着求得，可证为等腰直角三角形，为含的直角三角形,不妨设，那么，，，由，算得，同理可算得和，最后计算出重叠部分的周长即可；当点在点左侧，同理可算得重叠部分的周长．
【详解】（1）解：①如图1，延长交于点，
，，
，
，
，
，
由题意得：，
，
，
，
，
，
即点到的距离为，
故答案为：；
②，，
，
，，
，
，
如图，当点C在点D下方时，此时，三点共线，
则；
如图，当点C在点D上方时，此时，两点重合，
则，
综上，的度数为或；
故答案为：或；
（2）解：不妨设交于，交于，交于，过点作，过点作，如图所示：
当时，可知，
，
，
，
，，
，
同理可证，
，，
，，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
不妨设，那么，
，，
不妨设，那么，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
两块三角尺重叠部分图形的周长为；
（3）解：①是轴对称图形且有三条对称轴，
为等边三角形，
，
当点在点右侧，如图所示：
，是的中点，，，是的中点，，
，，，
，
，
，
点运动的路径长为
当点在点左侧，同理可求得，如图所示：
点运动的路径长为，
综上，点运动的路径长为或；
②当点在点右侧，不妨设交于，交于，交于，过点作，过点作，
由（3）①可知，，，，
不妨设，那么，，，
，
，
，
，
同理可得，
，
，，
，
，
，，
，
，，
不妨设，那么，，
，
，
，
，
同理可算得，
重叠部分的周长为：，
，
，
当点在点左侧，同理可算得重叠部分的周长为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一，30度所对的直角边等于斜边的一半，三角形内角和定理，勾股定理，弧长的计算，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
题型二 相似三角形的判定和性质
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知：如图，在中，和是中线．
(1)求证：．
(2)、的面积分别表示为、，则___________．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据三角形中线求面积、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质得出，由已知条件得出，证明，得出对应边相等，即可得出结论；
（2）根据三角形中位线判定与性质得出，，即可判定，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
、是中线，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵和是中线，
∴点E、D是、的中点，
，，
，
．
故答案为：．
2．（2025·北京·一模）在中，，D是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到的位置，使得．
(1)如图1，当，连接交于点，若平分，，
①则________；________；
②求的长；
(2)如图2，连接，取的中点，连接，猜想与存在的数量关系，并证明．
【答案】(1)①，；②
(2)，证明过程见详解
【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）①根据题意可证，得到，则；如图所示，过点作于点，则，可得是等腰直角三角形，则，，由角平线的性质定理得到，设，则，，在中，，，可证，得，由此列式求解即可；②根据上述计算得到，即可求解；
（2）如图所示，延长到点，使得，则，根据中位线得到，再证明，得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：①∵，
∴是等腰直角三角形，，
∵将绕点逆时针旋转到的位置，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点作于点，则，
∵，
∴是等腰直角三角形，，，
∵是的角平分线，，
∴，
∴设，则，，
∴在中，，
∴，
由（1）可得，，则，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴；
故答案为：，；
②根据上述计算，；
（2）解：，理由如下，
证明：如图所示，延长到点，使得，则，
．
∵点分别是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握旋转的性质，合理作出辅助线，得到全等三角形，相似三角形是解题的关键．
3．（2025·湖北武汉·三模）（1）【提出问题】如图1，在中，为边上一点，为边上一点，且．求证：；
（2）【探究问题】如图2，在中，，是的中点，于点，连接，．若，求的值；
（3）【拓展问题】如图3，在中，，是的中点，是边上一点．若，，直接写出的值．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】本题主要考查了相似三角形判定与性质、四点公圆、圆周角定理、解直角三角形等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
（1）直接根据两组对应角相等的三角形相似即可证明结论；
（2）根据已知条件以及等腰三角形的性质说明A、E、D、C四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等可得，进而得到，再结合已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后代入化简即可解答；
（3）如图：过A作延长线于点M，过C作交于点N，易得可得，再结合是的中点可得，设，则，，；再证明可得，进而得到，再解直角三角形可得、，最后根据正切的定义即可解答．
【详解】解：（1）证明：∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴A、E、D、C四点共圆，且圆心即为的中点，
∵（同弧所对的圆周角相等 ）
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵D是中点，
∴，
把代入，得到：，
∴．
在中，根据勾股定理，
将代入可得：，
∵，
∴；
（3）如图：过A作延长线于点M，过C作交于点N，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∴，即，
∵，
∴设，则，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，解得：，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴在中，．
4．（2025·湖北武汉·三模）【问题背景】在中，，是上一点，是延长线上一点，连接，，且．
【问题探究】（1）如图1，求证：；
（2）如图1，若，求证：；
【拓展迁移】（3）如图2，延长交于点，若，直接写出的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、公式法解一元二次方程、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】（1）由，可知，过点作，则，可得，则，再证，即可证得，可得结论；
（2）由（1）可知，得，先证，得，结合，可证得结论；
（3）过点作交延长线于，先证，得，，再证四边形为平行四边形，得，，结合（1）可得，再证明，得，设，则，求得，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
过点作，则，
∴，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，则，
∴，即；
（3）过点作交延长线于，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，则，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
由（1）可知，则，
∴，
则，
∴，则
又∵，
∴，
∴，
设，则，
解得：（负值舍去），
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形及相似三角形是解决问题的关键．
5．（2025·湖南·模拟预测）【问题背景】如图，等腰中，，点为的中点，过点作，交于，将绕点顺时针旋转，连结，如图①．
【基本感受】
（1）当时，判断与的数量关系，并说明理由；
【深入研究】
（2）当时，如图②，与满足怎样的数量关系？请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若，在旋转过程中，当三点共线时，求的面积．
【答案】（1）．理由见解析；（2）；理由见解析；（3）的面积为或．
【知识点】根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）证明，均为等边三角形，证明，即可得；
（2）证明，均是等腰直角三角形，证明，即可得；
（3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质结合解直角三角形，求解即可．
【详解】解：（1）．理由如下：
∵，
∴，即，
∵，
∴为等边三角形，
∴；
∵点为的中点，过点作，交于，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
∵，均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）；理由如下：
作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
同理，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，
如图，当三点共线时，作交的延长于点，
由旋转的性质知，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图，当三点共线时，作于点，
同理，，，
∴，
∴；
综上，的面积为或．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、二次根式的混合运算等，熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．
6．（2025·辽宁·一模）是边长为的等边三角形，点在边上，点在边的延长线上，且，延长交于点．
(1)将问题特殊化：如图，当为的中点时，求的长．
(2)将问题一般化：如图，当时，求的长．
(3)将问题再拓展：如图，点在边上，且，若此时满足，连接并延长交于点，当时，求的长．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由等边三角形的性质可得，，则有，，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解；
（）过点作，交于点，证明是等边三角形，通过性质证明，又，则，故有，即，最后由线段和差即可求解；
（）过点作，交于点，与（）同理可得是等边三角形，，再证明，则，即，然后通过求出的值即可．
【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作，交于点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点作，交于点，
与（）同理可得是等边三角形，，
∴，
由，设，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去）
∴．
7．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知在四边形中，．
(1)当时，
①如图1，若，求证：；
②如图2，若，请写出线段满足的等量关系________；
(2)如图3，当时，求的长度．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识．
（1）①证明，则．证明是正三角形，即可得到结论；
②延长到点E，使，连接，利用“”证得，再推出是等腰直角三角形，即可得到结论；
（2）证明，则．再证明，得到，又，即可得到答案．
【详解】（1）（1）①证明：如图1，延长至点，使，连接．
，
．
又，
．
又，
．
．
又，
．
是正三角形．
．
又，
；
②，
理由：如图，延长到点E，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴在中，
，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图3，过点作于点，使，连接，．
，
．
，
．
，
．
又，
．
又，
．
．
．
即．
又，
．
，又，
．
8．（2025·山东临沂·一模）在中，，．将绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为，线段与相交于点，线段分别交于点．
(1)如图1，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，始终为等腰三角形，请你证明这一结论；
(2)如图2，当时，求的长；
(3)如图3，当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）根据题意证明，得到，即可求解；
（2）根据题意得到，可证，，，则，则，在中由勾股定理即可求解；
（3）根据题意可证四边形是平行四边形，得到，，再证，得到，即，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，将绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），
∴，，
∴，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
又，
，，
在中，，，
，则，
；
（3）解：，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，即，
．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是关键．
9．（2025·吉林四平·二模）【感知】如图①，在中，点D、E在边上，连接，若，则 度；
【探究】如图②，在中，点D、E分别在边上，连接，若 ，求的度数；
【应用】如图③，在中，点E在边上，点D、F在边上，连接、，且，，， 则= ．
【答案】①②③
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；
①根据题意证出，再结合全等三角形的性质得到，即可求出；
②根据题意证出，再结合全等三角形的性质得到，即可求出；
③根据题意证出，再结合相似三角形的性质得到，再证出，得到，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：①∵
∴
在和中，
∴
∴
∵
故答案为：；
②∵
∵
∵
在和中，
∴
∴
∵
；
③∵
在和中，
∴
∴
∵
∵
∴
∴
∴
∵
∴
在中，
故答案为：．
10．（2025·江苏宿迁·一模）在中，，，是边上一点，连接．
(1)如图1，是延长线上一点，与垂直，求证：；
(2)如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：；
(3)如图3，将（1）中的以点为中心逆时针旋转得，，对应点分别是，为上任意一点，为的中点，连接，若，，最大值为，最小值为，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解
【分析】（1）证明，从而得出结论；
（2）作交的延长线于，证明及，二者结合可证明结论；
（3）点运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设上的高是，垂足为，则的轨迹是以为圆心，为半径的圆，运动的轨迹是大圆和小圆围成的圆环，结合图形找出点的最大值，然后根据垂线段最短可求出的最小值，从而确定和的比值，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：如图1，设的延长线交于，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：如图2，
作交的延长线于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，
点运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设上的高是，垂足为，则的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
运动的轨迹是大圆和小圆围成的圆环，
当在的延长线上时，最大，
，，，
为的中点，
，
，
根据三角形面积可得，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一点到圆上的距离的最值问题，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形．
题型三 位似
1．（2025·云南·三模）在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是（　　）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
据此即可求解点的对应点的坐标．
【详解】解：已知点，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标为：或，即或，
故选：A．
2．（2025·重庆渝中·模拟预测）如图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查位似变换的性质，相似三角形的判定与性质．根据位似图形的概念得到，即可证明根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
【详解】解：∵与位似，
∴，
∴，
∴，
∴与的周长之比是．
故选：A．
3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则位似中心的坐标为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查坐标与位似，熟练掌握位似的性质，是解题的关键．过点作轴，轴，根据位似比等于相似比，得到，证明，求出的长，即可得出结果．
【详解】解：∵边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心，
∴，
∴，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
过点作轴，轴，
则：轴，轴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
4．（2025·四川广安·模拟预测）如图，正方形的面积为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形四边形．若，则四边形的面积为 ．
【答案】
【知识点】求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查位似变换，利用位似的性质得面积比等于相似比的平方即可求解，解题的关键是理解题意，灵活运用位似的性质．
【详解】解：∵，
∴正方形的面积四边形的面积，
∵正方形的面积为，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
5．（2025·宁夏银川·一模）如图，是平面直角坐标系中的格点三角形（顶点都是网格线的交点），已知顶点A为.
(1)作出关于轴对称的；
(2)以点为位似中心，在给定的网格里作，使得与位似，其中点的坐标为.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】画轴对称图形、在坐标系中画位似图形
【分析】此题主要考查了作图位似变换，坐标与图形变化—轴对称，作出对应点的位置，是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作出图形
（2）利用点和的坐标特征得到与位似比为，连接并延长至点使得，同理得到点，顺次连接即可得到．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：如图，即为所求作的三角形；
6．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于x轴对称的；
(2)以原点O为位似中心，在第一象限内将按相似比2放大，画出放大后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、在坐标系中画位似图形
【分析】本题考查了轴对称变换、位似变换等知识．
（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：如图所示：，即为所求．
7．（2025·安徽·二模）在图中网格上用无刻度直尺作出图形，保留作图痕迹：
(1)将三角形绕点向逆时针方向旋转，使得点、点、点的对应点分别为点、点、点，请画出；
(2)以为位似中心，在第四象限内画出将放大两倍后的位似，点，，的对应点分别为点，，；
(3)若轴上存在一点，使得的和最小，请在图中标出点的位置．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【知识点】画旋转图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、最短路径问题
【分析】本题考查了旋转作图，位似作图，最短路径，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据旋转性质，分别找出点、点、点，再依次连接，即可作答．
（2）根据位似图形的性质，分别找出点，，，再依次连接，即可作答．
（3）先找到点关于轴的对称点，再连接该对称点与点，与轴的交点，即为点
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：点的位置如图所示：
8．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)以点为位似中心，在平面直角坐标系中画出的位似图形（点，，的对应点分别为，，），使与的相似比为，且点在第一象限．
(2)画出以点为旋转中心，将旋转后得到的．
(3)的值为______．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析；
(3)．
【知识点】画旋转图形、在坐标系中画位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】本题考查了作图-复杂作图，位似的性质，旋转的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求；
（2）分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求；
（3）由（1）可得，由（2）可得，即可求解．
【详解】（1）解：分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求，如图：
（2）解：分别连接并延长，取格点，使得，依次连接，则即为所求，如图：
（3）解：由（1）可得： ，即，
由（2）可得，
∴，
故答案为：．
题型四 ××
题型五 ××
题型六 ××
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑