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猜押06 特殊的四边形
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
平行四边形 2024年广东省第15题，2024年湖北省第19题，2024年河南省第3题 特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）是中考高频考点，2024年全国卷中，矩形多考查对角线相等、直角三角形斜边中线性质；菱形侧重对角线垂直平分及面积计算；正方形常结合旋转、折叠动态问题。题型以选择、填空为主，解答题多与全等、相似综合，难度中等。 1. 动态几何：动点、折叠问题持续热门，如菱形对角线交点的轨迹（隐圆模型）、正方形翻折后的角度计算。 2. 实际应用：黄金矩形设计、传统文化中的几何图案。 3. 创新题型：中点四边形判定、特殊平行四边形与圆的综合。
矩形、菱形、正方形 2024年山东省济宁市第11题，2024年重庆市第10题，2024年江苏省连云港市第5题
题型一 多边形
1．（新情境）如图，蜜蜂的蜂巢是由一个个小小的蜂房构成，每一个蜂房的外形都是一个正多边形，则该正多边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·河北邢台·一模）如图，已知正六边形的顶点在直线上，是的中点，连接并延长交直线于点，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·河南周口·一模）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，、、是正十二边形的三条边，四边形是正方形，则的度数为 ．
5．（2025·陕西咸阳·一模）如图，以正五边形的边向内作正方形，连接，则的度数为 ．
6．（2025·山东枣庄·一模）如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交，的延长线于点F，G，连接，，则 ．
题型二 平行四边形
1．（2025·山西临汾·一模）如图，在中，，，和的平分线分别交BC于点E，F，与交于点，若，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
2．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接、，已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广东惠州·一模）如图，在中，，相交于点，，．过点作的垂线交于点，记长为，长为．求的值（ ）
A．2 B． C．1 D．没法求出
4．（2025·贵州毕节·一模）已知如图，在平行四边形中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点E在的边AD上，且，连接CE交对角线BD于点F，设的面积为，的面积为，则 ．
6．（2025·四川成都·一模）如图，四边形是平行四边形，为对角线，于点，，，则的值为 ．
7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，取的中点，连接，若，则等于 ．
8．（2025·陕西榆林·二模）如图，在中，连接，点P是的上的动点（不与端点重合），连接，点M是的中点，过点P作于点Q，连接，则的最小值是 ．
9．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，求的度数．
10．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，求的长．
11．（2025·江西景德镇·一模）追本溯源
题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在中，，平分，交于点．若，则等于多少度？
方法应用
（2）如图2，四边形为平行四边形，的平分线交于点，连接，若，．①求的度数；②已知，求的长．
12．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)连接交于点，若，，，求，的长．
题型三 矩形
1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）矩形中，，，延长BA到点，使，连接，交于点，连接，则的面积为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．8
2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形中，，，点在上，，连接并延长，交的延长线于点，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2025·安徽池州·二模）如图1，在矩形中，是上一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为，与之间的函数关系如图2所示，则下列结论：
①矩形的周长为12；
②矩形的面积为8；
③；④．
其中结论正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2025·河北·一模）如图，已知在矩形中，，，点在边上，且，点为射线上一动点，连接，过点作于，交直线于．则有下列结论：
的正切值为时，的长为；
在点运动过程中，的最小值为；
当点在射线上运动时，的最小值为；
其中，正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2025·云南保山·模拟预测）如图，在矩形中，M是对角线与的交点，过点M作，垂足为点N，则 ．
6．（2025·山东临沂·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么 ．

7．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为 ．当为直角三角形时，的长为 ．
8．如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接．
（1）当点G恰为中点时，则 ．
（2）当平分时，若，则 ．
9．（2025·江西鹰潭·一模）如图，在矩形中，点为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
10．（2025·云南保山·模拟预测）如图所示，O是矩形的对角线的交点，，，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)连接，若矩形的面积等于40，菱形的边长等于5，求的值．
∵四边形是菱形，
11．（2025·安徽淮北·二模）如图1，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接交于点O，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长；
(3)如图2，若矩形是正方形，，求的值．
12．（2025·山东济宁·二模）【问题背景】在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处．
【初步认识】
（）如图①，折痕的端点与点重合．
①当时，________；
②若点恰好在线段上，求的长；
【深入思考】
（）点恰好落在边上．
如图②，过点作交于点，连接．请根据题意，补全图②并证明四边形是菱形；
【拓展提升】
（）如图③，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长．
题型四 菱形
1.（2025·海南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段向右平移到，若四边形为菱形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在菱形中，点P为对角线上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江西景德镇·一模）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现了中国人民的智慧和中国深厚的文化底蕴．如图，小轩家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则此菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山东·一模）如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动，运动到点D停止．设点P的运动路程为的面积为与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
5．（2025·江苏南京·模拟预测）一个菱形的边长为，一条对角线长为，则该菱形的高是 cm．
6．（2025·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，点分别是的中点，连接若，，则的长为 ．
7．（2025·河南驻马店·一模）如图，图1是一个边长为2，有一个内角为的菱形，我们称之为原始菱形，将图1中的菱形沿水平方向向右平移个单位，得到图2，将图2中的原始菱形沿水平方向平移个单位，得到图3，依此类推…
若经过若干次平移后，图的面积为，则 ．
8．（2025·湖北·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E、F分别在、上，且，连接、交于点G，则的度数为 ，四边形面积的最大值为 ．
9．（2025·宁夏银川·一模）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长.
10．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求和的长．
11．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，矩形中，延长到，使，延长到，使，连接，，，．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
12．（2025·安徽·一模）如图①，在菱形中，点分别在上，．
(1)求证：；
(2)如图②，若为中点，连接．
①求证：平分；
②若，，求的值．
题型五 正方形
1．（2025·湖北襄阳·一模）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（ ）

A． B． C． D．
2．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，已知正方形的边长为12，点E是边上一点，以为一边作正方形，连接交于点H，若的长度为6，则的长为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
3．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图1，点E为正方形中边的中点．动点P从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则当点P运动到中点时，的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、填空题
5．（2025·甘肃兰州·一模）如图，在正方形中，E是对角线上的一点，，连接．若，则的面积为 ．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正方形中，，延长至点E，使平分交于点F，则线段的长为 ．
7．（2025·安徽亳州·二模）如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，，连接．
（1）的长为 ；
（2）过点B作，垂足为F，连接，过点F作，交于点G，则的值为 ．
8．（2025·江苏南京·模拟预测）正方形的边长为4，点是上一点，，连接，点是正方形边上一点，与相交于点．若，则 .
三、解答题
9．（2025·上海杨浦·二模）已知：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，且，延长分别交延长线于点H、G．
(1)求证：；
(2)联结，如果，求证：四边形是正方形．
10．（2025·甘肃陇南·二模）如图1所示，在正方形中，点是对角线上一点，线段绕点顺时针旋转至，连接．
(1)求证：；
(2)如图2所示，连接，直线交于点，交于点，若，求证：．
11．（2025·海南三亚·一模）已知正方形，点为的中点．
(1)如图①，点为线段上的一点，且，延长，分别与，交于点，．
①求证：；
②若，求线段的长．
(2)如图②，在边上取一点，满足，连接交于点，连接并延长交于点，求的值．
12．（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．
(1)【动手操作】
如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度．
(2)【深入探究】
是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明．
(3)【拓展应用】
是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长．
题型六 特殊四边形中新定义型问题
1．（2025·安徽合肥·一模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)如图1，在菱形中，E是的中点，连接，将沿翻折到，延长交于点P，请写出图中的所有“筝形”；
(2)如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”其他条件不变，求的值；
(3)如图3，在矩形中，是边的中点，连接，将沿翻折到，点P是线段上一点，若四边形是“筝形”，请直接写出的长．
2．【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【问题探究】：
（1）如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形____（填“一定”或“不一定”）是正方形；
（2）如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并直接写出四边形的周长的最小值；
【尝试应用】：
（3）现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时的长．
3．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫作“等补四边形”．
(1)概念理解
①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
②等补四边形中，若，则 ；
③如图1，在四边形中，平分，，．求证：四边形是等补四边形．
(2)探究发现
如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由．
(3)拓展应用
如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长．
4．【定义新知】
如图1，在线段上有一点P，若与相似，则称点P为与的“似联点”．
【理解运用】
（1）如图2，在的正方形网格中，四边形的顶点均在格点上，连接，在线段上画出点P，连接、，使得点P为与的“似联点”；（只需画出一种情况）
（2）如图3，在中，弦与相交于点P，连接、，试判断点P是否为与的“似联点”，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图4，现有一块四边形铁皮，，，，点E、F分别是、边上的定点，，且．工人师傅想在线段上找出与的“似联点”P，并在点P处打孔，请你通过作图帮助工人师傅确定打孔的准确位置和数量（需说明理由），并求出孔（点P）与点E之间的距离．

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21世纪教育网(www.21cnjy.com)猜押06 特殊的四边形
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
平行四边形 2024年广东省第15题，2024年湖北省第19题，2024年河南省第3题 特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）是中考高频考点，2024年全国卷中，矩形多考查对角线相等、直角三角形斜边中线性质；菱形侧重对角线垂直平分及面积计算；正方形常结合旋转、折叠动态问题。题型以选择、填空为主，解答题多与全等、相似综合，难度中等。 1. 动态几何：动点、折叠问题持续热门，如菱形对角线交点的轨迹（隐圆模型）、正方形翻折后的角度计算。 2. 实际应用：黄金矩形设计、传统文化中的几何图案。 3. 创新题型：中点四边形判定、特殊平行四边形与圆的综合。
矩形、菱形、正方形 2024年山东省济宁市第11题，2024年重庆市第10题，2024年江苏省连云港市第5题
题型一 多边形
1．（新情境）如图，蜜蜂的蜂巢是由一个个小小的蜂房构成，每一个蜂房的外形都是一个正多边形，则该正多边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正多边形的内角问题
【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，观察图形判断该正多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式进行计算即可．
【详解】解：观察图形可知：该正多边形是正六边形，
这个正多边形的内角和为：，
故选：B．
2．（2025·河北邢台·一模）如图，已知正六边形的顶点在直线上，是的中点，连接并延长交直线于点，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、用勾股定理解三角形、正多边形的内角问题
【分析】先求出六边形的每个内角为，再结合度所对的直角边是斜边的一半，得，，运用勾股定理算出，，然后证明，代入数值得，，结合进行计算，即可作答．
【详解】解：过点作，延长交直线于一点，如图所示：
∵六边形是正六边形，
∴六边形的内角和，
则六边形的每个内角为，
∵
∴
则
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了正多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，求一个角的正切值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
3．（2025·河南周口·一模）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正多边形的内角问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数．
【详解】解：如图：

∵正六边形的一个外角的度数为：，
∴正六边形的一个内角的度数为：，
即：，，
∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，、、是正十二边形的三条边，四边形是正方形，则的度数为 ．
【答案】/120度
【知识点】正多边形的内角问题、根据正方形的性质求角度
【分析】本题考查了正多边形的内角和公式，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由正方形的性质得，由正多边形的内角和公式得，最后根据，即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，
正十二边形的内角，
，
故答案为：．
5．（2025·陕西咸阳·一模）如图，以正五边形的边向内作正方形，连接，则的度数为 ．
【答案】/171度
【知识点】正多边形的内角问题、等边对等角
【分析】本题考查正多边形的性质，等腰三角形的性质，由正多边形的每个内角相等，求出，，得到，由等腰三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握正多边形的每个内角相等．
【详解】解：∵以正五边形的一边向内作正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
6．（2025·山东枣庄·一模）如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交，的延长线于点F，G，连接，，则 ．
【答案】/18度
【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题、圆周角定理
【分析】本题考查圆周角的性质，正多边形的性质以及等腰三角形的性质．连接，，首先，由正五边形内角和公式求出内角的度数，进而得到的度数，然后，根据等腰三角形性质求出和的度数，求出的度数，最后通过，求出的度数．
【详解】解：如图，连接，
则与是上弧所对的圆心角和圆周角，
∴，，
∵五边形为正五边形，
，
在等腰，，
∴；
同理：，
，
∴；
故答案为：．
题型二 平行四边形
1．（2025·山西临汾·一模）如图，在中，，，和的平分线分别交BC于点E，F，与交于点，若，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】此题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质．在取点，使，连接，，交于点，证明四边形是菱形，利用勾股定理求得，再证明四边形是平行四边形，由此可以求出长．
【详解】解：在取点，使，连接，，交于点，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
则；
∴四边形是菱形，
∴，，，
在中，，
∴，
∵，
∴，，即，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故选：D．
2．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接、，已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．利用角平分线的定义结合平行四边形的性质得出，进而利用直角三角形的性质求出答案．
【详解】解：是的平分线，是的平分线，
，，
∵，
，
，
，，
，
平行四边形的面积，
故选：B．
3．（2025·广东惠州·一模）如图，在中，，相交于点，，．过点作的垂线交于点，记长为，长为．求的值（ ）
A．2 B． C．1 D．没法求出
【答案】A
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
作交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，证明，得出，表示出，，由勾股定理得出，即可得解．
【详解】解：如图，作交的延长线于，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，，
∴，
∴，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值是2，
故选：A．
4．（2025·贵州毕节·一模）已知如图，在平行四边形中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由平行判断成比例的线段、解直角三角形的相关计算、三线合一、利用平行四边形的性质求解
【分析】由平行四边形得，，又，则，过点作，过点作，过点作，设，解直角三角形分别求出，，，的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，平行线分线段成比例，求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∵，
∴，
过点作，过点作，过点作，
设，
则，
∴，， ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
由题意可得：，
∴，即，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例，三线合一，等积法求线段，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线是解题的关键．
5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，点E在的边AD上，且，连接CE交对角线BD于点F，设的面积为，的面积为，则 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解
【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，得到，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∵是平行四边行，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2025·四川成都·一模）如图，四边形是平行四边形，为对角线，于点，，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质及，得出，再判定，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
故答案为：．
7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，取的中点，连接，若，则等于 ．
【答案】4
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握平行四边形的性质及三角形中位线是解题的关键；由题意易得点O为的中点，，然后根据三角形的中位线可进行求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，即点O为的中点，
∵点是的中点，，
∴，
∵点是的中点，
∴；
故答案为4．
8．（2025·陕西榆林·二模）如图，在中，连接，点P是的上的动点（不与端点重合），连接，点M是的中点，过点P作于点Q，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】根据平行四边形的性质可求出，，，延长，使得，连接，过点B作，结合等腰三角形三线合一的性质证明，即说明点在定直线上．再根据三角形中位线定理可知，即说明当最小时，有最小值．最后根据垂线段最短，结合含 30 度角的直角三角形的性质，求出即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
，
，
，，
延长，使得，连接，过点B作，如图，
，
，
平分，
，
，，
点在定直线上，
中点为，
∴是中位线，
，
∴当最小时，有最小值．
∵当时，即点与点重合时，最小，此时，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形三线合一的性质，垂线段最短等知识．正确作出辅助线是解题关键．
9．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】证明四边形是平行四边形、利用菱形的性质求角度
【分析】本题考查了平行四边形的证明，菱形的性质等知识点，熟记相关结论即可求解；
（1）由题意得：，推出，得，即可求证；
（2）由题意得，推出，即可求解；
【详解】（1）证明：由题意得：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴
10．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、已知正切值求边长
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）证，运用平行四边形的性质得，再证，得，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出，进而得出答案．
【详解】（1）证明：，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：在中，，
设，则，
由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
，，
由（1）得：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得：或,（舍去），
即．
11．（2025·江西景德镇·一模）追本溯源
题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在中，，平分，交于点．若，则等于多少度？
方法应用
（2）如图2，四边形为平行四边形，的平分线交于点，连接，若，．①求的度数；②已知，求的长．
【答案】（1）；（2）①；②
【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解
【分析】（1）利用等边对等角，角平分线的定义结合三角形内角和定理推出，再求出，由，得到，即可求解；
（2）①设，由角平分线的定义得到，， 根据平行四边形的性质得到，由等边对等角推出，，利用，即可解答；②由①可得，，证明，推出， 设，，，求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：①设，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴ ；
②由①可得，，
∴，
∴，
设，
∴，
由①可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
12．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)连接交于点，若，，，求，的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，的长为．
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（）证明是的中位线, 得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（）由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，则，，，，然后由勾股定理求出，故，，再由勾股定理求出，，最后由平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）证明: ∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，即，
∵
∴四边形为平行四边形；
（2）解: 由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
即的长为．
题型三 矩形
1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）矩形中，，，延长BA到点，使，连接，交于点，连接，则的面积为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的面积．由矩形的性质得到，，， ，从而得到，，，证得，因此，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，， ，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C
2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形中，，，点在上，，连接并延长，交的延长线于点，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟记相似三角形对应边成比例是解题关键．根据勾股定理可得到，由，可得，再证明，根据相似三角形的性质即可得到的长，进而即可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，，，
∴，
∵，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：B．
3．（2025·安徽池州·二模）如图1，在矩形中，是上一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为，与之间的函数关系如图2所示，则下列结论：
①矩形的周长为12；
②矩形的面积为8；
③；④．
其中结论正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】当时，如图示中的位置，根据，可求出的值，当最大时，与重合，即如图示位置，此时，，即，可求出周长和面积，证明，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，再求出，即可求解，
【详解】解：如图：
当时，如图示中的位置，
由题意和矩形及折叠的性质可得，四边形是正方形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），故③符合题意，
∴，
当最大时，与重合，即如图示位置，
此时，，
∴，
∴矩形的周长，故①符合题意，
矩形的面积，故②符合题意，
由折叠可知，，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
整理得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，故④符合题意，
综上，符合题意的有①②③④，共个，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
4．（2025·河北·一模）如图，已知在矩形中，，，点在边上，且，点为射线上一动点，连接，过点作于，交直线于．则有下列结论：
的正切值为时，的长为；
在点运动过程中，的最小值为；
当点在射线上运动时，的最小值为；
其中，正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、半圆（直径）所对的圆周角是直角、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
连接，由矩形的性质得，所以，由的正切值为，，求得，证明四边形为矩形得，，再结合，所以，然后根据，解出，即可判断；因为于，所以点在以的中点为圆心，以为半径的半圆上，过点作于，交于，由得，，再结合得，当最大时，有最小值，由题意可得的最大值为半圆的半径长为，代入即可判断；连接，当点在上时，有最小值，最小值为，由勾股定理得，，所以的最小值为，由此可判断．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，，
，
的正切值为，，
，
，
， ，
，
又∵，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
解得，故正确；
于，
点在以的中点为圆心，以为半径的半圆上，
如图（在矩形的内部），
过点作于，交于，
，
，
，
，
，
当最大时，有最小值，由题意可得的最大值为半圆的半径长为，
的最小值为，故正确；
连接，当点在上时，有最小值，最小值为，
由题意可得，
，
，，
的最小值为，故正确；
综上所述，正确的有个，
故选：D．
5．（2025·云南保山·模拟预测）如图，在矩形中，M是对角线与的交点，过点M作，垂足为点N，则 ．
【答案】
【知识点】利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】此题主要考查矩形的性质和相似三角形的性质和判定，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵是矩形对角线与的交点，
∴是的中点，即，
∵，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
．
故答案为：．
6．（2025·山东临沂·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么 ．

【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质和勾股定理，正切的定义，解题关键是熟练掌握折叠的性质和勾股定理．
折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
先根据矩形的性质得，，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到，即，再根据正切函数的定义即可求解．
【详解】解：四边形为矩形，，，
，，，
矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，
，，
在中，
，
，
设，则，
在中，
，
即，
解得，，
，
．
故答案为：．
7．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为 ．当为直角三角形时，的长为 ．
【答案】 8 或5
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】本题考查翻折的性质，矩形的性质等知识，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．连接，则，当在上时，取最小值，即可求解；分情况讨论：当时，当时，当时，再分别利用勾股定理和翻折的性质可得答案；
【详解】解：连接，
在矩形中，，，
∴，，
∵点是边上的中点，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
∴
∵，
∴当在上时，取最小值，最小值为；
∵为直角三角形，
当时，
∵点N是边上的中点，，
∴，
∵，
∴点B的对应点不能落在所在直线上，
∴，不存在此类情况；
当时，如图所示，
由折叠性质可得，
，
∴；
当时，如图所示
∵，
∴、N、C三点共线，
设，则，
∴，
解得：，
综上所述的长为或5．
故答案为：8；或5．
8．如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接．
（1）当点G恰为中点时，则 ．
（2）当平分时，若，则 ．
【答案】 3
【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）延长与交于点H，根据矩形的性质可得，从而可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得，再根据垂直定义可得，最后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答；
(2)根据矩形的性质可得，再利用角平分线的性质可得，，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出，再设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，最后求比即可．
【详解】解：（1）如图：延长与交于点H，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点G为中点，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
，
，
在中，，
∴，
设，,
在中，,
∴,解得：，
∴，
,
故答案为：．
9．（2025·江西鹰潭·一模）如图，在矩形中，点为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【知识点】全等三角形综合问题、利用矩形的性质证明
【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是找出全等三角形并证明；
（1）证明，再根据矩形的性质证明即可；
（2）根据，得出，再根据（1）中全等证明即可．
【详解】（1）证明：点是的中点，且四边形是矩形，
，，，，
，
．
（2）证明：
∴，
由（1）得，
，
又由（1）知，
∴，
，
．
10．（2025·云南保山·模拟预测）如图所示，O是矩形的对角线的交点，，，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)连接，若矩形的面积等于40，菱形的边长等于5，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形
【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先由矩形得到，，，然后证明出，证明出四边形是平行四边形，然后结合，即可得到平行四边形是菱形；
（2）如图，设与交于点，首先证明出四边形是平行四边形，得到，设，，利用勾股定理得到，求出，进而求解即可．
【详解】（1）证明：，
，，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是菱形．
（2）解：如图，设与交于点
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
又，
四边形是平行四边形，
．
设，，则，
矩形的面积是40，
．
菱形的边长是5，
，
即，
，
，
，
即．
11．（2025·安徽淮北·二模）如图1，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接交于点O，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长；
(3)如图2，若矩形是正方形，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和找准相似三角形．
（1）利用矩形的性质和三角形内角和定理，求出，通过等量代换即可求出的度数，从而证明；
（2）延长交于点G，根据矩形的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，求出长度，再证明，即可求出的长；
（3）设正方形的边长为，延长交于点G，根据正方的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，用a表示长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长，从而求出的值．
【详解】（1）证明：矩形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，延长交于点G，
矩形，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：设正方形的边长为，则，
如图，延长交于点G，
正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
12．（2025·山东济宁·二模）【问题背景】在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处．
【初步认识】
（）如图①，折痕的端点与点重合．
①当时，________；
②若点恰好在线段上，求的长；
【深入思考】
（）点恰好落在边上．
如图②，过点作交于点，连接．请根据题意，补全图②并证明四边形是菱形；
【拓展提升】
（）如图③，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长．
【答案】（）①；②；（）补图见解析，证明见解析；（）或
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、矩形与折叠问题、证明四边形是菱形
【分析】（）①由邻补角性质得，进而由折叠性质即可求解；②由折叠和勾股定理可求出，设，则，，在中利用勾股定理列出方程解答即可求解；
（）①先证四边形是平行四边形，再由即可求证；
（）分和两种情况，利用折叠的性质解答即可求解．
【详解】解：（）①∵，
∴，
由折叠可得，，
∴，
故答案为：；
②当点恰好在线段上时，如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠可得，，，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴的长；
（）补图如下：
证明：∵，
∴，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（）由折叠可知，，设，则，
①当时，
在中，，
解得，
∴；
②当时，过点作交于，
则， ，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上，线段的长为或．
【点睛】本题考查了矩形与折叠的知识，菱形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握折叠的性质是解题关键．
题型四 菱形
1.（2025·海南·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段向右平移到，若四边形为菱形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
设与轴交于点，由，则，，，再通过菱形的性质可得，最后由线段和差即可求解．
【详解】解：如图，设与轴交于点，
∵，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
故选：．
2．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在菱形中，点P为对角线上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用菱形的性质求角度
【分析】本题涉及菱形的性质及等边对等角这一性质，菱形的对角线平分一组对角，且菱形的四条边相等．熟知相关性质是正确解答此题的关键．
先求出菱形中相关角的度数，再利用角的和差求出的度数．
【详解】解：四边形是菱形，且，
，，
，
．
．
可得．
四边形是菱形，,
．
，
故选：A．
3．（2025·江西景德镇·一模）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现了中国人民的智慧和中国深厚的文化底蕴．如图，小轩家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则此菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：设、交于点，
四边形是菱形，
，，，，
在中，根据勾股定理可得：，
菱形的周长为，
故选：D．
4．（2025·山东·一模）如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动，运动到点D停止．设点P的运动路程为的面积为与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象、等边三角形的性质、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．根据图1和图2判断为等边三角形，它的面积为解答即可．
【详解】解：连接，
在菱形中，，
∴为等边三角形，
设，由图2可知，的面积为，
∴的面积
解得：(负值已舍)
故选：A
5．（2025·江苏南京·模拟预测）一个菱形的边长为，一条对角线长为，则该菱形的高是 cm．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积
【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质是解题的关键．设菱形中，，，于点E，连接交于点O，由，，得，则，由，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，菱形中，，，于点E，连接交于点O，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
该菱形的高是，
故答案为：．
6．（2025·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，点分别是的中点，连接若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算
【分析】解直角三角形求出，进而证明，得，所以，，然后由勾股定理求出，结合点P是的中点，即可解决问题．
【详解】如图，过点P作于点G，分别延长，交于点H．
则，
，，
，
，
在菱形中，，，
∵点分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
在和中
，
，，
，，
，
∵，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及勾股定理。解题关键是通过作辅助线，利用三角函数求出相关线段长度，借助菱形性质证明三角形全等，进而结合勾股定理建立线段关系求解.
7．（2025·河南驻马店·一模）如图，图1是一个边长为2，有一个内角为的菱形，我们称之为原始菱形，将图1中的菱形沿水平方向向右平移个单位，得到图2，将图2中的原始菱形沿水平方向平移个单位，得到图3，依此类推…
若经过若干次平移后，图的面积为，则 ．
【答案】17
【知识点】图形类规律探索、利用菱形的性质求面积、利用平移的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了图形的平移，菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题关键是学会探究规律的方法，学会利用参数构建方程解决问题．连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据平移可知：，，，证明，得出，证明，，求出，得出图2长面积为，同理得出图3的面积为，图4的面积为，总结得出一般规律：图n的面积为，最后求出结果即可．
【详解】解：连接，，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据平移可知：，，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴为的中点，为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴图2的面积为：，
同理可得：图3的面积为，
图4的面积为，
图n的面积为，
当时，
解得：．
故答案为：17．
8．（2025·湖北·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E、F分别在、上，且，连接、交于点G，则的度数为 ，四边形面积的最大值为 ．
【答案】 /度
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、圆周角定理、解直角三角形的相关计算
【分析】如图，连接，证明．可得．，证明点B，C，D，G四点共圆．如图，连接交于，过作于，过作于，可得当经过圆心O时，取得最大值，取得最大值，四边形面积取得最大值，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵四边形是菱形，，
∴为等边三角形，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴点B，C，D，G四点共圆．
如图，连接交于，过作于，过作于，
∴四边形面积，
∵，，
∴当经过圆心O时，取得最大值，取得最大值，
∴四边形面积取得最大值，
此时，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为4．
∴四边形面积取得最大值为；
故答案为：，．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
9．（2025·宁夏银川·一模）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键．
（1）由菱形的性质及中点定义得到角的关系及边的关系，再由三角形全等的判定与性质即可证明；
（2）由菱形性质及（1）中结论得到，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半代值求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵在菱形中，，
∴，
又∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
（2）解：∵在菱形中，，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
是斜边上的中线，
．
10．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求和的长．
【答案】(1)见解析
(2)，
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形；
（2）解，得出，解，得出，然后菱形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：，平分，
，．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
（2）解：，，，
在中，，
．
，
在中，，，
．
四边形是菱形，
．
11．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，矩形中，延长到，使，延长到，使，连接，，，．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)
【知识点】含30度角的直角三角形、证明四边形是平行四边形、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形
【分析】（1）由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，再由矩形的性质得到，从而由菱形的判定得证；
（2）由菱形性质、含的直角三角形性质即勾股定理得到相关线段长度，最后由菱形面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：四边形是菱形．
理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，即，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，，
，
．
，
．
．
，．
菱形的面积为：．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理及菱形面积公式等知识，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
12．（2025·安徽·一模）如图①，在菱形中，点分别在上，．
(1)求证：；
(2)如图②，若为中点，连接．
①求证：平分；
②若，，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值
【分析】（）证明即可求证；
（）①由相似三角形的性质得，进而得，即得，得到，即可求证；②连接，证明四边形 是菱形，得到，进而得，即得是等边三角形，得到，即可得，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
，
，
，
，
，
即；
（2）①证明：由（）证得，
，
为中点，
，
，
即，
，
，
，
平分；
②解：如图②，连接，
∵ ，，
∴四边形是平行四边形，
∵，为中点，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
，
由（）①知，，
，
，
，
，
是等边三角形，
为中点，
∴，
，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，三角函数，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
题型五 正方形
1．（2025·湖北襄阳·一模）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长
【分析】如图作轴于F，x轴于E，先证明，推出，由此即可解决问题．此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和点的坐标，掌握正方形的性质和构造全等三角形的方法是解决此题的关键．
【详解】解：如图作轴于F，轴于E．

∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵A的坐标为，
∴，
∴点C坐标，
故选：A．
2．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，已知正方形的边长为12，点E是边上一点，以为一边作正方形，连接交于点H，若的长度为6，则的长为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
【答案】B
【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查相似判定及性质，正方形性质等．根据题意设，则，再证明，再利用相似性质计算即可．
【详解】解：∵正方形的边长为12，正方形，的长度为6，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
故选：B．
3．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、正方形性质理解、求角的正弦值
【分析】过作，垂足为，根据两个三角形全等的判定定理，确定，从而根据全等三角形的性质得到，再根据将边绕点逆时针旋转至，确定为等腰三角形，结合“三线合一”得到是边上的中线，进而，即，在中，，设，则，由勾股定理得到， 利用正弦值定义求解即可得到答案．
【详解】解：过作，垂足为，如图所示：
，
在正方形中，，，
，
，
，
在和中，
，
∴，
将边绕点逆时针旋转至，
，
，
由“三线合一”可得是边上的中线，即，
，
在中，，设，则，
由勾股定理得到，
，
故选：C．
【点睛】本题考查求正弦值，涉及正方形的性质、全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何概念、判定与性质是解决问题的关键．
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图1，点E为正方形中边的中点．动点P从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则当点P运动到中点时，的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．结合两个图先求出，，，此时，可得答案．
【详解】解：由图可知，当动点P从点A出发运动到点B处时，运动路程为，
则正方形的边长为4，
∴，，
当点P运动到中点时，为边的中点，
，
此时，
故选D
二、填空题
5．（2025·甘肃兰州·一模）如图，在正方形中，E是对角线上的一点，，连接．若，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查勾股定理，正方形性质等．根据题意过点作，设，则，，再利用勾股定理得出，继而求出未知数后，再利用面积公式即可得到本题答案．
【详解】解：过点作，
，
∵正方形，，，
∴，，
设，则，，
∴，解得：，
∴的面积：，
故答案为：．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正方形中，，延长至点E，使平分交于点F，则线段的长为 ．
【答案】/
【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、已知正切值求边长
【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，先判断，则，设，则，然后角平分线的定义以及等角对等边可证明，根据得出关于x的方程，解方程求出即，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：过F作于G，
在正方形中，，
∴，，，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2025·安徽亳州·二模）如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，，连接．
（1）的长为 ；
（2）过点B作，垂足为F，连接，过点F作，交于点G，则的值为 ．
【答案】 5 /
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）由正方形得到，，然后求出，然后根据勾股定理求解即可；
（2）证明出，得到，得到，然后证明出，即可得到．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，．
，
．
在中，由勾股定理得，
故答案为：5；
（2）四边形是正方形，
，，
．
，
，
，
，
．
，，
．
，
．
，，
．
，，
，
，
，
．
故答案为：．
8．（2025·江苏南京·模拟预测）正方形的边长为4，点是上一点，，连接，点是正方形边上一点，与相交于点．若，则 .
【答案】或
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了正方形基本性质，矩形的判定和性质，全等三角形基本性质，勾股定理等知识点，能够正确做出图形是解题关键；先画出图形，然后确定好F点有两种情况，然后分别对每种情况进行求解即可．
【详解】解：∵正方形的边长为4，，，
∴，
如图1，当在上时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2，当点在上，连接，
∵，
∴，
∴，
∵正方形中，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
综上，的长为：或 ．
故答案为：或 ．
三、解答题
9．（2025·上海杨浦·二模）已知：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，且，延长分别交延长线于点H、G．
(1)求证：；
(2)联结，如果，求证：四边形是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明、证明四边形是正方形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由矩形的性质可得，再证明推出，则；
（2）先导角证明，则可证明，证明，进而可证明，，再证明，得到，即可证明，据此可证明结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
10．（2025·甘肃陇南·二模）如图1所示，在正方形中，点是对角线上一点，线段绕点顺时针旋转至，连接．
(1)求证：；
(2)如图2所示，连接，直线交于点，交于点，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质．
（1）根据旋转的性质得，，根据正方形的性质得，，进而得，即可证明，得，进而得，即可得出结论；
（2）先根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质得出，再证明，得，即可得，证明得，进而可得结论．
【详解】（1）证明：∵线段绕点顺时针旋转至，
∴，，
∵为正方形，
∴，，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵为正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
11．（2025·海南三亚·一模）已知正方形，点为的中点．
(1)如图①，点为线段上的一点，且，延长，分别与，交于点，．
①求证：；
②若，求线段的长．
(2)如图②，在边上取一点，满足，连接交于点，连接并延长交于点，求的值．
【答案】(1)①证明见解析；②
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值
【分析】（1）①根据正方形的性质得，，继而得到，推出，利用即可得证；
②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，由等边对等角得，，然后证明得即，再推出，继而得到，代入数据求解即可；
（2）设正方形的边长为，，可得，求解后可得到，如图所示：过点作交于点，证明，得，推出，设，则，求出，证明得即，得出，求得，推出，继而得到，则，再代入计算即可．
【详解】（1）①证明：四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
②解：∵为的中点，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，即，
∵在正方形中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由①知：，
∴，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴线段的长为；
（2）解：设正方形的边长为，，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
即，
如图所示：过点作交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由①知：，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识点，通过作适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
12．（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．
(1)【动手操作】
如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度．
(2)【深入探究】
是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明．
(3)【拓展应用】
是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长．
【答案】(1)
(2)四边形为正方形，证明见解析
(3)或
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明
【分析】（1）首先根据题意作出图形；结合题意易知，由即可获得答案；
（2）在上截取，在上截取，连接，分别证明，，由全等三角形的性质可得，结合即可证明结论；
（3）分点在线段上和点在延长线上，证明四边形是正方形，分别求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，作图如下，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：四边形AEFG为正方形，证明如下：
在上截取，如下图，
四边形是正方形，
，，
，即，
，
，
又平分，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
在上截取，连接，则，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
（3）解：当点在线段上时，
由（2）可知，四边形是正方形，
∵，，
∴，
；
如图，当点在延长线上时，延长至点，使，连接并延长交于点，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
，
延长至，使得，连接，
∴，即，
∴，
，
，
∴，即，
∴，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，
．
综上所述，线段的长为或．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
题型六 特殊四边形中新定义型问题
1．（2025·安徽合肥·一模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)如图1，在菱形中，E是的中点，连接，将沿翻折到，延长交于点P，请写出图中的所有“筝形”；
(2)如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”其他条件不变，求的值；
(3)如图3，在矩形中，是边的中点，连接，将沿翻折到，点P是线段上一点，若四边形是“筝形”，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】解直角三角形的相关计算、折叠问题、四边形其他综合问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由折叠的性质得到，即四边形是“筝形”；再根据菱形的性质结合折叠的性质得到，连接，由E是的中点，得到，推出，求出，得到，即四边形是“筝形”；
（2）同理（1）可证四边形是“筝形”，设，则正方形边长为，利用勾股定理求出，连接，证明是直角三角形，利用正切的定义可得，求出，勾股定理求出，即可解答；
（3）延长交于点，连接，同理（1）可证四边形是“筝形”，当重合时，四边形是“筝形”，同理（2）得是直角三角形，，，求出，勾股定理求出，即可得到此时的长．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，即四边形是“筝形”；
由折叠的性质得：，
即四边形是“筝形”；
由折叠的性质得：，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，即，
∴，即四边形是“筝形”；
综上，图中的“筝形”有；
（2）解：同理（1）得：四边形是“筝形”，
设，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
连接，
∵四边形是“筝形”，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∵，即，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长交于点，连接，
同理（1）可证四边形是“筝形”，
当重合时，四边形是“筝形”，
同理（2）得是直角三角形，，
∴，
∵在矩形中，是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此时．
【点睛】本题考查四边形综合题，涉及菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线，理解“筝形”的定义是解题的关键．
2．【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【问题探究】：
（1）如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形____（填“一定”或“不一定”）是正方形；
（2）如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并直接写出四边形的周长的最小值；
【尝试应用】：
（3）现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时的长．
【答案】（1）一定；
（2）四边形是等邻边四边形，理由见解析，周长的最小值为4+4；
（3）AP的长为或或3
【知识点】证明四边形是正方形、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、垂线段最短
【分析】（1）根据等邻边四边形”的定义和正方形的判定可得出结论；
（2）如图②中，结论：四边形是等邻四边形．利用全等三角形的性质证明即可；
（3）如图③中，过点作于，过点作于，则四边形是矩形．分三种情形：①当时，②当时，③当时，四边形为“等邻边四边形”，分别求解即可．
【详解】解：（1）矩形是“等邻边四边形”，
四边形的邻边相等，
矩形一定是正方形；
故答案为：一定；
（2）如图②中，结论：四边形是等邻四边形．
理由：连接．
四边形是菱形，
，，
，都是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
四边形是等邻边四边形，
，
，
的值最小时，四边形的周长最小，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，此时，
四边形的周长的最小值为；
（3）如图③中，过点作于，过点作于，则四边形是矩形．
，，
，，
，
，
①当时，四边形为“等邻边四边形”；
②当时，四边形为“等邻边四边形”，
设，
在 中，，
，
，
；
③当时，四边形为“等邻边四边形”，
此时点与重合，
，
综上所述：的长为或或3．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了“等邻边四边形”的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
3．定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫作“等补四边形”．
(1)概念理解
①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
②等补四边形中，若，则 ；
③如图1，在四边形中，平分，，．求证：四边形是等补四边形．
(2)探究发现
如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由．
(3)拓展应用
如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长．
【答案】(1)①D；②；③见解析
(2)平分，理由见解析
(3)．
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、正方形性质理解、角平分线的判定定理、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）①判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；②利用“等补四边形”的对角互补，列式计算即可求解；③在上截取，证明，推出，．据此即可证明结论成立；
（2）过点分别作于，于，证明，推出，根据角平分线的判定定理即可得解；
（3）连接，由（2）知，平分，证得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等，
平行四边形不一定是等补四边形；
菱形四边相等，对角相等，但不一定互补，
菱形不一定是等补四边形；
矩形对角互补，但邻边不一定相等，
矩形不一定是等补四边形；
正方形四个角是直角，四条边相相等，
正方形一定是等补四边形，
故选：D；
②等补四边形对角互补，，
设，
∴，解得，
∴，
∴，
故答案为：；
③证明：在上截取，连接，如图1，
在和中，
，
，
，．
，
．
．
，
，
又，
四边形是等补四边形；
（2）解：平分，理由如下，
如图2，过点分别作于，于，
则，
四边形是等补四边形，
，
又，
，
，
，
，
是的平分线（在角的内部且到角两边距离相等的点在角平分线上），
即平分．
（3）解：连接，
∵等补四边形中，，由（2）知，平分，
∵四边形是等补四边形，
∴，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
4．【定义新知】
如图1，在线段上有一点P，若与相似，则称点P为与的“似联点”．
【理解运用】
（1）如图2，在的正方形网格中，四边形的顶点均在格点上，连接，在线段上画出点P，连接、，使得点P为与的“似联点”；（只需画出一种情况）
（2）如图3，在中，弦与相交于点P，连接、，试判断点P是否为与的“似联点”，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图4，现有一块四边形铁皮，，，，点E、F分别是、边上的定点，，且．工人师傅想在线段上找出与的“似联点”P，并在点P处打孔，请你通过作图帮助工人师傅确定打孔的准确位置和数量（需说明理由），并求出孔（点P）与点E之间的距离．

【答案】（1）见解析；（2）是，见解析；（3）线段上与的“似联点”P有3个，故工人师傅打孔的点P的数量为3个，位置如图所示，孔与点E的距离分别为、、
【知识点】线段问题(轴对称综合题)、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】（1）连接与交点即为点P，由于，故与相似；
（2）由得到，而，因此，故点P是与的“似联点”；
（3）连接，交于点，根据平行线得到8字形相似；作点D关于的对称点，连接，以为直径作圆交于点、，找的是“一线三等角”相似，根据已知数据，再分别利用对应边成比例即可求解．
【详解】解：（1）如图，点P为所求．（答案不唯一）

（2）点P为与的“似联点”，理由：
，
，
，
．
故点P是与的“似联点”．
（3）线段上与的“似联点”P有3个，位置如图中点、、，
理由如下：如图，连接，交于点．

∵
∴四边形是矩形，
∴
∴，
∵，
，
即是线段上与的“似联点”；
作点D关于的对称点，连接，以为直径作圆交于点、，
∵点D关于的对称点，
∴，
，，
是圆的直径，
，
∴
，
又，
，
是线段上与的“似联点”；
同理可证是线段上与的“似联点”．
当时，，
即，
可得，
解得；
当时，，
即，
可得，
解得；
当时，，
即，
可得，
解得．
综上所述，线段上与的“似联点”P有3个，故工人师傅打孔的点P的数量为3个，位置如图所示，孔与点E的距离分别为、、．
【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆周角定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点，正确找出点P的位置是解题的关键．
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