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猜押08 尺规作图
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
尺规作图 2024年天津市第10题，2024年广东卷第17题、2024年四川省眉山市第3题 尺规作图近年中考侧重基础，2024年多考基本作图（如作角平分线、线段垂直平分线）、三角形还原（已知三边/边角作三角形），题型以解答题为主，占5-8分，常结合几何证明考查步骤规范性。 1. 实际应用：以生活场景（如道路规划、图案设计）为背景，考查作图解决实际问题。 2. 创新题型：根据作图痕迹推断作法、补全作图步骤，或与圆、相似三角形结合的综合作图。
题型一 根据尺规作图痕迹求解
1．（2025·云南·三模）如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则点到的距离等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（ ）
A．6 B． C．8 D．
3．（2025·海南·一模）如图，在正方形中，，连接．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交的延长线于点，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．（2025·山东日照·一模）如图，已知锐角，按下列要求作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不成立的是（ ）

A． B．
C． D．若，则
A、连接，，
∴，故A不符合题意；
B、连接，
5．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，在中，，．以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则 度．
6．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则的长为 ．
7．（2025·山东烟台·一模）如图，已知，射线平分，C是上一点，，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；过点作射线交于点D．则 ．
8．（2024·北京朝阳·二模）如图，在中，．
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线．
②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P．
③连接．
根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为 ．
题型二 利用尺规按要求作图
9．（2025·宁夏银川·一模）有这样一道尺规作图题：如图，点A，B，C在上，连接，．求作：的中点D．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并说明理由）
10．（2025·陕西咸阳·二模）如图，是的对角线．请用尺规作图法．在线段上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法）
11．（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，，，请用尺规作图法在内求作一点H，连接、，使得是以为底边的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
12．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，，，E为边上一点．请用尺规作图法在四边形内部求作一点P，使四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法）
13．（2025·山东青岛·一模）已知：如图，．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
求作：点P，使点P在内部，且点P到两边的距离相等，．
14．（2025·广东深圳·二模）如图，已知劣弧和其所在圆的圆心O，若要等分，请按以下要求作图：
(1)利用直尺和圆规完成作图，不写作法，保留作图痕迹：
(2)用两种不同的方法作图．
题型三 利用无刻度直尺作图并求解
15．（2025·江苏扬州·一模）在中，．
(1)求作，使得圆心在边上，经过点且与边相切于点；
(2)已知，，求边的长．
16．（2025·广东肇庆·一模）如图，，点是射线上一点．
(1)实践与操作：利用尺规作图，作，使，边交射线于，保留作图痕迹，不用写作法）；
(2)应用与证明：求证．
17．（2025·广东惠州·一模）如图，在平行四边形中，是对角线．
(1)在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接、，若，，判断四边形的形状，并求其面积．
18．（2025·四川达州·一模）如图，在平行四边形中，已知．
(1)实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接交于点，若，，求的长（未完成作图的，可用草图作解答）．
19．（2025·广东湛江·一模）如图，在中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，，求的面积
20．（2025·福建泉州·一模）如图，在中，．点在的延长线上，连结．
(1)尺规作图：过点A求作的平行线，与、的交点分别为、；
(2)在（1）的条件下，若点是的中点，．试求的长度．
21．（2025·广西南宁·一模）如图，已知．
(1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若．求证：．
22．（2025·广东·二模）如图，在中，，点D在的延长线上．
(1)作的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)求证：．
23．（文化背景）如图1是东罗马鎏金银盘，这只鎏金银盘是舶来品，专家鉴定为东罗马帝国的产品．不过，它大约是一千五六百年前舶来的，现今落脚于甘肃省博物馆，成为众多馆藏文物中的“异类”——正是这个“异类”见证了千年前丝绸之路东西方贸易的繁荣．如图2，把它看作一个圆，点为圆心，点为上一点．
(1)请用不带刻度的直尺和圆规，在图2中作出的内接正方形；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)根据（1）中画出的图形，过圆心作边的垂线，分别交和于点，，若的半径为，则的长为______________．
24．（2025·江苏南通·模拟预测）菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），把沿直线折叠，与对应．
(1)请用无刻度直尺和圆规在图中作出（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若点在的延长线上，求的长；
(3)当与菱形的边垂直时，求的长．
题型四 利用无刻度直尺作图
25．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在平行四边形中，点为的中点．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)若，请在图1中的边上找点，使；
(2)如图2，点为边上一点，请在图2中的边上找点，使．
26．（2025·江西·一模）如图，在正方形中，点E是边的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
(1)在图1中，画出以为底边的等腰，且；
(2)在图2中，已知F是的中点，请画出以为边的正方形，且．
27．（2025·江西南昌·一模）如图，内接于，是直径，是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作出边上的中线．
(2)在图2中作出等腰三角形，使得．
28．（2025·江西·二模）如图，在平行四边形中，为的延长线上一点，且．请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹）
(1)在图1中，作出中边上的高；
(2)在图2中，作出一个菱形．
29．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的4个顶点都在格点上，E是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，先画交于点G，交边于点F，再在上画点H，使得平分；
(2)在图2中，先画的高，再分别在边和上画点M、N，使得，且．
30．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，、、的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)图①中，点D为边的中点且在格点上，在边上确定一点E，连接，使得；
(2)图②中，点I为边上一点且在格点上，在边上确定一点J，连接，使得；
(3)图③中，点M为边上一点且在格点上，在边上确定一点N，连接，使得．
31．如图，，点E在上，连接，请仅用无刻度直尺作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中以E为顶点，作一个角等于；
(2)在图2中，在的上方，作出一个与相等的角．
32．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图：在的网格中，、、为格点，仅用无刻度直尺完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示．
(1)图1，在将线段绕顺时针旋转得线段，再在上找一点，使得；
(2)在图2，先作边高，再在上找一点，使得．
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猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
尺规作图 2024年天津市第10题，2024年广东卷第17题、2024年四川省眉山市第3题 尺规作图近年中考侧重基础，2024年多考基本作图（如作角平分线、线段垂直平分线）、三角形还原（已知三边/边角作三角形），题型以解答题为主，占5-8分，常结合几何证明考查步骤规范性。 1. 实际应用：以生活场景（如道路规划、图案设计）为背景，考查作图解决实际问题。 2. 创新题型：根据作图痕迹推断作法、补全作图步骤，或与圆、相似三角形结合的综合作图。
题型一 根据尺规作图痕迹求解
1．（2025·云南·三模）如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则点到的距离等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查尺规作图，角平分线的性质，如图，过点作于点，由作图过程可知平分，根据角平分线的性质得，再根据确定的长，即可得出结论．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【详解】解：如图，过点作于点，
由作图过程可知：平分，
∵，即，
∴，
∵，，
∴，
∴点到的距离等于．
故选：C．
2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查作角平分线，角平分线性质定理，勾股定理等知识，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作，证明出，可得平分，由三角形内角和定理得，即可得，，得出，由勾股定理得，可得，根据三角形面积公式可得的面积．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作，
∵，
∴，
由作图得，平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分，
，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴的面积为，
故选：B．
3．（2025·海南·一模）如图，在正方形中，，连接．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交的延长线于点，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．由正方形的性质和勾股定理求出的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质求出，得到，即可求解．
【详解】解：由作图可知，平分，
∵四边形是正方形，
∴，，，
在中，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．（2025·山东日照·一模）如图，已知锐角，按下列要求作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不成立的是（ ）

A． B．
C． D．若，则
【答案】C
【知识点】尺规作一个角等于已知角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用弧、弦、圆心角的关系求证
【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题．
【详解】解：如图，
A、连接，，
∴，故A不符合题意；
B、连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、连接，
由作图得，
∴，
∴，
∴，
∴不一定等于，故C符合题意．
D、由，
∴，
∵，
∴，故D不符合题意；
故选：C．
5．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，在中，，．以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则 度．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
由作图可知是的角平分线，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，然后即可求解；
【详解】解：在中，，，
∴，
∵由题可得：是的角平分线，
∴，
故答案为：；
6．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、四点共圆
【分析】根据勾股定理求得，设直线交于点G，连接，，由由作图可得是的垂直平分线，从而证得，根据相似三角形的性质求出，根据作图有，根据等边对等角及三角形的内角和求得，得到，从而点A，C，F，D四点共圆，因此，则，在中，根据勾股定理即可解答．
【详解】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，，
∴，
∵，，
∴．
设直线交于点G，连接，，
∵由作图可得是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
由作图可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴点A，C，F，D四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查尺规作图——作垂直平分线与作线段等于已知线段，勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，四点共圆等，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
7．（2025·山东烟台·一模）如图，已知，射线平分，C是上一点，，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；过点作射线交于点D．则 ．
【答案】
【知识点】化为最简二次根式、尺规作一个角等于已知角、根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查尺规作图—作角等于已知角，平行线的判断和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是得到为等腰三角形．作，根据作图易得，证明为等腰三角形，利用三线合一，结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于E，
由作图可知：，
∴，
∴，
∵平分 ，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
故答案为：．
8．（2024·北京朝阳·二模）如图，在中，．
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线．
②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P．
③连接．
根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作，，，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出．
【详解】解：作，，，垂足分别是D、E、F，
由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
，
故答案为：．
题型二 利用尺规按要求作图
9．（2025·宁夏银川·一模）有这样一道尺规作图题：如图，点A，B，C在上，连接，．求作：的中点D．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并说明理由）
【答案】见解析．
【知识点】作垂线(尺规作图)、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、圆心角、弧、弦的关系，作线段的垂直平分线，交弧于点D，则点D即为所求．
【详解】解：如图，点D即为所求．
10．（2025·陕西咸阳·二模）如图，是的对角线．请用尺规作图法．在线段上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要查了尺规作图—作已知直线的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
作的垂直平分线交于点E，结合垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，可得，易知，结合，即可获得答案．
【详解】解：如图，点E即为所求．
11．（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，，，请用尺规作图法在内求作一点H，连接、，使得是以为底边的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】详见解析
【知识点】作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查尺规作图——作垂线，等腰直角三角形的判定及性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．根据尺规作图——作垂线的方法，过点作，交于点，以点为圆心，在上截取，即可．
【详解】解：如图，点H即为所求．
12．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，，，E为边上一点．请用尺规作图法在四边形内部求作一点P，使四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【知识点】作垂线(尺规作图)、矩形的判定定理理解
【分析】本题考查作图——复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据尺规作图作垂线的方法，过点作垂直，过点作，即可求解．
【详解】解：如图所示，即为所求．
13．（2025·山东青岛·一模）已知：如图，．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
求作：点P，使点P在内部，且点P到两边的距离相等，．
【答案】见解析
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)
【分析】本题考查了尺规作图作角平分线和垂线的作法，掌握尺规作图是解题的关键．
根据角平分线上的点到角两边距离相等可知点在的角平分线，再过过点作垂线，它们的交点即所求.，
【详解】解：作的角平分线，过点作，与交于点P，
14．（2025·广东深圳·二模）如图，已知劣弧和其所在圆的圆心O，若要等分，请按以下要求作图：
(1)利用直尺和圆规完成作图，不写作法，保留作图痕迹：
(2)用两种不同的方法作图．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、利用垂径定理求值、同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】本题考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线作法和性质，垂径定理，角平分线作法和性质，垂线作法和切线性质，全等三角形性质是解题的关键．
（1）连接，作的垂直平分线交于点C，则；
（2）如图2，作的平分线交于点，则；如图3，作切线，，交于点，连接交于点，则，，，得，
得，得．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
题型三 利用无刻度直尺作图并求解
15．（2025·江苏扬州·一模）在中，．
(1)求作，使得圆心在边上，经过点且与边相切于点；
(2)已知，，求边的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、由平行判断成比例的线段
【分析】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质、平行线分线段成比例，勾股定理等知识，正确确定圆心的位置是关键．
（1）作的角平分线交与D，过D点作，交与O，以O为圆心，以为半径作圆即可；
（2）设圆的半径为r，利用勾股定理即可求出，利用切线性质可知，从而得到，从而求出结果．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：设圆的半径为r，
为的切线，
，
，即
解得：，
，
，
，
．
16．（2025·广东肇庆·一模）如图，，点是射线上一点．
(1)实践与操作：利用尺规作图，作，使，边交射线于，保留作图痕迹，不用写作法）；
(2)应用与证明：求证．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【知识点】根据平行线判定与性质证明、尺规作一个角等于已知角
【分析】本题主要考查了基本作图，平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用在射线上解决问题．
（1）根据要求作出图形；
（2）根据条件得出，进而证明四边形是平行四边形即可．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：由（1）得，
又
∴四边形是平行四边形，
∴．
17．（2025·广东惠州·一模）如图，在平行四边形中，是对角线．
(1)在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接、，若，，判断四边形的形状，并求其面积．
【答案】(1)见解析
(2)四边形为菱形，
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求面积、折叠问题
【分析】（1）作线段的垂直平分线即可；
（2）先证明四边形为菱形，然后根据菱形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，此时点为所求．
（2）如图，四边形为菱形．
沿翻折至
，，
平行四边形

又

四边形为菱形

又，
∴
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，证明四边形为菱形是解答本题的关键．
18．（2025·四川达州·一模）如图，在平行四边形中，已知．
(1)实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接交于点，若，，求的长（未完成作图的，可用草图作解答）．
【答案】(1)见解析
(2)6
【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质、作图-基本作图、等腰三角形的性质．
（1）由角平分线的作法容易得出结果，在上截取，连接，画出图形即可；
（2）连接，交于点O，由等腰三角形的性质得，，再由平行四边形的性质得，进而得，，再由等腰三角形的性质得，再由勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接，交于点O，
∵，平分，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴．
19．（2025·广东湛江·一模）如图，在中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，，求的面积
【答案】(1)图见解析
(2)
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质：
（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；
（2）根据角平分线的性质，得到点到边的距离等于的长，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）
解：设点到的距离为，
∵是的角平分线，，
∴，
∴的面积．
20．（2025·福建泉州·一模）如图，在中，．点在的延长线上，连结．
(1)尺规作图：过点A求作的平行线，与、的交点分别为、；
(2)在（1）的条件下，若点是的中点，．试求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】尺规作一个角等于已知角、利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，然后再以点A为圆心，根据角的尺规作图进行作图即可；
（2）由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）解：为所求作的线，所作图形如下：
（2）证明：，
四边形是平行四边形，
，
∵，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
．
21．（2025·广西南宁·一模）如图，已知．
(1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握是解题的关键．
（1）根据尺规作图作角平分线即可；
（2）由题意得，，，，根据全等三角形判定边角边即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，，，即为所求；
（2）解：证明：为平分线，
．
又，
．
在和中，
（SAS）．
22．（2025·广东·二模）如图，在中，，点D在的延长线上．
(1)作的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】同位角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图)、等边对等角
【分析】（1）根据角的平分线的基本作图，规范求作即可．
（2）利用角的平分线定义，等边对等角，三角形外角性质，平行线的判定，证明即可．
【详解】（1）解：根据角的平分线的基本作图，画图如下：

则即为所求．
（2）证明：∵，
∴，
∵的平分线，
∴
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握性质和作图是解题的关键．
23．（文化背景）如图1是东罗马鎏金银盘，这只鎏金银盘是舶来品，专家鉴定为东罗马帝国的产品．不过，它大约是一千五六百年前舶来的，现今落脚于甘肃省博物馆，成为众多馆藏文物中的“异类”——正是这个“异类”见证了千年前丝绸之路东西方贸易的繁荣．如图2，把它看作一个圆，点为圆心，点为上一点．
(1)请用不带刻度的直尺和圆规，在图2中作出的内接正方形；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)根据（1）中画出的图形，过圆心作边的垂线，分别交和于点，，若的半径为，则的长为______________．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、利用垂径定理求值
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，熟知垂径定理和正方形的性质和判定定理是解题的关键．
（1）连接并延长，交于C，过点O作的垂线，分别交于B、D，则四边形即为所求；
（2）由正方形的性质和勾股定理求出的长，由垂径定理得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解；如图所示，连接并延长，交于C，过点O作的垂线，分别交于B、D，则四边形即为所求；
分别为的直径，则相等且互相垂直平分，则四边形是正方形；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．（2025·江苏南通·模拟预测）菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），把沿直线折叠，与对应．
(1)请用无刻度直尺和圆规在图中作出（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若点在的延长线上，求的长；
(3)当与菱形的边垂直时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)或
【知识点】尺规作一个角等于已知角、利用菱形的性质求线段长、折叠问题、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）利用尺规作图作，在上截取，连接，即为所求；
（2）根据菱形的性质可得， ，由折叠可知，，，，在中，解直角三角形得，，即可求解；
（3）根据菱形的性质可得，，，由折叠可知，，，，，可得，
分两种：当时，当时，分别解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）菱形中，，，
∴，
由折叠可知，，，，
∵点在的延长线上，
∴，
在中，，
∴，，
∴；
（3）菱形中，，，，
由折叠可知，，，，，
∴，
当时，垂足为，
在中，，则，
∴，
在中，，
∴；
当时，垂足为，过点作，
∵，
∴，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，设，，
∴，
又∵，
∴，则，
∴；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，折叠的性质，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，理解相关图形的性质，作出图形是解决问题的关键．
题型四 利用无刻度直尺作图
25．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在平行四边形中，点为的中点．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)若，请在图1中的边上找点，使；
(2)如图2，点为边上一点，请在图2中的边上找点，使．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析．
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的证明、无刻度直尺作图
【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求；
（2）连接交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点为中点，
又∵点为的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
又∴，
∴，
∴；
（2）解：连接交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接并延长，交于点，则点即为所求，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴点为的中点，
又∵点为的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
∴，
∵点为的中点，，
∴是的中位线，
∴点是的中点，
∴是和的中位线，
∴，
∴．
26．（2025·江西·一模）如图，在正方形中，点E是边的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
(1)在图1中，画出以为底边的等腰，且；
(2)在图2中，已知F是的中点，请画出以为边的正方形，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】正方形性质理解、无刻度直尺作图
【分析】本题主要考查了正方形的性质，无刻度直尺画图，掌握正方形的性质成为解题的关键．
（1）如图（1）连接相交于O，连接并延长交与F，连接即可完成作图；
（2）如图（2）连接相交于O，连接并延长交与H，连接并延长交与G，连接即可完成作图；
【详解】（1）解：如图（1）：等腰即为所求．
∵是正方形的对称轴，
∴，
∵，，
∴．
∴等腰即为所求．
（2）解：如图（2）：正方形即为所求．
∵，，
∴，即正方形即为所求．
27．（2025·江西南昌·一模）如图，内接于，是直径，是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作出边上的中线．
(2)在图2中作出等腰三角形，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】重心的概念、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、无刻度直尺作图
【分析】本题考查作图复杂作图、全等三角形的判定与性质、圆周角定理及其推论、三角形的中线、等腰三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接，，相交于点，连接并延长，交于点，利用重心可知即为所求．
（2）在（1）的基础上，连接并延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点，结合圆周角定理及其推论、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定可知，即为所求．
【详解】（1）解：如图，连接，，相交于点，连接并延长，交于点，
∵是的中点，是的中点，
∴点是的重心，
∴为的边上的中线，
即为所求作；
（2）解：如图，在（1）的基础上，连接并延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接，
可知为的边上的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
即等腰三角形为所求．
28．（2025·江西·二模）如图，在平行四边形中，为的延长线上一点，且．请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹）
(1)在图1中，作出中边上的高；
(2)在图2中，作出一个菱形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、利用菱形的性质证明、无刻度直尺作图
【分析】（1）连接交于点，连接即可；
（2）延长交于点，令交于点，连接，，则四边形为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即是中边上的高；
（2）解：如图四边形即为所求．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握等腰三角形的性质，菱形的判定是解题的关键．
29．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的4个顶点都在格点上，E是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，先画交于点G，交边于点F，再在上画点H，使得平分；
(2)在图2中，先画的高，再分别在边和上画点M、N，使得，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】勾股定理与网格问题、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、无刻度直尺作图
【分析】（1）取边与网格线的交点，连接，即，取格点，连接、，易证，进而证明，则，即与的交点即为点；
（2）取格点、，连接交于点，则点是中点，连接交于点，由网格可知，进而得到，由因为，则点是高线的交点，连接并延长交于点，线段即为的高；由的面积公式，可得，取格点、、、，连接交于，连接交于点，连接即可．（由相似三角形可知，，，则，可得，且，进而得出）
【详解】（1）解：如图1，即为所求作；
（2）解：如图2，即为所求作；
【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，网格与勾股定理，特殊四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
30．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，、、的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)图①中，点D为边的中点且在格点上，在边上确定一点E，连接，使得；
(2)图②中，点I为边上一点且在格点上，在边上确定一点J，连接，使得；
(3)图③中，点M为边上一点且在格点上，在边上确定一点N，连接，使得．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平移的性质求解、无刻度直尺作图
【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，平移的性质；理解题意是作图的关键；
（1）如图，取与格线的交点，即可得到答案；
（2）取格点，连接与的交点为，即可得到答案；
（3）取格点，连接与的交点为，即可得到答案；
【详解】（1）解：如图①中，点即为所求；
如图，取与格线的交点，由网格特点可得：为的中点，
∵点D为边的中点，
∴为三角形的中位线，
∴；
（2）解：如图，点即为所求；
取格点，连接与的交点为，
由网格特点可得：是由向右平移1个单位得到的，
∴；
（3）解：如图，点即为所求；
；
取格点，连接与的交点为，
由网格特点可得：是由向右平移2个单位得到的，
∴；
31．如图，，点E在上，连接，请仅用无刻度直尺作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中以E为顶点，作一个角等于；
(2)在图2中，在的上方，作出一个与相等的角．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】对顶角相等、两直线平行内错角相等、无刻度直尺作图
【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，对顶角相等，平行线的性质；
（1）由对顶角相等，延长即可；
（2）由平行线的性质，延长交直线于点F，则．
【详解】（1）解：延长到M，则，即为满足条件的角；
（2）解：延长交直线于点F，
由，则．
即为所求作的角．
32．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图：在的网格中，、、为格点，仅用无刻度直尺完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示．
(1)图1，在将线段绕顺时针旋转得线段，再在上找一点，使得；
(2)在图2，先作边高，再在上找一点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、无刻度直尺作图
【分析】本题考查作图—旋转变换，解直角三角形，轴对称的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用旋转的性质作出线段，取格点、，连接交于点，连接，点即为所求（由得，可得）；
（2）取格点，连接交于点，线段即为所求．取格点，，连接交于点，连接交于点，连接并延长交于点（，关于对称，可得）．
【详解】（1）如图，线段，点即为所求；
（2）如图，线段，点即为所求
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