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猜押07 圆
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
圆 2024年四川凉山卷第2题，2024年青海卷第29题、2024年山东卷第14题 圆是中考高频考点，2024年全国卷中，切线性质、圆周角定理、弧长与扇形面积计算为核心。题型以选择、填空为主，解答题侧重与相似三角形、三角函数综合，难度中等偏上。 1. 动态几何：动点轨迹、圆与圆位置关系持续热门。 2. 实际应用：传统文化中的几何图案（苏州园林铁艺花窗）、工程测量（残缺圆形工件半径计算）。 3. 创新题型：圆与函数图像结合、探究性问题。
题型一 圆中求角度、线段长
1．（2025·云南·三模）如图，是的直径，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【分析】本题考查了圆周角定理，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的倍，可知，根据的度数可求的度数．
【详解】解：是中所对的圆周角，是中所对的圆心角，
．
故选：C．
2．（2025·云南文山·二模）如图，已知是的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【分析】本题考查圆周角，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理得到，由于，从而得到的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，是的弦，，交于点是上一点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边对等角、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理
【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
由得到，根据题意得到，继而得到，最后利用等边对等角即可解决问题．
【详解】解：，
，
是的弦，，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
4．（2025·山东淄博·一模）如图，四边形是的外切四边形，且，，的半径，则四边形的面积为（ ）
A．44 B．88 C．100 D．110
【答案】D
【知识点】应用切线长定理求解
【分析】本题考查的是切线长定理的应用，如图，连接，，，，作出过切点的半径，，，，证明，再利用割补法求解面积即可.
【详解】解：如图，连接，，，，作出过切点的半径，，，，
∵四边形是的外切四边形，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形的面积为：
；
故选：D
5．（2025·宁夏银川·一模）如图，是的直径，是延长线上一点，过作的切线，切点为点，点是劣弧上一点，连接，，，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，连接，则可以求出的度数，进而求出，再根据圆内接四边形的对角互补解题即可．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2025·山西临汾·一模）如图，在中，为直径，切于点，连接交于点，连接，若，，则 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质等，由圆周角定理得，由切线的性质得，即得，利用勾股定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵为直径，切于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2025·宁夏银川·一模）如图，与相切于点，线段交于点，过点作的切线交于点．若，，则的半径等于 ．
【答案】6
【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、应用切线长定理求解
【分析】本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理，根据切线的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵是的切线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的半径等于6，
故答案为：6．
8．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在半径为5的中，点为外一点，过作两条直线分别与圆交于、、、四点（顺时针排列），过作，垂足为；，垂足为．若，，，则的长为 ．
【答案】/
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判的性质是关键．
如图所示，连接，由垂径定理与勾股定理得到，由内接四边形的性质得到，可证明，得到，即，解得，解得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∴，
∵，
∴，
在中，，则，，
在中，，则，
∵点、、、四点在上，
∴四边形是内接四边形，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，即，
解得，（不符合题意，舍去）或，
∴，
故答案为： ．
9．如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E，的延长线于的切线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理
【分析】本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键．
（1）首先连接，由为直径，可得，又由是的切线，易证得．然后由，证得：；
（2）首先连接，设，由勾股定理可得方程：求得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接．
为的直径，
，
．
是的切线，
，
即．
．
，，
；
（2）如图，连接，
，
设，
：：，
，，
，
在中，，
即，
．
10．（文化背景）据史料记载，马车的发明者是多年前生活于夏王朝初年的奚仲．马车的发明是中国科技史上的一大创举．如图是古代马车的侧面示意图，是车轮的直径，过圆心O的车架的一端点C着地时，水平地面与车轮相切于点D，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求车轮的半径长．
【答案】(1)
(2)车轮的半径长米
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理
【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，掌握相关性质定理成为解题的关键．
（1）如图：连接，由切线的性质可得，即，再根据圆周角定理即可解答；
（2）由切线的性质可得，设车轮的半径为r，则，，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图：连接，
∵地面与车轮相切于点D，
∴，即，
∴，
∴．
（2）解：∵地面与车轮相切于点D，
∴，即，
设车轮的半径为r，则，，
∵，
∴，解得：．
∴车轮的半径长米．
11．（2025·贵州·模拟预测）如图，在 中，，是 的外接圆的切线，交的延长线于点D，F为的中点，连接并延长，分别交于点 E，G，连接．
(1)写出图中一对相等的角： ．
(2)求证：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)见解析
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据等弧对等角直接求解即可；
（2）根据切线性质求出为圆的直径，根据等弧对等角，垂径定理可得到，推出进而得出结论；
（3）根据切线性质，勾股定理求出的长，再证明，得到，从而求出结果．
【详解】（1）解：为的中点，
；
（2），
是的直径，
经过圆心O．
为的中点，
，
．
又，
，
，
，
；
（3）解：∵，
∴，
是的切线，
．
又，
．
，
．
，
．
又，
,　
．
由（1）知，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线性质，垂径定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
12．（2025·江西·模拟预测）【课本再现】如图1， 是的切线， 为切点， 是的直径．若，
(1)求的度数．
(2)【变式设问】如图2，是的直径， 与相切于点为上一 点，的延长线与射线相交于点D， 若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】证明某直线是圆的切线、应用切线长定理求证、圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）利用圆的切线性质得到，由切线长定理知，得到 ，最后根据三角形内角和定理求出．
（2）连接 ，利用等腰三角形性质得到 ，推出 ．
结合已知条件，得到 ，从而判定是切线，根据切线长定理即可得证．
【详解】（1）是的切线
．
（2）根据题意，
如图，连接，
可得
，
又
是的切线
．
题型二 扇形面积、弧长
1．（2025·江苏苏州·一模）扇形的半径为9，圆心角为，则该扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求扇形面积
【分析】本题考查了扇形的面积计算；根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：该扇形的面积是：，
故选：D．
2．（2025·山西临汾·一模）如图，在等腰直角三角形中，，以为直径画半圆交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求其他不规则图形的面积
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．设中点为点O，连接，先证得，再根据阴影部分的面积计算即可．
【详解】解：设中点为点O，连接，

∵是半圆的直径，
∴O是半圆的圆心，，
∵是等腰直角三角形，
∴D是中点．
∴，
∴，
，
，
∴阴影部分的面积，
，
，
故选：A．
3．（2025·山东临沂·一模）如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转，使点正好落在边上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求弧长、根据旋转的性质求解、根据特殊角三角函数值求角的度数
【分析】本题考查了矩形的性质，特殊角的锐角三角函数、弧长公式，首先根据矩形的性质可以得到：，，根据特殊角的锐角三角函数可得：，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
由旋转可知，
又，
，
，
，
的长为．
故选：C．
4．（2025·河南许昌·二模）如图，在正六边形中，连接，以点为圆心，的长为半径作，再以点为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积
【分析】本题考查的是正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算．连接，交于点，证明为等边三角形，，求解，，，，结合即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，交于点，
∵正六边形，
∴，
，，
∴，，
∴，，
∴为等边三角形，，
∴，，，
∴，
同理：，
∴，，
∴，
∴
；
故选：B．
5．（2025·云南·三模）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体侧面展开图的圆心角的度数为 ．
【答案】/288度
【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角、由三视图还原几何体
【分析】本题考查了几何体的三视图，圆锥的侧面展开图的圆心角等知识；由三视图确定出几何体的形状是圆锥，由三视图确定圆锥的底面直径及圆锥母线长，由扇形弧长公式即可求解．
【详解】解：由三视图知，该几何体是圆锥，且底面圆的直径是16，母线长为10；
设圆锥侧面展开图的圆心角为，则有，
解得：；
即该几何体侧面展开图的圆心角的度数为；
故答案为：．
6．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是 ．
【答案】
【知识点】求圆锥侧面积、求圆锥底面半径
【分析】本题考查圆锥的计算，根据弧长公式及圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，再根据圆的面积公式求出圆锥的底面积，从而根据“圆锥的表面积侧面积底面面积”计算即可．掌握弧长计算公式、圆锥的侧面积计算公式和圆的面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：，
则圆锥的侧面积为，圆锥的底面半径为，
则圆锥的底面积为
，
该圆锥的表面积是．
故答案为：．
7．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，中，，点为中点．将绕点顺时针旋转至的位置，此时点恰好落在上．若，则点经过的路径的长为 ．
【答案】
【知识点】等边对等角、求弧长、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，求弧长，解题的关键是熟练掌握弧长公式．根据等腰三角形的性质求出，根据旋转可知，根据三角形外角的性质求出，根据弧长公式求出．
【详解】解：∵，
∴，
根据旋转可知：，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴点经过的路径的长为：．
故答案为：．
8．（2025·山东潍坊·一模）如图，在平行四边形中，，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，交于点F，则阴影部分的面积为 （结果保留）
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、求其他不规则图形的面积
【分析】连接，连接，结合平行四边形的性质，由含所对的直角等于斜边一半，得到，进而得到，证明是等边三角形，进而推出，求出，再求出，即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键．
题型三 圆与正多边形
1．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理、求正多边形的中心角
【分析】本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关键．连接，先求出，再求出，然后根据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵正五边形内接于，
∴，
∴的度数为，
∵点为的中点，
∴的度数为，
∴，
由圆周角定理得：，
故选：C．
2．（文化背景）如图是我国清代康熙年间八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，若正八边形的边长为，对角线、相交于点．则线段的长为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】C
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可．
【详解】解：如图，过点作于，
由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，
在中，，，
，
同理，
，
，
故选：C．
3．（新情境）如图，若干个全等的正五边形围绕紧密排列一周，图中所示的是其中个正五边形的位置，正五边形与的交点分别记作，顺次连接，所得图形是（ ）
A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
【答案】C
【知识点】正多边形的外角问题、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形外角和、三角形内角和定理，根据任何多边形的外角和都为，可以求出正五边形每个外角的度数为，根据三角形内角和定理求出每个正五边形所对应的圆心角的度数为，从而可求共有个正五边形，所以可知顺次连接，所得图形是正十边形．
【详解】解：如下图所示，
和是正五边形的外角，
，
，
，
顺次连接，所得图形是正十边形．
故选：C．
4．（2025·上海虹口·二模）如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为，那么小正六边形的边心距是 ．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握直角三角形的边角关系以及正六边形的性质是正确解答的关键．根据直角三角形的边角关系以及正六边形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，
由题意得，在中，，，
，又，
，
即正六边形的边长为，
设正六边形的中心为，连接，过点作于点，
则，
在中，，，
，
即正六边形的边心距为，
故答案为：．
5．（新情境）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆，连接，，作．若劣弧的长为，则 ．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合、求扇形半径、求正多边形的中心角、解直角三角形的相关计算
【分析】先求出中心角，再根据弧长公式求得半径为2，然后解即可．
【详解】解：∵正六边形，是它的外接圆，
∴中心角，
∵劣弧的长为，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆圆与正多边形，解直角三角形，中心角的求解，弧长公式，综合性较强，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．（文化背景）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以“圆的内接正多边形的面积”来无限逼近“圆面积”．并指出在圆的内接正多边形边数加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．刘徽将极限思想和无穷小分割引入了数学证明，并运用“割圆术”计算出圆周率．如图①，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．
（1）如图②，在圆内接正十二边形中， （度）；
（2）用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为 ．
【答案】 30 3
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）根据正多边形与圆的关系可进行求解；
（2）过A作于M，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，
∴；
故答案为30；
（2）过A作于M，如图所示：
在正十二边形中，，
∴，
∴，
∴正十二边形的面积为，
∴，
∴，
∴的近似值为3，
故答案为3．
题型四 切线的证明
1．（2025·江苏淮安·一模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】证明某直线是圆的切线、三角形内心有关应用、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到即可；
（2）根据三角函数的定义得到，求得，再求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，交于点，
，
，
又为的内心，
，
，
∴，
∴，
又为的直径，
，
，
又∵，
，
∴是的切线；
（2）解：，
，
，
又，
，，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
2．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，为的直径，为延长线上一点，为上一点，连接，，作于点，交于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等边对等角、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了切线的判定定理，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，根据题意得到，得出，得到，即可得到结论；
（2）根据题意得，得到，求出，由（1）知，得到继而得到，由得到，求出，得到．
【详解】（1）证明：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
，，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：为的直径，，
，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
3．（2025·山东临沂·一模）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、垂径定理的推论、切线的性质和判定的综合应用、求其他不规则图形的面积
【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定及扇形的面积公式，矩形的判定和性质等知识点，熟练地掌握切线的判定方法是解决本题的关键．
（1）连接，证明，可得，再进一步可得结论；
（2）连接，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
∵是的中点，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接交于点，
∵是的直径，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
4．（2025·山东临沂·一模）如图，内接于，是上一点，．是外一点，，，连接．
(1)若，，求的长；
(2)求证：是的切线．
【答案】(1)4
(2)见解析
【知识点】全等三角形综合问题、证明某直线是圆的切线
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，切线的判定，掌握切线的判定是关键．
（1）证明 ，得到，即可求解；
（2）连接并延长交于点，可得，，，所以，结合切线的判定即可求解．
【详解】（1）解：，
，即，
又，，
，
，
；
（2）证明：连接并延长交于点，连接，
是的直径，
，
，
∵，
∴，
由（1）知
∴，
，
又，
，
，
，
，
是的切线．
5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）内接于，的延长线交于点，交于点，连接，平分，过点作，，垂足为点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（）连接，由圆周角定理得，进而由，即得，得到，进而得，由根据平行线的性质得，得，即得，即得到，即可求证；
（）过点作于，过点作的延长线于，可得，由四边形是正方形得，即得 ，再由得，，进而由得，最后利用勾股定理解答即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：如图，过点作于，过点作的延长线于，
则，，
由（）得，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点．
(1)求证：是切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查切线的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．
（1）连接，由切线的性质可知．证明得出，即，说明是的切线；
（2）证明得出，整理得；
（3）利用三角函数比得出，利用勾股定理得出，求出，再利用进而可求的长．
【详解】（1）证明：连接，
与相切于点，
，
在和中，
，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）证明：，，
，
，
；
（3）解：，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
解得，
的长是．
7．（2025·云南临沧·模拟预测）如图，⊙是的外接圆，是直径，，延长到点，使得，半径与交于点，连接与交于点．
(1)求证：是⊙的切线；
(2)若，求的长度；
(3)若是的中点，如图，求．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）根据是直径，，证明即可；
（2）根据得出，进而得出，得出特殊角，再利用三角函数求解即可；
（3）证明，再根据三角形中位线和三角函数求解即可．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
即，
是的直径，
是的切线；
（2）解：，
，，
又，
，
，
，
，
；
（3）解：为直径，，
，
，
，
、，
，
、，
又，
是的中位线，
设，则，
，
，
解得：，
则、，
，
，
，
则．
【点睛】本题考查了切线的证明，圆与三角函数的综合，解题关键是根据圆的相关知识得出角和线段的关系，再运用三角函数求解．
8．（2025·云南·模拟预测） 如图， 是的直径， 是上异于点A，B的一动点， 连接， ， 过点A 作射线．为射线上一点，连接．
【初步探究】
（1） 若，求的长；
【深入探究】若在点 P 的运动过程中，始终有
（2） 如图1， 若，求证：直线与相切；
（3） 如图2， 连接， 设，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【知识点】圆周角定理、切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）证明，再利用勾股定理求解即可；
（2）如图1，连接，证明， 求解，证明是等边三角形，可得，再进一步求解即可；
（3）如图2，过点A作射线，作射线使得，射线与交于点D，连接，则在中，求解，，证明，可得，可得，结合根据三角形的三边关系，得，进一步可得答案．
【详解】解：（1）是的直径，P是上异于点的一动点，
，
在中，由勾股定理，得；
（2）证明：如图1，连接，
，
，
，
是的直径，，
，
，
是等边三角形，
，
，即，
，又是的半径，
是的切线，即直线与相切；
（3）如图2，过点A作射线，作射线使得，射线与交于点D，连接，则在中，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，根据三角形的三边关系，得，
，即，
；
【点睛】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，特殊三角函数值，三角函数，等边三角形的判定与性质，切线的判定与性质，解直角三角形，三角形相似的判定与性质，三角形三边关系，作出合适的辅助线是解本题的关键．
题型五 圆与特殊四边形的问题
1．（2025·浙江湖州·一模）如图，已知的半径长是1，，分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则的长是（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】利用菱形的性质求线段长、切线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查菱形的性质，切线的性质，含30度的直角三角形，掌握圆的切线的性质是解题关键．连接，，根据切线的性质得到，再根据等边对等角的性质推出，进而得到，则，即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，，
，分别切于点A，B，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
2．（2025·浙江宁波·一模）已知矩形的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径上．若，则矩形的面积等于（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】C
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积、圆的基本概念辨析
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的有关概念，掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
连接，可由勾股定理求得，再证明，则，那么，即可求解矩形面积．
【详解】解：连接，则，
∵，
∴，
∵矩形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积为，
故选：C．
3．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米．
【答案】2π
【知识点】圆的周长和面积问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求面积
【分析】本题主要考查正方形的性质和圆的面积，连接，由正方形的两种可求出根据勾股定理求出，再根据圆的面积计算公式可得结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，且面积为4，
∴，
连接，如图，
∵正方形内接于，
∴，
∴由勾股定理得，
∴的面积为，
故答案为：．
4．（2025·重庆·一模）如图，平行四边形的顶点B、C、D在上，直径交于点F，点E是的中点，连接，交于点K，交于点G，若，，则 ， ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】连接，，由直径交于点F，点E是的中点，得到垂直平分，，，，设，则，，，，，得到，推出，求出；设半径，则，，在中根据勾股定理列方程得到，在中利用勾股定理得到，再根据，求出即可．
【详解】解：连接，，
∵直径交于点F，点E是的中点，
∴垂直平分，，
∴，，
∵，
∴设，则，，，
∵平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
设半径，则，，
∵中，
∴，整理得（负值舍去），
∴，，
∴，
∵中，
∴，
解得（负值舍去），
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
故答案为：，．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质,熟练掌握相关知识点是解题关键．
5．（2025·四川成都·二模）如图，的直径⊥弦，垂足为E，以为邻边作平行四边形，交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求直径和的长．
【答案】(1)见解析
(2)，
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、利用垂径定理求值、圆周角定理
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据圆内接四边形可得，根据垂径定理可得，再利用平行即可得到，即可解答；
（2）根据可得，连接，证明，即可求得，可得直径，过点作交于点，利用面积法即可求得，在根据勾股定理求得，利用等腰三角形的性质即可求得，即可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
的直径⊥弦，
，
，
，
四边形为内接四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
，
，
∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径为，
如图，过点作交于点，
根据勾股定理可得，
四边形为平行四边形，
，，
，
根据平行四边形的面积等于，
可得，
，
,
，
6．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，，点是边上的动点，以点为圆心，为半径的圆交边于点．设．
(1)当点是边的中点时，求的值；
(2)已知点是线段AE的中点（规定：当点与点重合时，点也与点重合），以点为圆心、为半径作
①当与边有公共点时，求的取值范围；
②如果经过边的中点，求此时与的公共弦长．
【答案】(1)
(2)①；②
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、利用平行四边形的性质证明、利用垂径定理求值
【分析】（1）过作于点H，由垂径定理可得，再利用三角函数求解即可；
（2）①当点E与A重合时可知，过作于点M，求出，可知在点运动过程中，与边始终有公共点，进而即可得出r的范围；
②利用建立方程求解，得到，即此时与A重合，进而即可得解．
【详解】（1）如图，过作于点H，则，
∵，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴，
∴，即，
解得；
（2）①当点E与点A重合时，
此时与A重合，，
∵，
∴，
∴，
∴，即此时，
过作于点M，
∵，
∴，
∴，
∴在点运动过程中，与边始终有公共点，
∴；
②如图，记中点为F，过F作，过作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，即，
解得；
∵，
∴在中，，
∵，
解得（负值舍去），
∴此时E和A重合，即与A重合，如图所示，为公共弦，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即与的公共弦长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、圆的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．（2025·江苏扬州·一模）在综合实践活动中，“类比探究”是一种常用方法，我们可以先尝试研究某个位置情况下的结论，然后再类比到其他情况去探究结论．
已知，正方形和它的外接圆．
【问题初探】如图1，若点E在弧上，F是上的一点，且，过点A作．试说明：；
【类比探究】如图2，若点E在弧上，过点A作，试探究此时线段之间的关系．请写出你的结论并证明；
【拓展应用】如图3，在正方形中，，若点P满足，且，请直接写出点A到的距离为_______．
【答案】问题探究：见详解；类比探究：，理由见详解；拓展应用：点A到的距离为或
【知识点】根据正方形的性质证明、90度的圆周角所对的弦是直径、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形
【分析】问题探究：连接，由题意易得，则可证，然后可得，进而可得是等腰直角三角形，最后问题可求证；
类比探究：在上取点G，使，连接，同理（1）可得：，则有是等腰直角三角形三角形，然后问题可求解；
拓展应用：由题意易得点P在以为直径的圆上，则可分当点P在如图3①所示位置时，当点P在如图3②所示位置时，进而问题可求解
【详解】问题探究：证明：连接，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴；
类比探究：，理由如下：
在上取点G，使，连接，
同理（1）可得：，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形三角形，
∵，
∴，
∵，
∴；
拓展应用：解：点A到的距离是或，理由如下：
∵，
∴点P在以点D为圆心，2为半径的圆上，
∵，
∴点P在以为直径的圆上，
∴点P是这两圆的交点，
①当点P在如图3①所示位置时，
连接、、，作，垂足为H，过点A作，交于点E，如图3①，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴A、P、D、B在以为直径的圆上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵是等腰直角三角形，点B、E、P共线，，
∴由（2）中的结论可得：，
∴，
∴；
②当点P在如图3②所示位置时，
连接、、，作，垂足为H，过点A作，交的延长线于点E，如图3②，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：点A到的距离为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．
8．（2025·江苏徐州·一模）在菱形中，，点在射线上运动（点与点不重合），关于的轴对称图形为．如图，为的外接圆，直线与交于点，连接交于点．
(1)若，则____________；
(2)当时，连接，判断直线与位置关系，并说明理由；
(3)直接写出的外接圆的半径的最小值．
【答案】(1)15
(2)直线与相切，理由见解析
(3)r的最小值为
【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）利用轴对称的性质，圆周角定理解答即可得出结论；
（2）过点E作于点H，利用菱形的性质，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质求得，利用直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理得到，则为圆的直径，利用等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，通过计算求得，则，最后利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用点的轨迹得到的外接圆为以为弦，所对的圆周角为的圆，则当取得最小值时，的外接圆的半径r取得最小值，过点D作于点E，利用轴对称的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质得到的长，则结论可求．
【详解】（1）解：∵关于的轴对称图形为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：直线与相切，理由：
过点E作于点H，如图，
∵四边形为菱形，
∴，
∵关于的轴对称图形为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为圆的直径，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴直线与相切；
（3）解：的外接圆的半径r的最小值为．
由题意得：，
∴的外接圆为以为弦，弦所对的圆周角为的圆，
∴当取得最小值时，的外接圆的半径r取得最小值，
∵点E在射线上运动，
∴当时，取得最小值，
过点D作于点E，如图，
此时点与点B重合，为的外接圆的直径，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴的外接圆的半径r的最小值．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质和菱形的性质是解题的关键．
题型六 与圆有关的实际问题
1．（文化背景）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连结，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理、求正多边形的中心角
【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆是解题的关键；连接，由题意易得正八边形每段弧所对的圆心角为，，然后问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，可知：正八边形每段弧所对的圆心角为，
∴，
∴点位于点的北偏东的角度是；
故选：C．
2．（文化背景）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转．则（ ）
A．120 B．116 C．108 D．100
【答案】C
【知识点】求弧长
【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故选C．
3．（新情境）图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查圆的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质；首先根据对称与等腰三角形的三线合一得到，再由勾股定理求得半径的长，进而得到，解题即可．
【详解】解 与关于直线对称，
，且，
与的半径相等，
设半径为，
，
由勾股定理可知，即，
解得，
，
，
故答案为：．
4．（文化背景）传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，能拼出1600多种不同的图形．嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图9-1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图9-2所示，A，B，C三点在圆上．
（1）的长为 ；
（2）圆的半径是 ．
【答案】 6
【知识点】利用垂径定理求值、根据成轴对称图形的特征进行求解、用七巧板拼图形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查利用轴对称设计图案，七巧板，正方形的性质，确定圆的条件，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）先求出七巧板各个图形的边长，再根据是平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成求解即可；
（2）如图，延长交于，设圆心，连接，由小鱼图案外轮廓是轴对称图形，得到垂直平分，得到圆心在上，，再在中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵边长为的正方形纸板做出如图9-1所示的七巧板，
∴大等腰直角三角形的直角边长为，中等腰直角三角形的直角边长为，小等腰直角三角形的直角边长为，小正方形的边长为，平行四边形的边长为和，
∴是平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成，即，
故答案为：；
（2）如图，延长交于，设圆心，连接，
∵小鱼图案外轮廓是轴对称图形，
∴垂直平分，
∴圆心在上，，
由题意可得，
设半径，则，
∵中，，
∴，
解得，
故答案为：．
5．（新情境）某种装置由两个厚度均为1的圆弧形金属块紧密嵌套而成，其截面示意图如图1所示，其中，所在圆的圆心均为O，两段优弧所对的圆心角均为，所在圆的半径为4．将该装置放置在水平桌面上，与桌面相切于点P．装置内部存有一定量的液体，液面记为，已知，外侧金属块固定不动，内侧金属块可转动一定的角度．
(1)求优弧的长；
(2)当内侧金属块转动到如图2所示的位置时，连接，，求证：；
(3)已知装置内部液体的液面，当内侧金属块转动到液面的一端E恰好与点A重合时，如图3，求点B到桌面的距离．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)10
【知识点】垂径定理的实际应用、其他问题（解直角三角形的应用）、求弧长
【分析】本题考查了圆的切线的性质，弧长公式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质．
（1）由已知可得优弧在圆的半径为6，所对的圆心角为，根据弧长公式计算即可；
（2）连接，，，，由题意知，再证明即可；
（3）连接，交于点G，连接，，，由题意知，，进而得，解直角三角形得，，，推出，证明点B，O，G，P在同一条直线上，点B到桌面的距离即为的长度，即可求解．
【详解】（1）解：所在圆的半径为4，圆弧形金属块的厚度均为1，
所在圆的半径为6，
∵优弧所对的圆心角为，
；
（2）解：连接，，，，如图，
由题意，
，
即，
又，，
，
；
（3）解：连接，交于点G，连接，，，如图，
由题意，，，
，
，
在中，，
，
，，
所对的圆心角为，
，
，
点B，O，G，P在同一条直线上，
点B到桌面的距离即为．
6．（新情境）切割锯（如图）是工人在工作中常用的工具，常用于切割木材、铁制品等，给工作带来了极大的便利，我们根据生活中的切割锯抽象出如图所示的图形，表示面板，表示锯片，线段可绕点带动转动，，当恰好和相切时，．
(1)求的半径；
(2)在切割过程中，点绕点逆时针旋转，和相交，表示切割的长度．
如图，，当时，求切割的长度为多少；
当旋转到时，切割锯能否将宽度为的木板切断！
【答案】(1)
(2)；旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）设半径为，由三角函数得，解之即可；
（2）如图，连接，由勾股定理得，由垂径定理得，最后根据，即可求解；
如图，当旋转到时，，由含的直角三角形的性质得，由勾股定理得，所以，因为，所以当旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断．
【详解】（1）解：设半径为，
当恰好和相切时，，，
，
解得：；
（2）解：如图，连接，
，，，
在中，，
，
；
如图，当旋转到时，，
，
，
连接，在中，，
，
，
当旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，含的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)猜押07 圆
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
圆 2024年四川凉山卷第2题，2024年青海卷第29题、2024年山东卷第14题 圆是中考高频考点，2024年全国卷中，切线性质、圆周角定理、弧长与扇形面积计算为核心。题型以选择、填空为主，解答题侧重与相似三角形、三角函数综合，难度中等偏上。 1. 动态几何：动点轨迹、圆与圆位置关系持续热门。 2. 实际应用：传统文化中的几何图案（苏州园林铁艺花窗）、工程测量（残缺圆形工件半径计算）。 3. 创新题型：圆与函数图像结合、探究性问题。
题型一 圆中求角度、线段长
1．（2025·云南·三模）如图，是的直径，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·云南文山·二模）如图，已知是的直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，是的弦，，交于点是上一点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山东淄博·一模）如图，四边形是的外切四边形，且，，的半径，则四边形的面积为（ ）
A．44 B．88 C．100 D．110
5．（2025·宁夏银川·一模）如图，是的直径，是延长线上一点，过作的切线，切点为点，点是劣弧上一点，连接，，，若，则的度数为 ．
6．（2025·山西临汾·一模）如图，在中，为直径，切于点，连接交于点，连接，若，，则 ．
7．（2025·宁夏银川·一模）如图，与相切于点，线段交于点，过点作的切线交于点．若，，则的半径等于 ．
8．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在半径为5的中，点为外一点，过作两条直线分别与圆交于、、、四点（顺时针排列），过作，垂足为；，垂足为．若，，，则的长为 ．
9．如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E，的延长线于的切线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
10．（文化背景）据史料记载，马车的发明者是多年前生活于夏王朝初年的奚仲．马车的发明是中国科技史上的一大创举．如图是古代马车的侧面示意图，是车轮的直径，过圆心O的车架的一端点C着地时，水平地面与车轮相切于点D，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求车轮的半径长．
11．（2025·贵州·模拟预测）如图，在 中，，是 的外接圆的切线，交的延长线于点D，F为的中点，连接并延长，分别交于点 E，G，连接．
(1)写出图中一对相等的角： ．
(2)求证：；
(3)若，求的值．
12．（2025·江西·模拟预测）【课本再现】如图1， 是的切线， 为切点， 是的直径．若，
(1)求的度数．
(2)【变式设问】如图2，是的直径， 与相切于点为上一 点，的延长线与射线相交于点D， 若，求证：．
题型二 扇形面积、弧长
1．（2025·江苏苏州·一模）扇形的半径为9，圆心角为，则该扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西临汾·一模）如图，在等腰直角三角形中，，以为直径画半圆交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
3．（2025·山东临沂·一模）如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转，使点正好落在边上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河南许昌·二模）如图，在正六边形中，连接，以点为圆心，的长为半径作，再以点为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·云南·三模）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体侧面展开图的圆心角的度数为 ．
6．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是 ．
7．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，中，，点为中点．将绕点顺时针旋转至的位置，此时点恰好落在上．若，则点经过的路径的长为 ．
8．（2025·山东潍坊·一模）如图，在平行四边形中，，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，交于点F，则阴影部分的面积为 （结果保留）
题型三 圆与正多边形
1．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（文化背景）如图是我国清代康熙年间八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，若正八边形的边长为，对角线、相交于点．则线段的长为（ ）
A． B． C． D．12
3．（新情境）如图，若干个全等的正五边形围绕紧密排列一周，图中所示的是其中个正五边形的位置，正五边形与的交点分别记作，顺次连接，所得图形是（ ）
A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
4．（2025·上海虹口·二模）如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为，那么小正六边形的边心距是 ．
5．（新情境）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆，连接，，作．若劣弧的长为，则 ．
6．（文化背景）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以“圆的内接正多边形的面积”来无限逼近“圆面积”．并指出在圆的内接正多边形边数加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．刘徽将极限思想和无穷小分割引入了数学证明，并运用“割圆术”计算出圆周率．如图①，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．
（1）如图②，在圆内接正十二边形中， （度）；
（2）用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为 ．
题型四 切线的证明
1．（2025·江苏淮安·一模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
2．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，为的直径，为延长线上一点，为上一点，连接，，作于点，交于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的长．
3．（2025·山东临沂·一模）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
4．（2025·山东临沂·一模）如图，内接于，是上一点，．是外一点，，，连接．
(1)若，，求的长；
(2)求证：是的切线．
5．（2025·辽宁葫芦岛·一模）内接于，的延长线交于点，交于点，连接，平分，过点作，，垂足为点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长度．
6．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点．
(1)求证：是切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
7．（2025·云南临沧·模拟预测）如图，⊙是的外接圆，是直径，，延长到点，使得，半径与交于点，连接与交于点．
(1)求证：是⊙的切线；
(2)若，求的长度；
(3)若是的中点，如图，求．
8．（2025·云南·模拟预测） 如图， 是的直径， 是上异于点A，B的一动点， 连接， ， 过点A 作射线．为射线上一点，连接．
【初步探究】
（1） 若，求的长；
【深入探究】若在点 P 的运动过程中，始终有
（2） 如图1， 若，求证：直线与相切；
（3） 如图2， 连接， 设，求m的取值范围．
题型五 圆与特殊四边形的问题
1．（2025·浙江湖州·一模）如图，已知的半径长是1，，分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则的长是（　　）
A． B．3 C． D．4
2．（2025·浙江宁波·一模）已知矩形的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径上．若，则矩形的面积等于（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
3．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米．
4．（2025·重庆·一模）如图，平行四边形的顶点B、C、D在上，直径交于点F，点E是的中点，连接，交于点K，交于点G，若，，则 ， ．
5．（2025·四川成都·二模）如图，的直径⊥弦，垂足为E，以为邻边作平行四边形，交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求直径和的长．
6．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，，点是边上的动点，以点为圆心，为半径的圆交边于点．设．
(1)当点是边的中点时，求的值；
(2)已知点是线段AE的中点（规定：当点与点重合时，点也与点重合），以点为圆心、为半径作
①当与边有公共点时，求的取值范围；
②如果经过边的中点，求此时与的公共弦长．
7．（2025·江苏扬州·一模）在综合实践活动中，“类比探究”是一种常用方法，我们可以先尝试研究某个位置情况下的结论，然后再类比到其他情况去探究结论．
已知，正方形和它的外接圆．
【问题初探】如图1，若点E在弧上，F是上的一点，且，过点A作．试说明：；
【类比探究】如图2，若点E在弧上，过点A作，试探究此时线段之间的关系．请写出你的结论并证明；
【拓展应用】如图3，在正方形中，，若点P满足，且，请直接写出点A到的距离为_______．
8．（2025·江苏徐州·一模）在菱形中，，点在射线上运动（点与点不重合），关于的轴对称图形为．如图，为的外接圆，直线与交于点，连接交于点．
(1)若，则____________；
(2)当时，连接，判断直线与位置关系，并说明理由；
(3)直接写出的外接圆的半径的最小值．
题型六 与圆有关的实际问题
1．（文化背景）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连结，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是（ ）
A． B． C． D．
2．（文化背景）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转．则（ ）
A．120 B．116 C．108 D．100
3．（新情境）图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为 ．
4．（文化背景）传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，能拼出1600多种不同的图形．嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图9-1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图9-2所示，A，B，C三点在圆上．
（1）的长为 ；
（2）圆的半径是 ．
5．（新情境）某种装置由两个厚度均为1的圆弧形金属块紧密嵌套而成，其截面示意图如图1所示，其中，所在圆的圆心均为O，两段优弧所对的圆心角均为，所在圆的半径为4．将该装置放置在水平桌面上，与桌面相切于点P．装置内部存有一定量的液体，液面记为，已知，外侧金属块固定不动，内侧金属块可转动一定的角度．
(1)求优弧的长；
(2)当内侧金属块转动到如图2所示的位置时，连接，，求证：；
(3)已知装置内部液体的液面，当内侧金属块转动到液面的一端E恰好与点A重合时，如图3，求点B到桌面的距离．
6．（新情境）切割锯（如图）是工人在工作中常用的工具，常用于切割木材、铁制品等，给工作带来了极大的便利，我们根据生活中的切割锯抽象出如图所示的图形，表示面板，表示锯片，线段可绕点带动转动，，当恰好和相切时，．
(1)求的半径；
(2)在切割过程中，点绕点逆时针旋转，和相交，表示切割的长度．
如图，，当时，求切割的长度为多少；
当旋转到时，切割锯能否将宽度为的木板切断！
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