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猜押09 锐角三角形函数
猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
锐角三角形函数 2024年四川省达州市第5题，2024年吉林省第20题、2024年陕西省第21题 锐角三角函数是中考核心考点，多以选择、填空及解答题形式呈现，分值约8-12分。高频考点包括特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值计算、解直角三角形的实际应用（如仰角俯角、坡度），以及与几何图形（圆、四边形）结合的综合题。近年真题显示，实际问题建模（如测量高度、航海定位）和辅助线构造能力考查趋势显著。 1. 实际应用：新课标强调数学核心素养，结合无人机测量、建筑设计等情境的解直角三角形问题概率高。 2. 综合题型：锐角三角函数与相似三角形、勾股定理的融合题（如网格中求三角函数值）可能作为压轴题。 3. 核心技能：通过构造直角三角形或利用同角/互余角关系解题的能力是得分关键，需重点训练。 4. 特殊角与计算：特殊角的三角函数值混合运算及由函数值求角度的基础题仍为必考点。
题型一 求某个角的三角函数值
1．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，是斜边上的中线．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河北邢台·一模）如图，已知正六边形的顶点在直线上，是的中点，连接并延长交直线于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东·一模）如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点都在格点上，经过点的圆与小正方形一边相交于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·上海徐汇·二模）如图，梯形中，，，，，那么的值是 ．
5．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的值为 ．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知矩形，，，点是直线上一点，若，则 ．
题型二 通过三角函数值求某边的长
1．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．6
2．（2025·贵州毕节·一模）已知如图，在平行四边形中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点和都在轴上，点在双曲线上．连结，若，则正方形的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
4．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为 ．
5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为 ．
6．（2025·海南·一模）如图，在中，为对角线，于点，点是延长线上一点，且，射线交线段的延长线于点．若，，，则的长为 ；若点为的中点，连接，则的长为 ．
题型三 特殊的三角函数值
1．（2025·广东江门·一模）若锐角，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
2．（2025·重庆·二模）计算： ．
3．（2025·广东深圳·模拟预测）计算：．
4．（2025·广东江门·一模）计算：
5．（2025·陕西宝鸡·一模）计算：
6．（2025·山东济南·一模）计算：．
7．（2025·江苏宿迁·一模）计算：．
8．（2025·安徽池州·二模）计算：．
题型四 利用锐角三角函数解决实际问题
1．（新情境）小颖在国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为（ ）（参考数据：）．
A．85.5米 B．86.6米 C．87.5米 D．88.5米
2．（2025·福建泉州·一模）如图，滨海办公区东、西两栋办公楼的高度相等，且水平距离为．下午3时太阳光线与地面所成的角是．这时东楼二层离地的阳台与西楼的楼顶、太阳恰好在一条直线上，则这两栋办公楼的高度为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·上海金山·二模）如图，小海想测量塔的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部的距离，于是小海在观测点处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进米至观测点处，测得塔顶的仰角为，点、、在一直线上，小海测得塔的高度为 米（小海的身高忽略不计，用含、的三角比和的式子表示）．
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行，某次拍摄中，当运动员在点位置时，无人机在他的仰角为的斜上方处，当运动员到达地面点时，无人机恰好到达运动员正上方的处，已知的坡度为且长为300米，无人机飞行距离为60米，则无人机离地面高度的长是 米．（参考数据：）
5．（2025·甘肃天水·一模）2025年3月16日，由甘肃省文化和旅游厅策划主办的“跟着艺术游甘肃”西北戏曲荟萃展演系列活动将在龙城天水拉开帷幕．来自西北五省区、新疆生产建设兵团的33家戏曲院团在天水伏羲广场接连上演精彩大戏．小明跟随爷爷去看戏，发现伏羲广场有一棵树龄300多年的老槐树．为测量该树的高度，他和同学买了三角尺和量角器自制了测角仪，测角仪高米．他们先在大树前的平地上点处架起测角仪测得大树顶端的仰角，然后向前直走24米到达处，又测得大树顶端的仰角，已知在同一直线上（如图所示），求老槐树的高度．（参考数据：）
6．（文化背景）近年来，正定县在古城保护方面取得了显著成效，对城内古寺古木都采取了专业性的保护措施．如图，某工作人员在A处看到B，C处各有一棵被古塔隔开的古树，他在A处测得古树B在北偏西方向，古树C在北偏东方向．该工作人员从A处走了到达古树B后，又在B处测得古树C在北偏东方向上．
(1)求及的度数；
(2)求两棵古树B，C之间的距离（结果保留根号）．
7．（新情境）图是一款可调节椅背的办公室沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力，图是它的侧面示意图已知椅背，现将椅背角度从调节到（即， ），过点，作，，分别交直线于点，．
(1)求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，， ）
(2)求调节过程中椅背扫过的面积结果保留
8．（2025·辽宁葫芦岛·一模）爷爷有一把躺椅，如图1所示，其侧面结构的几何示意图如图2所示，躺椅主要由座面，靠背以及支架和组成，其中座面与地面平行，，，，．（图中所示线段均在同一平面内）．
(1)求座面与地面的距离；
(2)求靠背最高点E与地面的距离．（结果保留根号）
9．（文化背景）如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知，，与的夹角为．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角调整为，并用铁链锁定、两点．
(1)求出点到的距离（结果精确到）；
(2)农夫站在离顶端处的处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的处到地面的高度．（结果精确到）．（参考数据：，，，，）
10．（2025·山西运城·二模）在广袤的海洋中，航海者依赖海图来寻找航道．我国大型远洋综合测量船“海巡08”轮的建成交付和使用，有效填补了我国在深远海海事测量船舶领域的空白．如图为“海巡08”轮某次海道测量示意图，其吃水深度米，测得海底山丘C与E两点到船底探测器的声音往返所用时间分别为秒和秒，声音在海水中传播的速度约为1500米/秒，若两次声波发出的角度，，，，点B、C、D三点在一条直线上．（图中点A，M，B，C，D，E在同一平面内，参考数据：，，结果精确到1米）
(1)本次海道测量，海平面距离海底的深度是多少米？
(2)试求海底山丘CE的坡度是多少？
11．（跨学科融合）如图1，在一次物理光学实验中，激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光线沿直线传播后恰好经过点B，加水至处时，光线经过折射后经过点C．图2是示意图，四边形为矩形，为法线（法线与液面互相垂直），．（参考数据：）
(1)求入射角的度数；
(2)若测得，求 C，D两点间的距离．
12．（跨学科融合）如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度，烧杯高度，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分，且，漏斗管位于烧杯的上方部分，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点处，，玻璃棒长度为．
（结果精确到）
(1)求漏斗口处点到底座的高度；
(2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为，求此时玻璃棒顶端点到桌面的距离．
（参考数据：，，，）
13．（2025·山东济宁·二模）如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景．已知点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，相距千米．（参考数据：，，）
(1)求的距离（结果保留根号）；
(2)小聪和小明同时从点出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为千米/小时，观光车的速度为千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点，并说明理由．
14．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，某湖区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景．已知点在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，测得为，点到点、点的距离相等，、两地的距离为6千米．（参考数据：．）
(1)求两地的距离（结果保留根号）；
(2)分别求出路线一和路线二的长度（结果保留根号）．
15．（2025·湖南衡阳·一模）如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔，塔尖点到地面的距离为．红红站在离房子的底端前方30米的点处，眼睛距离地面的高度米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为．红红家到山脚的水平距离米，山坡的坡度为（），山脚到塔尖的仰角为．
(1)若米，则__________米，__________米（用含的代数式表示）；
(2)求房子和塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，）
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猜押考点 1年全国真题 考情分析 押题依据
锐角三角形函数 2024年四川省达州市第5题，2024年吉林省第20题、2024年陕西省第21题 锐角三角函数是中考核心考点，多以选择、填空及解答题形式呈现，分值约8-12分。高频考点包括特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值计算、解直角三角形的实际应用（如仰角俯角、坡度），以及与几何图形（圆、四边形）结合的综合题。近年真题显示，实际问题建模（如测量高度、航海定位）和辅助线构造能力考查趋势显著。 1. 实际应用：新课标强调数学核心素养，结合无人机测量、建筑设计等情境的解直角三角形问题概率高。 2. 综合题型：锐角三角函数与相似三角形、勾股定理的融合题（如网格中求三角函数值）可能作为压轴题。 3. 核心技能：通过构造直角三角形或利用同角/互余角关系解题的能力是得分关键，需重点训练。 4. 特殊角与计算：特殊角的三角函数值混合运算及由函数值求角度的基础题仍为必考点。
题型一 求某个角的三角函数值
1．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，是斜边上的中线．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、求角的余弦值
【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线可得，，进而得，然后利用锐角三角函数进行计算即可解答．
【详解】解：在，是斜边上的中线，，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2025·河北邢台·一模）如图，已知正六边形的顶点在直线上，是的中点，连接并延长交直线于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形的内角问题、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值
【分析】先求出六边形的每个内角为，再结合度所对的直角边是斜边的一半，得，，运用勾股定理算出，，然后证明，代入数值得，，结合进行计算，即可作答．
【详解】解：过点作，延长交直线于一点，如图所示：
∵六边形是正六边形，
∴六边形的内角和，
则六边形的每个内角为，
∵
∴
则
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了正多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，求一个角的正切值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
3．（2025·山东·一模）如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点都在格点上，经过点的圆与小正方形一边相交于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理与网格问题、圆周角定理、求角的余弦值
【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理的推论把求的余弦值转化成求的余弦值，本题是一道比较不错的习题．
首先根据圆周角定理的推论可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出．
【详解】解：如图，连接、．
和所对的弧长都是，
根据圆周角定理的推论知，．
∵
∴为直径，
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，，
，
．
故选：D．
4．（2025·上海徐汇·二模）如图，梯形中，，，，，那么的值是 ．
【答案】/
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、求角的正弦值
【分析】本题考查的是梯形是性质、解直角三角形、平行四边形的判定和性质．过点C作，交的延长线于E，根据平行四边形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于E，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，添加辅助线构造直角三角形，是解决问题的关键．
由题意可知，，过点作，交于，则，，过点作，交于，则，可知，得，则，设，，得，，，则，可得，再根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
过点作，交于，则，，
过点作，交于，则，
∴，
∴，则，
∵，则设，，
∴，，，
则，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知矩形，，，点是直线上一点，若，则 ．
【答案】或1
【知识点】根据矩形的性质求线段长、求角的正切值
【分析】本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了矩形的性质以及分类讨论思想的运用．
分类讨论：当点P在边上，根据矩形的性质有，，，，得 ，得到；当点P在边的延长线上， 得，得到．
【详解】解： 此题有两种可能：
（1）点P在线段上时.
∵矩形中，，，点是直线上一点，，
∴，
∵，
∴；
（2）点P在的延长线上时，，
∴．
综上，或 ．
故答案为：或1．
题型二 通过三角函数值求某边的长
1．（2025·江苏扬州·一模）如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识．先求出，，过点D作交延长线于点E，证明，得到，设,则，，根据列方程并解方程即可．
【详解】解：∵在中，，，
，；
过点D作交延长线于点E，
，，
，
，
，
设,
则，，
∵，
即，
解得，
即的长为，
故选B．
2．（2025·贵州毕节·一模）已知如图，在平行四边形中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三线合一、利用平行四边形的性质求解、由平行判断成比例的线段、解直角三角形的相关计算
【分析】由平行四边形得，，又，则，过点作，过点作，过点作，设，解直角三角形分别求出，，，的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，平行线分线段成比例，求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∵，
∴，
过点作，过点作，过点作，
设，
则，
∴，， ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
由题意可得：，
∴，即，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例，三线合一，等积法求线段，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线是解题的关键．
3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点和都在轴上，点在双曲线上．连结，若，则正方形的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
【答案】C
【知识点】反比例函数与几何综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查解直角三角形，已知值求面积，根据，设，，进而得到点坐标，根据点在双曲线上，把点代入，求出的值，进而求出正方形的边长，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵正方形，
∴轴，轴，，
∴，
设，，
则：，
∴，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
解得：（负值舍掉），
∴，
∴正方形的面积为；
故选C．
4．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键，根据，求出的长，勾股定理求出的长，再根据等角的余弦相等，求出的长即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为 ．
【答案】6或12
【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了菱形的性质、解直角三角形，结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键．根据题意，分①点在线段上；②点在延长线上2种情况讨论，作于点，根据菱形的性质和解直角三角形的相关知识即可求解．
【详解】解：①若点在线段上，如图，作于点，则，
菱形，
，，
，
在中，，
设，则，
，
，
解得：或（舍去），
，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
；
②若点在延长线上，如图，作于点，则，
同理①中的方法可得，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
点与点重合，
；
综上所述，的长为6或12．
故答案为：6或12．
6．（2025·海南·一模）如图，在中，为对角线，于点，点是延长线上一点，且，射线交线段的延长线于点．若，，，则的长为 ；若点为的中点，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】由，则，则，从而求出，，通过平行四边形的性质，，，通过勾股定理得，通过等腰三角形的性质得出，延长交于点，然后证明，故有，求出，，最后由中位线定理和线段和差即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
∵点为的中点，，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，平行四边形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
题型三 特殊的三角函数值
1．（2025·广东江门·一模）若锐角，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B
2．（2025·重庆·二模）计算： ．
【答案】/
【知识点】负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的运算、负整数指数幂等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算特殊角的三角函数值的运算、负整数指数幂，再计算乘法与加法即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
3．（2025·广东深圳·模拟预测）计算：．
【答案】2
【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了含特殊锐角三角函数值的实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先分别利用零指数幂、二次根式、绝对值、负整数指数幂的性质，及特殊锐角三角函数值进行计算，再合并同类项即可．
【详解】解：原式
．
4．（2025·广东江门·一模）计算：
【答案】3
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题主要考查零次幂、负指数幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据零次幂、负指数幂及特殊三角函数值进行求解．
【详解】解：原式．
5．（2025·陕西宝鸡·一模）计算：
【答案】
【知识点】求一个数的绝对值、实数的混合运算、零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先化简绝对值，计算零指数幂，求特殊角的三角函数值，再计算减法即可．
【详解】解：
．
6．（2025·山东济南·一模）计算：．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的计算，零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，熟练掌握相关计算法则是解题的关键；
先根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算，然后进行乘法运算后合并即可．
【详解】解：
7．（2025·江苏宿迁·一模）计算：．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算、有理数的乘方、化简绝对值、负整数指数幂，按照运算顺序计算即可，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键．
【详解】解：
．
8．（2025·安徽池州·二模）计算：．
【答案】4
【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
根据乘方运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质化简，再合并，即可求解；
【详解】解：
．
题型四 利用锐角三角函数解决实际问题
1．（新情境）小颖在国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为（ ）（参考数据：）．
A．85.5米 B．86.6米 C．87.5米 D．88.5米
【答案】B
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点P作，垂足为P，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据米，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：过点P作，垂足为C，
设米，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵米，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴点P到赛道的距离约为86.6米，
故选：B．
2．（2025·福建泉州·一模）如图，滨海办公区东、西两栋办公楼的高度相等，且水平距离为．下午3时太阳光线与地面所成的角是．这时东楼二层离地的阳台与西楼的楼顶、太阳恰好在一条直线上，则这两栋办公楼的高度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键．根据题意得，，再根据正切的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，
由题意得，，，
在中，，
，
这两栋办公楼的高度为．
故选：B．
3．（2025·上海金山·二模）如图，小海想测量塔的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部的距离，于是小海在观测点处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进米至观测点处，测得塔顶的仰角为，点、、在一直线上，小海测得塔的高度为 米（小海的身高忽略不计，用含、的三角比和的式子表示）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解．在中，的对边是，邻边是，则，表示出，在中，表示出，结合即可求解．
【详解】解：设米．
在中，，
，
在中，，
，
，
，
∴，
答：塔的高度约为米．
故答案为：．
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行，某次拍摄中，当运动员在点位置时，无人机在他的仰角为的斜上方处，当运动员到达地面点时，无人机恰好到达运动员正上方的处，已知的坡度为且长为300米，无人机飞行距离为60米，则无人机离地面高度的长是 米．（参考数据：）
【答案】345
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，过A点作地面的垂线，交地面于点E，过点C作于点G，由的坡度为且长为300米，结合勾股定理可得米，米，米，在中，，可得米，则米，根据可得出答案．
【详解】解：过A点作地面的垂线，交地面于点E，过点C作于点G，
∵的坡度为，
∴，
设米，则米，
由勾股定理可得米，
∴，
解得，
∴米，米，
∵四边形是矩形，
∴米，
∴米，
在中，，
∴米，
∴米，
∴（米）．
∴无人机离地面的高度的长约为345米．
故答案为：345．
5．（2025·甘肃天水·一模）2025年3月16日，由甘肃省文化和旅游厅策划主办的“跟着艺术游甘肃”西北戏曲荟萃展演系列活动将在龙城天水拉开帷幕．来自西北五省区、新疆生产建设兵团的33家戏曲院团在天水伏羲广场接连上演精彩大戏．小明跟随爷爷去看戏，发现伏羲广场有一棵树龄300多年的老槐树．为测量该树的高度，他和同学买了三角尺和量角器自制了测角仪，测角仪高米．他们先在大树前的平地上点处架起测角仪测得大树顶端的仰角，然后向前直走24米到达处，又测得大树顶端的仰角，已知在同一直线上（如图所示），求老槐树的高度．（参考数据：）
【答案】米
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设米，解求出的长，解求出的长，再根据米，建立方程求解即可．
【详解】解：设米，
由题意得，米，米，
在中，（米），
在中，（米），
∵米，
∴，
解得，
∴（米）,
答：老槐树的高度为米．
6．（文化背景）近年来，正定县在古城保护方面取得了显著成效，对城内古寺古木都采取了专业性的保护措施．如图，某工作人员在A处看到B，C处各有一棵被古塔隔开的古树，他在A处测得古树B在北偏西方向，古树C在北偏东方向．该工作人员从A处走了到达古树B后，又在B处测得古树C在北偏东方向上．
(1)求及的度数；
(2)求两棵古树B，C之间的距离（结果保留根号）．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】与方向角有关的计算题、三角形的外角的定义及性质、方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关系是解题的关键．
（1）过点A作，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质可求出，进而根据平行线的性质求得，即可求解．
（2）过点A作于点G，则，在中，根据等角对等边和正弦的定义可求出，在中，根据正切的定义可求出，再根据可得结果．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作，
且，
，
且，
，
，
，
，，
；
（2）解：过点A作于点G，则，
在中，，
，
又，
，
，，
，
在中，，
，
即两棵古树B，C之间的距离为．
7．（新情境）图是一款可调节椅背的办公室沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力，图是它的侧面示意图已知椅背，现将椅背角度从调节到（即， ），过点，作，，分别交直线于点，．
(1)求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，， ）
(2)求调节过程中椅背扫过的面积结果保留
【答案】(1)水平方向增加的距离长约为
(2)调节过程中椅背扫过的面积为
【知识点】求图形旋转后扫过的面积、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用及扇形的面积．
（1）由题意得，求出，，解直角三角形求出，，即可求解；
（2）先求出，再根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，
，，
，，
，，
，
，，
，
答：水平方向增加的距离长约为；
（2）解：由题意得，
；
答：调节过程中椅背扫过的面积为．
8．（2025·辽宁葫芦岛·一模）爷爷有一把躺椅，如图1所示，其侧面结构的几何示意图如图2所示，躺椅主要由座面，靠背以及支架和组成，其中座面与地面平行，，，，．（图中所示线段均在同一平面内）．
(1)求座面与地面的距离；
(2)求靠背最高点E与地面的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的判定与性质，解题的关键在于作辅助线构造直角三角形．
（1）过点作于点，根据求解，即可解题；
（2）过点作于点，延长交延长线于点，证明四边形为矩形，求出，再根据求出，最后根据求解，即可解题．
【详解】（1）解：过点作于点，
，，
，
座面与地面的距离为；
（2）解：过点作于点，延长交延长线于点，
座面与地面平行，
于点，
，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
．
9．（文化背景）如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知，，与的夹角为．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角调整为，并用铁链锁定、两点．
(1)求出点到的距离（结果精确到）；
(2)农夫站在离顶端处的处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的处到地面的高度．（结果精确到）．（参考数据：，，，，）
【答案】(1)
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是关键．
（1）如解图，过点作于点，在中，，即可求解；
（2）过点作于点，可得，根据等腰三角形的内角和定理得到，在中，，由此即可求解．
【详解】（1）解：如解图，过点作于点，
∵，，且，
∴在中，，
∴点到的距离约等于；
（2）解：过点作于点，
由题意可知，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
答：此时农夫所在的处到地面的高度约为．
10．（2025·山西运城·二模）在广袤的海洋中，航海者依赖海图来寻找航道．我国大型远洋综合测量船“海巡08”轮的建成交付和使用，有效填补了我国在深远海海事测量船舶领域的空白．如图为“海巡08”轮某次海道测量示意图，其吃水深度米，测得海底山丘C与E两点到船底探测器的声音往返所用时间分别为秒和秒，声音在海水中传播的速度约为1500米/秒，若两次声波发出的角度，，，，点B、C、D三点在一条直线上．（图中点A，M，B，C，D，E在同一平面内，参考数据：，，结果精确到1米）
(1)本次海道测量，海平面距离海底的深度是多少米？
(2)试求海底山丘CE的坡度是多少？
【答案】(1)海平面距离海底的深度是米；
(2)
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解坡度概念是关键．
（1）先求解，结合，再进一步可得答案；
（2）如图，过作于，连接，结合题意可得：，，求解，结合，进一步求解，，从而可得答案．
【详解】（1）解：由题意可得：，，
∴，
∵，
∴（米）；
∴海平面距离海底的深度是米；
（2）解：如图，过作于，连接，结合题意可得：
，，
∵，，
∴，，
∴，
由（1）可得：，
∴，
∴海底山丘CE的坡度是．
11．（跨学科融合）如图1，在一次物理光学实验中，激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光线沿直线传播后恰好经过点B，加水至处时，光线经过折射后经过点C．图2是示意图，四边形为矩形，为法线（法线与液面互相垂直），．（参考数据：）
(1)求入射角的度数；
(2)若测得，求 C，D两点间的距离．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练三角函数求角度是解题的关键．
（1）求得，再利用平行线的性质可得；
（2）延长，与相交于点，求得，利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
根据题意得，
；
（2）解：如图，延长，与相交于点H，
可得四边形为矩形，
，
，
在中，，
故 C，D 两点间的距离是．
12．（跨学科融合）如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度，烧杯高度，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分，且，漏斗管位于烧杯的上方部分，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点处，，玻璃棒长度为．
（结果精确到）
(1)求漏斗口处点到底座的高度；
(2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为，求此时玻璃棒顶端点到桌面的距离．
（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）由题意可知，，延长交，则，在中， ，根据题意可知点到底座的高度等于，即可求解；
（2）过点作，交于，过点作，由题意可知，，在中，，由题意可知，在中，，此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为，由此即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，，
延长交，则，
在中，，则，
∴，
∴点到底座的高度；
（2）过点作，交于，过点作，
由题意可知，，
在中，，
∵，，
∴，
在中，，
此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为，
即玻璃棒顶端点到桌面的距离为．
13．（2025·山东济宁·二模）如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景．已知点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，相距千米．（参考数据：，，）
(1)求的距离（结果保留根号）；
(2)小聪和小明同时从点出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为千米/小时，观光车的速度为千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点，并说明理由．
【答案】(1)千米
(2)小明先到达点，理由见解析
【知识点】解直角三角形的相关计算、方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
（1）过点作，交延长线于点，先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后根据计算即可得；
（2）过点作，交延长线于点，交于点，过点作于点，先根据平行线的性质、三角形的内角和定理可得，再在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得，的长，然后根据两条路线的长度和速度计算时间，由此即可得．
【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点，
由题意得：，，千米，
在中，千米，千米，
在中，千米，
则千米，
答：的距离为千米；
（2）解：如图，设交于点，过点作于点，
由题意得：，，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
在中，千米，千米，
在中，千米，千米，
∴千米，
在中，千米，
∴小聪选择路线一所需时间为（小时），
小明选择路线二所需时间为（小时），
因为，
所以小明先到达点．
14．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，某湖区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景．已知点在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，测得为，点到点、点的距离相等，、两地的距离为6千米．（参考数据：．）
(1)求两地的距离（结果保留根号）；
(2)分别求出路线一和路线二的长度（结果保留根号）．
【答案】(1)的距离是千米
(2)路线一：千米；路线二：千米
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查解直角三角形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键：
（1）过点作，垂足为，解和，求出的长，根据进行计算即可；
（2）过点作，垂足为，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，进而根据线段的和差求出两条路线的长即可．
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，
由题意得：千米，
在中，千米，
千米，
在中，千米，
所以千米，
答：的距离是千米；
（2）解：如图，过点作，垂足为，
，
，
由题意得
∴千米，
千米；
由（1）可知：，
路线一：千米，
路线二：千米．
15．（2025·湖南衡阳·一模）如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔，塔尖点到地面的距离为．红红站在离房子的底端前方30米的点处，眼睛距离地面的高度米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为．红红家到山脚的水平距离米，山坡的坡度为（），山脚到塔尖的仰角为．
(1)若米，则__________米，__________米（用含的代数式表示）；
(2)求房子和塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，）
【答案】(1)，
(2)房子的高度为米；塔的高度为米．
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）利用，可求得米，在中，利用正切函数的定义求得，进一步计算即可求解；
（2）作于点，交于点，在中，利用正切函数的定义列式得到，求得，在中，利用正切函数的定义列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵米，，
∴，
∴米，
在中，，
∴，
∴，
∴米，
故答案为：，；
（2）解：作于点，交于点，
则四边形和四边形是矩形，
设米，
在中，，
∴，
在矩形中，，，
∴，
在中，，，即，
∴，
解得，
由（1）得米，米，
∵四边形是矩形，，，
在中，，，，∴，
∴米．
答：房子的高度约为米；塔的高度约为米．
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