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2024-2025 学年天津市第二十一中学高二下学期期中质量调查
数学试卷
一、单选题：本大题共 9 小题，共 45 分。
1.已知随机变量 2, 2 ( > 0)，若 ( < 4) = 0.7，则 ( < 0) =( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7
2.若函数 ( ) = 2 4 6ln ，则 ( )的单调递增区间为( )
A. (0,3) B. ( ∞, 1)和(3, + ∞)
C. (3, + ∞) D. ( 1,0)
3.由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字且 1，3 不相邻的六位数的个数是( )
A. 36 B. 72 C. 600 D. 480
5
4 2.若 的展开式中的二项式系数和为 ，各项系数和为 ，则 =( )
A. 33 B. 31 C. 33 D. 31
5.某科技小组共有 4 名男生，2 名女生，现从中选出 4 人参加比赛，其中至少有一名女生的选法共有( )
A. 9 种 B. 12 种 C. 14 种 D. 20 种
6.已知函数 ( ) = ( )2在 = 2 处有极大值，则 的值为( )
A. 2 B. 6 C. 2 或 6 D. 0
7.已知定义在 上的函数 = ( )的导函数为 ′( )，满足 ′( ) < ( )，且 (0) = 1，则不等式 ( ) <
的解集为( )
A. ( ∞, 4) B. ( 4, + ∞) C. ( ∞,0) D. (0, + ∞)
8.已知函数 ( ) = ln ( 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数 的取值范围是( )
A. 0, 1 B.
1
, C. ∞,
1
D. ( ∞, )
9.已知函数 ( ) = ， ( ) = ln ，其中 > 0，若 1 ∈ [2,3]， 2 ∈ [2,3]，使得 1 2 = 1 2
成立，则 =( )
A. ln2 2 ln32 B. ln2 C. 3 D.
3
ln3
二、填空题：本大题共 6 小题，共 30 分。
10 3
3 6
.在 3 + 3 的展开式中，常数项为 ．
11.已知函数 ( ) = e ，则函数 ( )在 = 1 处的切线方程是 ．
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12. , , , , 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到 的概率为 ；已知乙选了 活动，他
再选择 活动的概率为 ．
13.甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 5: 4: 6.这三个盒子中黑球占总数的比例分
别为 40％, 25％, 50％.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混
合后任取一个球，是白球的概率为 ．
14.已知函数 ( ) = 2e 在[ , + 1]上不单调，则 的取值范围是 ．
15.已知函数 ( ) = e + ln 有两个零点，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.用 0，1，2，3，4 五个数字．
(1)可以排成多少个不重复的能被 2 整除的五位数？
(2)可以排成多少个四位数？
(3)可以排成多少个四位数字的电话号码？

17.已知二项式 2 2 3 ∈ R, ∈ N 的展开式中，二项式系数之和为 128，系数和为 1．
(1)求 与 的值；
(2)求其展开式中所有的有理项．
18.大小、质量相同的 6 个球，其中有 4 个黑球，2 个白球．
(1)若从袋中任取 3 球，设 3 个球中黑球的个数为 ，求 的分布列，期望和方差．
(2)若从袋中有放回的抽取 2 次，每次取 1 球，求在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率．
19.已知函数 ( ) = 2 ln , ( ) = 2 +
(1)若 = 8，求函数 ( )的极值；
(2)当 = 0 时， ( ) ≥ ( )在(1,∞)上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)当 = 2 时，若函数 ( ) = ( ) ( )在区间[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
20 1 1.已知函数 ( ) = + 2 ln( + 1), ( ) = ln +
2 ( ∈ ).
(1)求曲线 = ( )在 = 2 处的切线斜率；
(2)当 > 0 时，求证： ( ) > 1；
(3)设 ( )存在两个极值点 1, 2且 1 < 2，若 0 < <
1 3
1 2，求证： 1 2 > 4 ln2.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.20
11. + e 2 = 0
12.35/0.6
1
； 2/0.5
13.0.05/ 1 320 ； 5/0.6
14.( 3, 2) ∪ ( 1,0)
15. > e
16.(1)由题，能被 2 整除的数为偶数，则个位数字应在 0，2，4 中选择，
需用 5 个数字组成不重复的五位数，则万位不是 0，
所以当个位是 0 时，共有A44 = 24 个；
当个位不是 0 时，共有C12 × C1 × A33 3 = 36 个，
所以不重复的且能被 2 整除的五位数有 24 + 36 = 60 个.
(2)要组成一个四位数，则千位不为 0，
所以共有 4 × 5 × 5 × 5 = 500 个.
(3)要组成一个四位数字的电话号码，则共有54 = 625 个.
17.(1)二项式系数之和为2 = 128，解得： = 7，

令 = 1 可得二项式 2 2 73 ∈ R, ∈ N 的展开式的系数和为：(2 ) = 1，
解得： = 1．
7
(2) 2 2 13 的展开式的通项为：
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42 7
= C 2 2 7 1 7 +1 7 3 = C72 ( 1) 3 , ( = 0,1,2,3,4,5,6,7)，
42 7
当 3 为整数时， +1是有理项，则 = 0,3,6 时，满足题意，
所以有理项为： 1 = C027( 1)0 147 = 128 14， 4 = C3724( 1)3 7 = 560 7， = C67 72( 1)6 0 = 14．
18.(1)由题意可知： 的可能取值为 1，2，3，则有：
1 2 2 1 3 0
( = 1) = C4C2 = 13 5 , ( = 2) =
C4C2 3
3 = 5 , ( = 3) =
C4C2 = 13 ，C6 C6 C6 5
所以 的分布列为
1 2 3
1 3 1
5 5 5
1 3 1的期望为 ( ) = 1 × 5 + 2 × 5+ 3 × 5 = 2，
的方差为 ( ) = (1 2)2 × 1 + (2 2)2 × 3 + (3 2)2 × 1 = 25 5 5 5．
(2) 4 2 1有放回的抽取 1 次，取到黑球的概率为 = 6 = 3，取到白球的概率为 1 = 3，
记“至少取得一个白球”为事件 ，“取得两个白球”为事件 ，
2 2 5 1 1 1
则 ( ) = 1 3 × 3 = 9， ( ) = 3 × 3 = 9，
( | ) = ( ) 1可得 ( ) = 5，
1
所以在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为5．
2
19.(1)函数 ( ) 2 4的定义域为(0, + ∞)，当 = 8 时， ( ) = 2 8ln , ′( ) =
′( ) = 0，解得 = 2，
(0,2) 2 (2, + ∞)
′( ) 0 +
( ) 单调递减 4 8ln2 单调递增
所以 ( )的极小值为 4 8ln2，无极大值
(2) 由 ( ) ≥ ( )，得 ≤ ln 在(1, + ∞)上恒成立
令 ( ) = ln ，则
′( ) = ln 1(ln )2 . .
当 ∈ 1, e 时， ′( ) < 0，当 ∈ e, + ∞ 时， ′( ) > 0
所以 ( )，在(1, e)为单调递减，在(e, + ∞)为单调递增. .
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所以 ( )min = (e) = e，所以 ≤ e
(3)当 = 2 时，可得函数 ( ) = 2ln
函数 ( )在区间[1,3]上恰有两个不同的零点等价于 = 与函数 ( ) = 2ln 有两个不同的交点．
′( ) = 1 2 = 2 ．
当 ∈ 1,2 时， ′( ) < 0, ( )递减：
当 ∈ 2,3 时， ′( ) > 0， ( )递增．
由 (1) = 1, (2) = 2 2ln2, (3) = 3 2ln3, (1) > (3)．
要使 = 与函数 ( ) = 2ln 有两个不同的交点，
则 ∈ 2 2ln2,3 2ln3
20.(1)因为 ( ) = 1 +
1
2 ln( + 1)
1 1 1 ln( +1)
，则 ′( ) = + 2 +1 2 ，
1 ln3 1 ln3
可得 ′(2) = 3 4 ，所以曲线 = ( )在 = 2 处的切线斜率 = 3 4 ．
(2)若 ( ) = 1 1 + 2 ln( + 1) > 1，且 > 0，等价于( + 2)ln( + 1) 2 > 0，
构建 ( ) = ( + 2)ln( + 1) 2 , > 0，则 ′( ) = ln( + 1) + +2 +1 2 = ln( + 1) +
1
+1 1，
构建 ( ) = ′( ), > 0，则 ′( ) = 1 1 +1 ( +1)2 = ( +1)2 > 0，
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增，则 ( ) > (0) = 0，即 ′( ) > 0，
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增，则 ( ) > (0) = 0，
所以 ( ) > 1．
2
(3)由题意可知： ( )的定义域为(0, + ∞)，且 ′( ) = 1 + 2 =
2 +1
，
设 ( ) = 2 2 + 1，
若 ( )存在两个极值点 1, 2，则 ( )在(0, + ∞)内有 2 个零点，
Δ = 2 8 > 0

可得 4 > 0，解得 > 2 2，
(0) = 1 > 0
此时 ( )的对称轴 = 4 >
2
2 ，
( ) 0, 1 0 < < 1 1 3 可知 在 2 内单调递减，且 1 2，则 2 = 2 < 0，可得 > 3，
且 1 + =
, = 1 = 1 2 2 1 2 2，则 2 2 ，可得
1 = 1 2 1 = 2 1，1 2 2 1
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因为 2 21 2 = ln 1 + 1 1 ln 2 2 + 2

= ln 1 + 2 2 1 2 2 1 2 2 1 + 2 1 2 = ln2
+ 1 + 2
2
= ln2 + 2ln 1 2 +
1
1 ，4 21
即 21 2 = ln2 + 2ln 1 1 +
1 1
2，且 0 < 4 1 < ，1 2
构建 ( ) = ln2 + 2ln 2 + 14 2 , 0 < <
1
2，
2
2 1 2 2 1
则 ′( ) = 2 2 3 = 2 3 < 0，
1 1 3
可知 ( )在 0, 2 上单调递减，则 ( ) > 2 = 4 ln2，
3
所以 1 2 > 4 ln2．
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