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2024-2025 学年天津市滨海新区大港油田第三中学高二下学期第二次
阶段性考试数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列求导运算正确的是( )
′
A. sin π = cos π B. ln(2 1) ′ = 14 4 2 1

C. 2 ′ = 2 D. 1 + ln ′ = 1ln2
2.已知随机变量 的分布列如下：
2 3 5
2
若 ( ) = 4，则 =( )
A. 118 B.
1 1 1
12 C. 9 D. 6
3.如图是 = ( )的导函数 ′( )的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )
A.当 = 3 时， ( )取得极小值
B. ( )在[ 2,1]上是增函数
C.当 = 1 时， ( )取得极大值
D. ( )在[ 1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数
4.设随机变量 2, 2 ， (0 < < 4) = 0.3，则 ( < 0) =( )
A. 0.65 B. 0.7 C. 0.35 D. 0.25
5.春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒？》，已知五人的电影票座位
是依次相邻的，且爷爷、奶奶，小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为( )
A. 120 B. 36 C. 24 D. 6
6.在(2 1 ) 的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为( )
A. 60 B. 20 C. 20 D. 60
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7.下列命题正确的是( )
A.已知随机变量 ( , )，若 ( ) = 30, ( ) = 10 1，则 = 3
B.若随机变量 满足 ( ) = 2，则 (3 ) = 1
C.已知随机变量 , 12 ，若 (2 + 1) = 9，则 = 4
D. 1 5已知随机变量 6, 2 ，则 ( = 3) = 16
8.下列说法正确的个数是( )
①线性相关系数| |越接近 1，两个变量的线性相关程度越强；
②独立性检验可以 100%确定两个变量之间是否具有某种关系；
③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样
的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高；
④甲、乙两个模型的决定系数 2分别约为 0.88 和 0.80，则模型甲的拟合效果更好．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.从某学校获取了数量为 400 的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整
理如面表格：语文成绩优秀的人中数学成绩优秀的频率为 ，通过计算 2 ≈ 40 > 10.828 = 0.001，则( )
语文 合计
数学
不优秀优秀
不优秀210 60 270
优秀 60 70 130
合计 270 130 400
A. = 713，数学成绩与语文成绩无关联
B. = 613，数学成绩与语文成绩无关联
C. = 713，数学成绩与语文成绩有关联且该推断犯错误的概率不超过 0.001
D. = 613，数学成绩与语文成绩有关联且该推断犯错误的概率不超过 0.001
10 1 1.已知函数 ( ) = 3
3 ′(1) 2 + 8 ，若对任意 ∈ [0,4], 3 ≥ ( )恒成立，则实数 的取值范围是
( )
A. [7, + ∞) B. 193 , + ∞ C.
22 17
3 , + ∞ D. 3 , + ∞
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11.已知甲箱中有 2 个红球和 3 个黑球，乙箱中有 1 个红球和 3 个黑球(所有球除颜色外完全相同)，某学生
先从甲箱中随机取出 2 个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出 1 个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事
件 ，则 ( ) =( )
A. 1 114 B. 7 C.
5 7
18 D. 10
12.若 > 0， e 1 ≥ + ln + 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. ≤ 0 B. ≤ 1 C. ≤ e D. < e
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
13.已知实数 为函数 ( ) = 3 3 2的极小值点，则 = ．
14.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有 个.
15.已知函数 ( ) = 13
3 + 2ln 在定义域上单调递增，则实数 的最大值是 ．
16 2 1.甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为3，乙获胜的概率为3，采用三局两胜制，则
在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为 ．
′
17.已知 ( ) ( ) ( ) ( )是定义在 上的偶函数，当 > 0 时， 2 > 0，且 ( 1) = 0，则不等式 > 0 的解集
是 ．
18.若(1 2 )5 = 5 5 + 44 + … + 1 + 0，则 1 = ； 0 1 + 2 3 + 4 5 = ．
19.袋子中装有 8 球，其中 6 个黑球，2 个白球，若依次随机取出 2 个球，则在第一次取到黑球的条件下，
第二次取到白球的概率为 ；若随机取出 3 个球，记取出的球中白球的个数为 ，则 的数学期望
( ) = ．
20.在下表的统计量中，有一个数值不清晰，用 表示．
1 2 3 4 5
6.3 7.4 8.1 8.7
已知表中数据的经验回归方程 = + 同时满足：①过点(3,8)；② 每增加一个单位， 增加 0.9 个单位，
则 = 当； = 6 时， = ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题 12 分)
端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有 8 个粽子，其中豆沙粽 2 个，蜜枣粽 6 个，这两种粽子的外观
完全相同，从中随机取出 3 个．
(1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率；
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(2)设 表示取到豆沙粽的个数，求随机变量 的分布列与数学期望．
22.(本小题 12 分)
2 + 1

已知 的展开式中所有项的二项式系数和为 128，各项系数和为 1．
(1)求 和 的值；
(2) 1 1

求 2 2
2 + 的展开式中的常数项．
23.(本小题 13 分)
在一次庙会上，有种“套圈游戏”，规则如下：每组每人 3 个圆环，向 ， 两个目标投掷，先向目标 连
续掷两次，每套中一次得 1 分，没有套中不得分，再向目标 掷一次，每套中一次得 2 分，没有套中不得分，
3 1
根据最终得分由主办方发放奖品.已知甲每投掷一次，套中目标 的概率为4，套中目标 的概率为2，假设甲
每次投掷的结果相互独立．
(1)求甲在一组游戏中恰好套中一次的概率；
(2)求甲在一组游戏中的总分 的分布列及数学期望；
(3)甲连续玩了 5 组套圈游戏，假设甲每组投掷的结果相互独立，求甲恰有 3 组套圈游戏中得 2 分或者 3 分
的概率．
24.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ln ．
(1)求曲线 ( )在点 1, (1) 处的切线方程；
(2) ( ) = ( ) + 2已知函数 2，求 ( )的单调区间；
(3)若对于任意 ∈ 1e , 2e ，都有 ( ) ≤ e(e 为自然对数的底数)，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.2
14.52
15.3
16.35/0.6
17.( 1,0) ∪ (1, + ∞)
18. 10； 243
19.2 37 ； 4
20.9.5；10.7
1 2
21. (1) C2C6+C
2 1
解： 依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为 2
C6
3 =
9
14．C8
(2) 的可能取值为 0,1,2，
C0C3 5 C1 2 2 1
则 ( = 0) = 2 63 = 14， ( = 1) =
2C6 15
3 = 28， ( = 2) =
C2C6 3
C C C3
= ，
8 8 8 28
所以 的分布列如下：
0 1 2
5 15 3
14 28 28
( ) = 0 × 5 + 1 × 15 3 3所以 14 28 + 2 × 28 = 4．
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22. 2 = 128解：(1) ∵由条件可得 ( + 1) = 1 ,
∴ = 7解得 = 2．

(2) 2 1 2 + 1 = 2 2 2 2 2 +
1 7．
∵ 2 2 + 1 7展开式的通项为：
= 2 2 7 1 = +1 7 7( 2)7 14 3 ．
∴ ①当 14 3 = 1 即 = 5 时，2 5 2 17( 2) = 168；
②当 14 3 = 2 即 = 4 时， 2 47( 2)3 2 = 280；
∴所求的常数项为 168 + 280 = 448．
23.解：(1)设甲恰好套中 1 次为事件 ，
3 1 1 1 3 1 1 1 1 7
( ) = 4 × 4 × 2+ 4 × 4 × 2 + 4 × 4 × 2 = 32
(2)由题意得 的可能取值为 0，1，2，3，4．
( = 0) = 1 1 14 × 4 × 2 =
1
32，
( = 1) = 3 × 14 4 ×
1 + 1 × 32 4 4 ×
1 6 3
2 = 32 = 16，
( = 2) = 3 × 3 × 1 + 1 × 1 1 10 54 4 2 4 4 × 2 = 32 = 16，
( = 3) = 3 × 1 × 1 + 1 × 3 × 1 = 64 4 2 4 4 2 32 =
3
16，
( = 4) = 3 × 3 × 1 = 94 4 2 32，
故 的分布列是：
0 1 2 3 4
1 3 5 3 9
32 16 16 16 32
( ) = 0 × 1 + 1 × 3 + 2 × 5 + 3 × 3 + 4 × 9 = 5则 的均值为： 32 16 16 16 32 2；
(3)设甲在 1 组中得 2 分或 3 分的事件为 ，
则 ( ) = ( = 2) + ( = 3) = 5 316 + 16 =
1
2
设 5 组游戏中，甲恰有 3 组游戏中得 2 分或 3 分为事件 ，
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则 = 1 1 = 12 2，
3 2
则 ( ) = C3 1 15 2 2 =
5
16．
24.解：(1)由 ( ) = ln 得， ′( ) = ln + 1， ′(1) = 1， (1) = 0，
所以 ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 = 1；
(2) ( ) = ln + 2 2， > 0，
′( ) = 1 4
2 4
3 = 3 =
( +2)( 2) ′
3 ，令 ( ) = 0，解得 = 2，
当 ∈ (0,2)时， ′( ) < 0，所以 ( )在(0,2)上单调递减，
当 ∈ (2, + ∞)时， ′( ) > 0，所以 ( )在(2, + ∞)上单调递增，
所以 ( )的单调减区间为(0,2)，单调增区间为(2, + ∞)；
(3)由题可知， ∈ 1e , 2e ，
ln ≤ e ln + e ≤ ∈ 1所以 ， e , 2e ，
设 ( ) = ln + e 1 ， ∈ e , 2e ，
′( ) = 1 e = e则 ′ 2 2 ，令 ( ) = 0，解得 = e，
当 ∈ 1e , e 时，
′( ) < 0，所以 ( ) 1在 e , e 单调递减，
当 ∈ e, 2e 时， ′( ) > 0，所以 ( )在 e, 2e 单调递增，
1
又 e = 1 + e
2 > 2e = 32 + ln2，即 ( ) ≤ e
2 1，
所以 ≥ e2 1．
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