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第5章 轴对称与旋转 单元质量检测卷
一、单选题
1．下列图形中，点与点关于直线对称的是（　　）
A． B．
C． D．
2．第届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在如图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为（　　）
A．125° B．130° C．135° D．140°
4．如图所示，将一个含 角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点 ，若点 、A、C在同一条直线上，则三角板 旋转的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．下列命题中，正确的是（　　）
A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．平行四边形是轴对称图形 D．五边形的内角和是
6．如图，与是两个全等的等边三角形，，有下列四个结论：①；②；③直线垂直平分；④四边形是轴对称图形．其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．任意画一个圆，它是轴对称图形
B．任意画一个三角形，其内角和是
C．如果，那么
D．甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为，，乙的成绩比甲的稳定
8．在正三角形、平行四边形、矩形、菱形和圆这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．点A（－2021，1）关于 轴对称的点的坐标是（　　）
A．（－2021，1） B．（2021，－1）
C．（2021，1） D．（－2021，－1）
10．如图甲，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…如图乙，是六次旋转的位置图象，图中虚线是点M的运动轨迹，则在第四次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（　　）
A．0.6 B．0.8 C．1.1 D．1.4
二、填空题
11．如图所示，将一个含 角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是　 　度.
12．将图1剪成若干小块，再图2中进行拼接平移后能够得到①、②、③中的　 　．
13．如图，大正三角形中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有　 　种；
14．如图，在 中， ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ．若点 恰好落在 边上，且 ，则 的度数为　 　．
15． 如图 为 的平分线， 且 ， 将四边形 绕点 逆时针方向旋转后， 得到四边形 ， 且 ， 则四边形 旋转的角度是　 　.
16．如图，已知点 ．规定“把点 先作关于 轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．经过第一次变换后，点 的坐标为　 　；经过第二次变换后，点 的坐标为　 　；那么连续经过2019次变换后，点 的坐标为　 　．
三、综合题
17．如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，∠BAC=30°，若△EAC绕某点逆时针旋转后能与△BAD重合，问：
（1）旋转中心是　 　；
（2）逆时针旋转　 　度；
（3）若EC=10cm，则BD的长度是　 　cm．
18．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B′可以恰好落在AB的中点处，如图②．
（1）求∠A的度数；
（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．
19．图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点(小正方形的顶点)上．
（1）在图①中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；
（2）在图②中确定格点E，并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（3）写出点A1，B1，C1的坐标．
21．如图。在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；
（2）请直接写出四边形ABCD的周长．
22．如图，已知A(0，4)，B(－2，2)，C(3，0)．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）△A1B1C1的面积S△A1B1C1＝　 　．
23．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在格点上，点O、M也在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
画出先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的．
画出关于直线对称的．
画出绕点O按顺时针方向旋转后得到的，保留作图痕迹．
24．如图，在建立了平面直角坐标系的正方形网格中，A（2，2），B（1，0），C（3，1）
（1）画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°，所得的△A1B1C1．
（2）直接写出A1点的坐标．
25．如图，∠AOB＝α，∠COD＝β（α＞β），OC与OB重合，OD在∠AOB外，射线OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的角平分线.
（1）①若α＝100°，β＝60°，则∠MON等于多少；
②在①的条件下∠COD绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜100（且n≠60）时，求∠MON的度数；
（2）直接写出∠COD绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜360）时∠MON的值（用含α、β的式子表示）.
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第5章 轴对称与旋转 单元质量检测卷
一、单选题
1．下列图形中，点与点关于直线对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．第届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在如图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
3．如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为（　　）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接AA′．由题意得：
AC=A′C，A′B′=AB，∠ACA′=90°，
∴∠AA′C=45°，AA′2=22+22=8；
∵AB′2=32=9，A′B′2=12=1，
∴AB′2=AA′2+A′B′2，
∴∠AA′B′=90°，∠A′=135°，
故选C．
【分析】如图，作辅助线；首先证明∠AA′C=45°，然后证明AB′2=AA′2+A′B′2，得到∠AA′B′=90°，进而得到∠A′=135°，即可解决问题．
4．如图所示，将一个含 角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点 ，若点 、A、C在同一条直线上，则三角板 旋转的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：旋转角是
故答案为：D.
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
5．下列命题中，正确的是（　　）
A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．平行四边形是轴对称图形 D．五边形的内角和是
【答案】D
6．如图，与是两个全等的等边三角形，，有下列四个结论：①；②；③直线垂直平分；④四边形是轴对称图形．其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
7．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．任意画一个圆，它是轴对称图形
B．任意画一个三角形，其内角和是
C．如果，那么
D．甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为，，乙的成绩比甲的稳定
【答案】A
8．在正三角形、平行四边形、矩形、菱形和圆这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
9．点A（－2021，1）关于 轴对称的点的坐标是（　　）
A．（－2021，1） B．（2021，－1）
C．（2021，1） D．（－2021，－1）
【答案】C
【解析】【解答】解：点A（－2021，1）关于 轴对称的点的坐标是
故答案为：C
【分析】关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出点的坐标即可。
10．如图甲，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…如图乙，是六次旋转的位置图象，图中虚线是点M的运动轨迹，则在第四次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（　　）
A．0.6 B．0.8 C．1.1 D．1.4
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
故答案为：B．
【分析】通过旋转的定义，找到M的轨迹，求出BM的范围。
二、填空题
11．如图所示，将一个含 角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是　 　度.
【答案】150
【解析】【解答】解：∵直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，∴旋转角是∠CAC′=180°-30°=150°．
【分析】根据旋转后图形的角度和长度都保持不变的性质，可利用角度换算得到旋转角。
12．将图1剪成若干小块，再图2中进行拼接平移后能够得到①、②、③中的　 　．
【答案】①②
【解析】【解答】解：根据图形1可得剪成若干小块，再图2中进行拼接平移后能够得到①、②，不能拼成③，
故答案为：①②．
【分析】根据图形进行剪切拼接可得图形．
13．如图，大正三角形中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有　 　种；
【答案】3
【解析】【解答】解：如下图所示，
将图中标有数字“1”或“2”或“3”的三个小正三角形中的1个涂黑，整个被涂黑的图案刚好构成一个轴对称图形.
∴将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有共有三种.
故答案为：3.
【分析】把一个图形沿着某条直线折叠，若直线两旁的部分能完全重合，则这个图形就是轴对称图形；根据定义，首先确定对称轴，即可涂出满足条件的三角形，从而得出答案。
14．如图，在 中， ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ．若点 恰好落在 边上，且 ，则 的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】
将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ．
，
故答案为：
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
15． 如图 为 的平分线， 且 ， 将四边形 绕点 逆时针方向旋转后， 得到四边形 ， 且 ， 则四边形 旋转的角度是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵ AO为∠BAC的角平分线，且∠BAC=50°，
∴ ∠BAO=∠CAO=25°，
∵ 四边形ABOC绕点A逆时针旋转后得到四边形AB'O'C'，
∴ 旋转角度为∠CAC'=∠OAC'-∠CAO=100°-25°=75°.
故答案为：75°.
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAO=∠CAO=25°，根据旋转的性质可得旋转角度为∠CAC'，再根据∠CAC'=∠OAC'-∠CAO，即可求得.
16．如图，已知点 ．规定“把点 先作关于 轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．经过第一次变换后，点 的坐标为　 　；经过第二次变换后，点 的坐标为　 　；那么连续经过2019次变换后，点 的坐标为　 　．
【答案】(-1，-1)；(-2，1)；(-2019，-1)
【解析】【解答】解：经过第一次变换，点A的坐标为（-1，-1）；
经过第二次变换，点A的坐标为（-2，1）；
经过第2019次变换，点A的坐标为（-2019，-1）
【分析】根据轴对称以及平移的性质，计算得到对应点的坐标，根据变换的规律即可得到答案。
三、综合题
17．如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，∠BAC=30°，若△EAC绕某点逆时针旋转后能与△BAD重合，问：
（1）旋转中心是　 　；
（2）逆时针旋转　 　度；
（3）若EC=10cm，则BD的长度是　 　cm．
【答案】（1）A点
（2）90
（3）10
【解析】【解答】解：（1）∵△EAC逆时针旋转后能与△BAD重合，
∴A点即为两三角形的公共顶点，故旋转中心是A点；
（ 2 ）∵△EAC逆时针旋转后能与△BAD，
∴AE与AB重合，
∵∠BAE=90°，
∴旋转的度数为：90；
（ 3 ）由题意知EC和BD是对应线段，据旋转的性质可得BD=EC=10cm．
故答案为：（1）A；（2）90；（3）10．
【分析】（1）由已知条件易证△EAC≌△BAD，这两个三角形的公共顶点为A，根据旋转的性质可知旋转中心是点A；
（2）由（1）可知△EAC逆时针旋转后能与△BAD，所以AB与AE是对应边，再结合已知条件即可求解；
（3）由（1）可知BD=EC。结合已知条件可求解。
18．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，且0°＜α＜180°．在旋转过程中，点B′可以恰好落在AB的中点处，如图②．
（1）求∠A的度数；
（2）当点C到AA′的距离等于AC的一半时，求α的度数．
【答案】（1）解：将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，旋转角为α，
∴CB=CB′
∵点B′可以恰好落在AB的中点处，
∴点B′是AB的中点．
∵∠ACB=90°，
∴CB′= AB=BB′，
∴CB=CB′=BB′，
即△CBB′是等边三角形．
∴∠B=60°．
∵∠ACB=90°，
∴∠A=30°；
（2）解：如图，过点C作CD⊥AA′于点D，
点C到AA′的距离等于AC的一半，即CD= AC．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，sin∠CAD= = ，
∴∠CAD=30°，
∵CA=CA′，
∴∠A′=∠CAD=30°．
∴∠ACA′=120°，即α=120°．
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出△CBB′是等边三角形，进而得出答案；（2）利用锐角三角函数关系得出sin∠CAD= = ，即可得出∠CAD=30°，进而得出α的度数．
19．图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点(小正方形的顶点)上．
（1）在图①中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；
（2）在图②中确定格点E，并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．
【答案】（1）解：有以下答案供参考：
（2）解：有以下答案供参考：
【解析】【分析】利用轴对称与中心对称的性质作图。
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（3）写出点A1，B1，C1的坐标．
【答案】（1）解：S△ABC= ×5×3= （或7.5）（平方单位）
（2）解：如图．
（3）解：A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）
【解析】【分析】（1）根据网格可以看出三角形的底AB是5，高是C到AB的距离，是3，利用面积公式计算．（2）从三角形的各顶点向y轴引垂线并延长相同长度，找对应点．顺次连接即可．（3）从图中读出新三角形三点的坐标．
21．如图。在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；
（2）请直接写出四边形ABCD的周长．
【答案】（1）解：正确画图：
（2）解： 四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=+2++3.
故四边形ABCD的周长为：2 + 5 .
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质及方格纸的特点，直接找出A的对称点D ， B的对称点C ，再连接BC，CD，DA即可；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理，分别算出AB，BC，CD，DA的长，再根据周长的计算方法算出结果即可。
22．如图，已知A(0，4)，B(－2，2)，C(3，0)．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）△A1B1C1的面积S△A1B1C1＝　 　．
【答案】（1）解：如图即为所求．
（2）解：
（3）7.
【解析】【解答】(3)
故答案为：7.
【分析】（1）先确定点A、B、C关于x轴对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即得△A1B1C1；
（2）根据点A1、B1、C1的位置，直接写出坐标即可.
（3）采用割补法，利用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可.
23．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在格点上，点O、M也在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
画出先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的．
画出关于直线对称的．
画出绕点O按顺时针方向旋转后得到的，保留作图痕迹．
【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
如图，即为所求；
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可求解；
（2）根据作图-轴对称即可求解；
（3）根据旋转的性质即可求解。
24．如图，在建立了平面直角坐标系的正方形网格中，A（2，2），B（1，0），C（3，1）
（1）画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°，所得的△A1B1C1．
（2）直接写出A1点的坐标．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：A1（﹣1，1）
【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A1、C1的位置，再与点B（即B1）顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可．
25．如图，∠AOB＝α，∠COD＝β（α＞β），OC与OB重合，OD在∠AOB外，射线OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的角平分线.
（1）①若α＝100°，β＝60°，则∠MON等于多少；
②在①的条件下∠COD绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜100（且n≠60）时，求∠MON的度数；
（2）直接写出∠COD绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜360）时∠MON的值（用含α、β的式子表示）.
【答案】（1）解：①∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠BOM＝ ∠AOB，∠BON＝ ∠BOD，
∴∠MON＝ （∠AOB+∠BOD），
又∵∠AOB＝100°，∠COD＝60°，
∴∠MON＝ （∠AOB+∠BOD）＝ ×（100°+60°）＝80°.
②如图1，∵∠COD绕点O逆时针旋转n°，
∴∠BOC＝n°，
∴∠BOD＝60°﹣n°，∠AOC＝100°﹣n°，
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠COM＝ ∠AOC＝50°﹣ n°，∠BON＝ ∠BOD＝30°﹣ n°，
∴∠MON＝∠COM+∠COB+∠BON＝80°；
如图2，∵∠COD绕点O逆时针旋转n°，
∴∠BOC＝n°，
∴∠BOD＝n°﹣60°，∠AOC＝100°﹣n°，
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠COM＝ ∠AOC＝50°﹣ n°，∠DON＝ ∠BOD＝ n°﹣30°，
∴∠MON＝∠COM+∠COD+∠DON＝80°
（2）解：∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠COD＝β，
∴∠MON＝ （α+β）或180°﹣ （α+β）；
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义求出∠BOM和∠CON的度数，然后相加即可得出答案；②根据旋转的性质可知∠BOC=n°，分两种情况进行讨论：如图1，∠BOD＝60°﹣n°，∠AOC＝100°﹣n°，根据角平分线的定义得出∠COM和∠BON的度数，然后根据∠MON＝∠COM+∠COB+∠BON进行计算即可得出结论；如图2，∠BOD＝n°﹣60°，∠AOC＝100°﹣n°，根据角平分线的定义得出∠COM和∠BON的度数，然后根据∠MON＝∠COM+∠COD+∠BON进行计算即可得出结论；（2）根据①、②的解题思路即可得到结论.
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