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第9章 二元一次方程组 单元综合复习卷
一、单选题
1．如图，在大长方形中，放置个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和是（　　）
A． B． C． D．
2．在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形如图所示，则图中的阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
4．用代入法解二元一次方程组 时，最好的变式是（　　）
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得
5．哥哥与弟弟各有数张纪念卡，已知弟弟给哥哥10张后，哥哥的张数就是弟弟的2倍，若哥哥给弟弟10张，两人的张数就一样多．设哥哥的张数为x，弟弟的张数为y，根据题意列出方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形（如图），若大长方形的宽为8cm，则每一个小长方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．我国民间流传一道数学名题． 其题意为： 一群老者去赶集， 半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个． 请问君子知道否， 几个老者几个梨？ 设有老者 人， 有梨 个，则二元一次方程组可列为(　　)
A． B．
C． D．
8．已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值是（　　）
A．-2 B．2 C．3 D．-3
9．已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为了促销而打折销售，若甲商品打八折，乙商品打六折，则可赚50元，若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚30元，甲、乙两种商品的定价分别为（　　）
A．50元、150元 B．50元、100元 C．100元、50元 D．150元、50元
10．已知 和 的方程组 的解是 ，则 和 的方程组 的解是
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知二元一次方程组无解，则a的值为　 　
12．已知方程组 的解满足x+y＝2，则k＝　 　．
13．方程组 的解为　 　．
14．某同学解二元一次方程组 得到的解是 ，其中y的值被墨水盖住了，不过她通过验算求出了y的值，进而解得p的值为　 　
15．已知，、是方程组的解，则　 　．
16．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是　 　元．
三、综合题
17．古老的“鸡兔同笼问题”：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣．怎样来解答这个问题呢？
18．某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件．
（1）甲、乙两种商品每件进价各多少元？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？
（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，那么a的值是多少？
19．某汽车专卖店同时销售，两款电动汽车，月份实现总销售额万元．月份款电动汽车的销售额提高了，款电动汽车的销售额减少了，总销售额增加了万元．求该汽车专卖店月份，两款电动汽车的销售额分别为多少？
20．已知关于x，y的方程组
（1）写出方程x+3y=7的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x-3y=1，求m的值：
（3）无论m取何值，方程x-3y+mx+3=0总有一个公共解，求出这个方程的公共解．
21．某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然汽的装置，每辆车改装价格为4000元.公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的15%，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的40%.问：
（1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？
（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？
22．善于思考的小明在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的思想.
解法如下：将方程 变形为： ③
把方程①代入③得， ，则 ；把 代入①得， ，
所以方程组的解为：
请你运用“整体代换”的思想解决下列问题：
（1）解方程组 ；
（2）已知x、y、z满足 ，试求z的值.
23．在平面直角坐标系中，对于与原点不重合的两个点和，关于，的方程称为点的“照耀方程”．若是方程的解，则称点“照耀”了点
例如，点的“照耀方程”是，且是该方程的解，则点“照耀”了点．
（1）下列点中被点“照耀”的点为　 　．
，，
（2）若点同时被点和点“照耀”，请求出，
（3）若个不同的点，，…，，每个点都“照耀”了其后所有的点，
如“照耀”了，，…，，
“照耀”了，，…，，……
“照耀”了，
请写出的最大值，并说明理由．
24．已知关于 ， 的方程组 ，
（1）若方程组的解满足方程3x-4y=1，求k的值；
（2）请你给出k的一个值，使方程组的解中 ， 都是正整数，并直接写出方程组的解．
25．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
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第9章 二元一次方程组 单元综合复习卷
一、单选题
1．如图，在大长方形中，放置个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
2．在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形如图所示，则图中的阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，有三个未知数，错误；
B、xy的未知数的次数是2，错误；
C、符合二元一次方程组的定义，正确；
D、不是整式方程，错误；
故选C．
【分析】根据二元一次方程组的定义解答判断即可．
4．用代入法解二元一次方程组 时，最好的变式是（　　）
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得
【答案】D
【解析】【解答】用代入法解二元一次方程组最好的变式是由②中的x表示y，故答案为：D．
【分析】由于第二个方程y的系数是－1，可变形为 y = 2 x 5．
5．哥哥与弟弟各有数张纪念卡，已知弟弟给哥哥10张后，哥哥的张数就是弟弟的2倍，若哥哥给弟弟10张，两人的张数就一样多．设哥哥的张数为x，弟弟的张数为y，根据题意列出方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】设哥哥的张数为x，弟弟的张数为y，根据题意得，．故选：D．
【分析】设哥哥的张数为x，弟弟的张数为y，根据“弟弟给哥哥10张后，哥哥的张数就是弟弟的2倍，若哥哥给弟弟10张，两人的张数就一样多．”列出方程组即可．
6．8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形（如图），若大长方形的宽为8cm，则每一个小长方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：
，
解得： ，
则每一个小长方形的面积为5×3=15（cm2）；
故答案为：B．
【分析】先设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据大长方形的宽为8cm，5个小长方形的宽等于3个小长方形的长，列出方程组，再进行求解即可．
7．我国民间流传一道数学名题． 其题意为： 一群老者去赶集， 半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个． 请问君子知道否， 几个老者几个梨？ 设有老者 人， 有梨 个，则二元一次方程组可列为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据“ 一人一个多一个 ”，可得x=y-1；根据“ 一人两个少两个 ”，可得2x=y+2.
联立可得 .
故答案为：B.
【分析】根据题意罗列方程组即可.
8．已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值是（　　）
A．-2 B．2 C．3 D．-3
【答案】B
【解析】【解答】解：将代入原方程组得，
得：；
∴代数式的值是2.
故答案为：B.
【分析】将代入原方程组，可得出关于a，b得二元一次方程组，再利用①-②，可求出代数式a-2b的值.
9．已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为了促销而打折销售，若甲商品打八折，乙商品打六折，则可赚50元，若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚30元，甲、乙两种商品的定价分别为（　　）
A．50元、150元 B．50元、100元 C．100元、50元 D．150元、50元
【答案】D
【解析】【解答】解：设甲种商品的定价分别为x元，则乙种商品的定价分别为y元，
根据题意得： ，
解得： ．
故选D．
【分析】设甲种商品的定价分别为x元，则乙种商品的定价分别为y元，根据“若甲商品打八折，乙商品打六折，则可赚50元，若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚30元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
10．已知 和 的方程组 的解是 ，则 和 的方程组 的解是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：方程组 变形为 ，
和 的方程组 的解是 ，
，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元法替代的方法来解决。
二、填空题
11．已知二元一次方程组无解，则a的值为　 　
【答案】-6
【解析】【解答】解：，
由②得：y=2x-1，③，
把③代入①得：
ax+3（2x-1）=2.
∴（a+6）x=5，
∵此方程组无解，
∴a+6=0，
∴a=-6.
【分析】先把方程②变形为y=2x-1③，然后把③代入①得：ax+3（2x-1）=2.化简得（a+6）x=5，再由此方程组无解可以推出a+6=0，所以a=-6.所以当a=-6时此方程组无解.
12．已知方程组 的解满足x+y＝2，则k＝　 　．
【答案】4
【解析】【解答】 ，
①+②，得
3（x+y）＝k+2，
由x+y＝2，
得3（x+y）＝k+2＝6，
即k+2＝6，
解得k＝4，
故答案为：4．
【分析】观察方程组，可知两个方程相加后，继而可得关于k的方程，解方程即可得.
13．方程组 的解为　 　．
【答案】
【解析】【解答】 ，
①+②得2x＝4，解得x＝2，
把x＝2代入①得2+y＝5，解得y＝3．
故原方程组的解为 ．
故答案为： ．
【分析】本题运用加减消元法即可记得方程组 的解.
14．某同学解二元一次方程组 得到的解是 ，其中y的值被墨水盖住了，不过她通过验算求出了y的值，进而解得p的值为　 　
【答案】3
【解析】【解答】把代入方程x+y=1，得到：，解得：，把代入方程x+py=2，得到：，解得：p=3.
【分析】先把x的值代入原方程组求出y的值，再把y的值代入原方程组即可求出p的值。
15．已知，、是方程组的解，则　 　．
【答案】-1
【解析】【解答】解：把、代入得：
，
解得：，
∴，
故答案是：．
【分析】把x与y的值代入方程组建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，再代入计算即可．
16．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是　 　元．
【答案】53
【解析】【解答】设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，
根据题意得： ，
解得： ，
故答案为：53.
【分析】此题抓住关键是商品的价格不变，设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，根据每人出8元，则多3元；及每人出7元，则差4元．列出方程组，求解即可。
三、综合题
17．古老的“鸡兔同笼问题”：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣．怎样来解答这个问题呢？
【答案】鸡有23只，兔有12只
18．某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件．
（1）甲、乙两种商品每件进价各多少元？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？
（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，那么a的值是多少？
【答案】（1）解：设甲种商品每件进价x元，乙种商品每件进价y元，
由题意可得：，解得：．
答：甲种商品每件进价15元，乙种商品每件进价20元
（2）解：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润元．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得1000元的利润
（3）解：由题意，解得．
答：a的值是10
【解析】【分析】（1）设甲种商品每件进价x元，乙种商品每件进价y元，然后根据“ 3800元购进了甲、乙两种商品 ，乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元”列二元一次方程组解答即可可；
（2）根据利润=单利润×销售量列式计算解题；
（3）根据利润=单利润×销售量列关于a的一元一次方程解答即可．
（1）解：设甲种商品每件进价x元，乙种商品每件进价y元，
由题意可得：，解得：．
答：甲种商品每件进价15元，乙种商品每件进价20元．
（2）解：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润元．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得1000元的利润．
（3）解：由题意，解得．
答：a的值是10．
19．某汽车专卖店同时销售，两款电动汽车，月份实现总销售额万元．月份款电动汽车的销售额提高了，款电动汽车的销售额减少了，总销售额增加了万元．求该汽车专卖店月份，两款电动汽车的销售额分别为多少？
【答案】款电动汽车的销售额为万元，款电动汽车的销售额为万元.
20．已知关于x，y的方程组
（1）写出方程x+3y=7的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x-3y=1，求m的值：
（3）无论m取何值，方程x-3y+mx+3=0总有一个公共解，求出这个方程的公共解．
【答案】（1）解：由方程x+3y=7，得x=7-3y，∴正整数解为 ；
（2）解：联立得： 解得：
代入得： ，解得：m=
（3）解：∵x-3y+mx+3=0，∴则其公共解为
【解析】【分析】（1） x+3y=7的所有正整数解 ，这样的要先用y来表示x，然后用x逐个取值并有相应的y值，最后筛选出合适的值；
（2）根据所给出的方程与原方程组中第一个方程进行联立，即可计算出x、y的数值，然后由x、y的值代入到含有m的方程，即可求出m的值；
（3）由于m无论去任何值，方程 x-3y+mx+3=0 总有一个公共解，可以得出此方程与m无关，故有x=0，然后代入方程即可求出y值.
21．某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然汽的装置，每辆车改装价格为4000元.公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的15%，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的40%.问：
（1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？
（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？
【答案】（1）解：设公司第一次改装了 辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为 ，
依题意得方程组： ，
化简得： ，
解得： ，
答；公司共改装了40辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%
（2）解：设一次性改装后， 天可以收回成本，则：
100×80×40%× ＝4000×100，
解得： ＝125（天），
答：125天后就可以从节省的燃料费中收回成本
【解析】【分析】（1）根据题意可知本题的等量关系有，第一次改装的车辆每天的燃料费= 15%
×剩下的未改装车辆每天燃料费，第一、第二次所有改装的车辆每天的燃料费= 40% ×剩下未改装车辆每天的燃料费．根据这两个等量关系，可列出方程组；
（2）根据（1）可得到出租车的总量和改装前后每天燃料费下降的百分点，可知一次性改装全部出租车可以从节省的燃料费中收回成本需要的天数=4000×100÷（100×80×40%）．根据这个等量关系可列方程．
22．善于思考的小明在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的思想.
解法如下：将方程 变形为： ③
把方程①代入③得， ，则 ；把 代入①得， ，
所以方程组的解为：
请你运用“整体代换”的思想解决下列问题：
（1）解方程组 ；
（2）已知x、y、z满足 ，试求z的值.
【答案】（1）解：
由②得 ③
把方程①代入③得， ，解得
把 代入①得，
所以方程组的解为：
（2）解：
由②知 ③， ①可变形为
将③代入①得
解得
【解析】【分析】（1）利用“整体代换”的思想，先把②变形为③，再把①代入③求出y，将y的值代入①求出x的值，从而即可得出方程组的解；
（2）把②变形为 ③，再把①变形为 ，将③代入①即可求解.
23．在平面直角坐标系中，对于与原点不重合的两个点和，关于，的方程称为点的“照耀方程”．若是方程的解，则称点“照耀”了点
例如，点的“照耀方程”是，且是该方程的解，则点“照耀”了点．
（1）下列点中被点“照耀”的点为　 　．
，，
（2）若点同时被点和点“照耀”，请求出，
（3）若个不同的点，，…，，每个点都“照耀”了其后所有的点，
如“照耀”了，，…，，
“照耀”了，，…，，……
“照耀”了，
请写出的最大值，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：点的照耀方程为：，点的照耀方程为：，
解方程组得：，
∴点C为，
即，．
（3）解：的最大值为3；理由如下：
设点，则关于点的照耀方程为，
设点，则关于点的照耀方程为，
设点是被和的“照耀”的点，
∴是方程组，
∵方程组为关于x、y的二元一次方程组，
又∵二元一次方程组只有一个解，
∴被和“照耀”的点只有一个，
∴不可能再写出第4个点，
∴的最大值为3．
【解析】【解答】解：（1）点A（3，-2）的照耀方程为：3x-2y＝1，
把点 B1 （-1，1）代入得：-3-2＝-5≠1，
∴点 B1 不是被点A（3，-2）“照耀”的点；
把点 B2 （4，6）代入得：3×4-2×6＝0≠1，
∴点 B2 不是被点 A（3，-2）“照耀”的点；
把点 B3 （5，7）代入得：3×5-2×7＝1，
∴点 B3 是被点 A（3，-2）“照耀”的点；
故答案为：B3（5，7）；
【分析】（1）根据题目中给出的定义进行解答即可；
（2）根据题意列出方程组 ，求解方程组求解即可；
（3）根据题意先求出 是方程组， 再求出被和“照耀”的点只有一个，最后求解即可。
24．已知关于 ， 的方程组 ，
（1）若方程组的解满足方程3x-4y=1，求k的值；
（2）请你给出k的一个值，使方程组的解中 ， 都是正整数，并直接写出方程组的解．
【答案】（1）解：解方程组可得：
将方程组的解代入方程3x-4y=1可得：3（2k-1）-4（k-3）=1 解得：k=-4
（2）解：根据题意可得： 则k 3
当k=4时，则方程组的解为：
【解析】【分析】根据题意求出方程组的含字母解，将方程组的解代入方程求出k的值；根据题意使方程组的解中都是正整数，求出 方程组的解．
25．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）解：设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得 ，解得 ，答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元
（2）解：①据题意得，y=100x+150（100﹣x），即y=﹣50x+15000；
②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33 ，∵y=﹣50x+15000，﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x=34时，y取最大值，则100﹣x=66，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大
（3）解：据题意得，y=（100+m）x+150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000，33 ≤x≤70．
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x=34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m=50时，m﹣50=0，y=15000，即商店购进A型电脑数量满足33 ≤x≤70的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，∴当x=70时，y取得最大值．即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大
【解析】【分析】（1）设出两种电脑每台的销售利润，根据题意可列出二元一次方程组，即可求得两种电脑每台的销售利润；（2）先用x表示出B型电脑的台数，再结合（1）中的结论即可列出y关于x的函数关系式；根据实际意义确定x的取值范围，再由一次函数的单调性即可求得满足条件的两种电脑的购进数量；（3）根据本小题的题干列出y关于x的函数关系式及x的取值范围，再根据函数的单调性对m进行分类讨论即可.
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