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第17章 三角形 单元复习巩固卷
一、单选题
1．若中，：：：：，则是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
2．在△ABC与△A1B1C1中，下列不能判定△ABC≌△A1B1C1的是（　　）
A．AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠B＝∠B1
B．AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠C＝∠C1
C．∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，BC＝B1C1
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1
3．若等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
4．如图，在 中， ， ， ， ，连接BC，CD，则 的度数是（　　）
A．45° B．50° C．55° D．80°
5．如图，△ABC中，∠B=∠C=65°，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线上取两点C、D，使 BC=CD，再作出BF的垂线DE，使E与A、C在一条直线上（如图所示），可以测得DE的长就是AB的长（即测得河宽），可由△EDC≌△ABC得到，判定这两个三角形全等的理由是（　　）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角
7．如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形边长，则∠1=（　　）
A．76° B．62°
C．76°或62° D．76°，62°或42°
8．如图，在中E是上的一点，，点D是的中点，连接、交于点F，若的面积为36，则四边形的面积是（　　）
A．14 B．12 C．13 D．15
9．在△ABC中，三边长为9、10、x，则x的取值范围是（　　）
A．1≤x＜19 B．1＜x≤19 C．1＜x＜19 D．1≤x≤19
10．如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接为边上的高线，延长交于点，下列结论①；②；③；④，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，在4×4的方格纸中有一格点△ABC，若△ABC的面积为 cm2，则这张方格纸的面积等于　 　 cm2．
12．如图，方格纸中△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，则在图中能够作出与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是　 　．
13．如图，已知 是 的中线， 是 的中线， 的面积为8，则 的面积为　 　．
14．如图所示，△ABD≌△ACE，∠B与∠C是对应角，若AE=5cm，BE=7cm，∠ADB=100°，则∠AEC=　 　，AC=　 　．
15．如图，△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是　 　．
16．如图，⊿ABC中，∠A = 30°，∠B = 70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，则∠CDF =　 　°
三、综合题
17．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点均在格点上．
（1）将线段AB向右平移3个单位长度，得到线段A′B′，画出平移后的线段并连接AB′和A′B，两线段相交于点O；
（2）求证：△AOB≌△B′OA′．
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.
（1）若∠B＝72°，∠C＝30°，①求∠BAE的度数；②求∠DAE的度数；
（2）探究：如果只知道∠B＝∠C＋42°，也能求出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，连接EF．
（1）求证：△BDC≌△EFC；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．
20．物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．
21．如图，在 中，点 是边 上一点，点 在边 上，且 ．
（1）如图1，求证： 是等腰三角形，
（2）如图2，若 平分 ，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与 相等的角（ 除外）．
22．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF.
（1）图中共有　 　对全等三角形.
（2）求证：AD是△ABC的角平分线.
23．如图，已知在 中，D是 上一点，点F，G都在 上， ， ，连接 ，分别延长 ， ，且它们相交于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ，点F，G是 上的三等分点， ， ，求 的周长．
24．如图
（1）如图1，将长方形纸片ABFE沿着线段DC折叠，CF交AD于点H，过点H作HG∥DC，交线段CB于点G．
①判断∠FHG与∠EDC是否相等，并说明理由；
②说明HG平分∠AHC的理由．
（2）如图2，如果将(1)中的已知条件改为折叠三角形纸片ABE，其它条件不变．HG是否平分∠AHC？如果平分请说明理由；如果不平分，请找出∠CHG，∠AHG与∠E的数量关系并说明理由．
25．
（1）如图所示，BD，CE是 的高，点P在BD的延长线上， ，点Q在CE上， ，探究PA与AQ之间的关系；
（2）若把（1）中的 改为钝角三角形， ， 是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．
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第17章 三角形 单元复习巩固卷
一、单选题
1．若中，：：：：，则是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=5：3：2
∴设∠A=5x，∠B=3x，∠C=2x，
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴5x+3x+2x=180°，
解得：x=18°，
∴∠A=5x=5×18°=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：B.
【分析】 可根据比设出三角形的三个内角的度数分别为：5x，3x，2x，再由三角形的内角和为180°来列方程求出x，最后根据最大角的度数来判断三角形的类型．
2．在△ABC与△A1B1C1中，下列不能判定△ABC≌△A1B1C1的是（　　）
A．AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠B＝∠B1
B．AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠C＝∠C1
C．∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，BC＝B1C1
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1
【答案】B
3．若等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
【答案】C
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，
当腰为3时，3+3=6，
∴腰长不能为3；
当腰长为6时，6+3＞3,
它的周长为：6+6+3=15.
故答案为：C.
【分析】利用三角形三边关系定理可知腰长只能为6，然后求出此三角形的周长。
4．如图，在 中， ， ， ， ，连接BC，CD，则 的度数是（　　）
A．45° B．50° C．55° D．80°
【答案】B
【解析】【解答】解：连接AC并延长交EF于点M.
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】连接AC并延长交EF于点M，根据两直线平行同位角相等，可得，，从而得出∠BAD=∠FCE，利用三角形的内角和求出∠FCE的度数，即得∠BAD的度数.
5．如图，△ABC中，∠B=∠C=65°，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CFD中
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BED=∠CDF，∠BDE=∠CFD，
∴∠BED+∠BDE=∠CDF+∠CFD，
∵∠BED+∠BDE+∠B=∠CDF+∠CFD+∠EDF=180°，
∴∠B=∠EDF，
∵∠B= （180°﹣50°）=65°
∴∠DEF=∠B=65°．
故答案为：C．
【分析】由条件AB=AC可以得出∠B=∠C，就可以得出△BDE≌△CFD，由△BDE≌△CFD，推出∠BED=∠CDF，∠BDE=∠CFD，由平角的定义就可以得出∠EDF=∠B，进而可求出∠B的度数即可解决问题；
6．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线上取两点C、D，使 BC=CD，再作出BF的垂线DE，使E与A、C在一条直线上（如图所示），可以测得DE的长就是AB的长（即测得河宽），可由△EDC≌△ABC得到，判定这两个三角形全等的理由是（　　）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角
【答案】B
【解析】【解答】解：因为证明在△EDC≌△ABC用到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即角边角这一方法．
故选：B．
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
7．如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形边长，则∠1=（　　）
A．76° B．62°
C．76°或62° D．76°，62°或42°
【答案】B
【解析】【解答】∵对应边的对角是对应角，
∴∠1=62°.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的对应角相等作出判断即可.
8．如图，在中E是上的一点，，点D是的中点，连接、交于点F，若的面积为36，则四边形的面积是（　　）
A．14 B．12 C．13 D．15
【答案】D
9．在△ABC中，三边长为9、10、x，则x的取值范围是（　　）
A．1≤x＜19 B．1＜x≤19 C．1＜x＜19 D．1≤x≤19
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：10﹣9＜x＜10+9，
解得：1＜x＜19，
故答案为：C．
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得10﹣9＜x＜10+9，求出x的取值范围即可.
10．如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接为边上的高线，延长交于点，下列结论①；②；③；④，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
二、填空题
11．如图，在4×4的方格纸中有一格点△ABC，若△ABC的面积为 cm2，则这张方格纸的面积等于　 　 cm2．
【答案】24
【解析】【解答】解：设正方形网格（小正方形）的边长为x，则
（4x）2﹣ ×x×4x﹣ ×2x×3x﹣ ×2x×4x= ，
解得x2= ，
∴方格纸的面积=16x2=16× =24．
故答案为：24．
【分析】先设正方形网格（小正方形）的边长为x，根据大正方形与△ABC的面积关系，列方程求解，即可得到方格纸的面积．
12．如图，方格纸中△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，则在图中能够作出与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是　 　．
【答案】4
【解析】【解答】如图，
分三种情况，①公共边是AC，符合条件的是△ACE；②公共边是BC，符合条件的是△BCF，△CBG，△CBH；③公共边是AB，有符合条件的三角形，但是顶点不在格点上．
综上，共有4个．
【分析】根据要求分情况讨论，结合三角形的性质作图求解即可。
13．如图，已知 是 的中线， 是 的中线， 的面积为8，则 的面积为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解： 是 的中线， 的面积为8，
，
是 的中线，
；
故答案为：2．
【分析】根据中线和三角形的面积可得，再求出三角形的面积即可。
14．如图所示，△ABD≌△ACE，∠B与∠C是对应角，若AE=5cm，BE=7cm，∠ADB=100°，则∠AEC=　 　，AC=　 　．
【答案】100°；12cm
【解析】【解答】解：∵AE=5cm，BE=7cm，
∴AB=AE+EB=12cm，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=100°，AC=AB=12cm．
故答案为100°，12cm．
【分析】由AE=5cm，BE=7cm可得AB=12cm，根据全等三角形的性质可得∠AEC=∠ADB=100°，AC=AB=12cm．
15．如图，△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是　 　．
【答案】76°
【解析】【解答】解：∵∠A=46°，∠C=74°，
∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°，
∴△BCD中，∠BDC=180°﹣∠C﹣∠DBC=76°，
故答案为：76°
【分析】先根据三角形内角和，得到∠ABC的度数，再根据角平分线的定义，得出∠DBC，进而根据三角形内角和，即可得到∠BDC的度数．
16．如图，⊿ABC中，∠A = 30°，∠B = 70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，则∠CDF =　 　°
【答案】70°．
三、综合题
17．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点均在格点上．
（1）将线段AB向右平移3个单位长度，得到线段A′B′，画出平移后的线段并连接AB′和A′B，两线段相交于点O；
（2）求证：△AOB≌△B′OA′．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵AB∥A′B′，
∴∠A=∠B′，∠B=∠A′
在△AOB和△B′OA′中，
，
∴△AOB≌△B′OA′．
【解析】【分析】（1）每个端点分别向右平移三个单位后再连结即可；（2）根据平移特征可得平行与对应角相等，可根据角边角证出全等.
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.
（1）若∠B＝72°，∠C＝30°，①求∠BAE的度数；②求∠DAE的度数；
（2）探究：如果只知道∠B＝∠C＋42°，也能求出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解： ，
，
平分 ，
；
，
，
，
（2）解：能.
， ，
，
，
，
平分 ，
，
在 中， ，
.
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理计算出 ，然后根据角平分线定义得到 ； 根据垂直定义得到 ，则利用互余可计算出 ，然后利用 进行计算即可；（2）由 ， 可消去 得到 ，则根据角平分线定义得到 ，接着在 中利用互余得 ，然后利用 进行计算即可得到 .
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，连接EF．
（1）求证：△BDC≌△EFC；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．
【答案】（1）证明：由旋转的性质得，CD＝CF，∠DCF＝90°，
∴∠DCE+∠ECF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ECF，
在△BDC和△EFC中，
，
∴△BDC≌△EFC（SAS）
（2）解证明：∵EF∥CD，
∴∠F+∠DCF＝180°，
∵∠DCF＝90°，
∴∠F＝90°，
∵△BDC≌△EFC，
∴∠BDC＝∠F＝90°．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，结合题意即可证明△BDC≌△EFC。
（2）根据直线平行的性质，结合全等三角形的性质即可得到∠BDC的度数。
20．物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．
【答案】（1）解：平行四边形的重心是两条对角线的交点．如图，
平行四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是对称中心，经过点O与对边相交的任何一条线段都以点O为中点（如图中线段PQ），因此点O是各条线段的公共重心，也是□ABCD的重心．
（2）解：把模板分成两个矩形，连接各自的中心；
把模板重新分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，指出重心．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知：重心是两条对角线的交点．（2）两模块分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，指出重心．
21．如图，在 中，点 是边 上一点，点 在边 上，且 ．
（1）如图1，求证： 是等腰三角形，
（2）如图2，若 平分 ，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与 相等的角（ 除外）．
【答案】（1）解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠BAD=∠CDE，
∴∠B=∠ADE，
∵∠ADE=∠C，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE，
∴AD=DE，
∴ 是等腰三角形；
（2）解：∵ 平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE= ∠ADC，
∵ ，∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE，
∵ ，
∴∠C= ，
∴与 相等的角有：∠B，∠BAD，∠ADE，∠C．
【解析】【分析】（1）根据平角的定义和三角形的内角和定理得出根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据角平分线定义得到，等量代换得到结论。
22．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF.
（1）图中共有　 　对全等三角形.
（2）求证：AD是△ABC的角平分线.
【答案】（1）3
（2）证明：根据题意可知：
BD=CD，BE=CF，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
DE=DF
在Rt△ADE和Rt△ADF中
Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
即AD是△ABC的角平分线
【解析】【解答】（1）解：3对，分别是△BED≌△CFD，△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD；
故填：3
【分析】（1）根据条件D为BC中点可得BD＝CD，再有条件BE＝CF，可利用HL证明；Rt△BED≌Rt△CFD，进而得到∠B＝∠C，从而得到DE＝DF，AB＝AC，可用HL证明△ABD≌△ACD，又可得到AE＝AF，再利用SSS可证明△AED≌△AFD；（2）根据全等三角形的判定与性质即可求解.
23．如图，已知在 中，D是 上一点，点F，G都在 上， ， ，连接 ，分别延长 ， ，且它们相交于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ，点F，G是 上的三等分点， ， ，求 的周长．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴
在 和 中，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵点F，G是 上的三等分点， ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
【解析】【分析】（1）先求出，再利用ASA证明三角形全等即可；
（2）根据题意求出DG=CE=3，再求出 ，最后求三角形的周长即可。
24．如图
（1）如图1，将长方形纸片ABFE沿着线段DC折叠，CF交AD于点H，过点H作HG∥DC，交线段CB于点G．
①判断∠FHG与∠EDC是否相等，并说明理由；
②说明HG平分∠AHC的理由．
（2）如图2，如果将(1)中的已知条件改为折叠三角形纸片ABE，其它条件不变．HG是否平分∠AHC？如果平分请说明理由；如果不平分，请找出∠CHG，∠AHG与∠E的数量关系并说明理由．
【答案】（1）解：①如图1， ∵DE∥CF， ∴∠EDA＝∠FHA(两直线平行，同位角相等)， ∵HG∥DC， ∠ADC＝∠AHG(两直线平行，同位角相等)， ∴∠EDA +∠ADC=∠FHA +∠AHG， ∴∠FHG=∠EDC. ② HG平分∠AHC，理由如下： 将图形折回到其原始状态，E的对应点为N，F的对应点为M， 方法1：由折叠知∠NDC=∠EDC， ∵∠FHG=∠EDC. ∴∠FHG＝∠NDC. ∵DC∥HG， ∴∠NDC＝∠DHG ∴∠DHG=∠FHG. ∵∠DHC=∠FH A(对顶角相等)， ∴∠DHG-∠DHC.=∠FHG-∠FH A ∴∠CHG＝∠AHG， ∴HG平分∠AHC．
方法2：由折叠知∠FCD＝∠DCM．
∵HG∥DC， ∴∠DCM＝∠HGC(两直线平行，同位角相等)， ∠DCH＝∠CHG(两直线平行，内错角相等)， ∵AD∥BC， ∴∠CGH＝∠AHG(两直线平行，内错角相等)， ∴∠CHG＝∠AHG， 即HG平分∠AHC．
（2）解：HG不再平分∠AHC．∠AHG＝∠CHG＋∠E．
理由如下：
如图2，延长线段AD和BC交于点F，
得到∠ECD＝∠FCD．
∵HG∥DC，
∴∠CHG＝∠DCH＝∠FCD，
∠AHG＝∠ADC，
∵∠ADC＋∠FDC＝180 (平角的意义)，
又∵∠F＋∠FCD＋∠FDC＝180 (三角形内角和为180 )，
∴∠AHG＝∠CHG＋∠E
【解析】【分析】（1） ①根据平行线性质得∠EDA＝∠FHA，∠ADC＝∠AHG，由角的计算即可得证.
② HG平分∠AHC，理由如下：将图形折回到其原始状态，E的对应点为N，F的对应点为M，由折叠性质知：∠FCD＝∠DCM，根据平行线性质得：∠DCM＝∠HGC，∠DCH＝∠CHG，∠CGH＝∠AHG，等量代换得∠CHG＝∠AHG，根据角平分线定义即可得证.
（2） HG不再平分∠AHC，∠AHG＝∠CHG＋∠E；理由如下：如图：延长线段AD和BC交于点F，根据平行线性质得：∠CHG＝∠DCH＝∠FCD，∠AHG＝∠ADC，由三角形内角和定理、等量代换即可得证.
25．
（1）如图所示，BD，CE是 的高，点P在BD的延长线上， ，点Q在CE上， ，探究PA与AQ之间的关系；
（2）若把（1）中的 改为钝角三角形， ， 是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ，
∴
∴
即 ．
∴ ．
即 ， ．
（2）解：上述结论仍然成立．如图所示
∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ，
即 ， ．
【解析】【分析】（1）由条件得出 ． 可证出 ． 即可得出结论；
（2）根据题意画出图形，结合（1）可证出 ． 即可得出结论。
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