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第18章 等腰三角形 单元综合培优卷
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是
A．∠B=48° B．∠AED=66°
C．∠A=84° D．∠B+∠C=96°
2．如图，将一块等边三角板与直尺叠放在一起，且等边三角板的一个顶点在直尺的一边上，则当∠2＝81°时，∠1的度数为（　　）
A．40° B．39° C．41° D．60°
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（　　）
A．4.5 B．5.5 C．6 D．43
4．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（　　）
A．6 B．3 C．2.5 D．2
5．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．如图，，点在线段上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，△ABC≌△A′B′C′，若A′B′恰好经过点B，A′C′交AB于D，则∠BDC的度数为（　　）
A．50° B．60° C．62° D．64°
8．以下各命题中，正确的命题是（　　）
（1）等腰三角形的一边长4cm，一边长9cm，则它的周长为17cm或22cm；
（2）三角形的一个外角，等于两个内角的和；
（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；
（4）等边三角形是轴对称图形；
（5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5）
C．（2）（4）（5） D．（4）（5）
9．如图，在△ABC中，∠C＝67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为（　　）
A．56° B．50° C．46° D．40°
10．将两个等边三角形△AGF和△DEF按如图方式放置在等边三角形ABC内．若求四边形ABEF和三角形DGF的周长差，则只需知道(　　)
A．线段AD的长 B．线段EF的长 C．线段FH的长 D．线段DG的长
二、填空题
11．如图，在中，，D、E、F分别是，，上的点，且，，，则的度数是 　 　．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D。若BD＝BC，则∠A＝　 　度.
13．如图，在四边形ACBD中，BC=5，∠ACB+∠ADB=90°，连接AB，CD，若AB=AD，△ABC的面积为，则CD的长为　 　.
14．如图，等边三角形ABC的顶点在坐标轴上，边长为4，则点A的坐标是　 　．
15．如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　 　．
16．在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则∠B的度数为　 　
三、综合题
17．已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A、E在BC的同侧．
（1）如图1，点D在BC上，写出线段AC、CD、CE之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，若点D在BC的延长线上，其它条件不变，直接写出AC、CD、CE之间的数量关系．
18．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，对角线BD平分∠ABC，且BD=BC，CE⊥BD于点E。
（1）求证：△ABD≌△EBC。
（2）当∠ADB=60°时，求∠DCE的度数。
19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
20．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．

（1）请你写出两个正确结论： 　 　
（2）当∠B=60°时，还可以得出正确结论：　　 　
21．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F.
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由.
22．如图， ， ， 和 相交于点O.
（1）求证： ；
（2）判断 的形状，并说明理由.
23．如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点，交于点，交于点．
（1）试说明：≌；
（2）试说明：；
（3）试说明：点到边，所在直线的距离相等．
24．如图，在△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8．
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
（2）点H在线段AC上，试求AH+BH+CH的最小值．
25．如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE， ∠BAC＝∠DAE，BC交DE于点O，∠BAD=ａ.
（1）求证：∠BOD=ａ.
（2）若AO平分∠DAC， 求证：AC=AD．
（3）若∠C=30°，OE交AC于F，且△AOF为等腰三角形，则ａ= 　 　
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第18章 等腰三角形 单元综合培优卷
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是
A．∠B=48° B．∠AED=66°
C．∠A=84° D．∠B+∠C=96°
【答案】B
2．如图，将一块等边三角板与直尺叠放在一起，且等边三角板的一个顶点在直尺的一边上，则当∠2＝81°时，∠1的度数为（　　）
A．40° B．39° C．41° D．60°
【答案】B
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（　　）
A．4.5 B．5.5 C．6 D．43
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵AB=AD=12，BC=DC，
∴AC垂直平分BD，
∴AC平分∠BAD，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠CAB=∠CAD=∠BAD=30°，∠ADB=60°，
∵CE // AB，
∴∠DEF=∠BAD=60°，∠ACE=∠CAB=30°.
∴∠CAD=∠ACE.
∴AE=CE=9，
又∠ADB=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=AD-AE=3，
∴CF=CE-EF=6.
故答案为：C.
【分析】先证明AC平分∠BAD，再证明△ABD是等边三角形，接着利用平行线的性质，求得∠DEF，∠ACE，从而可证明∠CAD=∠ACE，根据等腰三角形的判定，可得AE=CE，再利用CF=CE-EF，求出CF.
4．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（　　）
A．6 B．3 C．2.5 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，
作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，
在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小=4×6﹣ ×4×4﹣ ×3×6﹣ ×3×3=2.5．
故选C．
【分析】以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小本题考查几何最值问题、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是探究出如何确定三个等腰直角三角形，属于中考选择题中的压轴题．
5．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠C=∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，
∴∠A=∠ADE，
∴DE=AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选D．
【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．
6．如图，，点在线段上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，△ABC≌△A′B′C′，若A′B′恰好经过点B，A′C′交AB于D，则∠BDC的度数为（　　）
A．50° B．60° C．62° D．64°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A＝∠A′＝20°，∠ACB＝∠A′CB′＝90°，CB＝CB′，
∵∠B′＝∠CBA＝70°，
∵CB＝CB′，
∴∠B′＝∠B′BC＝70°，
∴∠BCB′＝180°-70°-70°＝40°，
∴∠BCD＝90°-40°＝50°，
∴∠BDC＝180°-∠CBD-∠BCD＝180°-50°-70°＝60°.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质可得∠A＝∠A′＝20°，∠ACB＝∠A′CB′＝90°，CB＝CB′，结合内角和定理可得∠B′＝∠CBA＝70°，由等腰三角形的性质可得 ∠B′＝∠B′BC＝70°，由内角和定理可得∠BCB′=40°，则∠BCD＝90°-∠BCB′＝50°，再次利用内角和定理就可求出 ∠BDC的度数.
8．以下各命题中，正确的命题是（　　）
（1）等腰三角形的一边长4cm，一边长9cm，则它的周长为17cm或22cm；
（2）三角形的一个外角，等于两个内角的和；
（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；
（4）等边三角形是轴对称图形；
（5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5）
C．（2）（4）（5） D．（4）（5）
【答案】D
【解析】【解答】解：（1）等腰三角形的一边长4cm，一边长9cm，则三边长为：9cm.9cm，4cm，或4cm，4cm，9cm，因为：4+4＜9，则它的周长只能是为22cm，故此命题错误；
（2）三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和，故此命题错误；
（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等错误，必须是夹角；
（4）等边三角形是轴对称图形，此命题正确；
（5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形，正确；
如图：
∵AD∥CB，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
即：△ABC是等腰三角形．
故选：D．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得三边长，再考虑是否符合三角形的三边关系；
（2）根据三角形内角与外角的关系可判断；
（3）根据三角形全等的判定定理可判断；
（4）根据轴对称的定义可判断；
（5）根据题意画出图形即可证出是否是等腰三角形．
9．如图，在△ABC中，∠C＝67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为（　　）
A．56° B．50° C．46° D．40°
【答案】C
【解析】【解答】∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC上，
∴AC=AC′，∠C=∠AC′B′，
∴∠C=∠AC′C，
∵∠C=67°，
∴∠AC′B′=67°，∠AC′C=67°，
∴∠B′C′B=180°-∠AC′B′-∠AC′C=46°，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质和∠C=67°，从而可以求得∠AC′B′和∠AC′C的度数，从而可以求得∠B′C′B的度数．
10．将两个等边三角形△AGF和△DEF按如图方式放置在等边三角形ABC内．若求四边形ABEF和三角形DGF的周长差，则只需知道(　　)
A．线段AD的长 B．线段EF的长 C．线段FH的长 D．线段DG的长
【答案】A
【解析】【解答】 解：如图，连接EG，
∵△AGF和△DEF都是等边三角形，
∴AF=GF，DF=EF，∠AGF=∠AFG=∠DFE=60°，
∴∠AFD=∠GFE=60°-∠DFG，
在△AFD和△GFE中，
∵АF=GF，∠AFD=∠GFE，DF=EF，
∴△AFD≌△GFE (SAS)，
∴AD=GE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=∠FGE=60°，
∴∠BGE=180°-∠FGE-∠AGF=60°，
∴∠BEG=∠BGE=∠B=60°，
∴：△GBE是等边三角形，
∴BG=BE=GE=AD，
∴AF+AB+BE+EF-(GF+DF+DG)=AD+BG+BE=3AD，
∴四边形ABEF和三角形DGF的周长差为3AD，
∴若求四边形ABEF和三角形DGF的周长差，则只需知道线段AD的长.
故答案为：A.
【分析】连接GE，由等边三角形的性质得AF=GF，DF=EF，∠AGF=∠AFG=∠DFE=60°，推出∠AFD=∠GFE，从而用SAS证明△AFD≌△GFE，得AD=GE，∠B=∠A=∠FGE=60°，由平角定义推出则∠BGE=60°，根据三个角是60°的三角形是等边三角形可证明△GBE是等边三角形，则BG=BE=GE=AD，所以AF+AB+BE+EF-(GF+DF+DG)=AD+BG+BE=3AD，若求四边形ABEF和三角形DGF的周长差，则只需知道线段AD的长， 于是得到问题的答案.
二、填空题
11．如图，在中，，D、E、F分别是，，上的点，且，，，则的度数是 　 　．
【答案】48
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D。若BD＝BC，则∠A＝　 　度.
【答案】36
【解析】【解答】解：∵BD=BC，∴∠C=∠BDC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，又∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠C=∠BDC=2∠A，又∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+2∠C=180°
把∠C=2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A=180°，解得∠A=36°．
【分析】根据根据等腰三角形的性质等边对等角和三角形的内角和定理即可求解。
13．如图，在四边形ACBD中，BC=5，∠ACB+∠ADB=90°，连接AB，CD，若AB=AD，△ABC的面积为，则CD的长为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：如图：
将线段AC饶点A顺时针旋转α，使α=∠DCB.连接CE，BE.
所以有AE=AC，∠EAC=∠BAD，∠ACE=∠ADB，
∴∠EAB=∠CAD.
又∵AB=AD，
∴△EAB≌△CAD(SAS).
∴BE=CD.
∵∠ACE=∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ACE=90°，
即△BCE是直角三角形.
过点A作AG⊥CB于点G，AF⊥EC于点F，
∴四边形AFCG为矩形，
∴CF=AG.
∵，
∴AG=3=CF.
∵AE=AC，AF⊥EC，
∴EF=CF=3.
∴.
即CD=.
故答案为：
【分析】将线段AC饶点A顺时针旋转α，使α=∠DCB.连接CE，BE.可得全等的△EAB和△CAD，于是有EB=CD，∠EAB=90°.过点A作AG⊥CB于点G，AF⊥EC于点F，可得矩形AFCG，于是有CF=AG。根据△ABC的面积可得AG长，根据等腰三角形三线合一的性质可得EF=CF，利用勾股定理求得BE长，即得CD长.
14．如图，等边三角形ABC的顶点在坐标轴上，边长为4，则点A的坐标是　 　．
【答案】（0，2）
【解析】【解答】由等边三角形的三线合一，可知：OC＝BC＝2，
由勾股定理可知：OA＝＝2，
∴A（0，2），
故答案为（0，2）．
【分析】根据等边三角形的性质可得OC＝BC＝2，再利用勾股定理求出OA的长，即可得到点A的坐标。
15．如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　 　．
【答案】3
16．在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则∠B的度数为　 　
【答案】50°
【解析】【解答】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=80°，
∴∠B=（180°-80°）÷2=50°，
故答案为：50°．
【分析】根据题意可知，在等腰三角形ABC中，AB=AC，顶角为80°，即可计算得到∠B的度数。
三、综合题
17．已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A、E在BC的同侧．
（1）如图1，点D在BC上，写出线段AC、CD、CE之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，若点D在BC的延长线上，其它条件不变，直接写出AC、CD、CE之间的数量关系．
【答案】（1）解：CD+CE=AC．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
∵△ADE为等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD+DC=CE+CD，
∴AC=CD+CE；
（2）解：CE﹣CD=AC．理由如下：
与（1）的证明方法一样可得到△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD﹣CD=CE﹣CD，
∴AC=CE﹣CD
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC=BC，∠BAC=60°，AD=AE，∠DAE=60°，利用等量代换得∠BAD=∠CAE，则可根据“SAS”判断△ABD≌△ACE，
所以BD=CE，于是AC=BC=BD+DC=CE+CD；（2）利用同样方法证明△ABD≌△ACE，则BD=CE，所以AC=BC=BD﹣CD=CE﹣CD．
18．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，对角线BD平分∠ABC，且BD=BC，CE⊥BD于点E。
（1）求证：△ABD≌△EBC。
（2）当∠ADB=60°时，求∠DCE的度数。
【答案】（1）证明：BD平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB=∠A=90°，
在△CEB和△DAB中，
∴ △ABD≌△EBC（AAS）.
（2）解：∵ △ABD≌△EBC
∴∠ADB=∠BCE=60°
∴∠EBC=90°-∠BCE=90°-60°=30°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=（180°-∠EBC）÷2=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=75°-60°=15°.
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和垂直的定义可证得∠EBC=∠ABE，∠CEB=∠A，再利用AAS证明 △ABD≌△EBC。
（2）利用全等三角形的性质，可证得∠ADB=∠BCE，就可求出∠EBC的度数，再利用等边对等角及三角形内角和定理求出∠BDC的度数，然后根据∠DCE=∠DCB-∠ECB，代入计算求出∠DCE的度数。
19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
【答案】（1）解：①②；①③．
（2）解：选①③证明如下，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，
又∵∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）由①②；①③．两个条件可以判定△ABC是等腰三角形，（2）先求出∠ABC=∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形．
20．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．

（1）请你写出两个正确结论： 　 　
（2）当∠B=60°时，还可以得出正确结论：　　 　
【答案】（1）BD=CD，△ABD≌△ACD，
（2）△ABC是等边三角形
【解析】【解答】解：（1）①BD=CD；②△ABD≌△ACD；
故答案为：BD=CD，△ABD≌△ACD，
（2）∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：△ABC是等边三角形．
【分析】（1）根据中点的性质及全等三角形的判定，写出两个结论即可；
（2）根据等边三角形的判定定理可得△ABC是等边三角形．
21．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F.
（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；
（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由.
【答案】（1）解：∵∠B＝70°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝40°，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE＝40°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE＝40°
（2）解：AD平分∠BDE，
理由是：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）
∴∠B＝∠ADE，
∵∠B＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ADB，
即AD平分∠BDE.
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出∠BAD的度数，则CAE的度数可知， 再利用平行线的性质定理即可求解；
（2） 由∠BAD＝∠CAE可推∠BAC＝∠DAE，再利用边角边定理证明△BAC≌△DAE，则对应角∠B＝∠ADE，结合∠B＝∠ADB，则可得出结论.
22．如图， ， ， 和 相交于点O.
（1）求证： ；
（2）判断 的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：在 和 中，
∵
∴ .
∴ .
（2）解： 是等腰三角形.
理由：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ 是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）易证△ABD≌△ACE，据此可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，结合∠ABD=∠ACE可得∠OBC=∠OCB，得到OB=OC，据此可判断出三角形的形状.
23．如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点，交于点，交于点．
（1）试说明：≌；
（2）试说明：；
（3）试说明：点到边，所在直线的距离相等．
【答案】（1）解：，
，
，
与是等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
≌
（2）解：，
，
由知，≌，
，
，
，
（3）解：≌，
，的面积的面积，
点到边，所在直线的距离相等．
【解析】【分析】 （1）首先判断出，再根据SAS即可证明；
（2）首先根据可判断出，再由可知，，进而求出∠OBD+∠ODB=90°，即可证明；
（3）根据，可知，的面积与的面积相等，可得点A到边，所在直线的距离相等．
24．如图，在△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8．
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
（2）点H在线段AC上，试求AH+BH+CH的最小值．
【答案】（1）解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=6．
在△ABD中，BD2+AD2=62+82=102=AB2，
∴△ABD为直角三角形．
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AB=AC．
∴△ABC为等腰三角形．
（2）解：∵AH+BH+CH=AC+BH=10+BH，
∴当BH最小时，AH+BH+CH有最小值．
由垂线段的性质可知当BH⊥AC时，BH有最小值．
∴ BH AC= BC AD，即 ×10 BH= ×12×8，
解得：BH=9.6．
∴AH+BH+CH的最小值=10+9.6=19.6．
【解析】【分析】（1）由三角形的中线的定义可知BD=DC=6，然后依据勾股定理的逆定理可证明△ABD为直角三角形，故此AD⊥BC，则AD为BC的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质可知AB=AC；（2）由题意可得到CH+AC=AC=10，故此当BH最小时，AH+BH+CH有最小值，依据垂线段的性质可知当BH⊥AC时，BH有最小值，在△ABC中，依据面积法可求得BH的最小值．
25．如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE， ∠BAC＝∠DAE，BC交DE于点O，∠BAD=ａ.
（1）求证：∠BOD=ａ.
（2）若AO平分∠DAC， 求证：AC=AD．
（3）若∠C=30°，OE交AC于F，且△AOF为等腰三角形，则ａ= 　 　
【答案】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
∵
∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠B=∠D，∴∠BOD=∠BAD=α
（2）解：过A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N，
∵△ABC≌△ADE，∴S△ABC=S△ADE，∴ ，∵BC=DE，∴AM=AN，
∴AO平分∠BOE，∵AO平分∠DAC，∴∠DAO=∠CAO，∴∠BAO=∠EAO，
在△ABO和△AEO中，
∵
∴△ABO≌△AEO（ASA），
∴AB=AE，∵AB=AD，AC=AE，∴AC=AD，
（3）40°或20°
【解析】【解答】解：（3）当AO=AF时，a=40°，
当OA=OF时，a=20°，
故答案为：40°或20°.
【分析】（1）利用SAS判断出 △ABC≌△ADE ，根据全等三角形对应角相等得出 ∠B=∠D ，利用三角形的内角和即可得出 ∠BOD=∠BAD=α ；
（2） 过A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N， 根据全等三角形的面积相等得出 S△ABC=S△ADE ，根据三角形的面积法，得出 ，又BC=DE，故AM=AN， 根据角平分线的判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出 AO平分∠BOE ，然后利用ASA判断出 △ABO≌△AEO ，根据全等三角形的对应边相等得出AB=AE，又AB=AD，AC=AE，故AC=AD；
（3）分类讨论：①当AO=AF时，根据等边对等角及三角形的外角定理得出∠AOF=∠AFO=∠AOB= α +30°，然后根据平角的定义，由∠AOF+∠FOC+∠AOB=180°建立方程求解得出a的值；②当OA=OF时，根据等边对等角得出∠OAF=∠AFO=a+30°，∠AOF=∠AOB=180°-2（a+30°），然后根据平角的定义建立方程，求解得出a的值，综上所述即可得出答案。
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