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2024-2025学年天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
2.在研究成对数据的统计相关性时下列说法错误的是( )
A. 样本相关系数为，则越大，成对样本数据的线性相关程度越强
B. 用最小二乘法得到的经验回归方程一定经过样本点中心
C. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好
D. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好
3.如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
是函数的极值点；
是函数的极值点；
的图象在处切线的斜率小于零；
函数在区间上单调递增．
则正确命题的序号是
A. B. C. D.
4.设随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
5.对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图左图为甲，右图为乙，下列结论正确的是( )
A. 乙组数据的相关系数大于零 B. 甲组数据的相关程度比乙强
C. 乙组数据的相关系数比甲组的更接近 D. 乙组数据的相关系数比甲小
6.某公司研发新产品投入金额单位：万元与该产品的收益单位：万元的组统计数据如下表所示由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是( )
A. 与有正相关关系
B.
C. 当新产品投入金额为万元时，该产品的收益大约为万元
D. 当时，残差为残差观测值预测值
7.已知甲箱中有个篮球，个足球，乙箱中有个篮球，个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则( )
A. B. C. D.
8.对一个四棱维各个顶点着色，现有种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有种．
A. B. C. D.
9.若函数有最小值，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知随机变量服从正态分布，若，则 ．
11.袋子中装有球，其中个黑球，个白球，若依次随机取出个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 ．
12.二项式展开式的各二项式系数之和为 ；该展开式中项的系数为 ．
13.甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击次，击中目标次数的数学期望为 ；甲、乙两射手各射击次，至少有人击中目标的概率为 ．
14.某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为和如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为，则小王同学第二天去甲游乐场的概率为 ；若第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为 ；
15.已知函数有且仅有个零点，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.电影志愿军雄兵出击讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”现有名男生甲、乙、丙和名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．列出算式，并计算出结果
女生必须坐在一起的坐法有多少种？
男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？
甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？
男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？
17.已知函数，满足．
求实数的值；
求的单调区间和极值．
18.如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，．

证明：平面平面；
求到平面距离；
求直线与平面夹角余弦值．
19.当前新能源汽车已经走进我们的生活，主要部件是电池，一般地电池的生产工艺和过程条件要去较高，一般一块电池充满电后可连续正常工作的时间小时，若检测到则视为产品合格，否则进行维护，维护费用为万元块，近一年来由于受极端天气影响，某汽车制造公司技术部门加急对生产的一大批汽车电池随机抽取个进行抽样检测，结果发现．
求出个样品中有几个不合格产品；
若从个样品中随机抽取件，记抽到的不合格产品个数为，求其分布列；
若以样本频率估计总体，从本批次的产品中再抽取块进行检测，记不合格品的个数为，预计会支出多少维护费元？
20.已知函数．
若时，直线是曲线的一条切线，求的值；
，且恒成立，求的取值范围；
令，且在区间上有零点，求的最小值．
参考答案
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16.【详解】先将名女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，再与名男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
从剩下的名男生中选一位坐在最后一个座位，有种排法，
因为男生甲坐第一个，则剩下的人进行全排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
个人全排列，有种排法，
甲坐第一个有种排法，乙坐第三个有种排法，甲坐第一个且乙坐第三个有种排法，
所以甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有种排法；
先排名女生，有种排法，
从名男生中选出名男生相邻并看成一个整体，有种选法，
名女生排好后产生个空位，把男生整体和另一名男生插入个空位中，有种插法，
根据分步乘法计数原理，共有种坐法．
17.【详解】由题意，，又，解得
由，且为增函数．
令可得，故当时，，单调递减；当时，，单调递增故在处有极小值，无极大值．
综上单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值．

18.【详解】证明：取和的中点和，连接和，
在正四棱柱中，可得为正三角形，所以，
以为原点，所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，
则，
设平面的法向量为，则
取，可得，所以，
设平面的一个法向量为，则
取，可得，所以，
因为，即，所以平面平面．
由平面的法向量为，且，
设直线与平面所成的角为，
可得，
又因为，所以到平面的距离为．
由为正三角形，且为的中点，可得，
在正三棱柱中，可得平面，
所以为平面的一个法向量，即为平面的一个法向量，
又由，可得，
设直线与平面夹角为，
可得，
则，即直线与平面夹角的余弦值为．


19.【详解】，且视为不合格，
，即个样品中有个不合格产品．
由可知，件样品中有件不合格产品，有件合格产品；
的可能值为，，，，
，
，
，
分布列为：
由可知，不合格品的概率为，
不合格品的个数，
块电池中，不合格品的个数为个，
所以维修费用元

20.【详解】当时，，设切点为，
因为是的一条切线，
所以，解得，
所以，
又切点在切线上，
所以，得．
当时，由恒成立可得恒成立，
即恒成立，令，
则，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
故时，有极小值也是最小值，所以．
，设在上的一个零点为，
则，
，当时等号成立．
令，则．
因为，则，即，
所以在区间上单调递减，
所以的最小值为，
故的最小值为．

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