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第二十二章 四边形 单元同步真题测试卷
一、单选题
1．如图，在中，的平分线交于点E，若，，则的周长为（　　）
A．46 B．48 C．50 D．52
2．如图，菱形的一边在轴上，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，若，，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．过八边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成三角形的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点C，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，，则长为（　　）
A．5 B． C． D．
5．如图，在中，点是上的一点，连接，，平分，交于点，且点是的中点，连接，已知，，则的长是（　　）
A．2 B．4 C．3 D．2.5
6．正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（　　）
A．正方形 B．正八边形
C．正十二边形 D．正四边形和正十二边形
7．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对边相等
C．对角相等 D．是中心对称图形
8．已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（　　）
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，，那么四边形是矩形
C．如果，，那么四边形是菱形
D．如果，，那么四边形是菱形
9．某人到瓷砖店去买一种多边形形状的瓷砖，用来密铺地板，则他购买的瓷砖形状不可能是(　　)
A．等边三角形 B．正方形 C．正八边形 D．正六边形
10．如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线上，顶点CD分别落在y轴、x轴上，双曲线过AD的中点E，若OC=3，则k的值为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
二、填空题
11．把边长相等的正五边形和正方形按如图所示的方式叠合在一起，为正五边形的对角线，则的度数是　 　．
12．如图，在平行四边形 中， ， 、 分别在 和 的延长线上， ， ， ，则 的长是　 　．
13．如图，小明从A点出发，沿直线前进5m后向左转了30°，再沿直线前进5m，又向左转了30°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了　 　m．
14．如图，在 矩形ABCD中，M、N分别是边 、 的中点，E、F分别是线段 、 的中点．若 ， ，则四边形 的周长为　 　，面积为　 　．
15．如图，把边长为2的菱形放在平面直角坐标系中，边在轴上，，点的坐标是，是边的中点，反比例函数的图象经过点，则的值是　 　．
16．如图，矩形 中， ， ，顺次连接 、 、 、 的中点得到四边形 ，那么四边形 的面积为　 　.
三、综合题
17．在直角坐标平面里，梯形ABCD各顶点的位置如图所示，图中每个小正方形方格的边长为1个单位长度．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）如果把梯形ABCD在坐标平面里先向右平移1个单位，然后向下平移2个单位得到梯形A1B1C1D1，求新顶点A1，B1，C1，D1的坐标．
18．如图，在 中， ，点 、 分别在边 、 上，且 ， ，点 在边 上，且 ，联结 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）如果 ， ，求四边形 的面积．
19．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P为线段AO上一个动点（不包括两个端点），Q为CD边上一点，且∠BPQ＝90°.
（1）①∠ACB＝　▲　度（直接填空）；
②求证：∠PBC＝∠PQD；
③直接写出线段PB与线段PQ的数量关系；
（2）若BC+CQ＝6，则四边形BCQP的面积为　 　（直接填空）；
（3）如图②，连接BQ交AC于点E，直接用等式表示线段AP、PE、EC之间的数量关系.
20．如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点O，过点D作 交 的延长线于点E．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求 的值．
21．如图，在 中，点E，F是直线 上的两点， .
（1）求证：四边形 是平行四边形.
（2）若 ， ， ，四边形 是矩形，求 的长.
22．如图，点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点C（2，﹣2），CA、CB分别交坐标轴于D、E，CA⊥AB，且CA＝AB
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，连接DE，求证：BD﹣AE＝DE；
（3）如图3，若点F为（4，0），点P在第一象限内，连接PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN＝PF，连接PO、BN，过P作∠OPG＝45°交BN于点G，求证：点G是BN的中点.
23．如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）作出∠ABC的角平分线BE，交AD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图中，若∠A=50°，求∠BED的度数．
24．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．
（2）若∠ABC=120°，AB=BC=4，则在点E的运动过程中：
①当BE=　 　时，四边形BECD是矩形，试说明理由；
②当BE=　 　时，四边形BECD是菱形．
25．综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图（1），在三角形纸片ABC中，AB=AC，∠B=∠C=α．
操作发现
（1）创新小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG，连接DF，得到图（2），则四边形AFDE的形状是　 　．
（2）实践小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针逆转90°，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△AFG，连接DF、DG、AE，得到图（3），发现四边形AFDB为正方形，请你证明这个结论．
拓展探索
（3）请你在实践小组操作的基础上，再写出图（3）中的一个特殊四边形，并证明你的结论．
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第二十二章 四边形 单元同步真题测试卷
一、单选题
1．如图，在中，的平分线交于点E，若，，则的周长为（　　）
A．46 B．48 C．50 D．52
【答案】D
2．如图，菱形的一边在轴上，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，若，，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
3．过八边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成三角形的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：∵过八边形一个顶点的对角线有5条对角线，它们把八边形分为了6个三角形，
∴分成的三角形个数是8.
故答案为：B.
【分析】根据过n边形一个顶点出发的对角线分得的三角形个数=n-2，可得：过八边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成6个三角形.
4．如图，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点C，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，，则长为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】A
5．如图，在中，点是上的一点，连接，，平分，交于点，且点是的中点，连接，已知，，则的长是（　　）
A．2 B．4 C．3 D．2.5
【答案】B
6．正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（　　）
A．正方形 B．正八边形
C．正十二边形 D．正四边形和正十二边形
【答案】D
【解析】【解答】解：∵正六边形的每一个内角是120°，
正方形的每一个内角为90°，正八边形的每一个内角为135°，正十二边形的每一个内角为150°，
∵90°+120°+150°=360°，
∴正六边形和正四边形和正十二边形能铺满地面.
故答案为：D.
【分析】根据位于同一顶点处的几个角之和能为360°，即能铺满.
7．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对边相等
C．对角相等 D．是中心对称图形
【答案】A
【解析】【解答】解：
A：对角线互相垂直，符合题意，平行四边形对角线互相平分，菱形的对角线互相垂直、平分且每一条对角线平分一组对角；
B：对边相等，不符合题意，平行四边形的对边相等，菱形具有平行四边形的全部性质；
C：对角相等，不符合题意，平行四边形的对角相等，菱形具有平行四边形的全部性质；
D：是中心对称图形，不符合题意，平行四边形和菱形都是中心对称图形.
故答案为：A
【分析】熟悉平行四边形性质，熟悉菱形的性质，知道菱形具有平行四边形的全部性质，反之，不然。
8．已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（　　）
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，，那么四边形是矩形
C．如果，，那么四边形是菱形
D．如果，，那么四边形是菱形
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，，
∴四边形是等腰梯形，不是平行四边形也就不是矩形，故A错误；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形，故B正确；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，故C正确；
∵，AD=BC，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，故D正确.
故答案为：A．
【分析】（1）根据等腰梯形判定求解；
（2）根据平行四边形的判定、矩形的判定求解；
（3）根据平行四边形的判定、菱形的判定求解；
（4）根据平行四边形的判定、菱形的判定求解．
9．某人到瓷砖店去买一种多边形形状的瓷砖，用来密铺地板，则他购买的瓷砖形状不可能是(　　)
A．等边三角形 B．正方形 C．正八边形 D．正六边形
【答案】C
10．如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线上，顶点CD分别落在y轴、x轴上，双曲线过AD的中点E，若OC=3，则k的值为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
二、填空题
11．把边长相等的正五边形和正方形按如图所示的方式叠合在一起，为正五边形的对角线，则的度数是　 　．
【答案】
12．如图，在平行四边形 中， ， 、 分别在 和 的延长线上， ， ， ，则 的长是　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD．
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AB=DE=CD= CE．
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°．
∵AB∥CD，
∴∠ECF=∠ABC=60°．
∴∠CEF=30°．
∴CF= CE．
∵CF=2，
∴AB=CF=2．
故答案为：2．
【分析】根据平行四边形的判定定理可得出四边形ABDE是平行四边形，得出AB=DE=CD= CE．由EF⊥BC，AB∥CD，得出∠ECF=∠ABC=60°，∠CEF=30°，CF= CE，由CF=2，即可得出 的长 。
13．如图，小明从A点出发，沿直线前进5m后向左转了30°，再沿直线前进5m，又向左转了30°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了　 　m．
【答案】60
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和为360°，
∴小明走路的路线围成一个正十二边形，
∴一共走了12×5=60m，
故答案为：60.
【分析】根据多边形的外角和为360°，可判断出路线是一个正十二边形，则可以算出周长.
14．如图，在 矩形ABCD中，M、N分别是边 、 的中点，E、F分别是线段 、 的中点．若 ， ，则四边形 的周长为　 　，面积为　 　．
【答案】20；24
【解析】【解答】解：连接MN、EF，如图：
∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，
∴AM=DM=6，MN=AB=8，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴BM=CM=10，
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，
∴EM=FM=5，EF=6，
∴EN，FN都是△BCM的中位线，
∴EN=FN=5，
∴四边形ENFM是菱形，
∴MN⊥EF，
∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20，
面积为： ；
故答案为：20；24．
【分析】根据三角形的中位线、勾股定理、矩形的性质即可的解。
15．如图，把边长为2的菱形放在平面直角坐标系中，边在轴上，，点的坐标是，是边的中点，反比例函数的图象经过点，则的值是　 　．
【答案】
16．如图，矩形 中， ， ，顺次连接 、 、 、 的中点得到四边形 ，那么四边形 的面积为　 　.
【答案】24
【解析】【解答】解：连接HF、EG，
∵矩形ABCD，
∴BC∥AD，BC=AD，
∵H、F分别为边DA、BC的中点，
∴BF=AH，
∴四边形BFHA是平行四边形，
∴AB=HF=6，AB∥HF，
同理BC=EG=8，BC∥EG，
∵AB⊥BC，
∴HF⊥EG，
∴四边形EFGH的面积是 EG×HF= ×6×8=24.
故答案为：24.
【分析】连接HF、EG，根据矩形的性质，结合中点的性质，求出四边形BFHA是平行四边形，得出HF的长，同理求出EG，然后根据平行线的性质求出HF⊥EG，则可得出四边形EFGH的面积是 EG×HF，最后代入数据计算即可.
三、综合题
17．在直角坐标平面里，梯形ABCD各顶点的位置如图所示，图中每个小正方形方格的边长为1个单位长度．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）如果把梯形ABCD在坐标平面里先向右平移1个单位，然后向下平移2个单位得到梯形A1B1C1D1，求新顶点A1，B1，C1，D1的坐标．
【答案】（1）解：由图可知：
A（﹣3，﹣1）、B（2，﹣1）、C（2，2）、D（﹣1，2）
AB∥CD，BC⊥AB，
所以，梯形ABCD是直角梯形，
AB=5，DC=3，BC=3，
梯形ABCD的面积是S＝
（2）解：如果把梯形ABCD在坐标平面里先向右平移1个单位，然后向下平移2个单位，则平移公式为：
所以，平移以后所得梯形A1B1C1D1各顶点的坐标分别为：
A1（﹣2，﹣3），B1（3，﹣3），C1（3，0），D1（0，0）
A1（-2，-3），B1（3，-3），C1（3，0），D1（0，0）
【解析】【分析】（1）根据图可知 梯形ABCD是直角梯形 ，并可以算得AB，BC，CD的长，从而根据梯形的面积公式求得 梯形ABCD的面积；
（2）根据平移的方向和距离得到平移公式，然后根据平移公式分别算得各新顶点的坐标。
18．如图，在 中， ，点 、 分别在边 、 上，且 ， ，点 在边 上，且 ，联结 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）如果 ， ，求四边形 的面积．
【答案】（1）解： ，
．
，
， ，
，
．
，
．
，
，
又 ，
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
又 ，
四边形 是菱形．
（2）解：过点 作 交 于点 ．
四边形 是菱形，且 ，
．
，
．
又 ，
．
在 中， ， ，
．
．
【解析】【分析】（1）由平行线的性质及等腰三角形的性质得出 ，进而有 ，通过等量代换可得出 ，然后利用一组对边平行且相等即可证明四边形 是平行四边形，然后再利用 即可证明四边形 是菱形；（2）过点 作 交 于点 ，在含30°的直角三角形中求出FG的长度，然后利用 即可求出面积．
19．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P为线段AO上一个动点（不包括两个端点），Q为CD边上一点，且∠BPQ＝90°.
（1）①∠ACB＝　▲　度（直接填空）；
②求证：∠PBC＝∠PQD；
③直接写出线段PB与线段PQ的数量关系；
（2）若BC+CQ＝6，则四边形BCQP的面积为　 　（直接填空）；
（3）如图②，连接BQ交AC于点E，直接用等式表示线段AP、PE、EC之间的数量关系.
【答案】（1）（1）①45
② 四边形 为正方形，
∵∠BPQ+∠PBC+∠BCD+∠PQC＝360°，
∴∠PBC+∠PQC＝180°，
又∵∠PQC+∠PQD＝180°，
∴∠PBC＝∠PQD；
③PB＝PQ
（2）9
（3）PE2＝AP2+EC2
【解析】【解答】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
故答案为：45；
③理由如下：如图①中，过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠ACB，
又∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，
∴PE＝PF，
∵∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
又∵PE＝PF，
∴四边形PECF是正方形，
∴∠EPF＝∠BPQ＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
又∵∠PEB＝∠PFQ＝90°，PE＝PF，
∴ （ASA），
∴PB＝PQ；
（ 2 ）如图①中，由（1）可知 ，四边形PECF是正方形，
∴BE＝FQ，CE＝CF，S△BPE＝S△PQF，
∵BC+CQ＝6，
∴EC+FC＝BC+CQ＝6，
∴CE＝CF＝3，
又∵S△BPE＝S△PQF，
∴S四边形BCQP＝S四边形CEPF＝9，
故答案为：9；
（ 3 ）PE2＝AP2+EC2.
理由如下：
∵BP＝PQ，
∴∠PBQ＝∠PQB＝45°，
∴∠ABP+∠CBE＝45°，
如图②，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到 ，连接HP，
∴ ，
∴AH＝EC，BH＝BE，∠BCE＝∠BAH＝45°，∠CBE＝∠ABH，
∴∠PAH＝∠PAB+∠BAH＝90°，∠ABH+∠ABP＝45°＝∠PBH，
又∵BP＝BP，BH＝BE，
∴ （SAS），
∴PE＝PH，
∵PH2＝AP2+AH2，
∴PE2＝AP2+EC2.
【分析】（1）①由正方形的性质可得∠ACB＝∠ACD＝45°；②由四边形内角和定理可求∠PBC+∠PQC＝180°，由平角的性质可得∠PQC+∠PQD＝180°，可得结论；③过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，由“ASA”可证 ，可得PB＝PQ；（2）由全等三角形的性质可得BE＝FQ，CE＝CF，S△BPE＝S△PQF，可得CE＝CF＝3，可得S四边形BCQP＝S四边形CEPF＝9；（3）将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BHA，连接HP，可得AH＝EC，BH＝BE，∠BCE＝∠BAH＝45°，∠CBE＝∠ABH，可得∠PAH＝90°，∠ABH+∠ABP＝45°＝∠PBH，由“SAS”可证 ，可得PE＝PH，由勾股定理可得结论.
20．如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点O，过点D作 交 的延长线于点E．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）证明：∵四边形 是菱形
∴ ， ．
∵
∴
∴
∴
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：∵四边形 是平行四边形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵ ， ，
∴
∴
∴
【解析】【分析】（1）先证明AC//DE，再结合菱形的性质可得AD//CE，所以可得四边形ACED是平行四边形；
（2）先利用勾股定理求出BE的长，再利用正弦的定义可得。
21．如图，在 中，点E，F是直线 上的两点， .
（1）求证：四边形 是平行四边形.
（2）若 ， ， ，四边形 是矩形，求 的长.
【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， .
.
.
又 ，
.
， .
，
四边形 是平行四边形
（2）解： ， ， ，
，
连接 交 于O，
，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，由平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，推出∠ADE=∠CBF，证明△ADE≌△CBF，得到AE=CF，∠AED=∠CBF，然后结合平行四边形的判定定理进行证明；
（2）首先由勾股定理求出BD，连接AC交EF于点O，求出DO、AO的值，由矩形的性质可得AC=EF，AO=AC，EO=EF，求出EO的值，进而得到DE.
22．如图，点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点C（2，﹣2），CA、CB分别交坐标轴于D、E，CA⊥AB，且CA＝AB
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，连接DE，求证：BD﹣AE＝DE；
（3）如图3，若点F为（4，0），点P在第一象限内，连接PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN＝PF，连接PO、BN，过P作∠OPG＝45°交BN于点G，求证：点G是BN的中点.
【答案】（1）解：作CM⊥x轴于M，
∵C（2，﹣2），
∴CM＝2，OM＝2，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝∠AOB＝∠CMA＝90°，
∴∠BAO+∠CAM＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°，
∴∠BAO＝∠ACM，
在△BAO和△ACM中，
，
∴△BAO≌△ACM，
∴AO＝CM＝2，OB＝AM＝AO+OM＝2+2＝4，
∴B（0，4）.
（2）证明：证明：在BD上截取BF＝AE，连AF，
∵△BAO≌△CAM，
∴∠ABF＝∠CAE，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE，∠ACE＝∠BAF＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAD＝45°＝∠ECD，
由（1）可知OA＝OM，OD∥CM，
∴AD＝DC，（图1中），
在△AFD和△CED中，
，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DE＝DF，
∴BD﹣AE＝DE；
（3）证明：如图3，作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，
∵∠EOP＝90°，∠EPO＝45°，
∴∠OEP＝∠EPO＝45°，
∴EO＝PO，
∵∠EOP＝∠BOF＝90°，
∴∠EOB＝∠POF，
在△EOB和△POF中，
，
∴△EOB≌△POF，
∴EB＝PF＝PN，∠1＝∠OFP，
∵∠2+∠PMO＝180°，
∵∠MOF＝∠MPF＝90°，
∴∠OMP+∠OFP＝180°，
∴∠2＝∠OFP＝∠1，
∴EB∥PN，
∵EB＝PN，
∴四边形ENPB是平行四边形，
∴BG＝GN，
即点G是BN中点.
【解析】【分析】（1）作CM⊥x轴于M，求出CM＝CN＝2，证△BAO≌△ACM，推出AO＝CM＝2，OB＝AM＝4，即可得出答案；（2）在BD上截取BF＝AE，连AF，证△BAF≌△CAE，证△AFD≌△CED，即可得出答案.（3）作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，只要证明四边形ENPB是平行四边形就可以了.
23．如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）作出∠ABC的角平分线BE，交AD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图中，若∠A=50°，求∠BED的度数．
【答案】（1）解：如图，EF为所作；
（2）解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC．
∴∠AEB=∠CBE．
∴∠ABE=∠AEB．
∵∠A=50°，
∴∠ABE=∠AEB=65°．
∴∠BED=180°-∠AEB=115°．
【解析】【分析】（1）根据要求作出∠ABC的角平分线即可；
（2）先利用角平分线和平行线的性质可得∠ABE=∠AEB，再结合三角形的内角和求出∠ABE=∠AEB=65°，最后利用邻补角的性质可得∠BED=180°-∠AEB=115°。
24．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．
（2）若∠ABC=120°，AB=BC=4，则在点E的运动过程中：
①当BE=　 　时，四边形BECD是矩形，试说明理由；
②当BE=　 　时，四边形BECD是菱形．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF=CF，
在△DCF和△EBF中，
，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC=BE，
∴四边形BECD是平行四边形
（2）2；4
【解析】【解答】（2）解：①BE=2；
∵当四边形BECD是矩形时，∠CEB=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°；
∴∠ECB=30°，
∴BE= BC=2，
故答案为：2；②BE=4，
∵四边形BECD是菱形时，BE=EC，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=4．
故答案为：4．
【分析】（1）先证明△EBF≌△DCF，可得DC=BE，可证四边形BECD是平行四边形；（2）①根据四边形BECD是矩形时，∠CEB=90°，再由∠ABC=120°可得∠ECB=30°，再根据直角三角形的性质可得BE=2；②根据四边形BECD是菱形可得BE=EC，再由∠ABC=120°，可得∠CBE=60°，进而可得△CBE是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得答案．
25．综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图（1），在三角形纸片ABC中，AB=AC，∠B=∠C=α．
操作发现
（1）创新小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG，连接DF，得到图（2），则四边形AFDE的形状是　 　．
（2）实践小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针逆转90°，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△AFG，连接DF、DG、AE，得到图（3），发现四边形AFDB为正方形，请你证明这个结论．
拓展探索
（3）请你在实践小组操作的基础上，再写出图（3）中的一个特殊四边形，并证明你的结论．
【答案】（1）平行四边形
（2）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，
∴∠DBA＝∠FAB＝90°，DB＝AB＝AF，
∴∠DBA＋∠FAB＝180°，
∴DB∥AF，
∵DB＝AF，
∴四边形DBAF是平行四边形，
∵∠DBA＝90°
∴平行四边形DBAF是正方形．
（3）证明：四边形AEDG是平行四边形．
证明：∵四边形ABDF是正方形，
∴∠DFA＝∠DBA＝90°，AB＝DF，
又∵∠DBE＝∠AFG＝α，
∴∠EBA＝∠GFD．
在△ABE和△DFG中， ，
∴△ABE≌△DFG，
∴AE＝DG，
又∵DE＝AG＝AB，
∴四边形DEAG是平行四边形．
【解析】【解答】 解：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的．
∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，
∴∠DEB＝∠BAF，
∴DE∥AF，
∵DE＝AF，
∴四边形AFDE是平行四边形
【分析】（1）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转α得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转α得到，∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，∴∠DEB＝∠BAF，∴DE∥AF，∵DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形 ；（2）证明过程与（1）同理，只需证平行四边形DBAF有一个内角为90°即可；（3）在正方形ABDF中可得到 ，从而利用SAS证得△ABE≌△DFG，即可得到AE＝DG，再结合DE＝AG＝AB，即可证得四边形DEAG是平行四边形.
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