资源简介

2024-2025 学年天津市滨海新区大港油田实验中学高二下学期第二次
阶段性考试数学试卷
一、单选题：本题共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = 1,3,5,7,9,11 , = 1,3,9 , = 3,5,9,11 ，则 ∩ =( )
A. 3,9 B. 5,11 C. 1,5,7,11 D. 3,5,7,9,11
2.一个火车站有 6 股岔道，如果每股岔道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，不同的停放方法
为( )
A. A46种 B. C46种 C. 46种 D. 64种
3.已知随机变量 2, 2 ( > 0)，若 ( < 4) = 0.7，则 ( < 0) =( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7
4.已知集合 = { ∣2 + 1 ≤ ≤ 3 5}, = { ∣5 ≤ ≤ 16}，且 ，则 的取值范围为( )
A. 2 ≤ ≤ 7 B. 6 ≤ ≤ 7 C. ≤ 7 D. < 6
5.设 ∈ R，则“| + 1| < 1”是“ 1 < 12”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知随机变量 2 = 8，若 (10,0.4)，则 ( )， ( )分别是( )
A. 4 和 2.4 B. 2 和 2.4 C. 0 和 9.6 D. 0 和 4.8
7.为了研究某班学生的脚长 (单位厘米)和身高 (单位厘米)的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量
数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 = + .已知10 =1 = 225，
10 = 1600， =1 = 4.该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为
A. 160 B. 163 C. 166 D. 170
8.对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
第 1页，共 8页
A. 2 < 4 < 0 < 3 < 1 B. 4 < 2 < 0 < 1 < 3
C. 4 < 2 < 0 < 3 < 1 D. 2 < 4 < 0 < 1 < 3
9.已知随机变量 的分布列：
10 1
1 1
2 3
则 ( )的值为( )
A. 1 1 13 B. 3 C. 2 + D.
1
2
10.下列说法正确的是( )．
A.设有一个回归方程 = 3 5 ，变量 增加 1 个单位时， 平均增加 5 个单位；
B.根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 2 = 4.712，根据小概率值 = 0.05 的独立性检验( 0.05 =
3.841)，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05；
C.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 0
D.随机变量 ( , 2)， (6, ) 1 1，且 ( ≥ 4) = 2， ( ) = ( )，则 = 3
1 11.在 2 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中
6的系数是( )
A. 454 B.
35 35
8 C. 8 D. 7
12.若函数 ( ) = ln + 2 2 1在区间 4 , 1 内存在单调递减区间，则实数 的取值范围是( )
A. ∞, 12 B.
1 1
8 , + ∞ C. 2 , + ∞ D. ( 8, + ∞)
2
13.已知函数 ( ) = 2 + ln , ∈ (0, + ∞)有两个极值点，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞,0] B. ( ∞,1] C. [ 1, + ∞) D. 0, 14
14 e

.已知 ( ) = ， ∈ (0, + ∞)，对 ,
1 2
1 2 ∈ (0, + ∞)，且 1 < 2，恒有 < 0，则实数 的2 1
取值范围是( )
1 1
A. 2e , + ∞ B. e3, + ∞ C. ∞, e
2 D. ∞, e 2
15.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如： = e 在点(0,1)处的切线为 = + 1，如图所示，易
知除切点(0,1)外， = e 图象上其余所有的点均在 = + 1 的上方，故有e ≥ + 1.该结论可通过构造函
数 ( ) = e 1 并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以
上材料，下列命题中正确的是( )
第 2页，共 8页
① > 0, e ≥ eln ；
② ∈ R, ∈ R, e ≥ e ( + 1)；
③ ∈ R, e 1 + 12 > 0；
> 0, e ≥ 1+ ln ④ +
1
．
A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。
16.设命题 : ∈ N, 2 > 2，则 为
17.函数 ( ) = 1 22 3 + 2ln 的极大值点 ．
1 18. 2 的展开式中第 2 项的二项式系数为 6，则其展开式中的常数项为 ．
19.中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲
座活动，周六这天准备连排六节课，每艺一节，排课有如下要求：“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”
要相邻，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有 种.
20 ( ) =
2
.若函数 2 ln 在(0, )上不单调，则实数 的取值范围是
21.(3 1)5 的展开式中，设各项的系数和为 ，各项的二项式系数和为 ，则 = ．
22.已知 > 0, > 0 + = 2 2 + 4，且 ，则 +1 的最小值为
23.甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比是 4：5：6，这三个盒子中黑球占总数
的比例分别为 50％, 40％, 25％，现从三个盒子中各随机取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；
将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为
( + 1)e , ≤ 0
24.已知函数 ( ) = ln , > 0，若函数 ( ) = ( ) 的零点有两个或三个，则实数 的取值范围
为 ．
第 3页，共 8页
2 2
25.已知函数 ( ) = e 1 e 2 e 16 ln + 4 + 12 ， ( ) = 2 e + 12 + 4，对任意的 1 ∈ [1,4]，总存在 2 ∈ 1, e ，
使 1 ≤ 2 ，则实数 的取值范围是 ___
三、解答题：本题共 3 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
26.一个袋子中装有 5 个黑球，3 个白球，它们除颜色外完全相同．
(1)现每次从袋子中不放回地随机取出一个球，在第一次取到黑球的条件下，求第二次取到白球的概率；
(2)若从袋子中任取 3 个球，设 为取到黑球的个数，求随机变量 的分布列和数学期望．
27.甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有 1 道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且
另一人答错，则答对者获得 10 分，答错者得 10 分；若两人都答对或都答错，则两人均得 0 分．根据以
1 2
往答题经验，每道题甲答对的概率为2，乙答对的概率为3，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果
也互不影响．
(1)求在一局比赛中，甲得分 的分布列与数学期望；
(2)设这次比赛共有 4 局，设 为甲得 0 分的次数，求 的分布列和数学期望；
(3)设这次比赛共有 3 局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．
28.已知函数 ( ) = ln + 3 22 ( + 3) ， ∈ R．
(1)若曲线 ( )在点 2, (2) 处的切线斜率为 4，求 的值；
(2)讨论函数 ( )的单调性；
2
(3)已知 ( ) 3e的导函数在区间 1, e 上存在零点，求证：当 ∈ 1, e 时， ( ) > 2 ．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16. ∈ N, 2 ≤ 2
17.1
18.15
19.144
20.(1, + ∞)
21.1
22.4 23 + 2
23. 1 /0.05 1920 ； 30
24.[ 1 1e2 , e ]
25. 8e 2, + ∞
26.解：(1)设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到百球”为事件 ，
( ) = 5 5×3 15则 8， ( ) = 8×7 = 56，
第 5页，共 8页
15
( | ) = ( ) = 56 = 3所以 ( ) 5 7；
8
(2)设 为取到黑球的个数，则 的可能取值为 0,1,2,3，
3 1 2
( = 0) = 3 = 1 5 3 15
38 56
， ( = 1) = =
38 56
，
2 1 3 ( = 2) = 5 3 15 5 5
3
= 28， ( = 3) = 3 = ，8 8 28
随机变量 的分布列为
0 1 2 3
1 15 15 5
56 56 28 28
( ) = 0 × 1 + 1 × 15 + 2 × 15 5 1556 56 28+ 3 × 28 = 8．
27.解：(1)在一局比赛中，甲得分 的可能取值为 10，0，10．
“ = 10” 1 2 1表示甲答错且乙答对的情况.根据独立事件的概率乘法公式，可得 ( = 10) = 2 × 3 = 3．
“ = 0”包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错．
1 2 1 1 2 1 1 1
甲、乙都答对的概率为2 × 3 = 3，甲、乙都答错的概率为(1 2 ) × (1 3 ) = 2 × 3 = 6，
1 1 1
根据互斥事件的概率加法公式，可得 ( = 0) = 3 + 6 = 2．
“ = 10”表示甲答对且乙答错的情况.根据独立事件概率乘法公式，可得 ( = 10) = 1 × 1 12 3 = 6 .
的分布列为：
10 0
10
1 1 1
3 2 6
则 的数学期望为： ( ) = 10 × 13 + 0 ×
1
2 + 10 ×
1 = 10 + 10 = 56 3 6 3．
(2) 1因为每局比赛甲得 0 分的概率为2，且每次答题的结果互不影响，所以 ～ (4,
1
2 )．
则 ( = 0) = C0( 1 )04 2 (1
1 )42 = (
1 4 1
2 ) = 16
第 6页，共 8页
1 1 1 1
( = 1) = C14(2 )
1(1 32 ) = 4 × (
4
2 ) = 4
( = 2) = C2( 14 2 )
2(1 1 )22 = 6 × (
1 )42 =
3
8，
1 1 1 1
( = 3) = C34(2 )
3(1 )12 = 4 × (2 )
4 = 4
( = 4) = C4( 1 4 14 2 ) = 16 .
的分布列为：

0 1 2 3 4
1 1 3 1 1
16 4 8 4 16
1则 的数学期望为： ( ) = 4 × 2 = 2．
(3)甲最终获胜有以下四种情况：
1 1
①三局都得 10 分，其概率为( 36 ) = 216
1 1 1 1 1
②两局得 10 分，一局得 0 分，其概率为C2 23( 6 ) × 2 = 3 × 36 × 2 = 24
1 1 1 1 1
③两局得 10 分，一局得 10 分，其概率为C2 23( 6 ) × 3 = 3 × 36 × 3 = 36
1 1 1 1 1
④一局得 10 分，两局得 0 分，其概率为C13 6 × (
2
2 ) = 3 × 6 × 4 = 8 .
1 + 1 + 1 + 1 = 1+9+6+27 = 43综上可得，甲最终获胜的概率为216 24 36 8 216 216．
28. 3解：(1) ∵ ( ) = ln + 22 ( + 3) ，

则 ′( ) = + 3 ( + 3)，

由题意可得 ′(2) = 2 + 6 ( + 3) = 4，解得 = 2；
(2) (3 )( 1)由(1)可得： ′( ) = + 3 ( + 3) = ( > 0)，
当 ≤ 0 时，则 3 > 0 恒成立，
令 ′( ) > 0，解得 > 1；令 ′( ) < 0，解得 0 < < 1；
故 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增；
第 7页，共 8页
当 > 0 时，令 ′( ) = 0 ，解得 = 3 > 0 或 = 1，

①当3 > 1，即 > 3 时，令
′( ) > 0，解得 > 3或 0 < < 1；
令 ′( ) < 0 ，解得 1 < < 3；
故 ( )在(0,1) ， 3 +∞ 上单调递增，在 1, 3 上单调递减；
2
②当3 = 1，即 = 3 时，则
′( ) = 3( 1) ≥ 0 在定义域内恒成立，
故 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
0 < ③当 3 < 1，即 0 < < 3 时，令
′( ) > 0 ，解得 > 1 或 0 < < 3；
令 ′( ) < 0 ，解得3 < < 1；
故 ( ) 在 0, 3 ，(1, + ∞)

上单调递增，在 3 , 1 上单调递减；
综上所述：当 ≤ 0 时， ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增；
当 > 3 时， ( )在(0,1) ， 3+∞ 上单调递增，在 1, 3 上单调递减；
当 = 3 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 0 < < 3 时， ( )在 0, 3 ，(1, + ∞)

上单调递增，在 3 , 1 上单调递减；
(3)由(2) 知：若 ′( )在区间 1, e 上存在零点，则 1 < 3 < e，解得 3 < < 3e．
且 ( ) 在 3 , e 上单调递增，在 1, 3 上单调递减，
2
则 ( ) ≥ 3 = ln

3 6 ，
2
构建 ( ) = ln 3

6 ， ∈ 3,3e ，则
′( ) = ln 3 3，
令 ( ) = ′( ) ′( ) = 1 1 = 3 ，则 3 3 < 0 当 ∈ 3,3e 时恒成立，
故 ( )在 3,3e 上单调递减，则 ( ) < (3) = 1 < 0，
即 ′( ) < 0 当 ∈ 3,3e 时恒成立，
2
则 ( )在 3,3e 上单调递减，则 ( ) > 3e = 3e2 ，
2
故 ( ) > 3e2 ．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑