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北师大版2024—2025学年七年级下册期末模拟实战演练卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．杆秤是中国古老的称量工具，在我国已经使用了数千年．如图，是杆秤在称物时的状态，G其中辞纽AB和拴秤砣的细线CD都是铅垂线．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，在3×3正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．2种
3．如图，下列条件中，能判定的有（　　）
①②③④
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
4．如图，小星用铅笔尖可以支起一张均匀的三角形硬纸板，他支起的这个点是三角形的(　　)
A．三条中线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
5． 如图， 在△ABC中， BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， 若DE=3cm， 则点 D到BC的距离为(　　)
A．1.5cm B．2cm C．3cm D．4cm
6．袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、创建了超级杂交稻技术体系，为中国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出的贡献.已知一粒大米的质量约为0.000 021千克，则1粒大米的质量用科学记数法表示为(　　)
A．千克 B．2.1×10- -千克
C．2 千克 D．2.1×103千克
7．下列说法正确的是（　　）
A．两点之间的距离是两点间的线段
B．与同一条直线垂直的两条直线也垂直
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
8．下列运算中，正确的是（　　）
A．2x﹣x=2 B．x x4=2x5
C．x2y÷y=x2 D．（﹣2x）3=﹣6x3
9．如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（　　）
A．或 B． C． D．或
10．下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数.正确的有（　　）
A．②④ B．①② C．①③ D．③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知中，，点是边的中点，那么的度数是　 　度．
12．若a+b＝﹣2，ab＝-3，则代数式a2﹣ab+b2的值是　 　.
13．要使的展开式中不含项，则m的值为　 　．
14． 在一个三角形中， 如果一个内角是另一个内角的 3 倍， 这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”. 例如， 三个内角分别为 的三角形是“三倍角三角形”. 若 是“三倍角三角形”，且 ，则 中最小内角的度数为　 　.
15．“四时花竞巧，九子粽争新”，端午节吃粽子是我国的传统习俗．小佩的妈妈准备了形状大小一样的豆沙粽3个、红枣粽4个、腊肉粽2个，板栗粽3个，其中腊肉粽是咸粽，其它粽是甜粽．小佩随机选一个，选到咸粽的概率是 　 　．
16．已知实数满足，则代数式的值是　 　．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求四边形的面积．
18．暑假期间，我区某学校开展“五育融合综合实践活动”，组织部分七年级学生分别到A，B，C，D四所博物馆参观（每个学生只能去一处）．如图是未制作完成的学生自己选择参观各博物馆的人数的条形统计图和扇形统计图．
地点 A B C D
票价（元/张） 60 80 50 x
请根据以上信息回答：
（1）选择参观博物馆的学生有　 　人，将条形统计图补充完整　 　；
（2）在选择参观博物馆的同学中，有男生6名，女生4名，现需随机抽选1名同学担任领队，组织大家有序参观，那么抽到男生担任领队的概率是多少？
（3）已知去往博物馆A，B，C，D的车票价格信息如下表，且去往博物馆的车票总款数占全部车票总款数的，求去往博物馆的车票的价格．
19．下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：
试验的种子数 100 200 500 1000 2000 5000
发芽的粒数 94 475 954 1906 4748
发芽频率 0.94 0.955 0.946 0.953 0.9496
（1）上表中的a=　 　，b=　 　.
（2）任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是　 　(精确到0.01)；
（3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育.
20．如图是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图的图形．
（1）观察图形，请你写出、、之间的等量关系式；
（2）若，利用（1）中的结论，求的值；
（3）若，求的值．
21．如图，直线l与a、b相交于点A、B，且．
（1）尺规作图：过点B作的角平分线交直线a于点D（保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若，求的度数；
（3）P为直线l上任意一点，若点D到直线b的距离为，则DP的最小值为　 　cm．
22．如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，且满足 ，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．
（1）小明发现，当点D是边BC的中点时，过点D作 // ，交AB于点F，通过构造全等三角形，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：　 　；
（2）如图2，当点D是线段BC上（除B、C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足 （其它条件不变）时，请画出图形，并直接写出△ABC与△BDE的面积之比．
23．如图，在中，，点为内一点，且恰好平分为延长线上一点，.
（1）吗 为什么
（2）若，求的度数；
（3）点在上，连接，若，试说明.
24．如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）.
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 　.
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值.
（3）变式应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝20，求（2019﹣m）（m﹣2021）的值.
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北师大版2024—2025学年七年级下册期末模拟实战演练卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．杆秤是中国古老的称量工具，在我国已经使用了数千年．如图，是杆秤在称物时的状态，G其中辞纽AB和拴秤砣的细线CD都是铅垂线．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵辞纽和拴秤砣的细线都是铅垂线，即，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据秤纽和拴秤砣的细线都是铅垂线，得出AB∥CD，结合两直线平行，内错角相等，即可作答．
2．如图所示，在3×3正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．2种
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，涂黑每一个空格都会出现一种可能情况，共出现6种可能情况，
其中，涂左上角和右下角的方框所得到的黑色图案组成的图形是中心对称而不是轴对称，故一共有4种情形，
故选C．
【分析】根据题意，涂黑一个格共6种可能情况，结合轴对称的意义，可得到轴对称图形的情况数目．
3．如图，下列条件中，能判定的有（　　）
①②③④
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
①符合题意；
∵，
∴，
②不符合题意；
∵，
∴，
③符合题意；
∵，
∴，
④符合题意；
综上所述，①③④可判断，
故答案为：D
【分析】根据平行线的判定结合题意对①②③④逐一判断即可求解。
4．如图，小星用铅笔尖可以支起一张均匀的三角形硬纸板，他支起的这个点是三角形的(　　)
A．三条中线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】A
【解析】【解答】解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点．
故答案为：A
【分析】根据题意得到支撑点为三角形的重心，进而即可得到是三条中线的交点。
5． 如图， 在△ABC中， BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， 若DE=3cm， 则点 D到BC的距离为(　　)
A．1.5cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【解析】【解答】解：过作于，如图所示：
∵是的角平分线，，，
∴，
∴点 D到的距离为；
故答案为：C
【分析】过作于，根据角平分线的性质得到，进而即可求解.
6．袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、创建了超级杂交稻技术体系，为中国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出的贡献.已知一粒大米的质量约为0.000 021千克，则1粒大米的质量用科学记数法表示为(　　)
A．千克 B．2.1×10- -千克
C．2 千克 D．2.1×103千克
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得1粒大米的质量用科学记数法表示为kg，
故答案为：A
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
7．下列说法正确的是（　　）
A．两点之间的距离是两点间的线段
B．与同一条直线垂直的两条直线也垂直
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解析】【解答】解：A、两点之间的距离是指两点间的线段长度，而不是线段本身，错误；
B、在同一平面内，与同一条直线垂直的两条直线平行，错误；
C、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调“直线外”，错误；
D、这是垂线的性质，正确．故选D．
【分析】根据线段、垂线、平行线的相关概念和性质判断．
8．下列运算中，正确的是（　　）
A．2x﹣x=2 B．x x4=2x5
C．x2y÷y=x2 D．（﹣2x）3=﹣6x3
【答案】C
【解析】【解答】A、2x﹣x=x，故错误；B、x x4=x5，故错误；C、正确；D、（﹣2x）3=﹣8x3，故错误；故选：C．
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、整式的除法、积的乘方，即可解答．
9．如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（　　）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【解析】【解答】解：当MP⊥OA时，即MP=x=a时，△OMP是直角三角形，
当a＜x＜6时，MP与OA的交点有2个，即△OMP有两个，
当x≥6时，MP与OA的交点有1个，即△OMP有1个，
∴x的范围是x=a或x≥6；
故答案为：A.
【分析】分别找出x=a，a＜x＜6，x≥6时，三角形是不是唯一的即可.
10．下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数.正确的有（　　）
A．②④ B．①② C．①③ D．③④
【答案】A
【解析】【解答】① 钝角三角形三边高的交点在三角形外部，故①错误；
② n 边形一共有 条对角线，八边型有条对角线，故②正确；
③ 设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，则两个连续的偶数的平方差为：
（2n+2）2-（2 n）2=（4n2+8n+4）-4n2=4n2+8n+4-4n2=8n+4=4（2n+1），不是8的倍数；故③错误；
④ 2x2-2x+1=x2+x2-2x+1=x2+(x2-2x+1)=x2+（x-1）2，因为任何数的平方的结果都是非负数，且x2和（x-1）2不可能同时为零，所以x2+（x-1）2的值一定是正数，故④正确；
故本题应选：A
【分析】①画出锐角、钝角、直角三角形的高观察不同三角形中三角条高的交点位置；② n 边形一共有 条对角线，把边数代入公式计算即可；③设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，用式子表示两个连续的偶数的平方差，再化简判断即可；④任何数的平方结果都是非负数；
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知中，，点是边的中点，那么的度数是　 　度．
【答案】60
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AC=BC，
∵ 点是边的中点 ，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD=∠BCD=（180°-∠A-∠B）=（180°-30°-30°）=60°；
故答案为：60.
【分析】由等角对等边可得AC=BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠ACD=∠BCD，再利用三角形内角和定理即可求解.
12．若a+b＝﹣2，ab＝-3，则代数式a2﹣ab+b2的值是　 　.
【答案】13
【解析】【解答】解：∵a+b＝﹣2，ab＝-3，
，
故答案为：13.
【分析】待求式可变形为(a+b)2-3ab，然后将已知条件代入计算即可.
13．要使的展开式中不含项，则m的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：=2x3+mx2-4x+6x2+3mx-12=2x3+(m+6)x2+(3m-4)x-12，
∵展开式中不含项 ，
∴m+6=0，
∴m=-6.
故第1空答案为：-6.
【分析】根据多项式乘多项式法则，得出多项式相乘所得的积为2x3+(m+6)x2+(3m-4)x-12，再根据展开式不含二次项，可得二次项系数为0，从而得到m=-6.
14． 在一个三角形中， 如果一个内角是另一个内角的 3 倍， 这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”. 例如， 三个内角分别为 的三角形是“三倍角三角形”. 若 是“三倍角三角形”，且 ，则 中最小内角的度数为　 　.
【答案】20°或30°
【解析】【解答】解：∵ △ABC是“三倍角三角形”. 且 ∠B=60°，
∴∠B不可能是最小内角，
设最小内角为x°，
①3x=60°时：x=20°；
②另两个角分别为：x和3x，
∴x+3x=180°-60°，
∴x=30°，
∴△ABC最小内角的度数为20°或30°.
故答案为：20°或30°.
【分析】首先根据“三倍角三角形”的定义可得出∠B不可能是最小内角，设最小内角为x°，然后分两种情况①3x=60°时，②另两个角分别为x和3x，分别列方程求解即可得出答案.
15．“四时花竞巧，九子粽争新”，端午节吃粽子是我国的传统习俗．小佩的妈妈准备了形状大小一样的豆沙粽3个、红枣粽4个、腊肉粽2个，板栗粽3个，其中腊肉粽是咸粽，其它粽是甜粽．小佩随机选一个，选到咸粽的概率是 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：粽子总数为12个，其中2个为甜粽，
所以选到甜粽的概率为： = ，
故答案为： ．
【分析】由题意可得：粽子总数为12个，其中2个为甜粽，即可得出答案。
16．已知实数满足，则代数式的值是　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【分析】将，代入式子得到，根据偶次幂的非负性求出x，z的值，进而得出y的值，即可求得．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴四边形的面积．
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质即可得到，进而即可求解；
（2）先根据角平分线的性质即可得到；
（3）先根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而得到是线段的垂直平分线，再根据四边形的面积公式即可求解。
18．暑假期间，我区某学校开展“五育融合综合实践活动”，组织部分七年级学生分别到A，B，C，D四所博物馆参观（每个学生只能去一处）．如图是未制作完成的学生自己选择参观各博物馆的人数的条形统计图和扇形统计图．
地点 A B C D
票价（元/张） 60 80 50 x
请根据以上信息回答：
（1）选择参观博物馆的学生有　 　人，将条形统计图补充完整　 　；
（2）在选择参观博物馆的同学中，有男生6名，女生4名，现需随机抽选1名同学担任领队，组织大家有序参观，那么抽到男生担任领队的概率是多少？
（3）已知去往博物馆A，B，C，D的车票价格信息如下表，且去往博物馆的车票总款数占全部车票总款数的，求去往博物馆的车票的价格．
【答案】（1）20；补全条形图如下：
（2）解：∵有男生6名，女生4名，
∴抽到男生担任领队的概率．
（3）解：设去往博物馆每张车票的价格为元，
根据题意，得，
解得．
答：去往博物馆每张车票的价格为元．
【解析】【解答】解：（1）由题意得总人数为，
∴选择参观博物馆的学生有100-30-40-10=20，
∴将条形统计图补充完整如图：
故答案为：20；；
【分析】（1）先根据题意算出总人数，进而即可得到选择参观博物馆的学生人数，进而补全条形统计图即可求解；
（2）根据简单事件的概率进行计算即可求解；
（3）设去往博物馆每张车票的价格为元，根据题意列出一元一次方程，进而即可求解。
19．下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：
试验的种子数 100 200 500 1000 2000 5000
发芽的粒数 94 475 954 1906 4748
发芽频率 0.94 0.955 0.946 0.953 0.9496
（1）上表中的a=　 　，b=　 　.
（2）任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是　 　(精确到0.01)；
（3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育.
【答案】（1）191；0.954
（2）0.95
（3）
答：需要甄别10000粒种子进行发芽培育.
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：191、0.954.
（2）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值；
∴任取一粒这种植物种子，他能发芽的概率的估计值为0.95；
故答案为：0.95.
【分析】（1）根据频率=频数÷总数，求解即可；
（2）根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值；选取稳定的频率作为概率；
（3）用幼苗数量种子能发芽的概率可得到答案.
20．如图是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图的图形．
（1）观察图形，请你写出、、之间的等量关系式；
（2）若，利用（1）中的结论，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）解：．理由如下：
观察图形知，图中大正方形的面积为：，阴影面积为：，
则图中个小长方形面积的和为：；
图中个小长方形面积的和为：；
由此得出：．
（2）解：由（1）中的结论可知，，
，
等号两边平方得，，
，
．
（3）解：∵，
设，，而
则
则 ．
即
【解析】【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个面积可得；
（2）利用（1）的计算方法可得，再求解即可；
（3）设，，而，则 再利用（1）的计算方法可得答案。
21．如图，直线l与a、b相交于点A、B，且．
（1）尺规作图：过点B作的角平分线交直线a于点D（保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若，求的度数；
（3）P为直线l上任意一点，若点D到直线b的距离为，则DP的最小值为　 　cm．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵，∴∠1＝∠ABC＝48°，∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD=∠ABC＝24°，∴∠ADB=∠CBD＝24°．
（3）3
【解析】【解答】解：（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，与BA、BC分别交于一点，然后再以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接B与这个点，交直线a于点D，则BD即为所求作的的角平分线，如图所示：
（3）解：过点D作DE⊥b于点E，DF⊥l于点F，如图所示：
根据“垂线段最短”可知，当P，F两点重合时，DP有最小值，∵点D到直线b的距离为3cm，∴DE＝3cm，∵BD平分∠ABC，DE⊥b，DF⊥l，∴DE＝DF，∴DF＝3cm，∴DP的最小值为3cm．故答案为：3．
【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可；
（2）结合角平分线和平行线的性质求解即可；
（3）过点D作DE⊥b于点E，DF⊥l于点F，根据“垂线段最短”可知，当P，F两点重合时，DP有最小值，再根据角平分线的性质求解即可。
22．如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，且满足 ，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．
（1）小明发现，当点D是边BC的中点时，过点D作 // ，交AB于点F，通过构造全等三角形，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：　 　；
（2）如图2，当点D是线段BC上（除B、C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足 （其它条件不变）时，请画出图形，并直接写出△ABC与△BDE的面积之比．
【答案】（1）
（2）解：AD=DE，理由如下：
过点D作 ，交AB于点F，如图所示：
△ABC是等边三角形，
AB=AC=BC，∠B=∠ACB=60°，
△BDF是等边三角形，
∠BFD=60°，BF=BD，
AF=DC，∠AFD=120°，
等边三角形外角平分线CE，
∠ACE=60°，
∠DCE=120°，
∠DCE=∠AFD，
，
∠CDE+∠ABD=120°，
∠FAD+∠ABD=120°，
∠FAD=∠CDE，
△ADF≌△DEC（ASA），
AD=DE
（3）解：△ABC与△BDE的面积之比为1∶4，由题意可作图：
△ABC是等边三角形，
AB=AC=BC，∠B=∠ACB=∠BAC=60°，
，
AC=CD=AB，
∠CAD=∠ADC=30°，
∠ADE=60°，
∠BAD=∠CDE=90°，
CE平分∠ACD，
∠ECD=∠DBA=60°，
△BAD≌△CDE，
，
，
，
△ABC与△BDE的面积之比为1∶4．
【解析】【解答】解：（1） △ABC是等边三角形，
AB=AC=BC，∠B=∠ACB=60°，
等边三角形外角平分线CE，
∠ACE=60°，
点D是边BC的中点， ，
△DBF是等边三角形，BD=DC，AD⊥BC，
BF=BD=DC=DF=AF，∠BFD=60°，
∠AFD=∠DCE=120°，∠FDA=30°，
，∠ADC=90°，
∠EDC=30°，
∠EDC=∠FDA，
△ADF≌△DEC，
AD=DE，
故答案为AD=DE；
【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到，于是得到是等边三角形，再证明即可得到结论；
（2）由等边三角形的性质和平行线的性质得到，于是得到是等边三角形，再证明即可得到结论；
（3）由BC=CD，得到AC=CD，得到CE垂直平分AD，证出是等边三角形。
23．如图，在中，，点为内一点，且恰好平分为延长线上一点，.
（1）吗 为什么
（2）若，求的度数；
（3）点在上，连接，若，试说明.
【答案】（1）解：结论：△ACD≌△BCD
理由：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
在△ACD和△BCD中
∴△ACD≌△BCD.
（2）解：∵CD平分∠ACB
∴∠ACB=2∠ACD=2×40°=80°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC=（180°-80°）÷2=50°，
∵△ACD≌△BCD，
∴∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠CAB-∠CAD=50°-15°=35°.
（3）证明：∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD，
∴∠ADC=∠EFC；
∵AC=CE，
∴∠CAD=∠CEF，
在△ACD和△CEF中
∴△ACD≌△CEF（AAS），
∴AD=EF，
∵△ACD≌△BCD，
∴AD=DB，
∴EF=BD.
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证∠ACD=∠BCD，利用SAS可证得结论.
（2）利用角平分线的定义可求出∠ACB的度数；再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，可求出∠CAB的度数；再利用全等三角形的性质求出∠CAD的度数；然后根据∠BAD=∠CAB-∠CAD，代入计算求出∠BAD的度数.
（3）利用等边对等角可证得∠CDF=∠CFD，∠CAD=∠CEF，可推出∠ADC=∠EFC；利用AAS证明△ACD≌△CEF，利用全等三角形的性质可证得AD=EF，AD=DB，由此可证得结论.
24．如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）.
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 　.
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值.
（3）变式应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝20，求（2019﹣m）（m﹣2021）的值.
【答案】（1）（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2
（2）解：由（1）题结论（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2可得，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
当x+y＝5，xy＝时，
∴（x﹣y）2
＝52﹣4×，
＝16，
∴x﹣y＝±＝±4，
（3）解：由（a+b）2＝a2+2ab+b2得，ab＝，
∴（2019﹣m）（m﹣2021），
＝{[（2019﹣m）+（m﹣2021）]2﹣[（2019﹣m）2+（m﹣2021）2]}，
＝ [（﹣2）2﹣20]，
＝×（﹣16），
＝﹣8.
【解析】【解答】解：（1）由题意得图1中长方形面积为4ab，图2中阴影部分面积是（a﹣b）2，整体面积是（a+b）2，
∴（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2，
故答案为：（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2；
【分析】（1）观察两图形，可知图1中长方形面积为4ab，图2中阴影部分面积是（a﹣b）2，整体面积是（a+b）2，由此可得到（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系；
（2）利用（1）中的等式可得到 （x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy， 代入计算求出x-y的值；
（3）由完全平方公式知（2019﹣m）（m﹣2021）＝{[（2019﹣m）+（m﹣2021）]2﹣[（2019﹣m）2+（m﹣2021）2]}，代入计算可求出的值.
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