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北师大版2024—2025学年八年级下册期末真题汇编培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设（　　）
A． B． C． D．
2．下列关于“平行四边形”的说法：
平行四边形的对角线互相垂直平分；
平行四边形既是轴对称图形，也是中心对称图形；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形．
其中说法正确的个数是(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
3．下列分式从左到右变形错误的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，将 沿对角线折叠，使点落在处，若，则为(　　)
A． B． C． D．
5．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B． C． D．
6．若分式 中的 、 的值都变为原来的3倍，则此分式的值（　　）
A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的 D．是原来的
7．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则a的值为（　　）
A．1 B．5 C． D．
8．如图，线段经过平移得到线段，其中点A，B、，这四个点都在格点上．若线段上有一个点，则点P在上的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线.如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
10．一次函数与的图象如图所示，若，是直线上不重合的两点．下列结论正确的是（　　）
A． B．若，则
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，，点在上，，，则的长为　 　．
12．若不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是　 　
13．定义运算，如：，若，则的值为　 　．
14．陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”，过程如下：
整个游戏过程，　 　负责的那一步出现了错误；
15．如图，直角中，，，则内部五个小直角三角形的周长和为　 　．
16．如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是　 　．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为．
（1）求一次函数表达式；
（2）求的面积；
（3）写出当时，的取值范围．
18．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3.
（1）根据图2完成因式分解：　 　；
（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为　 　；（用含的式子表示）
（3）图1中的1号和2号卡片所占面积之和为，两个3号卡片所占面积之和为，求证：．
19．已知三个顶点的坐标分别为，，.
（1）作关于点成中心对称的（点的对应点为，点的对应点为）；
（2）把向右平移3个单位，作出平移后的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）；
（3）轴上存在点，使得的值最小，则点的坐标是　 　.
20．如图1，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，点E是OA的中点，点F是OC的中点，连接BE，DE，BF，DF．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）如图2，延长BE到点G使EG＝BE，连接DG，请判断四边形EGDF是什么特殊四边形？并说明你的理由；
（3）请在图2中连接BF，GF，试探究当∠AOB的大小满足什么条件时，BF＝GF？请说明你的理由．
21．某经销商计划用不超过25000元的资金购进A、B两种商品共100件，从市场得知如下信息
　 A B
进价（元/件） 500 100
售价（元/件） 650 150
设该经销商购进A商品x件，这两种商品全部销售完后获得利润为y元
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于8500元，该经销商有哪几种进货方案？
（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？
22．如图，在平行四边形 中， 为 边上一点，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数；
（3）若 ， ， ，求 的长.
23．如图，在中，，点是所在平面内的一点，过点作交于点，交于点，交于点．
（1）当点在边上时，如图所示，此时点与点重合，则线段与线段、有何关系，说明理由；
（2）当点在内部时，如图所示，作交于，求证：
四边形、四边形都是平行四边形；
．
（3）当点在外部时，如图所示，、、、这四条线段之间又有着怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
24．如图，四边形 为矩形， ， ，线段 上有一动点 ，连接 ，将 沿 折叠到 .
（1）如图①，若 ，当 落在 上时，求 的长；
（2）如图②， 、 、 分别是线段 、 、 的中点，当点 在 边上运动时， 的度数是否会发生变化？若不变，求出这个度数；若变化，请说明理由；
（3）如图③，点 、 ，分别在线段 、 上，连接 、 ，当 时，求 的最小值.
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北师大版2024—2025学年八年级下册期末真题汇编培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设，
故答案为：A．
【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一 一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
2．下列关于“平行四边形”的说法：
平行四边形的对角线互相垂直平分；
平行四边形既是轴对称图形，也是中心对称图形；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形．
其中说法正确的个数是(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】【解答】解：① 平行四边形的对角线互相平分，所以①不正确；② 平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形， 所以②不正确；③ 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，所以③正确；④ 一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．所以④不正确。综上，只有1个正确说法。
故答案为：A。
【分析】根据平行四边形的性质和判定，分别进行识别，即可得出答案。
3．下列分式从左到右变形错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，正确，故此选项不合题意；
B、，当b=0时，才是正确的，故此选项符合题意；
C、，正确，故此选项不合题意；
D、，正确，故此选项不合题意.
故答案为：B.
【分析】给的分子、分母同时除以c可得，据此判断A；当b=0时，，据此判断B；一个分式的分子、分母和分式本身三处的符号，同时改变其中的任意两处，分式的大小不变，据此判断C；对分式的分子、分母进行分解，然后约分，据此判断D.
4．如图，将 沿对角线折叠，使点落在处，若，则为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB∥CD，
∴ ∠1=∠BAB'=44°，
∵ 沿对角线折叠，使点落在处，
∴ ∠B'AC=∠BAC=∠BAB'=22°，
∵ ∠2=44°，
∴ ∠B=180°-∠BAC-∠2=114°.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAB'，根据翻折的性质可得∠BAC，再根据三角形的内角和定理即可求得∠B.
5．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a，下第为b，高为（a+b）的梯形面积，
∴ ab+ c2+ ab＝ （a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积，
∴4× ab+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积，
∴4× ab+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，
∴ab+ b2+ a2+ ab=（a+b）2，
∴a2+ 2ab +b2=（a+b）2，
根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据面积间的和差关系可得ab+c2+ab＝(a+b)(a+b)，整理后可判断A；同理可判断B、C、D.
6．若分式 中的 、 的值都变为原来的3倍，则此分式的值（　　）
A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的 D．是原来的
【答案】A
【解析】【解答】解：∵分式 中的 、 的值都变为原来的3倍
∴
∴此分式的值不变.
故答案为：A
【分析】用3x，3y替换原题中的x、y，再分子、分母分别分解因式后约分即可得出答案.
7．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则a的值为（　　）
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，
由多项式的乘法运算法则可得另一个因式的一次项为x， 常数项为
故答案为：A
【分析】根据题意先求出，再求出a=1即可作答。
8．如图，线段经过平移得到线段，其中点A，B、，这四个点都在格点上．若线段上有一个点，则点P在上的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 线段经过平移得到线段，
∴线段向左平移2个单位，再向上平移了3个单位得到线段，
∵线段上有一个点，
∴，
故答案为：A．
【分析】先根据线段经过平移得到线段，得出平移的方向与距离，再求出P点的对应点坐标．
9．1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线.如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：作△ABC的高AC，OD交于点M，作△ABC的中线AE、OF交于点N，则直线MN为欧拉线，如图所示：
设直线AB的解析式为：y=mx+n，
将点A（2，4），B（6，0）代入y=mx+n，得：，解得
∴直线AB的解析式为：y=-x+6，
∴直线OD的解析式为：y=x，
∵点A（2，4），
∴点M的横坐标为2，
对于y=x，当x=2时，y=2，
∴点M（2，2），
∵点O（0，0），A（2，4），B（6，0），点F，E分别为AB，OB的中点，
∴点F（4，2），点E（3，0），
设直线OF的解析式为：y=cx，
将点F（4，2）代入y=cx，得：4c=2，解得：c=，∴直线OF的解析式为： y=x，
设直线AE的解析式为：y=px+q，
将点A（2，4），点E（3，0）代入y=px+q， 得，解得，
∴直线AE的解析式为：y=-4x+12，
解方程组，得∴点N的坐标为 （，），
设直线MN的解析式为：y=kx+b，
将点M（2，2），N（，） 代入y=kx+b，得，解得，
∴直线MN的解析式为：y=-x+4，
即△OAB的欧拉线的解析式为：y=-x+4．
故答案为：C．
【分析】作△ABC的高AC，OD交于点M，作△ABC的中线AE、OF交于点N，则直线MN为欧拉线，先求出直线AB的解析式为：y=-x+6，进而得直线OD的解析式为y=x，由此可求出点M（2，2），再分别求出点F（4，2），点E（3，0），进而再求出直线OF的解析式为y=x，直线AE的解析式为：y=-4x+12，由此可得点N（，），由此即可求出即△OAB的欧拉线的解析式。
10．一次函数与的图象如图所示，若，是直线上不重合的两点．下列结论正确的是（　　）
A． B．若，则
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象过第二、三、四象限，∴，．∵ 一次函数 的图象过第二、四象限，∴a<0，∴．故A不符合题意．
∵，两一次函数图象交点的横坐标为-2，∴，故B不符合题意．
由图象可知：两直线交点横坐标为，把分别代入得，，∴，∴，故C不符合题意．
把，分别代入，得，，∴，∴，∵的图象经过第二、第四象限，∴，∴，∴，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】(1)先根据一次函数的图象经过的象限确定k，b的符号，再根据一次函数 的图象经过的象限确定a的符号，就可确定ab的符号；
(2)根据两直线的交点的横坐标，及两函数值的大小，结合图形可以确定；
(3)根据两直线的交点的横坐标，代入两个函数表达式中，求出两函数值的差即可；
(4)P、Q两点坐标分别代入一次函数 ，可得，再根据一次函数经过的象限确定a的符号，可得，从而可得．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，，点在上，，，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
在Rt中
，，
∴
；
故答案为：
【分析】
先根据勾股定理：求出CD的长，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及，得出BD=AD=10，再用求出BC即可.
12．若不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是　 　
【答案】﹣1≤m＜0．
【解析】【解答】解：不等式组恰有两个整数解，则整数解是0，﹣1．
根据题意得：，
解得：﹣1≤m＜0．
故答案是：﹣1≤m＜0．
【分析】首先确定不等式组的整数解，然后根据不等式的整数解得到一个关于m的不等式组，从而求解．
13．定义运算，如：，若，则的值为　 　．
【答案】7
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
检验：当时，，
∴的值为7．
故答案为：7.
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出方程，再求解即可.
14．陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”，过程如下：
整个游戏过程，　 　负责的那一步出现了错误；
【答案】乙、丁
【解析】【解答】解：，故甲正确；
，故乙错误；
，故丙正确；
，故丁错误；
故答案为：乙、丁．
【分析】
本题考查分式的乘除法运算。熟知分式运算法则是解题关键.分式乘除运算关键是要正确运用运算法则，包括除法变乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数 ）以及约分等操作，在约分过程中要准确对分子分母进行因式分解和约分，根据题目中的各步，依据分式运算法则写出正确的解答过程，即可判断哪一步出错，即可得出答案．
15．如图，直角中，，，则内部五个小直角三角形的周长和为　 　．
【答案】
【解析】【解答】∵直角中，，，
∴ BC=
则内部五个小直角三角形的周长和=AC+BC+AB=56
【分析】本题考查勾股定理和线段的平移。
由已知条件，利用勾股定理求出BC的长，根据五个小直角三角形的周长通过平移后等于三角形ABC的周长即可求解。
16．如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：观察函数图象，在点P的左侧，直线y1的图象在y2的下方，所以 关于的不等式的解集是 ：x＜-1.
故第1空答案为：x＜-1.
【分析】根据两条直线的图象位置，根据交点的横坐标，可直接得出不等式的解集。
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为．
（1）求一次函数表达式；
（2）求的面积；
（3）写出当时，的取值范围．
【答案】（1）解：过点，
，，
，
一次函数过点，，
，解得，
一次函数表达式．
（2）解：一次函数与轴的交点为，
，
又，
．
（3）解：由图像可知，当时，．
【解析】【分析】(1)先利用正比例函数解析式求得点P坐标，再通过点P、B坐标利用待定系数法求得一次函数解析式.
(2)先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，再计算的面积.
(3)根据正比例函数与一次函数图象的交点坐标可得当x=-1时，y1=y2，故而可知当y1-1.
18．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3.
（1）根据图2完成因式分解：　 　；
（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为　 　；（用含的式子表示）
（3）图1中的1号和2号卡片所占面积之和为，两个3号卡片所占面积之和为，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明：根据题意，
得，
则．
，
．
【解析】【解答】解：（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，
∴2a2+2ab=2a(a+b).
故答案为：2a(a+b).
（2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，
∵a2+4b2+4ab=(a+2b)2，
∴大正方形的边长为a+2b.
故答案为：a+2b.
【分析】（1）由图形可得：图2的长为2a，宽为a+b，据此解答；
（2）1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张的总面积为a2+4b2+4ab，然后进行分解就可得到大正方形的边长；
（3）由题意可得S1=a2+b2，S2=2ab，则S1-S2=(a-b)2，然后结合偶次幂的非负性进行证明.
19．已知三个顶点的坐标分别为，，.
（1）作关于点成中心对称的（点的对应点为，点的对应点为）；
（2）把向右平移3个单位，作出平移后的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）；
（3）轴上存在点，使得的值最小，则点的坐标是　 　.
【答案】（1）解：△A1BC1为所求作的三角形；
（2）解：△A2B2C2为所求作的三角形；
（3）
【解析】【解答】解：（3）如图，作点C1关于y轴的对称点C3，连接C3B2交y轴于点P，该点P就是所求的PC1+PB2的值最小的点，
由图可得点C1（1，1），点C3（-1，1），点B2（3，2），
设直线C3B2的解析式为y=kx+b，
将点C3（-1，1），点B2（3，2）代入得，
解得，
∴直线B2C3为，
将x=0代入直线解析式得，
∴点P.
故答案为：.
【分析】（1）利用方格纸的特点，分别找出点A、C关于点B的对称点A1、C1，再连接即可；
（2）利用方格纸的特点，分别作出点A1、B、C1向右平移三个单位长度得到的对应点A2、B2、C2，再连接即可；
（3）作点C1关于y轴的对称点C3，连接C3B2交y轴于点P，该点P就是所求的PC1+PB2的值最小的点，由图可得点C1（1，1），点C3（-1，1），点B2（3，2），利用待定系数法求出直线C3B2的解析式，再令解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点P的坐标.
20．如图1，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，点E是OA的中点，点F是OC的中点，连接BE，DE，BF，DF．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）如图2，延长BE到点G使EG＝BE，连接DG，请判断四边形EGDF是什么特殊四边形？并说明你的理由；
（3）请在图2中连接BF，GF，试探究当∠AOB的大小满足什么条件时，BF＝GF？请说明你的理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD ，
∵E是OA的中点，F是OC的中点，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：四边形EGDF是平行四边形，
由（1）可知四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，BE=DF，
∵EG=BE，
∴EG=DF，
又∵BG∥DF，
∴四边形EGDF是平行四边形；
（3）解：当∠AOB=60°时，BF=GF，
连接DE，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△ABO为等边三角形，
∵点E为OA的中点，
∴BE⊥OA，
∴∠GEF=90°，
又∵由（2）可知四边形是平行四边形，
∴四边形EGDF是矩形，
∴DE=GF，
由（1）可知四边形BEDF是平行四边形，
∴BF=DE，
∴BF=GF，
即当∠AOB=60°时，BF=GF
【解析】【分析】（1）由矩形的性质求出OA=OB=OC=OD ，再结合E、F为中点可求出OE=OF，即可证出结论；
（2）由（1）可知四边形BEDF是平行四边形，得出BE∥DF，BE=DF， 由EG=BE，得出EG=DF， 即可得出结论；
（3）当∠AOB=60°时，BF=GF，证出△ABO为等边三角形，由点E为OA的中点，得出BE⊥OA，由（2）可知四边形是平行四边形，得出四边形EGDF是矩形，DE=GF，由（1）可知四边形BEDF是平行四边形，得出BF=GF，即可得出结论。
21．某经销商计划用不超过25000元的资金购进A、B两种商品共100件，从市场得知如下信息
　 A B
进价（元/件） 500 100
售价（元/件） 650 150
设该经销商购进A商品x件，这两种商品全部销售完后获得利润为y元
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于8500元，该经销商有哪几种进货方案？
（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：该经销商购进A商品x件，则购进B种商品 件
则
（2）解：由题意得，
解不等式① 得
解不等式② 得
∴不等式的解集为
∵x为整式
∴x=35或36或37
∴经销商有以下三种进货方案：
方案 A B
1 35 65
2 36 64
3 37 63
（3）解：∵y＝100x+5000中，k=100＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x＝37时，y取得最大值，
又∵100×37+5000＝8700，
∴选择购进A商品37件，B商品63件时，经销商可获利最大，最大利润是8700元．
【解析】【分析】（1）根据“总利润=甲商品利润+乙商品利润”，可得解析式；
（2）由计划用不超过25000元的资金购进A、B两种商品共100件，全部销售完后获得的利润不少于8500元，列出不等式组即可求解；
（3）结合（1）的结论，根据一次函数的增减性解决最大值问题即可。
22．如图，在平行四边形 中， 为 边上一点，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数；
（3）若 ， ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ .
（2）解：由（1）得△ABC≌△EAD，
∴∠BAC＝∠AED＝70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴∠ACD＝∠BAC＝70°；
（3）解：如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ， ，
在 和 中，由勾股定理得：
， ，
由（1）得 ，
∴ .
【解析】【分析】(1) △ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B=∠DAE即可证明.
(2)根据全等三角形的性质，利用平行四边形的性质求解即可.
(3) 如图，过点 作 于点 ，根据等腰三角形的三线合一性质得到 ，接着根据勾股定理性质及全等性质即可求解.
23．如图，在中，，点是所在平面内的一点，过点作交于点，交于点，交于点．
（1）当点在边上时，如图所示，此时点与点重合，则线段与线段、有何关系，说明理由；
（2）当点在内部时，如图所示，作交于，求证：
四边形、四边形都是平行四边形；
．
（3）当点在外部时，如图所示，、、、这四条线段之间又有着怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，
，，
四边形为平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
即：．
（2）解：证明：如图，
，
，
，
而，
四边形、都为平行四边形．
证明：四边形、都为平行四边形，
，，，
与中一样可得，
，
，
即：．
（3）解：解：结论：．
理由：作交的延长线于点，如图，
，，
四边形、都为平行四边形，
，，
与中一样可得，
，
即．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形为平行四边形，，，进而根据等腰三角形的性质（等边对等角）得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定结合线段的运算即可求解；
(2)①根据平行公理及其推论结合题意即可得到，，进而根据平行四边形的判定即可求解；
②先根据平行四边形的性质得到，，，与中一样可得，再根据线段的运算即可求解；
(3)作交的延长线于点，根据平行四边形的判定与性质得到，，与中一样可得，再进行线段的运算即可求解。
24．如图，四边形 为矩形， ， ，线段 上有一动点 ，连接 ，将 沿 折叠到 .
（1）如图①，若 ，当 落在 上时，求 的长；
（2）如图②， 、 、 分别是线段 、 、 的中点，当点 在 边上运动时， 的度数是否会发生变化？若不变，求出这个度数；若变化，请说明理由；
（3）如图③，点 、 ，分别在线段 、 上，连接 、 ，当 时，求 的最小值.
【答案】（1）解：设 ，
∵四边形 为矩形， ， ，
∴ ， .
∵将 沿 折叠到 ，
∴ ， .
∴ .
在 中，
∵ ，
即 ，解得 .
∴ .
（2）解：不变.如解图，连接 ，交 于点 ，设 与 的交点为 .
根据轴对称的性质可知， .
∵ 、 、 分别是线段 、 、 的中点，
∴ ， .
∴ ， .
∵ ，
∴ .
∴ .
（3）解：如解图，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 .
由题意知， ，
∴ .
∴ 是等边三角形.
由题意可知，点 ， 关于 对称.
∴ .
∴此时 ，
∴当点 ， ， 三点共线且 时， 取最小值，最小值为 的长度，
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ 的最小值是 .
【解析】【分析】（1）设AE=a，由矩形的性质可得BE=16-a，根据勾股定理可得BD的值，根据折叠的性质可得AE=A′E=a，A′D=AD=12，进而求得A′B，然后在Rt△A′EB中，应用勾股定理求解即可；
（2）连接AA′ ，交DE于点O，设DE与GH的交点为P，根据轴对称的性质可知：∠DOA′=90°，由中位线的性质可得GH∥A′O，HK∥DE，进而推出∠DPH=90°，然后根据平行线的性质解答即可；
（3）连接AA′，过点A′作A′N⊥DA于点N，交DE于点M，易得△AA′D等边三角形，根据对称的性质可得AM=A′M，当点A′ ，M，N 三点共线且A′N⊥AD时，AM+MN取得最小值，最小值为A′N的长度，根据等腰三角形的性质可得DN，然后由勾股定理求出A′N，据此可得AM+MN的最小值.
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