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沪科版2024—2025学年八年级下册期末复习真题集训卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．1，1， C．8，12，13 D． ， ，
2．如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．关于的整系数一元二次方程中，若是偶数，是奇数，则（　　）
A．方程没有整数根 B．方程有两个相等的整数根
C．方程有两个不相等的整数根 D．不能判定方程整数根的情况
4．如图，在一块长为米，宽为米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分即图中阴影部分改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为平方米，求的值根据题意，下列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛，经过几轮初赛后，他们的平均数相同，方差分别为：．如果要从这四人中选取成绩稳定的一人参加决赛，你认为最应该派去参加决赛的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．下列命题中，属于真命题的是（　　）
A．多边形的外角和都等于
B．直角三角形角的对边等于另一直角边的一半
C．一组对边相等的四边形是平行四边形
D．等腰三角形的高、中线、角平分线重合
8．学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行。某校团委组织团员开展“百年党史”知识竞赛，八年级某班6位参赛同学成绩如下表，则以下说法不正确的是（　　）
参赛同学 1号 2号 3号 4号 5号 6号
成绩 84 88 81 84 89 84
A． 6位参赛同学成绩的平均数是85
B． 6位参赛同学成绩的众数是84
C． 6位参赛同学成绩的方差为
D． 6位参赛同学成绩的中位数是82.5
9．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（　　）.
A． B．
C． D．
10．如图，已知正方形，E为边上的一点，连接，过点E作且，连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为（　　）
A．25 B．50 C．75 D．100
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在 ABCD中，∠A+∠C=80°，则∠A的度数为　 　度.
12．若，是一元二次方程的两个实数根，则　 　．
13． 如图，在中，，点在的延长线上，是的中点，连接，若，则的度数是　 　．
14．在平行四边形 中， ， 则 =　 　．
15．已知一个样本中，样本容量为50，这50个数据分别落在5个小组内，第一、二、四、五小组的频数分别是2，10，10，20，则第三个小组的频率为　 　.
16．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为的中点，则长度的最大值为　 　．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响如图有一台拖拉机沿公路由点向点行驶，已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，拖拉机周围以内为受噪声影响区域．
（1）求度数；
（2）学校会受噪声影响吗？为什么？
（3）若拖拉机的行驶速度为每分钟米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
18．某校开展了安全知识宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生进行测试，其中抽测的八年级学生成绩如下：
81 83 84 86 86 87 87 88 89 90
92 92 93 95 95 95 99 99 100 100
对七、八年级参加测试学生成绩整理如下：
七年级 4 6 2 8
八年级 3 a 4 7
对两组数据分析如下：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 91 89 97 40.9
八年级 91 95 33.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　；
（2）样本数据中七年级甲同学和八年级乙同学的分数都是90分，把七、八年级各20名同学的分数按从高到底的顺序排列，　 　同学的成绩在本年级更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）如果把成绩在90分以上（含90分）定为优秀，那么该校八年级300名学生中，成绩为优秀的学生约有多少人？
19．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，垂足为点，交直线于点，连接，．
（1）求证：．
（2）当为的中点时，四边形是什么特殊的平行四边形？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，求证：四边形是正方形．
20．定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．
（1）下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．
①　 　； ②　 　； ③　 　．
（2）若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．
21．如图，在中，且分别交对角线于点E、F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
（3）在（2）的条件下，求四边形的面积．
22．如图，点E为 ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝65°，∠DEC＝40°，求∠ECD的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：．
23．在中，，点为直线BC上一动点，，．
（1）如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长；
（2）如图2，延长至点使得，连接，求证：；
（3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长．
24．在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点C、B，直线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，作于点E，延长交直线于点D，请在平面内找一点P，使得以P、D、B、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出这样的点P的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段上，点G在线段上，若，，求点F的坐标．
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沪科版2024—2025学年八年级下册期末复习真题集训卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．1，1， C．8，12，13 D． ， ，
【答案】C
【解析】【解答】解：A、32+42=52，能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、12+12=（）2，能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、82+122≠132，不能构成直角三角形，故C符合题意；
D、（）2+（）2=（）2，能构成直角三角形，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理逐项进行判断，即可求解.
2．如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：当牙刷垂直放置时，；
当牙刷如图所示放置时，，且，
∴在中，，
∴，
∴的取值范围为：，
故答案为：C ．
【分析】根据勾股定理的先计算垂直放置与斜放时能有多少进入杯内，则可计算出多少在杯外 的。．
3．关于的整系数一元二次方程中，若是偶数，是奇数，则（　　）
A．方程没有整数根 B．方程有两个相等的整数根
C．方程有两个不相等的整数根 D．不能判定方程整数根的情况
【答案】A
【解析】【解答】解：∵c是奇数，
∴也是奇数，
根据一元二次方程根与系数的关系可知，方程的两根之积等于，
∴两根必须都是奇数，
∵a+b是偶数，
∴a和b同奇偶性，
∴不一定是偶数，
∴方程没有整数根，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件即可判断方程的根的情况.
4．如图，在一块长为米，宽为米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分即图中阴影部分改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为平方米，求的值根据题意，下列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：把小路平移，如图所示，
设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，
由题意得：
故答案为：D.
【分析】根据题意表示出种草部分的长为，宽为，列出一元二次方程即可得解．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 与 不能合并，所以A选项不正确；
B、 × = ，所以B选项不正确；
C、 ﹣ =2 = ，所以C选项正确；
D、 ÷ =2 ÷ =2，所以D选项不正确．
故选C．
【分析】根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把 化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D进行判断．
6．甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛，经过几轮初赛后，他们的平均数相同，方差分别为：．如果要从这四人中选取成绩稳定的一人参加决赛，你认为最应该派去参加决赛的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴0.21<0.34<0.4<0.5.
，
∴乙的成绩更稳定.
∴最应该派去参加决赛的是乙.
故答案为：B．
【分析】比较四人方差的大小，选择方差最小参赛．
7．下列命题中，属于真命题的是（　　）
A．多边形的外角和都等于
B．直角三角形角的对边等于另一直角边的一半
C．一组对边相等的四边形是平行四边形
D．等腰三角形的高、中线、角平分线重合
【答案】A
【解析】【解答】解：A、根据多边形的外角和定理可知，A正确；
B、根据直角三角形的性质可知，B错误；
C、根据平行四边形的判定定理可知，C错误；
D、根据等腰三角形的性质可知，D错误，
故答案为：A.
【分析】多边形的外角和都等于；
直角三角形角的对边等于斜边的一半 ；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ；
等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线三线合一.
8．学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行。某校团委组织团员开展“百年党史”知识竞赛，八年级某班6位参赛同学成绩如下表，则以下说法不正确的是（　　）
参赛同学 1号 2号 3号 4号 5号 6号
成绩 84 88 81 84 89 84
A． 6位参赛同学成绩的平均数是85
B． 6位参赛同学成绩的众数是84
C． 6位参赛同学成绩的方差为
D． 6位参赛同学成绩的中位数是82.5
【答案】D
【解析】【解答】解：
由题意可得，
A，这组数据的平均数为：，故A选项正确；
B，通过数据来看众数是84，故B选项正确；
C，方差为
=，
故C选项正确
D，中位数为84，故D选项不正确
故答案为：D
【分析】根据平均数，众数，方差以及中位数的定义进行计算，即可得出答案。
9．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺，
可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设门宽为x尺，先用x表示出门的高度，再利用勾股定理及门的对角线长丈，可列出关于x的方程．
10．如图，已知正方形，E为边上的一点，连接，过点E作且，连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为（　　）
A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】B
【解析】【解答】解：过点F作交的延长线于点H，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
当时，最小，即最小，
此时，
∴，
∴最小值．
故答案为：B．
【分析】过点F作交的延长线于点H，根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，当时，最小，即最小，根据勾股定理可得DF，即可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在 ABCD中，∠A+∠C=80°，则∠A的度数为　 　度.
【答案】40
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ ∠A=∠C，
∵ ∠A+∠C=80°，
∴ ∠A=∠C=40°.
故答案为：40.
【分析】根据平行四边形的对角相等，即可求得.
12．若，是一元二次方程的两个实数根，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：利用根与系数的关系，得：x1+x2=2，x1x2=-8，
∴。
故答案为：.
【分析】首先根据根于系数的关系，可得x1+x2=2，x1x2=-8，然后整体代入求值，即可得出答案.
13． 如图，在中，，点在的延长线上，是的中点，连接，若，则的度数是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，是的中点，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：25°．
【分析】根据题意可知是直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质可知，再推出，再根据三角形的外角性质得到，据此求解即可．
14．在平行四边形 中， ， 则 =　 　．
【答案】70°
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠D=180°，∠B=∠D，
∵∠A=∠D+40°，
∴∠D+∠D+40°=180°，
解得：∠D=70° ，
∴∠B=∠D=70°，
故答案为：70°。
【分析】先利用平行四边形的性质可得∠A+∠D=180°，∠B=∠D，再结合∠A=∠D+40°，求出∠D的值即可得到∠B的值.
15．已知一个样本中，样本容量为50，这50个数据分别落在5个小组内，第一、二、四、五小组的频数分别是2，10，10，20，则第三个小组的频率为　 　.
【答案】0.16
【解析】【解答】解：由题意知：第三小组的频数 ，
频率 .
故答案为：0.16.
【分析】先计算第三小组的频数，再根据“频率=频数÷样本容量”计算频率即可。
16．如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为的中点，则长度的最大值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点H，连接，
∴∠ADH=90°，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是中位线，
∴，
∴要求EF长度的最大值，只需求DN长度的最大值，
∵N为AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN取得最大值，此时EF最大，
∴EF的最大值为，
又∵∠ADH=90°，∠A=60°，
∴∠ADH=30°，
∵AD=2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴长度的最大值为．
故答案为：.
【分析】过点D作于点H，连接，根据三角形中位线定理，可得，从而可知要求EF长度的最大值，只需求DN长度的最大值，进而得当点N与点B重合时，DN取得最大值，此时EF最大值为，接下来求出∠ADH=30°，由含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出DH，从而由勾股定理得BD的值，最后即可求出EF的最大值.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响如图有一台拖拉机沿公路由点向点行驶，已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，拖拉机周围以内为受噪声影响区域．
（1）求度数；
（2）学校会受噪声影响吗？为什么？
（3）若拖拉机的行驶速度为每分钟米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
【答案】（1）解：，，，
，
是直角三角形，
；
（2）解：学校会受噪声影响．
理由：如图，过点作于，
，
，
，
拖拉机周围以内为受噪声影响区域，
学校会受噪声影响．
（3）解：当，时，正好影响学校，
，
，
拖拉机的行驶速度为每分钟米，
分钟，
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有分钟．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可求解；
（2）过点作于， 根据三角形的面积求出CD的长，再与130m进行比较即可；
（3）由勾股定理求出ED=50，从而得出EF=2ED=100，利用时间=路程÷速度即可求解.
18．某校开展了安全知识宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生进行测试，其中抽测的八年级学生成绩如下：
81 83 84 86 86 87 87 88 89 90
92 92 93 95 95 95 99 99 100 100
对七、八年级参加测试学生成绩整理如下：
七年级 4 6 2 8
八年级 3 a 4 7
对两组数据分析如下：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 91 89 97 40.9
八年级 91 95 33.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　；
（2）样本数据中七年级甲同学和八年级乙同学的分数都是90分，把七、八年级各20名同学的分数按从高到底的顺序排列，　 　同学的成绩在本年级更靠前（填“甲”或“乙”）；
（3）如果把成绩在90分以上（含90分）定为优秀，那么该校八年级300名学生中，成绩为优秀的学生约有多少人？
【答案】（1）6；91
（2）甲
（3）解：（人），
答：估计八年级优秀的学生有165人．
【解析】【解答】解：（1）由题意得a=6，b=，
故答案为：6；91
（2）由题意得样本数据中七年级甲同学和八年级乙同学的分数都是90分，把七、八年级各20名同学的分数按从高到底的顺序排列，甲同学的成绩在本年级更靠前，
故答案为：甲
【分析】（1）根据题目数据即可得到a，进而根据中位数的定义结合题意即可得到b；
（2）根据表格信息即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
19．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，垂足为点，交直线于点，连接，．
（1）求证：．
（2）当为的中点时，四边形是什么特殊的平行四边形？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，求证：四边形是正方形．
【答案】（1）解：∵，
∴．
又，
∴．
∴．
又，
∴四边形是平行四边形．
∴．
（2）解：四边形是菱形．
理由如下：
∵为的中点，
∴．
又，
∴．
又，
∴四边形是平行四边形．
又，
∴四边形是菱形．
（3）解：∵，，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∴．
∴四边形是正方形．
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得∠DFB=90°，则∠ACB=∠DFB，推出AC∥DE，由已知条件可知CE∥AD，推出四边形ADEC是平行四边形，据此证明；
（2）由中点的概念可得AD=BD，由（1）可得CE=AD，则BD=CE，推出四边形BECD是平行四边形，然后结合DE⊥BC以及菱形的判定定理进行解答；
（3）由内角和定理可得∠ABC=45°，根据菱形的性质可得∠ABC=∠CBE=45°，则∠DBE=90°，然后根据正方形的判定定理进行证明.
20．定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．
（1）下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．
①　 　； ②　 　； ③　 　．
（2）若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．
【答案】（1）×；√；×
（2）解：由题意得，
整理，得，
∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，
∴，
解得；
（3）解：由题意得
整理，得
∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”，
∴
整理，得
∴当时，a的最小值为，
∵当时，a的最小值为c，
∴
∴，
【解析】【解答】解：（1）①令 ，方程无解，∴函数 图像上不存在“青竹点”，
故答案为：×；
②令 ，
解得： ， ，
∴函数 图像上存在“青竹点” 和 ，
故答案为：√；
③令 ，方程无解，
∴函数 图像上不存在“青竹点”，
故答案为：×；
【分析】（1）根据“青竹点”的定义结合题意代入即可求解；
（2）根据“青竹点”的定义结合题意列出一元二次方程，进而根据判别式即可求解；
（3）由题意得，整理，得，再根据“青竹点”的定义结合一元二次方程的判别式即可求解。
21．如图，在中，且分别交对角线于点E、F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
（3）在（2）的条件下，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：在平行四边形中，，
，
又∵，
，
，
在和中，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故的长为．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质即可得到，，进而得到，再根据平行线的性质结合题意即可得到，然后运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意运用平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据平行线的性质得到，进而结合题意运用勾股定理即可求解；
（3）先根据三角形全等的性质即可得到，再根据平行四边形的性质结合题意即可求解。
22．如图，点E为 ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝65°，∠DEC＝40°，求∠ECD的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAE＝65°，
∴∠BAE＝∠BCD＝65°，
，∠DEC＝40°，
，
；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（3）证明：连接EH，CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝EF，CH∥EF，
∵EB＝BF＝EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB＝OC= ，OE＝OH=，
∵OC＝OH，
∴BC=EH，
∴平行四边形EBHC是矩形，
∴∠FEG＝90°，
∴EF⊥EG．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，证明出BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD＝FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；
（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论。
23．在中，，点为直线BC上一动点，，．
（1）如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长；
（2）如图2，延长至点使得，连接，求证：；
（3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长．
【答案】（1）解：为中点，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：延长至，使，连接，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）
如图，取的中点，连接，令、交于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
点的轨迹为直线，交于，连接，再将该直线沿翻折可得到的轨迹，则，此时，
作交的延长线于，
，
，，，
，，
，
作交于，
，
，
，
，，
，
，
点关于直线的对称点，
，，，
当时，最小，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据SAS可证明△ABD和△AFE全等，从而得出对应边BD=FE，进而可得出DE=DF+EF=DF+BD=，再在等腰Rt△ADE中，根据三边之间的数量关系即可求得AD的长；
（2） 延长AB至H，使BH=AB，连接DH， 通过证明△ABG≌△HBD得出AG=HD，△AHD≌△ACE，可得CE=HD，从而得出AG=CE；
（3） 如图，取AC的中点M，连接EM，令BC、EE'交于点O，通过证明△ABD≌△AME，得出对应角∠AME=∠ABC，进而可得∠CNM=∠BAC=120°，∠BNE'=∠BNE=60°，可得出当BE'⊥NE'时BE'最小，作BH⊥AC于点H，利用勾股定理和面积法可得出AG=，BG=4，利用含30°锐角的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得答案。
24．在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点C、B，直线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，作于点E，延长交直线于点D，请在平面内找一点P，使得以P、D、B、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出这样的点P的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段上，点G在线段上，若，，求点F的坐标．
【答案】（1）解：对于，令，得；令，得；
∴，且，
把点B坐标代入中，得，即，
令，得，
∴点A的坐标为，
∴，
∴；
（2）或或
（3）解：如图，在取，连接，作N关于x轴对称的点P，连接；
∵点E是中点，且，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵N关于x轴对称的点P，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
∵，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∴点F的坐标为．
【解析】【解答】（2）由（1）知：A（-6，0），B（0，6），
∴OA=OB，
又OE⊥AB，
∴点E是AB的中点，
∴点E的坐标为：（-3，3）
∴直线OE的解析式为：y=-x，
联合方程组：，解得：，
∴点D的坐标为（3，-3），
∴ 设点P(x，y)，以P、D、B、E为顶点组成平行四边形可分成三种情况：
①以DE为对角线：DE的中点坐标为（0，0），
∴，
∴x=0，y=-6，
∴P（0，-6）；
②以BE为对角线：BE的中点坐标为，
∴，
∴x=-6，y=12，
∴P（-6，12）；
③以DB为对角线：DB的中点坐标为，
∴，
∴x=6，y=0，
∴P（6，0）。
综上所述，点P的坐标为：（0，-6）或（-6，12）或（6，0）。
【分析】（1）首先根据y=3x+6求得直线与x轴，y轴的交点分别为B（0，6），C（2，0），然后根据点B在y=x+b上，可求得b=6，进一步求直线y=x+6与x轴的交点A的坐标（-6，0），根据点B坐标可得OB=6，根据A、C坐标可得AC=2+6=8，最后根据三角形面积计算公式，可求得△ABC的面积。
（2）首先求出B，D，E的坐标，然后设点P(x，y)，以P、D、B、E为顶点组成平行四边形，可分成三种情况：①以DE为对角线；②以BE为对角线；③以DB为对角线，根据平行四边形的对角线互相平分，分别列方程，即可求得各种情况下的点P的坐标；
（3） 如图，在OB取ON=AF，连接EN，FN，作N关于x轴对称的点P，连接FP，首先根据SAS证明△AEF≌△OEN，得出EF=EN，∠AEF=∠OEN，从而可以进一步证明△EFN是等腰直角三角形，从而得出∠EFN=45°，∠EFO=45°+∠NFO=45°+∠AEF，得出∠AEF=∠NFO，又可根据对称性得到∠NFO=∠PFO，得到∠NFP=∠FGO，根据三角形的内角和，得出∠FPN=∠GFP，得出PG=FG=6，再根据OG=6-OP=6-AF，OF=6-AF，故而△OFG是等腰直角三角形，从而得出OF=
故而得出点F的坐标为。
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