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华东师大版2024—2025学年八年级下册期末全真模拟突破卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各数中，是负数的是（　　）
A． B． C． D．
2．两直线解析式分别为y＝5x—8与y＝—3x，则两直线与x轴围成的三角形面积为（　　）
A．2 B．2.4 C．3 D．4.8
3．若，则一次函数的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
4．某学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：，，，，，，，，，，则这组数据的中位数，众数分别为(　　)
A．， B．， C．， D．，
5．如图， 中， ， 则 （ ）
A． B． C． D．
6．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用的时间t（秒）之间的函数图象分别为图中的线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（　　）
A．甲的速度随着时间的增大而增大
B．乙的平均速度比甲的平均速度大
C．在起跑后第180秒时，两人相遇
D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
7．若一次函数的图象(m是常数)与y轴交于正半轴，则m的值可能是（　　）
A．2 B．4 C．0 D．-3
8．已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在正数，使得，则称函数和是“正和谐函数”下列函数和是“正和谐函数”的是(　　)
A．和 B．和
C．和 D．和
9．下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员选拔赛成绩的平均数与方差根据表中数据，要从中选择一名成绩好，又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择(　　)
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长是（　　）
A．1.5 B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当时，它是菱形；②当时，它是菱形：③当时，它是矩形；④当时，它是正方形，其中正确的是　 　．(填序号)
12．某青年排球队名队员的年龄情况如下表：
年龄
人数
其中，中位数为，则这个队队员年龄的众数是　 　．
13．若函数是一次函数，则满足的条件是　 　.
14．在函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
15．“校园之声”社团招聘成员时，需考察应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目．每个项目，满分均为100分，并按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占，计算加权平均数，作为应聘学生的最终成绩．若小明三个项目得分分别为85分、90分、92分，则他的最终成绩是　 　分．
16．如图，把两条等宽都为4的长方形纸条重叠在一起，重合部分构成的四边形ABCD是何种特殊的平行四边形，请填写在横线上 　 　．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
18．如图，在平行四边形中，E，F分别为边，的中点，连接，过点A作交的延长线于点G．
（1）求证；
（2）若，试判断四边形的形状并说明理由；
（3）当与满足　 　时，四边形是正方形．
19．已知一次函数的图象与正比例函数的图像交于点．
（1）求，的解析式；
（2）直接在图中画出两个函数图象；
（3）当时，　 　．（填“>”，“=”或“<”）
20．某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．
（1）分别写出两种优惠方法购买费用 （元 与所买水性笔支数 （支 之间的函数关系式；
（2）对 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．
21．小明和妈妈决定明天一早爬上1000米高的山顶来欣赏美景．由于临时有事，妈妈没有与小明同时出发．图中的函数图象刻画了小明爬山的路程与出发时间的关系．请解决下列问题：
（1）小明在途中休息了　 　分钟；爬到山顶用了　 　分钟；
（2）妈妈坐观光车沿相同路线上山，比小明晚出发40分钟，早10分钟到达山顶，表示妈妈爬山的路程，请在图中画出与的函数图象；
（3）求妈妈与小明相遇时的值．
22．如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）请你猜想与的数量关系，并给出证明．
（3）在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值．
23．如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）．
（1）求m的值和一次函数的解析式．
（2）求点C的坐标．
（3）将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长．
24． 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD，∠ADC的平分线分别交DC，AB于点M，N，AM与DN相交于点H．
（1）求证AM⊥DN；
（2）连接MN，则四边形ANMD的形状为　 　(填特殊四边形)；
（3）若BC=5，DN=6，直接写出AM的长为　 　．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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华东师大版2024—2025学年八年级下册期末全真模拟突破卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各数中，是负数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 =1是正数，故不符合题意；
B、=5是正数，故不符合题意；
C、 =-2是负数，故符合题意；
D、=25是正数，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据零指数幂，乘方及绝对值分别计算，再判断即可.
2．两直线解析式分别为y＝5x—8与y＝—3x，则两直线与x轴围成的三角形面积为（　　）
A．2 B．2.4 C．3 D．4.8
【答案】B
【解析】【解答】解：令 ，即 ，
解得： ，
则交点为 ，
∵两条直线有交点，
∴有 ，
解得： ，
则交点为 ，
过点B作x轴的垂线交于点D，
则
可得： ．
故答案为：B．
【分析】先求出，，再求出BD=3，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
3．若，则一次函数的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵m<-2，∴m+1<-1， 1-m>3.
∴ 一次函数的图象 经过第一，第二，第四象限，
故答案为：D.
【分析】先根据m值判断m+1和1-m的正负，再根据一次函数图象的特点进行判断。对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当k<0， b>0时，图象经过第一，第二，第四象限.
4．某学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：，，，，，，，，，，则这组数据的中位数，众数分别为(　　)
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】【解答】将数据从小到大排列为1，2，3，3，4，4，5，5，5，5，中间的两个数是4，4，故中位数是4，众数为5.
答案：A.
【分析】将数据从小到大排列，即可得中间两数，即可得中位数和众数.
5．如图， 中， ， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠B+∠D＝100°，
∴∠B＝∠D＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝130°．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补，求解即可．
6．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用的时间t（秒）之间的函数图象分别为图中的线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（　　）
A．甲的速度随着时间的增大而增大
B．乙的平均速度比甲的平均速度大
C．在起跑后第180秒时，两人相遇
D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
【答案】D
【解析】【解答】解：对于A选项：∵线段OA表示甲所跑路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数关系图像，据此可得甲的速度是没有变化的，则A选项错误；对于B选项：根据函数图象可得甲比乙先到达，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度大，则B选项错误；对于C选项：根据函数图象可得在起跑180秒后，甲已经到达终点，而乙还在路途，则两人的路程不相等，故他们没有相遇，故C选错误；对于D选项：∵在起跑50秒时线段OB在线段OA的上方，∴乙是在甲的前面，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数的横纵坐标表示的实际意义，理解运动过程，是解题的关键.根据函数图象的横纵坐标的实际意义结合选项逐项进行判定即可求解.
7．若一次函数的图象(m是常数)与y轴交于正半轴，则m的值可能是（　　）
A．2 B．4 C．0 D．-3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵一次函数的解析式为，所以令，得，即，其与y轴的交点为，∵ 一次函数的图象(m是常数)与y轴交于正半轴 ，
∴，解得：，对比选项可得B选项符合题意.
故答案为B.
【分析】本题主要考查一次函数的图象，根一次函数的解析式，令，可得其与y轴的交点坐标，再根据题意得到关于m的一元一次不等式，解出不等式即可求解.
8．已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在正数，使得，则称函数和是“正和谐函数”下列函数和是“正和谐函数”的是(　　)
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【解析】【解答】解：A 2n+1+3n+2=1时，n=-0.4，即不存在正数n使得 ，故A不符合题意；
B -n+3+2n-1=1时，n=-1，即不存在正数n使得 ，故B不符合题意；
C -n-1+3n-2=1时，n=1.5，即存在正数n使得 ，故C符合题意；
D -n+1+2n+3=1时，n=-3，即不存在正数n使得 ，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据“正和谐函数”的定义分别计算n的值，即可判断.
9．下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员选拔赛成绩的平均数与方差根据表中数据，要从中选择一名成绩好，又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择(　　)
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【解析】【解答】解：因为队员甲和丙的平均数高，且丙的方差小，所以队员丙成绩好又发挥稳定．
故答案为：C．
【分析】先根据题意比较平均数的大小，即可确定成绩的高低，再比较方差的大小即可确定稳定程度，进而即可求解。
10．如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长是（　　）
A．1.5 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过F作FG⊥AC于点G，
∵CF平分∠ACD，
∴FD=GF.
由折叠可得AB=AE.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠D=90°，
∴CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°.
∵CD=AE，∠E=∠D=90°，∠AFE=∠CFD，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AF=FC=2，
∴∠FAC=∠FCD.
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∴∠ACF=∠FCD=∠FAC.
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠FCD=30°，
∴DF=CF=1，
∴CD==.
故答案为：B.
【分析】过F作FG⊥AC于点G，由角平分线的性质可得FD=GF，由折叠可得AB=AE，根据矩形的性质可得AB=CD，∠D=90°，则CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°，利用AAS证明△AEF≌△CDF，得到AF=FC=2，则∠FAC=∠FCD，结合角平分线的概念可得∠ACF=∠DCF，则∠ACF=∠FCD=∠FAC，据此可得∠FCD=30°，得到DF=CF=1，然后利用勾股定理计算即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当时，它是菱形；②当时，它是菱形：③当时，它是矩形；④当时，它是正方形，其中正确的是　 　．(填序号)
【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，故①正确；
当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，故②正确；
当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，故③正确；
当AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，故④错误，
综上，正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断①；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断②；根据有一个内角为90°的平行四边形是矩形，可判断③；根据对角线相等的平行四边形时矩形，可判断④.
12．某青年排球队名队员的年龄情况如下表：
年龄
人数
其中，中位数为，则这个队队员年龄的众数是　 　．
【答案】19
【解析】【解答】解：由题意得，x+y=12-（1+2+2）=12-5=7，
∵x＞y，x、y为正整数，
∴x≥4，
∴x>2>1
∴众数是19．
故答案为：19．
【分析】由题意求出x+y=7，再由x＞y，x、y为整数，可以确定x的范围，进而确定这个队队员年龄的众数。
13．若函数是一次函数，则满足的条件是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵函数是一次函数，
∴m-2≠0，
∴m≠2，
故答案为：m≠2
【分析】根据一次函数的定义结合题意得到m-2≠0，进而即可求解。
14．在函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≥1
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
15．“校园之声”社团招聘成员时，需考察应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目．每个项目，满分均为100分，并按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占，计算加权平均数，作为应聘学生的最终成绩．若小明三个项目得分分别为85分、90分、92分，则他的最终成绩是　 　分．
【答案】90
【解析】【解答】解：（分）
故填：90.
【分析】根据加权平均数的权重计算其最终成绩即可.
16．如图，把两条等宽都为4的长方形纸条重叠在一起，重合部分构成的四边形ABCD是何种特殊的平行四边形，请填写在横线上 　 　．
【答案】菱形
【解析】【解答】解：过点B和点D分别作BE⊥DA，DF⊥BA，垂足分别点E和点F，
依题意得，AD∥BC，AB∥CD，BE=DF=4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠AEB=∠AFD=90°，∠BAE=∠BAF，
∴△AEB≌△AFD(AAS)，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故填：菱形.
【分析】由纸条的性质易得两组对边分别平行，进而利用宽度相等作垂即可得证全等即证得特殊平行四边形即可.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
【答案】（1）解：设篮球每个x元，足球每个元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
则足球的单价为：（元），
答：篮球每个100元，足球每个80元
（2）解：由题意得：，
即w与m的函数关系式为
（3）解：由题意可得：，
解得：，
，
由（2）得：，
，
随m的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，
此时元，，，
故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元
【解析】【分析】 (1)、设篮球每个x元，足球每个元， 根据 购买篮球的个数比足球的个数少2个，列出等量关系式求出.
(2)、 根据题意列出函数关系式.
(3)、根据计划总费用不多于5200元列出不等式，根据一次函数的性质求出最小值.
18．如图，在平行四边形中，E，F分别为边，的中点，连接，过点A作交的延长线于点G．
（1）求证；
（2）若，试判断四边形的形状并说明理由；
（3）当与满足　 　时，四边形是正方形．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别为、的中点，
，，
，，
四边形为平行四边形，
；
（2）证明：，
，
为直角三角形，
又为边的中点．
，
又四边形为平行四边形，
四边形是菱形
（3）相等且垂直
【解析】【解答】解：（3）假设四边形DEBF是正方形，
∴DE⊥AB，且DE＝BE
∵点E边AB的中点
∴AE=DE＝BE
∴∠DAE=∠BDE＝∠DBE＝45°
∴AD⊥BD且AD=BD
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得一组对边平行且相等，又根据中点的性质可得该组对边的一半平行且相等，由此可得四边形DEBF为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论；
（2）由（1）证得四边形DEBF为平行四边形，根据平行线的性质可得∠DBC=90°，继而可得△DBC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=DF，综上即可得出结论；
（3）利用反证法，由DEBF为正方形可得DE =EB，DE⊥EB，进而得到DE=EB=AE=AB，以此可得△ABD是等腰直角三角形，故而得到AD=BD且AD⊥BD。
19．已知一次函数的图象与正比例函数的图像交于点．
（1）求，的解析式；
（2）直接在图中画出两个函数图象；
（3）当时，　 　．（填“>”，“=”或“<”）
【答案】（1）解：由已知，把点分别代入，中，
得： ， ．
解得：， ，
所以，的解析式为：
，
（2）解：画出两个函数图象，如图所示，
（3）>
【解析】【分析】（1）根据待定系数法把点的坐标分别代入解析式即可求解；
（2）根据交点坐标和b的值看直接画出函数图象；
（3）由图可知，当x＞2时，直线y1在直线y2的上方，故y1＞y2。
20．某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．
（1）分别写出两种优惠方法购买费用 （元 与所买水性笔支数 （支 之间的函数关系式；
（2）对 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．
【答案】（1）解：设按优惠方法①购买需用 元，按优惠方法②购买需用 元
，
．
（2）解：分为三种情况：① 设 ，
，
解得： ，
当 时，选择优惠方法①，②均可；
② 设 ，即 ，
．当 整数时，选择优惠方法②；
③当设 ，即
当 时，选择优惠方法①．
（3）解：采用的购买方式是：用优惠方法①购买4个书包，
需要 元，同时获赠4支水性笔；
用优惠方法②购买8支水性笔，需要 元．
共需 元．
最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔．
【解析】【分析】（1）由于①购1个书包，赠送1支水性笔，而需买4个书包，由此得到还要买 支水性笔，所以得到 ；又购书包和水性笔一律按9折优惠，所以得到 ；（2）设 ，求出当 时选择2优惠；当 时，选择1优惠．（3）采取用优惠方法①购买4个书包，再用优惠方法②购买8支水性笔即可．
21．小明和妈妈决定明天一早爬上1000米高的山顶来欣赏美景．由于临时有事，妈妈没有与小明同时出发．图中的函数图象刻画了小明爬山的路程与出发时间的关系．请解决下列问题：
（1）小明在途中休息了　 　分钟；爬到山顶用了　 　分钟；
（2）妈妈坐观光车沿相同路线上山，比小明晚出发40分钟，早10分钟到达山顶，表示妈妈爬山的路程，请在图中画出与的函数图象；
（3）求妈妈与小明相遇时的值．
【答案】（1）10；60
（2）解：根据妈妈比小明晚出发40分钟，早10分钟到达山顶，画出与的函数图象，如图所示：
（3）解：设妈妈的路程y2与时间x的关系式为y2=kx+b（40≤x≤50），则，解得，所以y2=100x-4000；设小明在40-60分钟的路程y1与时间x的关系式为y1=mx+n（40≤x≤60），则，解得，∴y1=20x-200，当y1=y2时，妈妈小明相遇，此时20x-200=100x-4000，解得，x=47.5，∴妈妈与小明相遇时x的值为47.5．
【解析】【解答】解：（1）由图象得，小明在途中休息了10分钟，爬到山顶用了60分钟，故答案为：10，60；
【分析】（1）根据所给的函数图象求解即可；
（2）根据题意作图即可；
（3）利用待定系数法求函数解析式即可。
22．如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）请你猜想与的数量关系，并给出证明．
（3）在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值．
【答案】（1）证明：∵，∴又∵是正方形∴∴四边形四边形是矩形
（2）解：，证明如下：连接，
∵四边形为矩形，∴，又∵四边形是正方形，P为上任意一点，∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP，∴，∴；
（3）解：由（2）得，则的最小值，即的最小值，当时，取得最小值，∵正方形ABCD的周长为40，∴AD=CD=10∵AD=CD，∠ADC=90°，，∵，∴∴的最小值是．
【解析】【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形即证结论；
（2），理由：连接， 证明△ADP≌△ABP，根据全等三角形的性质可得PB=PD，由矩形的性质知PB=EF，即证PD=EF；
（3）由（2）得，则的最小值，即的最小值，当时，取得最小值，求出此时DP的长即得结论.
23．如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）．
（1）求m的值和一次函数的解析式．
（2）求点C的坐标．
（3）将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长．
【答案】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：
∵点、，
∴ 解得：
∴一次函数的表达式为：.
（2）解：过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点，
，
，
，
，
∴
∴点；
（3）解：当正方形与正方形的重叠部分为正方形时， 则点在上，
设直线AC的表达式为y=kx+b，
∵点，点
∴，解得：.
∴直线的表达式为：
∵反比例函数表达式为：，
∴，
解得：(舍去)或，
∴点，
∵点，
∴
∴重叠正方形的边长为．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）先利用AAS证明，再利用线段差分别求得CH与BH，然后写出C点的坐标；
（3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，则点在上，进而求解.
（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：
将点、B的坐标代入函数表达式得：
解得：
则一次函数的表达式为：；
（2）过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点，
，
，
，
，
∴
∴点；
（3）当正方形与正方形的重叠部分为正方形时， 则点在上，
由点的坐标得，直线的表达式为：
由（1）知，反比例函数表达式为：，
联立上述两个函数表达式得：，
解得：(舍去)或，
即点，
由点的坐标得，
则重叠正方形的边长为．
24． 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD，∠ADC的平分线分别交DC，AB于点M，N，AM与DN相交于点H．
（1）求证AM⊥DN；
（2）连接MN，则四边形ANMD的形状为　 　(填特殊四边形)；
（3）若BC=5，DN=6，直接写出AM的长为　 　．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB.
∴∠CDA+∠BAD=180°.
∵DN，AM分别平分∠CDA，∠BAD，
∴∠CDA=2∠HDA，∠BAD=2∠HAD.
∴2∠HDA+2∠HAD=180°.
∴∠HDA+∠HAD=90°
∴∠DHA=90°.
∴AM⊥DN.
（2）菱形
（3）8
【解析】【解答】解：（2）菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC// AB，
∴∠DMA= ∠NAM，
又∵AM平分∠BAD，
∴∠NAM= ∠DAM，
∴∠DMA= ∠DAM，
∴AD = DM，
同理可得：AD=AN，
∴AN =DM且AN//DM，
∴四边形ANMD是平行四边形，
∵AM⊥DN，
∴四边形ANMD是菱形，
故答案为：菱形.
（3）∵BC=5，DN=6，四边形ANMD是菱形，
∴AD=5， DH=3，
∴，
∴AM=2AH =8，
故答案为：8.
【分析】（1）根据平行四边形的性质求出DC//AB，再根据角平分线求出 ∠CDA=2∠HDA，∠BAD=2∠HAD，最后证明即可；
（2）根据平行四边形的性质求出DC// AB，再根据角平分线求出∠NAM= ∠DAM，最后计算求解即可；
（3）利用菱形的性质求出AD=5， DH=3，再利用勾股定理求出AH=4，最后计算求解即可。
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