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人教版2024—2025学年八年级下册期末综合素养进阶卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
2．如图，的对角线交于点，下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．点 和 都在直线 上，且 ，则 与 的关系是（　　）
A． B． C． D．
4．某科普小组有5名成员，身高（单位：cm）分别为：160，165，170，163，172，把身高160 cm的成员替换成一位165 cm的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（　　）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变大，方差变大
C．平均数变大，方差不变 D．平均数变大，方差变小
5．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
6．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（　　）
A．x≥1 B．x>－1 C．x≥－1 D．x>1
7．一次函数的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
8．如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC＝6，则OE的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
9．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数，交轴于，交轴于，已知，下列说法正确的是（　　）
A．的解集是 B．的解集是
C．的解集是 D．
10．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在中，，边上的高，，的长为　 　．
12．计算： 　 　.
13．已知直线不过第二象限，则k的范围为　 　．
14．李老师开车从甲地到相距 千米的乙地，如果油箱剩余油量 （升）与行驶里程 （千米）之间是一次函数关系，其图像如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是　 　升．
15．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为 　 　．
16．如图所示，分别以 的直角边 ，斜边 为边向 外构造等边 和等边 ， 为 的中点，连接 ， ， ， ， ．有下列五个结论：① ；② ；③四边形 是菱形；④ ；⑤四边形 是平行四边形．其中正确的结论是　 　．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 如图，四边形是平行四边形，，，点是的中点，点是延长线上一点.
（1）连结，求证：.
（2）若求证：.
（3）在（2）的条件下，若的延长线与交于点，试判断四边形是否为平行四边形并证明你的结论请补全图形，再解答
18． 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标是，连接若动点从点出发沿着线段以个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒.
（1）求线段的长.
（2）连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；
（3）已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为如图，在整个运动过程中，若点恰好落在内部不含边界，请直接写出的取值范围.
19．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.求y关于x的函数关系式.
（3）在第（2）问的条件下，如果A型电脑至少购进20台，则购进两种型号的电脑100台最多最多能获得多少销售利润？
20．2022年2月8日，中国选手谷爱凌在冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中夺得金牌，国际滑联评价谷爱凌为滑雪史上第一人．已知自由式滑雪大跳台的计分规则如下：
①每次滑雪的动作，按照其完成难度的不同对应一个难度系数A；
②每次滑雪都有7名裁判进行打分，在7个得分中去掉1个最高分和1个最低分，剩下5个得分的平均值为这次起跳的完成分B；
③运动员该次滑雪的最后得分C＝难度系数A×完成分B×3．
在某次自由滑雪大跳台比赛中，某运动员的打分（满分10分）表为：
难度系数 裁判 1 2 3 4 5 6 7
3.0 打分 10 9.5 9 9 9.5 9 9
（1）7名裁判打分的众数是　 　；中位数是　 　；
（2）该运动员的最后得分是多少？
（3）已知某运动员在一次滑雪大跳台比赛中完成了难度系数3.2的动作，且所有裁判都打了满分，请你帮她算一下，难度系数3.2的满分成绩应该是多少分？
21．“地摊经济”已成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：
　 甲商品 乙商品
进价（元/件） 65 5
售价（元/件） 90 10
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若要求甲、乙商品全部销售完后获得的利润不少于1250元，请说明当x为何值时利润最大，最大利润是多少？
22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；
（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．
23．如图，直线和直线交于点，与轴的交点分别为．点为直线上一动点（不与点重合），过点分别作轴和直线的垂线，垂足分别是点．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）若点在的边上移动，问线段与线段的和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
（3）若，请直接写出点的坐标．
24．如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．
（1）证明：；
（2）当时，求的面积；
（3）当时，求的长．
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人教版2024—2025学年八年级下册期末综合素养进阶卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得x+1≥0，且x-2≠0，
∴且，
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为0进行运算即可求解。
2．如图，的对角线交于点，下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在中，，，则不一定成立，该选项不符合题意；
B、根据平行四边形性质：对角线相互平分，不一定垂直，则不一定成立，该选项不符合题意；
C、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在中，，该选项符合题意；
D、根据平行四边形性质，对角线不一定平分对角，则不一定成立，该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质（①对边平行且相等；②邻角互补、对角相等；③对角线互相平分）分析求解即可.
3．点 和 都在直线 上，且 ，则 与 的关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 直线 中， ，
y随着x的增大而减小，
，
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的解析式可得：y随着x的增大而减小，再根据可得答案。
4．某科普小组有5名成员，身高（单位：cm）分别为：160，165，170，163，172，把身高160 cm的成员替换成一位165 cm的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（　　）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变大，方差变大
C．平均数变大，方差不变 D．平均数变大，方差变小
【答案】D
【解析】【解答】解：原数据的平均数为 ×（160+165+175+163+172）=166（cm），
方差为 ×[（160-166）2+（165-166）2+（170-166）2+（163-166）2+（172-166）2]=19.6（cm2），
新数据的平均数为 ×（165+165+170+163+172）=167（cm），
方差为 ×[2×（165-167）2+（170-167）2+（163-167）2+（172-167）2]=11.6（cm2），
所以平均数变大，方差变小，
故答案为：D．
【分析】根据平均数、中位数的意义、方差的意义，可得答案．
5．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意；
D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】
本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可．
对于选项A：大正方形的边长为a，其面积为，大正方形又可以看作是由4个直角边a，b的直角三角形和一个边长为(b-a)的小正方形组成，4个直角三角形的面积为：，小正方形的面积为：，所以大正方形的面积，即可证得勾股定理，故选项A不符合题意；
对于选项B：该图形是用两个直角边分别为a、b的直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形拼成的梯形，根据梯形的面积公式：代入数据可得：，同时梯形的面积又等于三个直角三角形面积之和，即，等量代换得：，化简得：，即可证得勾股定理，故选项B不符合题意；
对于选项C：大正方形的边长为a+b，其面积为，大正方形又可以看作是由4个直角边a，b的直角三角形和一个边长为c的小正方形组成，4个直角三角形的面积为：，小正方形的面积为：，等量代换得：，化简得：，即可证得勾股定理，故选项C不符合题意；
对于选项D：此图仅给出了两条线段a、b和两个长度为b的边，没有构建出与直角三角形三边相关的面积关系或其他能推导出的联系，不能证明勾股定理，故选项D符合题意；由此判断得出答案.
6．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（　　）
A．x≥1 B．x>－1 C．x≥－1 D．x>1
【答案】C
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数作答．
【解答】根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，解得x≥-1．
故选：C．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
7．一次函数的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得一次函数的图象经过第一、三、四象限，
故答案为：D
【分析】根据一次函数的性质结合题意即可求解。
8．如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC＝6，则OE的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB＝OD，
∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE，
∴OE是△BCD的中位线，
∵BC＝6，
∴OE＝ BC＝3．
故答案为：C．
【分析】先说明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．
9．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数，交轴于，交轴于，已知，下列说法正确的是（　　）
A．的解集是 B．的解集是
C．的解集是 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、由图可知一次函数与交点的横坐标为，一次函数与轴交点的横坐标为，当时，，选项正确，符合题意；
B、由图可知一次函数与交点的横坐标为，则时，，一次函数与交点的横坐标为，当时，，从而得到的解集是，选项错误，不符合题意；
C、由图可知一次函数与交点的横坐标为，则时，；直线与直线平行，根据与轴交点的横坐标为，则根据对称性得到与轴交点的横坐标为，从而得到的解集是，选项错误，不符合题意；
D、由一次函数图像可知；由交轴于，交轴于，已知，可知，，，且，则，选项错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】
根据题中条件及函数图象，数形结合，逐项验证即可得到答案，
10．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，
∴DE=×3=1，CE=3﹣1=2．
∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°．
∴AB=AF=AD．
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵AG=AG，B=AF，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3﹣x，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，
即，
解得，．
∴．
∴BG=CG=，即点G是BC中点，
故①正确．
∵，
∴∠AGB≠60°．
∴∠CGF≠180°﹣60°×2≠60°．
又∵BG=CG=FG，
∴△CGF不是等边三角形．
∴FG≠FC，
故②错误．
∵△CGE的面积=CG CE=××2=，EF：FG=1：=2：3，
∴，
故③正确．
综上所述，正确的结论有①③．
故答案为：B．
【分析】利用正方形的性质可得AB=3，CD=3DE，再利用“HL”证出Rt△ABG≌Rt△AFG，再利用全等三角形的性质及勾股定理和线段的和差求出，再利用等边三角形的判定方法证出 △CGF不是等边三角形，最后利用三角形的面积公式及计算方法逐项分析判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在中，，边上的高，，的长为　 　．
【答案】14或4
【解析】【解答】解：如图，当高AD在△ABC内部时，则∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD=12，AC=15，AB=13，
∴CD==9，
BD==5，
∴BC=9+5=14，
如图，当高AD在△ABC外部时，则∠ADB=90°，
同理求出CD=9，BD=5，
∴BC=CD-BD=9-5=4，
∴BC的长为：14或4；
故答案为：14或4.
【分析】分两种情况：当高AD在△ABC内部时和当高AD在△ABC外部时，据此分别画出图形，利用勾股定理及线段的和差分别解答即可.
12．计算： 　 　.
【答案】
【解析】【解答】此题考查根式化简
【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式；化为同类二次根式，再合并同类二次根式.
13．已知直线不过第二象限，则k的范围为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵直线不过第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据一次函数的图象与性质求出，再求解即可。
14．李老师开车从甲地到相距 千米的乙地，如果油箱剩余油量 （升）与行驶里程 （千米）之间是一次函数关系，其图像如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是　 　升．
【答案】20
【解析】【解答】解：设直线的解析式为y=kx+b，
根据题意得，
解得，
∴直线的解析式为，
当x=240时，y=20，
∴ 到达乙地时油箱剩余油量是20（升）.
故答案为：20.
【分析】设直线的解析式为y=kx+b，根据题意利用待定系数法求出直线的解析式，再求出当x=240时，y的值，即可求解.
15．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：连接AF，作点A关于B点的对称点A'，连接A'D，如下图，
四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ABF=∠CDE=90°
∴在△ABF和△CDE中
∴△ABF≌△CDE(SAS)
∴AF=CE
∴CE+DF=AF+DF
∵点A关于B点的对称点A'，连接A'D
∴CE+DF=AF+DF=A'D
∵AB=4，AD=8
∴AA'=8
．
故答案为：．
【分析】
本题考查矩形的性质、勾股定理、点的对称性，全等三角形的判定与性质，根据对称性作辅助线是解题关键。根据矩形的性质：对边相等，四个角都是直角可知：AB=CD，∠ABF=∠CDE=90°，再结合BF=DE和全等三角形判定定理SAS可证得：△ABF≌△CDE，再根据全等三角形的性质：对应边相等可知：AF=CE，根据点的对称性： 连接AF，作点A关于B点的对称点A'，连接A'D ，可知：CE+DF=AF+DF=A'D，CE+DF的最小值为A'D，最后利用勾股定理可求得A'D的长，即：在Rt△A'AD中，，由此可得出答案．
16．如图所示，分别以 的直角边 ，斜边 为边向 外构造等边 和等边 ， 为 的中点，连接 ， ， ， ， ．有下列五个结论：① ；② ；③四边形 是菱形；④ ；⑤四边形 是平行四边形．其中正确的结论是　 　．
【答案】①③⑤
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，AC= AB，
∵F为AB中点，
∴CF=AF=BF= AB，
∴AC=CF=AF，
∵ 为等边三角形，
∴AC=AD=CD，
∴AF=FC=CD=AD，
∴四边形ADCF是菱形，
∴AC⊥DF，
故①③符合题意；
∵四边形ADCF是菱形，
∴AF∥CD，AF=CD，
∵AF=BF，
∴BF=CD，
∴四边形BFDC是平行四边形，
故结论⑤符合题意；
∵四边形BFDC是平行四边形，
∴BC=DF，
∴DA+DF=AC+BC，
∵AC+BC＞AB，
∴DA+DF＞AB，
∵ 为等边三角形，
∴AB=BE，
∴DA+DF＞BE，
故结论②不符合题意；
∵四边形ADCF是菱形，
∴ ，
∵F为AB中点，
∴ ，
∴△ACD、△ABE都为等边三角形，F为AB中点，
∴ ，
故结论④不符合题意．
故答案为：①③⑤
【分析】根据平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质分别判断得到答案即可。
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 如图，四边形是平行四边形，，，点是的中点，点是延长线上一点.
（1）连结，求证：.
（2）若求证：.
（3）在（2）的条件下，若的延长线与交于点，试判断四边形是否为平行四边形并证明你的结论请补全图形，再解答
【答案】（1）证明：在 中，，，
，，
连接，如图所示：
是的中点，
，，
；
（2）证明：由（1）知，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
（3）解：四边形为平行四边形，理由如下：
由（1）知≌，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质结合题意可得AC=BC，AC⊥BC，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=EC=BE，CE⊥AB，据此证明；
（2）由（1）得AE=EC=BE，CE⊥AB，则∠CAE=∠BCE=45°，∠ECF=∠EAD=135°，利用ASA证明△CEF≌△AED，据此可得结论；
（3）根据全等三角形的性质可得CF=AD，结合AD=AC可得AC=CF，易得CP=AB=AE，然后根据平行四边形的判定定理进行解答.
18． 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标是，连接若动点从点出发沿着线段以个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒.
（1）求线段的长.
（2）连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；
（3）已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为如图，在整个运动过程中，若点恰好落在内部不含边界，请直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：点的坐标为，点的坐标是，
，，
；
所以，线段的长为10.
（2）解：为等腰三角形，分三种情况：
当时，过点作轴于点，轴于点，
，
，
，
，，
，
，
设，
在中，，
在中，，
，即，
解得：，
；
当时，过点作轴于点，轴于点，过点作于点，
，，
，
，
，
，
设，
在中，，，
解得：，
即，
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
；
当时，如图，
，
，
，
，
又，
，
，
，
综上所述，或或；
（3）解：
【解析】【解答】解：(3)如图，当在上时，过点作轴于点，过点作，过点作轴于点，
点为的中点，
由可知，，
则，
，，，
，
，
，
，
，
，
点关于直线的对称点记为，
，，
，
即，
，
在中，，
，
解得舍去或，
当点运动到点，，，重合，此时，解得，
当时，点恰好落在内部不含边界.
【分析】（1）根据点A、B的坐标可得OA=8，OB=6，然后利用勾股定理就可求出AB的值；
（2）当PB=PO时，过点P作PD⊥y轴于点D，PC⊥x轴于点C，则BD=OD=3，根据等腰三角形的性质可得∠PBO=∠POB，由等角的余角相等可得∠POA=∠PAO，则PO=PA=5，设OM=x，然后在Rt△PDM、Rt△BPM中，根据勾股定理可得x的值，据此可得点M的坐标；当BP=BO=6时，过点P作PD⊥y轴于点D，PC⊥x轴于点C，过点O作OE⊥AB于点E，根据等面积法可得OE、PD的值，设PC=a，然后在Rt△PCA、Rt△PDM、Rt△BPM中，根据勾股定理进行计算，当OB=OP时，∠OBP=∠OPB，由同角的余角相等可得∠OMP=∠OPM，推出OM=OP=OB=6，据此可得点M的坐标；
（3）当P′在OA上时，过点N作NF⊥x轴于点F，过点O作OE⊥AB，过点P作PG⊥y轴于点G，由（2）可得N（4，3），则NF=3，根据等面积法可得PG，由勾股定理可得BG，然后表示出OG、PN，根据轴对称的性质可得OP=OP′，S△PON=S△P′ON，根据三角形的面积公式可得OP，在Rt△OPG中，根据勾股定理可得t的值，据此解答.
19．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.求y关于x的函数关系式.
（3）在第（2）问的条件下，如果A型电脑至少购进20台，则购进两种型号的电脑100台最多最多能获得多少销售利润？
【答案】（1）解：设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得：，解得：，
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
（2）解：根据题意得，，
∴关于的函数关系式；
（3）解：∵，
∴随的增大而减小，
∵为正整数，
∴当时，取最大值，则，
∴该商店购进A型电脑20台，B型电脑80台，才能使销售总利润最大.
【解析】【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元可得10a+20b=4000；根据销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元可得20a+10b=3500，联立求解即可；
（2）根据题意可得购进B型电脑(100-x)台，购进A每台的利润×台数+B每台的利润×台数可得y与x的关系式；
（3）购进（2）中的关系式结合一次函数的性质进行解答.
20．2022年2月8日，中国选手谷爱凌在冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中夺得金牌，国际滑联评价谷爱凌为滑雪史上第一人．已知自由式滑雪大跳台的计分规则如下：
①每次滑雪的动作，按照其完成难度的不同对应一个难度系数A；
②每次滑雪都有7名裁判进行打分，在7个得分中去掉1个最高分和1个最低分，剩下5个得分的平均值为这次起跳的完成分B；
③运动员该次滑雪的最后得分C＝难度系数A×完成分B×3．
在某次自由滑雪大跳台比赛中，某运动员的打分（满分10分）表为：
难度系数 裁判 1 2 3 4 5 6 7
3.0 打分 10 9.5 9 9 9.5 9 9
（1）7名裁判打分的众数是　 　；中位数是　 　；
（2）该运动员的最后得分是多少？
（3）已知某运动员在一次滑雪大跳台比赛中完成了难度系数3.2的动作，且所有裁判都打了满分，请你帮她算一下，难度系数3.2的满分成绩应该是多少分？
【答案】（1）9；9
（2）解：最后得分：（分），
答：该运动员本次试跳的得分是82.8分；
（3）解：（分），
答：难度系数3.2的满分成绩应该是96分．
【解析】【解答】解：（1）9出现次数最多，7名裁判打分的众数是9；
把这组数据按照从小到大的顺序排列得：9、9、9、9、9.5、9.5、10，根据中位数的定义知，中位数是9．
故答案为：9；9；
【分析】（1）利用众数和中位数的定义及计算方法求解即可；
（2）利用加权平均数的计算方法求解即可；
（3）利用加权平均数的计算方法求解即可。
21．“地摊经济”已成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：
　 甲商品 乙商品
进价（元/件） 65 5
售价（元/件） 90 10
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若要求甲、乙商品全部销售完后获得的利润不少于1250元，请说明当x为何值时利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意可得：小明购进甲商品x件，则乙商品 件，
则 ，
即y与x之间的函数关系式：
（2）解：由题意可得： ，
∴解之得： ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解：由题意可得： ，
∴解得： ，
∴ ，
∵由（1）可知利润为： ，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，有最大利润．
∴利润最大值为 元．
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据求解即可；
（2）先求出 ， 再求解即可；
（3）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；
（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OC＝OD，
∵△COD关于CD的对称图形为△CED，
∴OD＝ED，EC＝OC，
∴OD＝ED＝EC＝OC，
∴四边形OCED是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2．
∵四边形OCED是正方形，
∴∠COD＝90°．
在直角△COD中，由勾股定理得：
OC +OD ＝2 ，
∵OD＝OC，
∴OC＝ ；
（3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示：
此时PE+PQ的值最小为 ；理由如下：
∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED，
∴∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，
∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，
∵AC＝BD＝3，
∴OC＝OD＝ ，
∴∠DCO＝∠ACD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∴∠OCQ＝60°，
∴∠COQ＝30°，
∴CQ＝ ，
即PE+PQ的最小值为 ．
【解析】【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形判断即可；
（2）根据矩形的性质和勾股定理求解即可；
（3）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此时PE+PQ的值最小为 ；由折叠的性质得出∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，得出PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，由直角三角形的性质得出CQ＝ ， 即可。
23．如图，直线和直线交于点，与轴的交点分别为．点为直线上一动点（不与点重合），过点分别作轴和直线的垂线，垂足分别是点．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）若点在的边上移动，问线段与线段的和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
（3）若，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：是等腰三角形．
理由如下：
直线和直线交点，
，即，解得，则，
，
直线和直线与轴的交点分别为，
当时，，解得，即；当时，，解得，即；
；；，
，即是等腰三角形；
（2）解：线段与线段的和为定值，为．
理由如下：
连接，如图所示：
、、，
，
过点分别作轴和直线的垂线，垂足分别是点，
，
由（1）知，则，解得；
（3）点的坐标为或
当点P在线段上时，由（2）中知，当时，得到，
直线上点的纵坐标为时，，解得，
点的坐标为．
当点P在线段延长线上时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，
直线上点的纵坐标为时，，解得，
点的坐标为；
当点P在线段反向延长线上时，则可得，则，此种情况不存在．
综上，点的坐标为或．
【解析】【分析】（1）首先求出点A，B，C的坐标，然后根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可求得AB，AC，BC的长，根据长度即可判断得出△ABC的形状；
（2） 由（1）知AB=AC=5，可先求出S△ABC=10，则，即可得出线段PD与线段PE的和为定值，进一步计算出定值即可；
（3） 可分为三种情况：①当点P在线段BC上时 ，根据（2）的结论PD+PE=4，可求得PD=，即点P的纵坐标为，根据点P在直线y=2x-2上，可求得点P的横坐标，即可得出此时P的坐标为；
②当点P在线段BC延长线上时，如图，连接PA， 可得PD-PE=4，求得点P的纵坐标为，根据点P在直线y=2x-2上，可求得点P的横坐标，即可得出此时P的坐标为；
③当点P在线段BC反向延长线上时，则可得PE-PD=4，则，此种情况不存在 .
故而可求得符合条件的两个点P的坐标。
24．如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．
（1）证明：；
（2）当时，求的面积；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴
∴
∴；
（2）解：∵，
∴，
又
∴，
∵
∴，
∴，
由（1）可得
则是等边三角形，
在中，设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，则，，
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∴的面积为
（3）解：∵，，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，则，
如图所示，延长，使得，则是是中位线，，，
∴，
在中，，，
∴
∴
∴，，
则，
∴，
如图所示，过点作，则四边形是矩形，
∴，，
在中，．
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线求出 ，， 再根据矩形的性质求出AD//CB，最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）结合图形，利用勾股定理，全等三角形的判定与性质计算求解即可。
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