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上海市2024—2025学年七年级下册期末模拟全优突破卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若 ，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．直线l上有三点A，B，C，点P为直线l外一点，若，，，点P到直线l的距离为，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
3． 某小区车库门口的曲臂道闸升降杜如图所示， 垂直地面 于 A 点， 平行于地面 ， 若 ，则 的大小是（　　）
A． B． C． D．
4．如果关于x的不等式的解集为，那么m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，
若，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
6．下列图形中，由能得到的图形有(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
7．下列说法正确的是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的角是对顶角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
8．下面四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A．②③④ B．①②③ C．①②③④ D．①②④
9．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　）
A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补
10．如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放.其中含角的三角尺ABC固定不动，将含角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动(转动角度小于).当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若不等式组 无解，则a，b的关系是　 　
12．如图，中，，P为直线上一动点，连，则线段的最小值是　 　．
13．如图，AB∥CD，∠1＝50°，则∠2＝　 　°．
14．把一批书分给小朋友，每人3本，则余8本；每人5本，则最后一个小朋友得到书且不足3本，这批书有　 　本．
15．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点，连接分别交，于点，，过点作分别交，于点，，则下列结论正确的是　 　．
①；②；③；④
16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝　 　．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①，②中，不等式组的关联方程是　 　（填序号）；
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程的解是　 　；
（3）若方程与都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．
18．小林同学三次到某超市购买A，B两种商品，其中仅有一次是有打折的．购买数量及消费金额如表所示：
购买A商品的件数 购买B商品的件数 消费金额（元）
第一次 6 3 108
第二次 5 1 84
第三次 7 4 96
（1）直接回答：第　 　次购买有折扣；
（2）求A，B两种商品的原价；
（3）若小林同学再次以原价购买A，B两种商品共10件（每种商品至少买1件），且消费金额不超过90元，求A商品最多可以购买多少件？
19．如图，已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上的一个动点．
（1）如图，点在线段上，，，则　 　；
（2）如果点运动到，之间时，试探究，，之间的关系，并说明理由；
（3）若点在，两点的外侧运动时（点与点，不重合），，，之间的关系是否发生改变？请说明理由．
20．如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）连接交于点G，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长．
21．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
（1）作边上的高；
（2）过点D作直线的垂线，垂足为E；
（3）点B到直线的距离是线段　 　的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可）
22．某超市销售甲、乙两种型号的电器，其进价分别为180元/台和160元/台，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量（台） 销售收入（元）
甲种型号 乙种型号
第一周 3 2 1120
第二周 4 3 1560
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求甲、乙两种型号电器的销售单价；
（2）若超市准备用不多于6000元的金额再采购这两种型号的电器共35台，求甲种型号的电器最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这35台电器能否实现利润超过1750元的目标？若能，请给出相应的采购方案，并说明在这些采购方案中，哪种采购方案利润最大？若不能，请说明理由．
23．计算题
（1）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解三元一次方程组．
（3）已知点．若点到轴的距离是到轴距离的2倍，求点的坐标．
24．在 中，若最大内角是最小内角的 倍（ 为大于1的整数），则称 为 倍角三角形.例如：在 中， ， ， ，则称 为6倍角三角形.
（1）在 中， ， ，则 为　 　倍角三角形；
（2）若一个等腰三角形是4倍角三角形，求最小内角的度数；
（3）如图，点 在 上， 交 于点 ， ， ， ， .找出图中所有的 倍角三角形，并写出它是几倍角三角形.
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上海市2024—2025学年七年级下册期末模拟全优突破卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若 ，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】A、 则 ，故A选项正确；
B、 则 ，故B选项错误；
C、 则 ，则C选项错误；
D、 则 ，则D选项错误；
故选A.
【分析】不等式的基本性质：（1）在不等式两边同加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）在不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）在不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
2．直线l上有三点A，B，C，点P为直线l外一点，若，，，点P到直线l的距离为，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，，，
最短，
直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短，
点P到直线l的距离不大于，即．
故答案为：D．
【分析】利用“ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离 ”分析求解即可.
3． 某小区车库门口的曲臂道闸升降杜如图所示， 垂直地面 于 A 点， 平行于地面 ， 若 ，则 的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点B作，如图所示：
则，
，；
∵，
，
，
，
；
故答案为：D
【分析】过点B作，根据平行公理及其推论得到则，进而根据平行线的性质得到，，从而结合垂直等量代换求出∠FBC的度数，从而即可得到∠BCD的度数.
4．如果关于x的不等式的解集为，那么m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵（m-2）x＜m-2的解集为x＞1，不等式的符号发生了改变
∴m-2＜0
∴m＜2
故答案为：C
【分析】根据不等式的性质可知，两边同时除以m-2，不等式的符号发生改变，可知m-2＜0，求解即可．
5．如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，
若，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，，，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】先证明∠ACF=∠1=33°，再利用角的和差关系计算。
6．下列图形中，由能得到的图形有(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
图1， 由不能得到，故不符合题意；
图2：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，故符合题意；
图3： 由不能得到，故不符合题意；
图4：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，故符合题意；
故答案为：C.
【分析】由∠1=∠2，结合图形，利用平行线的判定定理逐图判断即可.
7．下列说法正确的是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的角是对顶角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
【答案】D
【解析】【解答】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
B、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；
C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，错误；
D、在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，故该选项正确．
故选D．
【分析】根据平行公理，对顶角的定义以及平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
8．下面四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A．②③④ B．①②③ C．①②③④ D．①②④
【答案】D
【解析】【解答】解：根据同位角的定义，可得图①②④中，∠1与∠2在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角，
而图③中，∠1与∠2不是两条直线被第三条直线所截形成的同位角．
故选：D．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
9．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　）
A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补
【答案】D
【解析】【解答】解：如图知∠A和∠B的关系是相等或互补．
故选D．
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补作答．
10．如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放.其中含角的三角尺ABC固定不动，将含角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动(转动角度小于).当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，
∵将含45°角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动 (转动角度小于180°），
∴0°＜∠ABE＜180°，
当DE∥AC时，
∴∠C=∠BOE=90°，
∴∠EBO=90°-∠E=90°-45°=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBO=60°-45°=15°；
当DE∥AB时，
∠E=∠ABE=45°；
当DE∥BC时，
∴∠E=∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°；
∴∠ABE的度数为15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】利用已知可得到∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，0°＜∠ABE＜180°；再分情况讨论：当DE∥AC时，利用平行线的性质可证得∠EOB=90°，利用三角形的内角和定理求出∠EBO的度数，即可求出∠ABE的度数；当DE∥AB时，利用平行线的性质可求出∠ABE的度数；当DE∥BC时，利用平行线的性质可求出∠CBE的度数，根据∠ABE=∠ABC+∠CBE，代入计算求出∠ABE的度数；综上所述可得到符合题意的∠ABE的度数.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若不等式组 无解，则a，b的关系是　 　
【答案】a≥b
【解析】【解答】解：∵不等式组 无解，
∴a≥b．
故答案为：a≥b．
【分析】根据不等式组无解的条件写出即可．
12．如图，中，，P为直线上一动点，连，则线段的最小值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：当CP⊥AB时，CP的长最小，
△ABC的面积=×AC×BC=AB×CP，
即6×8=10CP，
∴CP=，
故答案为：.
【分析】当CP⊥AB时，CP的长最小，根据△ABC的面积=×AC×BC=AB×CP即可求解.
13．如图，AB∥CD，∠1＝50°，则∠2＝　 　°．
【答案】50
【解析】【解答】解：∵AB//CD
∴∠1=∠3
∵∠2=∠3
∴∠2=∠1=50°．
故答案为50．
【分析】如图，先由平行线的性质可得∠1=∠3，然后再根据对顶角相等可得∠2=∠3，即∠2=∠1=50°．
14．把一批书分给小朋友，每人3本，则余8本；每人5本，则最后一个小朋友得到书且不足3本，这批书有　 　本．
【答案】26
【解析】【解答】解：设共有x名小朋友，则共有（3x+8）本书，
依题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴x＝6，
∴3x+8＝26．
故答案为：26．
【分析】设共有x名小朋友，则共有（3x+8）本书，根据题意列出不等式组，再求解即可。
15．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点，连接分别交，于点，，过点作分别交，于点，，则下列结论正确的是　 　．
①；②；③；④
【答案】①②④
【解析】【解答】①∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，
∴AC=AB=AD，∠BAC=60°，∠BAD=90°，∠CAD=60°+90°=150°，
∴∴∠BAC=4∠ADC，故①正确，符合题意.
②∵在等腰直角三角形BAD中，AE⊥BD，
∴AE=DE=BE，∵∠BAD=45°，∠ADC=15°，∴∠EDF=45°-15°=30°，
∵∠DAP=90°-∠ADC=75°，∠DAE=∠EAB=45°，∴EAH=75°-45°=30°，
∴在Rt△DEF和Rt△AEH中，∠EDF=∠EAH，AE=DE，∠DEF=∠AEH，∴Rt△DEF≌Rt△AEH（ASA），∴DF=AH，故②正确，符合题意.
③由②可知，EF=EH≠BH，故③错误，不符合题意.
④∵∠DAP=75°，∠BAD=90°，∴∠GAP=90°-75°=15°，∴∠CGB=∠AGP=90°-∠GAP=90°-15°=75°，∴∠DAP=∠CGB，故④正确，符合题意.
故正确的结论为①②④.
【分析】由等边三角形和等腰直角三角形的性质，可以找到相等的线段，相等的角，再利用全等证出其它相等的量，并能结合三角形的内角和定理、余角的性质和特殊角的值求出其它角的大小.
16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝　 　．
【答案】0或或．
【解析】【解答】解：由题意得：，
即，
解此不等式组，解集为，
为非负整数，即x非负数
，
对不等式变换得：，
为非负整数，
或或，
分别求解得或或，
故答案为：0或或．
【分析】由的定义可得到一个关于的一元一次不等式组，解此不等式组、并对解集进行变换得，在根据x为非负整数，即可列出相关等式，即或或，分别进行求解即可．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①，②中，不等式组的关联方程是　 　（填序号）；
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程的解是　 　；
（3）若方程与都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．
【答案】（1）②
（2）
（3）解：解不等式组得．
∵方程与都是关于x的不等式组的关联方程，
∴与都是关于x的不等式组的解，
由题意可得，解得．
∴m的取值范围是．
【解析】【分析】（1）分别解方程和解不等式组，再根据关联方程的定义进行判断即可；
（2）求不等式组的整数解即可；
（3）先求出不等式组得的整数解，可得x=2与x=3都是关于x的不等式组的解，解不等式组进行求解即可．
18．小林同学三次到某超市购买A，B两种商品，其中仅有一次是有打折的．购买数量及消费金额如表所示：
购买A商品的件数 购买B商品的件数 消费金额（元）
第一次 6 3 108
第二次 5 1 84
第三次 7 4 96
（1）直接回答：第　 　次购买有折扣；
（2）求A，B两种商品的原价；
（3）若小林同学再次以原价购买A，B两种商品共10件（每种商品至少买1件），且消费金额不超过90元，求A商品最多可以购买多少件？
【答案】（1）三
（2）设A种商品的原价为x元/件，B种商品的原价为y元/件，依题意，得：
，
解得：．
答：A种商品的原价为16元/件，B种商品的原价为4元/件．
（3）解：设购买A种商品m件，则购买B种商品件，
依题意，得：，
解得：，
又∵m为整数，
∴m的最大值为4．
答：A商品最多可以购买4件．
【解析】【解答】解：（1）由表格中数据可得：第三次购买的A、B商品的件数均大于第一次，但金额小于第一次的金额，故第三次购买有折扣.
故答案为：三.
【分析】（1）观察可得：第三次购买的A、B商品的件数均大于第一次，但金额小于第一次的金额，据此判断；
（2）设A种商品的原价为x元/件，B种商品的原价为y元/件，根据第一次、第二次的金额可得关于x、y的方程组，求解即可；
（3）设购买A种商品m件，则购买B种商品(10-m)件，根据A的原价×件数+B的原价×件数=总费用结合题意可得关于m的不等式，求解即可.
19．如图，已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上的一个动点．
（1）如图，点在线段上，，，则　 　；
（2）如果点运动到，之间时，试探究，，之间的关系，并说明理由；
（3）若点在，两点的外侧运动时（点与点，不重合），，，之间的关系是否发生改变？请说明理由．
【答案】（1）75°
（2）解：如图，点P运动到C、D之间时，．
理由如下：
过点P作，
，
，
，，
；
（3）解：如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，．
理由如下：过点作，
，
，
，，
，
；
如图③，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，．
理由如下：过点作，
，
，
，，
，
∴.
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点P作PE∥l1，
∴∠APE=∠PAC=30°，
∵l1∥l2，PE∥l1，
∴PE∥l2，
∴∠BPE=∠PBD=45°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD=30°+45°=75°，
故答案为：75°；
【分析】（1）过点P作PE∥l1，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得即可得PE∥l2，进而根据二直线平行，内错角相等得∠APE=∠PAC=30°，∠BPE=∠PBD=45°，根据∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD=75°，即∠APB=75°；
（2）过点P作PE∥l1，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得即可得PE∥l2∥l1，进而根据二直线平行，内错角相等得∠APE=∠PAC，∠BPE=∠PBD，根据∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD，可得∠APB=∠PAC+∠PBD；
（3）分类讨论：①如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，如图③，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，根据（1）的方法，过点P作PE∥l1，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得PE∥l2∥l1，由二直线平行，内错角相等得∠APE=∠PAC，∠PBD=∠BPE，图2中，根据∠APB=∠APE-∠BPE，可得∠PBD=∠PAC+∠APB；图3中，根据∠APB=∠BPE-∠APE，可得∠PAC=∠PBD+∠APB．
20．如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）连接交于点G，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长．
【答案】（1）证明： 是的角平分线，
.
，
.
.
为边上的高，
.
.
平分.
（2）证明：过点F作于点M，于点N，
平分，且，，
.
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
（3）解：，
，，
，
为边上的高，
，
，
.
在和中，
.
，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）先根据∠BFE=45°，得出2∠FBA+2∠BAF=90° ，又根据AD是高，可得：∠FBA+∠EBF＋2∠BAF=90°，所以∠EBF=∠FBA，从而得到BF平分∠ABE；
（2）通过证明△ABF≌△CBF，可得AB=CB，根据∠BFE=45°，所以∠AFB=135°，从而得到∠AFB=45°，进一步求的∠AFC=90°；
（3）通过证明 △AFG≌△CFE ，可得AG=EC=4.5，所以可得出BC=BE+CE=7.5，根据AB=BC即可得出AB的长为7.5.
21．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
（1）作边上的高；
（2）过点D作直线的垂线，垂足为E；
（3）点B到直线的距离是线段　 　的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可）
【答案】（1）解：如图，线段即为所求．
（2）解：如图，线段即为所求．
（3）
【解析】【解答】解：（3）点B到直线的距离是线段BD的长；
故答案为：BD.
【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则线段CD即为所求；
（2）过点D作DE⊥CB，垂足为E，则E线段D即为所求；
（3）根据点到直线的距离的定义进行求解即可.
22．某超市销售甲、乙两种型号的电器，其进价分别为180元/台和160元/台，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量（台） 销售收入（元）
甲种型号 乙种型号
第一周 3 2 1120
第二周 4 3 1560
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求甲、乙两种型号电器的销售单价；
（2）若超市准备用不多于6000元的金额再采购这两种型号的电器共35台，求甲种型号的电器最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这35台电器能否实现利润超过1750元的目标？若能，请给出相应的采购方案，并说明在这些采购方案中，哪种采购方案利润最大？若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设甲、乙两种型号电器的销售单价分别为x元/台，y元/台，
依题意得：，
解得：，
答：甲、乙两种型号电器的销售单价分别为240元，200元；
（2）解：设采购甲种型号电器a台，则采购乙种型号电器台．
依题意得：，
解得：．
答：甲种型号的电器最多能采购20台；
（3）解：根据题意得：
，
解得：，
∵．且a应为整数，
∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1750元的目标．
∴，19，20，
当时，利润为（元）；
当时，利润为（元）；
当时，利润为（元）；
∴采购甲种型号电器20台，采购乙种型号电器15台时，利润最大．
【解析】【分析】（1）根据第一周的销售情况列二元一次方程：3x+2y=1120；根据第二周的销售情况列二元一次方程：4x+3y=1560，联立两个方程求解，即可得出答案.
（2）根据 超市准备用不多于6000元的金额再采购这两种型号的电器共35台 列一元一次不等式：180a+160(35-a)≤6000，求解，即可得到答案.
（3）根据题干 在（2）的条件下，超市销售完这35台电器能否实现利润超过1750元的目标 列不等式： ，解出a的范围，再根据a为整数，计算满足条件a的值，得出答案.
23．计算题
（1）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解三元一次方程组．
（3）已知点．若点到轴的距离是到轴距离的2倍，求点的坐标．
【答案】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示：
（2）解：
①+②+③得：，
①×2-②得：，
⑤×9-④得：，解得：，
把代入④得：，解得：，
把，代入①得：，解得：，
∴三元一次方程组的解集为：．
（3）解：∵点到轴的距离是到轴距离的2倍，
∴，
当时，原方程可变为：，解得：（舍去） ；
当时，原方程可变为：，解得：，此时点P坐标为：（1，2）；
当时，原方程可变为：，解得：，此时点P坐标为：（-3，6）；
综上分析可知，点P的坐标为：（1，2）或（-3，6）．
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可；
（2）利用三元一次方程组的解法求解即可；
（3）根据点坐标的定义求解即可。
24．在 中，若最大内角是最小内角的 倍（ 为大于1的整数），则称 为 倍角三角形.例如：在 中， ， ， ，则称 为6倍角三角形.
（1）在 中， ， ，则 为　 　倍角三角形；
（2）若一个等腰三角形是4倍角三角形，求最小内角的度数；
（3）如图，点 在 上， 交 于点 ， ， ， ， .找出图中所有的 倍角三角形，并写出它是几倍角三角形.
【答案】（1）3
（2）解：设最小内角的度数为 ，则最大角为 ，
当最小角是等腰三角形的顶角时，则底角为 ，得：
，解得 ，
当最小角是等腰三角形的顶角时，则底角为 ，得：
，解得 ，
最小内角的度数为20°或30°；
（3）解： ， ，
在 和 中， ，
（ ），
，
， ，
，
，
，
，
为5倍角三角形，
， ，
，
，
为5倍角三角形，
图中的 倍角三角形有 和 ，它们都是5倍角三角形.
【解析】【解答】解：（1）在 中， ， ，
，
，
为3倍角三角形，
故答案为：3；
【分析】（1）利用三角形的内角和定理可求出∠C的度数，再利用90÷30°，利用倍角三角形的定义可证得结论；
（2）利用已知一个等腰三角形是4倍角三角形，由此设最小的内角的度数为x°，可得到最大的内角的度数为4x°，再分情况讨论：当最小角是等腰三角形的顶角时；当最小角是等腰三角形的顶角时；分别利用三角形的内角和定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到最小的内角的度数；
（3）利用已知可证得∠BAE=∠DAF，利用ASA证明△BAE≌△DAF，利用全等三角形的性质，可证得AE=AF；再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠EAF、∠BAD的度数，再求出∠ACB的度数，由此可证得△ABC为5倍角三角形；然后求出∠DCE和∠CED的度数，利用倍角三角形的定义，可证得结论.
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