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湘教版2024—2025学年七年级下册期末模拟质量检测卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在，，，这四个数中，最大的数是(　　)
A． B． C． D．
2．如图，已知，则下列正确的是(　　)
A． B． C． D．
3．某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至多可以答错的试题道数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．以下调查中，适宜全面调查的是（　　）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查市场上粽子的质量
C．调查春节联欢晚会的收视率 D．了解某班学生的身高情况
5．如图，平移到的位置，则下列说法错误的是(　　)
A． B．
C． D．平移距离为线段的长
6．如图所示，下列结论中不正确的是 　　
A． 和 是同位角 B． 和 是同旁内角
C． 和 是同位角 D． 和 是内错角
7．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
8．若关于x的不等式的整数解有且只有4个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（　　）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
10．如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若不等式组 无解，则实数a的取值范围是　 　．
12．如图，在一块长，宽的长方形草地上，修建三条宽均为的长方形小路，则这块草地的绿地面积为　 　．
13．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是　（1） 　．
14．小颖沿着某公园的环形跑道（周长大于 ）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，她从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的里程数数据如图所示，当小颖跑了2圈时，她的运动里程数　 　（填“>” “=”或“<” ）．
15．如图，长方形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且ab，∠1＝50°，则∠2的度数为 　 　．
16．如图，已知直线，被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一个动点（点不在直线，上）．设，，在点的运动过程中，的度数可能是　 　．（结果用含，的式子表示）
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：
（2）解方程组：
（3）解不等式组 并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
18．为了加强学生的法律意识，某学校组织学生听法律讲座，并参加法律知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩进行统计，绘制统计图，请解答下列问题：
成绩情况分组表
等级 成绩
A
B
C
D
E
（1）请补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，A等级的百分比是　 　，B等级的圆心角度数是　 　；
（3）该学校一共有3000名学生，若成绩在80分及以上（包括80分）为优秀，估计成绩优秀的学生有多少名？
19．已知关于x、y的方程组的解满足x≤0，y＜0．
（1）用含m的代数式分别表示x和y；
（2）求m的取值范围；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1？
20．百货商店抓住旅游文化艺术节商机，决定购进甲、乙两种纪念品若购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元：购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元．
（1）购进甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）该商店决定购进甲、乙两种纪念品共100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于6300元，同时又不能超过6430元，则该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件甲种纪念品可获利30元，销售每件乙种纪念品可获利12元，在第（2）问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
21．为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示.经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元.
甲型 乙型
价格（单位：元/台） a b
有效监控半径（单位：米/台） 100 150
（1）求a，b的值；
（2）若购买该批设备的资金不超过7200元，则至少购买甲型设备多少台？
（3）在（2）购买设备资金不超过7200元的条件下，若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案.
22．如图
（1）如图①，它是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开，分成四个全等的小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形.结合图形，直接写出，， 这三个代数式之间的等量关系；
（2）若，，求的值；
（3）若，求的值.
23．为改善河流水质，治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 240 200
（1）求a，b的值；
（2）治污公司经预算购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
24．定义：使方程（组〉与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”．
例：已知方程2x－3＝1与不等式x＋3＞0，当x＝2时，2x－3＝2×2－3＝1，x＋3＝2＋3＝5＞0同时成立，则称“x＝2”是方程2x－3＝1与不等式x＋3＞0的“完美解”．
（1）已知①2x＋1＞3，②3x＋7＜4，③2－x＞2x＋1，则方程2x＋3＝1的解是不等式　 　（填序号）的“完美解”；
（2）若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围；
（3）若（，是整数）是方程组与不等式组的一组“完美解”，求整数a的值．
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湘教版2024—2025学年七年级下册期末模拟质量检测卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在，，，这四个数中，最大的数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】因为，
所以最大的数是．
故答案为：C．
【分析】先估算，再根据正数大于0，负数小于0，求解即可．
2．如图，已知，则下列正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB∥CD、∠2=100°，
∴∠1+∠2=180°，∠3=∠2=100°，∠4=∠2=100°，
则∠1=180°-∠2=80°，
故答案为：D．
【分析】根据两直线平行同位角、内错角相等，同旁内角互补即可求解。
3．某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至多可以答错的试题道数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：设小玉答对了x道题目，则答错或不答的题目一共为（20-x）道，
由题意可得，
，
解得，
小玉至少要答对14道题目，至多答错（道），
故答案为：B.
【分析】设小玉答对了x道题目，则答错或不答的题目一共为(20-x)道，答对题的得分为10x分，答错或不答的得分为-5(20-x)分，然后根据答对的得分+答错的得分>95列出关于x的不等式，求解即可.
4．以下调查中，适宜全面调查的是（　　）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查市场上粽子的质量
C．调查春节联欢晚会的收视率 D．了解某班学生的身高情况
【答案】D
【解析】【解答】解：A．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
B．调查市场上粽子的质量，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
C．调查春节联欢晚会的收视率，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；
D．调查某班学生的身高情况，适合使用全面调查，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用全面调查的定义及特征（对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）逐项分析判断即可.
5．如图，平移到的位置，则下列说法错误的是(　　)
A． B．
C． D．平移距离为线段的长
【答案】D
【解析】【解答】解：由平移的性质知：≌，AD∥BE，BE=AD=CF，且平移的距离为BE的长，
∴ ，AB=DE，
故A、B、C均不符合题意，D不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质求解，再判断即可.
6．如图所示，下列结论中不正确的是 　　
A． 和 是同位角 B． 和 是同旁内角
C． 和 是同位角 D． 和 是内错角
【答案】A
【解析】【解答】A、∠1和∠2是同旁内角，符合题意；
B、∠2和∠3是同旁内角，不符合题意；
C、∠1和∠4是同位角，不符合题意；
D、∠2和∠4是内错角，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义进行解答．
7．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 关于的方程 ，
去分母得：2x-6k=3x-3k+6，
移项并合并同类项得：x=-3k-6，
∵此时关于x的解是非负数，
∴x≥0，即-3k-6≥0，解得k≤-2，
故选：B.
【分析】解含参数k的一元一次方程，即用含k的式子表示x，用解为非负数，建立关于k的不等关系解之即可.
8．若关于x的不等式的整数解有且只有4个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
解得，
即，
根据题意不等式组有且只有4个整数解，
即x的取值为2，3，4，5；
从而m的取值范围为，
故答案为：D．
【分析】先求出不等式组的解为，再根据“不等式组有且只有4个整数解”求出即可。
9．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（　　）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
【答案】B
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
10．如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】【解答】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，
∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）
即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
故答案为：C.
【分析】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情况.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若不等式组 无解，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∵不等式组 无解，
∴ ，解得： ．
故答案为： ．
【分析】先利用不等式组的解法求出不等式组的解集，再根据数轴求解即可。
12．如图，在一块长，宽的长方形草地上，修建三条宽均为的长方形小路，则这块草地的绿地面积为　 　．
【答案】300
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴这块草地的绿地面积为，
故答案为：300．
【分析】利用长方形的面积公式及割补法求出绿地的面积即可.
13．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是　（1） 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得，不等式组可以转化为，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出不等式组，再求解即可.
14．小颖沿着某公园的环形跑道（周长大于 ）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，她从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的里程数数据如图所示，当小颖跑了2圈时，她的运动里程数　 　（填“>” “=”或“<” ）．
【答案】<
【解析】【解答】解：设环形道的周长为x，
因为，由图可知，里程数为时，已超过一圈，
跑了2圈时还没有，
所以，
即当小颖跑了2圈时，她的运动里程数．
故答案为：<．
【分析】设环形道的周长为x，根据题意列出不等式，再求出她的运动里程数．
15．如图，长方形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且ab，∠1＝50°，则∠2的度数为 　 　．
【答案】50°
【解析】【解答】解：作BF∥a，
∴∠3＝∠1＝50°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠4＝40°，
∵BF∥a，a∥b，
∴BF∥b，
∴∠5＝∠4＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠5﹣90°＝50°，
故答案为：50°．
【分析】作BF∥a，由二直线平行，内错角相等，得到∠3＝∠1，利用长方形四个角都是直角得∠ABC＝∠BCD＝90°，由角的构成得到∠4＝40°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得BF∥b，由二直线平行，内错角相等，得到∠5＝∠4，最后根据平角定义即可求解．
16．如图，已知直线，被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一个动点（点不在直线，上）．设，，在点的运动过程中，的度数可能是　 　．（结果用含，的式子表示）
【答案】，或
【解析】【解答】解：①当点P在位于直线AB与CD之间
如图，过点P作MP∥AB
∴∠BGP=∠MPG=α
∵MP∥AB，AB//CD，
∴MP∥CD
∴∠MPH=∠DHP=β
∴∠P=∠MPH+∠MPG=α+β；
②当点P在直线AB的上方时
如图，过点P作PN∥AB
∴∠BGP=∠NPG=α
∵，PN∥AB
∴PN∥CD
∴∠DHP=∠NPH=β
∴∠P=∠NPH-∠NPG=β-α；
③当点P在直线CD的下方时
如图：过点P作PQ∥CD
∴∠DHP=∠HPQ=β
∵AB∥CD，PQ∥CD
∴AB∥PQ
∴∠BGP=∠GPQ=α
∴∠P=∠GPQ-∠HPQ=α-β.
故答案为：，或.
【分析】
根据点P的位置，可以得出三种情况：
①当点P在位于直线AB与CD之间时，过点过点P作MP∥AB，得出：CD∥AB∥PM，根据两直线平行，内错角相等得出：∠BGP=∠MPG=α，∠MPH=∠DHP=β，再根据∠P=∠MPH+∠MPG得出的度数
②当点P在位于直线AB上方时，过点P作PN∥AB，同理得：CD∥AB∥PN，根据两直线平行，内错角相等得出：∠BGP=∠NPG=α，∠DHP=∠NPH=β，再根据∠P=∠NPH-∠NPG得出的度数；
③当点P在直线CD的下方时，过点P作PQ∥CD，同理得出的度数.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：
（2）解方程组：
（3）解不等式组 并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：原式=
；
（2）解：
解：①-②×2得：
，
把代入①得：
∴方程组的解为：；
（3）解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
不等式①和②的解集在同一数轴上表示如下图所示：
∴ 原不等式组的解集是．
【解析】【分析】（1）利用有理数的乘方，算术平方根，绝对值等计算求解即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可；
（3）利用不等式的性质求解集，再将解集在数轴上求解即可。
18．为了加强学生的法律意识，某学校组织学生听法律讲座，并参加法律知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩进行统计，绘制统计图，请解答下列问题：
成绩情况分组表
等级 成绩
A
B
C
D
E
（1）请补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，A等级的百分比是　 　，B等级的圆心角度数是　 　；
（3）该学校一共有3000名学生，若成绩在80分及以上（包括80分）为优秀，估计成绩优秀的学生有多少名？
【答案】（1）解：抽取学生的总人数 （名），等级人数（名），
所以频数分布直方图；
（2）16％；86.4°
（3）解：成绩优秀的学生（名）．
【解析】【解答】解：（2）解：A等级的百分比是 ；
B等级的圆心角度数是；
【分析】A等级的百分比是A等级人数除以总人数；B等级的圆心角度数是B等级的百分比乘以360°即可求得.
19．已知关于x、y的方程组的解满足x≤0，y＜0．
（1）用含m的代数式分别表示x和y；
（2）求m的取值范围；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1？
【答案】（1）解：，
①+②得2x＝2m﹣6，
所以，x＝m﹣3；
①﹣②得2y＝﹣4m﹣8，
所以，y＝﹣2m﹣4，
故含m的代数式分别表示x和y为；
（2）解：∵x≤0，y＜0
∴，
解，得﹣2＜m≤3
（3）解：（2m+1）x＜2m+1，
∵原不等式的解集是x＞1，
∴2m+1＜0，
∴，
又∵﹣2＜m≤3
∴﹣2＜m＜﹣，
∵m为整数，
∴m＝﹣1．
【解析】【分析】（1）由①+②消去y，可求出x的值，再求出y的值.
（2）由x≤0，y＜0可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集.
（3）利用2mx+x＜2m+1的解集为x＞1，可得到2m+1＜0，可求出不等式的解集，再根据（2）中m的取值范围，可确定出m的取值范围，即可求出整数m的值.
20．百货商店抓住旅游文化艺术节商机，决定购进甲、乙两种纪念品若购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元：购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元．
（1）购进甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）该商店决定购进甲、乙两种纪念品共100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于6300元，同时又不能超过6430元，则该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件甲种纪念品可获利30元，销售每件乙种纪念品可获利12元，在第（2）问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设购进甲、乙两种纪念品每件分别需要 x 元和 y 元，
根据题意，得
解得
答：购进甲、乙两种纪念品每件分别需要 80 元和 40 元．
（2）解：设购进甲种纪念品 a 件，则乙种纪念品（ 100－a）件，
根据题意，得
解得
∵a 取正整数，
∴a＝58或59或60．
∴共有三种方案．分别为
方案 1：购进甲种纪念品 58 件，则购进乙种纪念品 42 件；
方案 2：购进甲种纪念品 59 件，则购进乙种纪念品 41 件；
方案 3：购进甲种纪念品 60 件，则购进乙种纪念品 40 件．
（3）解：由（2）得，
∵方案 1： 58×30+42× 12＝2244（元），
方案 2： 59×30+41×12＝2262（元），
方案 3： 60×30+40×12＝2280（元）， 2244＜2262＜2280，
∴方案 3 获利最大，则选择购进甲种纪念品 60 件，购进乙种纪念品 40 件利润最大，
最大利润是 2280 元．
【解析】【分析】(1)设购进甲、乙两种纪念品每件分别需要 x 元和 y 元，根据“ 若购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元 ”，列出二元一次方程组求解即可；
(2)设购进甲种纪念品 a 件，则乙种纪念品（ 100－a）件，根据“ 用于购买这些纪念品的资金不少于6300元，同时又不能超过6430元”，列出一元一次方程组求解，然后在其解集内取整数，即可列出方案；
(3)利用(1)(2)的结果，分别求出各种方案的所得利润，然后比较取最大值，即可解答.
21．为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示.经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元.
甲型 乙型
价格（单位：元/台） a b
有效监控半径（单位：米/台） 100 150
（1）求a，b的值；
（2）若购买该批设备的资金不超过7200元，则至少购买甲型设备多少台？
（3）在（2）购买设备资金不超过7200元的条件下，若要求有效监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案.
【答案】（1）解：根据题意， ，
解得，
（2）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备（15-x）台.
根据题意，得450x+600（15-x）≤7200，
解得x≥12.
答：至少购买甲型设备12台.
（3）解：根据题意，得100x+150（15-x）≥1600.
解得x≤13，
∴12≤x≤13.
∴x的取值为12或13.
共有两种购买方案：
方案一：购买甲型设备12台，乙型设备3台；所需资金为450×12+600×3=7200（元）；
方案二：购买甲型设备13台，乙型设备2台；所需资金为450×13+600×2=7050（元）.
∵7200＞7050，
∴方案二省钱.
答：最省钱的购买方法为购买甲型设备13台，乙型设备2台.
【解析】【分析】（1）根据购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少150元可得b-a=150；根据购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多150元可得3a-2b=150，联立求解即可；
（2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备（15-x）台，根据甲型设备的台数×单价+乙型设备的台数×单价=总价结合资金不超过7200元可得关于x的不等式，求解即可；
（3） 根据甲型设备的有效监控半径×台数+乙型设备的有效监控半径×台数=有效监控半径覆盖范围结合题意可得关于x的不等式，求出x的解集，结合x为正整数可得x的取值，据此可得购买方案，然后根据甲型设备的台数×单价+乙型设备的台数×单价=总价求出各种方案所需的资金，然后进行比较即可判断.
22．如图
（1）如图①，它是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开，分成四个全等的小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形.结合图形，直接写出，， 这三个代数式之间的等量关系；
（2）若，，求的值；
（3）若，求的值.
【答案】（1）解：根据图形可知大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积
即；
（2）解：，，
；
（3）解：
.
【解析】【分析】（1）根据图形可知大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，据此解答；
（2）根据（1）可得(a+b)2=(a-b)2+4ab，将已知条件代入求解即可；
（3）同理可得(a-)2=(a+)2-4a×，然后将已知条件代入计算即可.
23．为改善河流水质，治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 240 200
（1）求a，b的值；
（2）治污公司经预算购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
【答案】（1）解：购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元，
由题意得：，
解得：．
故a的值为12，b的值为10；
（2）解：设购买A型号设备m台，由题意得：，
解得：，
因为m为非负整数，所以．
故共有3种购买方案：
当A型号为0，B型号为10台；
当A型号为1台，B型号为9台；
当A型号为2台，B型号为8台；
（3）解：当时，月污水处理量为：吨吨，不符合题意，应舍去；
当时，月污水处理量为：吨吨，符合条件，
此时买设备所需资金为：万元；
当时，月污水处理量为：吨吨，符合条件，此时买设备所需资金为：万元；
所以，为了节约资金，该公司最省钱的一种购买方案为：购买A型处理机1台，B型处理机9台．
【解析】【分析】（1）购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元， 根据“ 购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万 ”列出方程组并解之即可；
（2） 设购买A型号设备m台，由“ 预算购买污水处理设备的资金不超过105万元 ”可列不等式， 求出m的非负整数解即可；
（3）将（2）中的三种方案所需资金分别求出来，再比较即可.
24．定义：使方程（组〉与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”．
例：已知方程2x－3＝1与不等式x＋3＞0，当x＝2时，2x－3＝2×2－3＝1，x＋3＝2＋3＝5＞0同时成立，则称“x＝2”是方程2x－3＝1与不等式x＋3＞0的“完美解”．
（1）已知①2x＋1＞3，②3x＋7＜4，③2－x＞2x＋1，则方程2x＋3＝1的解是不等式　 　（填序号）的“完美解”；
（2）若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围；
（3）若（，是整数）是方程组与不等式组的一组“完美解”，求整数a的值．
【答案】（1）③
（2）依题意得，即
∴．
解得．
∴．
∴的取值范围为．
（3）∵是方程组的解，
∴
将其代入不等式组得，解得．
∵a为整数，
∴，4，5，6，7．
∵为整数，
∴或7．
【解析】【解答】解：（1）解不等式①2x+1>3， 2x>4，解得：x>2；
解不等式②3x+7<4，3x<-3，解得：x<-1；
解不等式③2-x>2x+1，-3x>-1，解得；
解方程 2x＋3＝1，得x=-1
∵使方程（组〉与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”
∴不等式③符合条件
故本题答案为：③
【分析】（1）解出 2x＋3＝1，x=-1，再分别求出三个不等式的解检验即可；
（2）将代入方程可得，在将代入，即可得到不等式组，求解即可.
（3）分别求出方程组和不等式组的解，a为整数，得，4，5，6，7．代入方程组的解得为整数，或7．
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