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浙教版2024—2025学年七年级下册期末核心考点突破卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列从左到右的变形为因式分解的是(　　)
A． B．
C． D．
2．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则等于(　　)
A． B． C． D．
3．下列事件中，调查方式选择合理的是（　　）
A．为了解某班学生体重情况，选择全面调查
B．为了保证载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用抽样调查
C．为了解某大型食品厂生产的食品的合格率，选择全面调查
D．为了解平谷区洳河的水质情况，选择全面调查
4．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
5．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　）
x的取值 2 a 0
分式的值 无意义 0 1 b
A． B． C． D．
6．已知 是 的解，则a2-b2的值是（　　）
A．-35 B．35 C．12 D．-12
7．为了改善生态环境， 防止水土流失， 某村计划在荒坡上种植 480 森树． 由于青年志愿者的加入， 每日比原计划多种 ，结果提前 4 天完成任务． 设志愿者加入后每天种树 棵， 则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，下列条件中不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图所示，将两个正方形并列放置，其中B、C、E三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上，已知，，则阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
10．将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（　　）
①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，则有．
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，，则　 　．
12．小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息估计纸杯有　 　个．
13．若，，则的值为　 　．
14．某校组织了一次篮球联赛，原计划共有n支球队参加比赛，采用单循环比赛的赛制（任意2支球队之间都要比赛一场）.若赛前有2支球队因故放弃比赛，剩余球队仍进行单循环比赛，则比赛总场数比原计划减少　 　场.
15．已知a+b=3，ab=1，则a2+b2=　 　.
16．某食品加工厂在端午节期间制作红枣粽、腊肉粽、咸蛋粽进行销售，去年端午节期间销售的这三种粽子的数量之比为2∶3∶1，今年端午节期间销售这三种粽子不光保持了去年的销量，而且都还有所增加，其中腊肉粽增加的销量占今年总增加销量的．今年腊肉粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，而红枣粽销售的总数量是咸蛋粽销售的总数量的2倍，则去年咸蛋粽销售的数量与今年咸蛋粽销售的数量之比为　 　．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，表示立方米）
每户每月用水量 自来水销售价格（元） 污水处理价格（元）
不超出部分 1.10
超出不超出的部分 1.10
超出的部分 7.00 1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）．
已知2023年三月份，小红家用水，交水费32.8元，小智家用水，交水费44元．
（1）请你根据以上信息，求表中a，b的值：
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小智家四、五月份共用水，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小智家四、五月份的用水量各是多少？
18．两个边长分别为和的正方形如图放置图，其未叠合部分阴影面积为若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形如图，两个小正方形叠合部分阴影面积为．
（1）用含、的代数式分别表示、．
（2）若，，求的值；
（3）当时，求出图中阴影部分的面积．
19．中国是世界文明发源地之一，是举世闻名的礼仪之邦．一个民族，之所以在世界文明？之林享誉千年，在于它独特而充满魅力的文化．为了弘扬优秀传统文化，某中学举办了传统文化知识大赛（全体同学都参为），其规则是：每位参赛选手回答100道选择题，答对一题得1分，不答或错答得0分，赛后抽取部分参赛选手的答题成绩（单位：分）进行了相关统计，整理并绘制成如下的统计图表：
组别 成绩 频数（人） 百分比
1 30
2 45 15%
3 60
4 40%
5 45 15%
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中　 　，　 　，　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果将其绘制成扇形统计图，请求出参赛成绩不低于90分这组所在扇形圆心角的度数．
20．已知关于x，y的二元一次方程组.
（1）当方程组的解为时，求a的值.
（2）当a＝﹣2时，求方程组的解.
（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值.小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由.
21．如图，将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′.
（1）请画出平移后的图形△A′B′C′；
（2）并写出△A′B′C′各顶点的坐标；
（3）求出△A′B′C′的面积．
22．已知：点O为直线AB上一点，∠1与∠2互余，DO⊥OC，DO平分∠EOB，∠E=100°．
（1）与互余吗？说明理由
（2）求证：
（3）直接写出的度数为　 　．
23．为庆祝六一儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）准备统一购买服装参加演出．下面是某服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1～45套 46～90套 91套及以上
每套服装的价格（元/套） 60 50 40
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付款5000元．
（1）如果甲、乙两校联合购买服装一共需要付款　 　元；
（2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？（列方程组解应用题）
（3）如果甲校有10名同学因故不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案．
24．已知．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点F在内且在之间，平分平分，请猜想与的数量关系并证明；
（3）如图3，点M在上，点N在上，点E是上方一点，点G在之间，连接的延长线平分平分，若，求的度数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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浙教版2024—2025学年七年级下册期末核心考点突破卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列从左到右的变形为因式分解的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、，从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、，从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；
D、，从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解定义，逐项判断即可求解．
2．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】
，
①×2-②，得：x-3y=8k，
∵x-3y=8，
∴8k=8，
解得：k=1。
故答案为：A．
【分析】①×2-②，得：x-3y=8k，结合x-3y=8，建立k的方程，求解即可．
3．下列事件中，调查方式选择合理的是（　　）
A．为了解某班学生体重情况，选择全面调查
B．为了保证载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用抽样调查
C．为了解某大型食品厂生产的食品的合格率，选择全面调查
D．为了解平谷区洳河的水质情况，选择全面调查
【答案】A
【解析】【解答】解：A. 为了解某班学生体重情况，选择全面调查，符合题意；
B. 为了保证载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用全面调查，不符合题意；
C. 为了解某大型食品厂生产的食品的合格率，选择抽样调查，不符合题意；
D. 为了解平谷区洳河的水质情况，选择抽样调查，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据全面调查和抽样调查的适用性逐项分析即可。
4．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【解析】【解答】解：设正方形B的边长为a，其中，
∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1，
∴阴影部分为正方形，且边长为1，
∴图①中大正方形的边长为，
即正方形A的边长为，
又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：
∴图②中大正方形的边长为：，
∵图②中阴影部分的面积为7，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴图②中大正方形的边长为：
∴图②中大正方形的面积为15．
故答案为：B．
【分析】设正方形B的边长为a，其中a>0，依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1，则正方形A的边长为a+1，依题意得图②中大正方形的边长为2a+1，则，由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可．
5．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　）
x的取值 2 a 0
分式的值 无意义 0 1 b
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵时，原分式无意义，
∴，解得：，B选项正确，不符合题意；
∴此分式为，
∵当时，原分式值为0，
∴，解得：， A选项正确，不符合题意；
由上分析，原分式为，
当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意；
当时，解得：，
经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意；
故答案为：C．
【分析】先根据已知条件分别确定m和n的值，然后确定出分式，最后根据x=a时，原分式值为1，通过解分式方程确定a，即可得出结论．
6．已知 是 的解，则a2-b2的值是（　　）
A．-35 B．35 C．12 D．-12
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 是 的解，代入，
∴ ，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=35.
故答案为：B.
【分析】将x=1，y=-1的值代入方程组求出a、b的值，再代入计算即可。
7．为了改善生态环境， 防止水土流失， 某村计划在荒坡上种植 480 森树． 由于青年志愿者的加入， 每日比原计划多种 ，结果提前 4 天完成任务． 设志愿者加入后每天种树 棵， 则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，得
，
故答案为：D.
【分析】根据结果提前4天完成任务，列分式方程即可.
8．如图，下列条件中不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠2+∠5=180°，∴∠3=∠5，∵∠3与∠5同旁内角，只有它们互补的时候，才能判断直线平行，故此选项不能判断AB∥CD，符合题意；
B、∵∠3=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故本选项能判断直线AB∥CD，不符合题意；
C、∵∠3+∠5，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故本选项能判断直线AB∥CD，不符合题意；
D、∵∠2=∠3，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故本选项能判断直线AB∥CD，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行，据此一一判断得出答案.
9．如图所示，将两个正方形并列放置，其中B、C、E三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上，已知，，则阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，
，，
，，
∴阴影部分的面积等于，
∴，
，
故答案为：C．
【分析】先得出，，再利用几何图形得到阴影部分的面积等于，列出算式，利用完全平方公式变形后求解．
10．将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（　　）
①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，则有．
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠CAB＋∠DAE=180°，
∴∠1+∠2+∠2+∠3=180°，即∠1+2∠2+∠3=180°，故①正确；
∵BC∥DA，
∴∠3=∠B=45°，
∴∠2=90°-∠3=45°，故②正确；
∵∠3=60°，
∴∠2=90°-60°=30°，∠1=90°-∠2=60°，
∴∠E=∠1，
∴AC∥DE，故③正确；
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴AD∥BC，
∴∠4=∠D=30°，故④错误.
故答案为：D.
【分析】根据三角板中的角度进行计算即可得∠CAB＋∠DAE=180°即可判断①；根据平行线得性质可得∠3=∠B，可得∠2=90°-∠3=45°，即可判断② ；根据∠3=60°，可得∠1=60°，进而根据内错角相等即可判断③ ；根据题意可得∠3=45°，进而可得AD∥BC，则∠4=30°，即可判断④ .
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，，则　 　．
【答案】27
【解析】【解答】解：，，，
，
故答案为：27．
【分析】由完全平方公式可将所求代数式变形得a2+b2=(a+b)2-2ab，然后整体代换计算即可求解.
12．小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息估计纸杯有　 　个．
【答案】50
【解析】【解答】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，由题意得，
解得，
∴设个纸杯叠放在一起的高度为，
则，解得：，
故答案为：
【分析】设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，进而根据题意即可列出二元一次方程组，从而即可得到x和y的值，再结合题意即可得到，从而得到n.
13．若，，则的值为　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：1．
【分析】先利用幂的乘方计算法则求出，再求得，然后把所求式子通分后整体代入求值．
14．某校组织了一次篮球联赛，原计划共有n支球队参加比赛，采用单循环比赛的赛制（任意2支球队之间都要比赛一场）.若赛前有2支球队因故放弃比赛，剩余球队仍进行单循环比赛，则比赛总场数比原计划减少　 　场.
【答案】
【解析】【解答】解：n支球队进行的场次为，
（n-2）支球进行的场次为，
则比赛总场数比原计划减少.
故答案为：2n-3.
【分析】先分别求出n支球队进行的场次和（n-2）支球队进行的场次，再进行整式的运算即可求解.
15．已知a+b=3，ab=1，则a2+b2=　 　.
【答案】7
【解析】【解答】解：
故答案为：7.
【分析】根据完全平方公式将待求式子变形为（a+b）2-2ab，进而整体代入计算即可.
16．某食品加工厂在端午节期间制作红枣粽、腊肉粽、咸蛋粽进行销售，去年端午节期间销售的这三种粽子的数量之比为2∶3∶1，今年端午节期间销售这三种粽子不光保持了去年的销量，而且都还有所增加，其中腊肉粽增加的销量占今年总增加销量的．今年腊肉粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，而红枣粽销售的总数量是咸蛋粽销售的总数量的2倍，则去年咸蛋粽销售的数量与今年咸蛋粽销售的数量之比为　 　．
【答案】2∶3
【解析】【解答】解：设去年端午节期间销售的红枣粽、腊肉粽、咸蛋的数量分别为2a，3a和a只，今年三种粽子销售总数量为x只，
∵今年腊肉粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，而红枣粽销售的总数量是咸蛋粽销售的总数量的2倍，
∴，
，
∴今年红枣粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，今年咸蛋粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，
∵腊肉粽增加的销量占今年总增加量的，
∴
解得，，
∴去年咸蛋粽销售的数量与今年咸蛋粽销售的数量之比为：
，
故答案为：2∶3．
【分析】设去年端午节期间销售的红枣粽、腊肉粽、咸蛋的数量分别为2a，3a和a只，今年三种粽子销售总数量为x只，根据“今年腊肉粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，而红枣粽销售的总数量是咸蛋粽销售的总数量的2倍”求出今年红枣粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，今年咸蛋粽销售的数量占三种粽子销售总数量的；再根据腊肉粽增加的销量占今年总增加量的，列出关于x和a的方程，可求出去年咸蛋粽销售的数量与今年咸蛋粽销售的数量之比.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，表示立方米）
每户每月用水量 自来水销售价格（元） 污水处理价格（元）
不超出部分 1.10
超出不超出的部分 1.10
超出的部分 7.00 1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）．
已知2023年三月份，小红家用水，交水费32.8元，小智家用水，交水费44元．
（1）请你根据以上信息，求表中a，b的值：
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小智家四、五月份共用水，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小智家四、五月份的用水量各是多少？
【答案】（1）解：由题意得，，
解得；
答：a，b的值分别为2.5和4.5；
（2）解：（元）
答：小红家七月份预计应缴水费84.5元．
（3）解：设小智家四月份的用水量为，则五月份的用水量为，
，
，即四月份的用水量低于．
①当时，缴费总量为：，
解得不合题意，舍去；
②当时，缴费总量为：
，
解得，此时，符合题意；
答：小智家四月份的用水量为，五月份的用水量为．
【解析】【分析】（1）利用表格中数据，根据： 2023年三月份，小红家用水，交水费32.8元，小智家用水，交水费44元． 列出二元一次方程组，解之即可；
（2）对照阶梯收费价格先列式，再计算即可；
（3）设小智家四月份的用水量为，则五月份的用水量为，利用“ 四月份的用水量低于五月份的用水量 ”可求出x＜10，分两种情况：①当时②当时，根据四五月共 缴水费89元 ，分别列出方程并解之即可.
18．两个边长分别为和的正方形如图放置图，其未叠合部分阴影面积为若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形如图，两个小正方形叠合部分阴影面积为．
（1）用含、的代数式分别表示、．
（2）若，，求的值；
（3）当时，求出图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：由图可得，，．
（2）解：，
的值为．
（3）解：由图可得：
图中阴影部分的面积为．
【解析】【分析】（1）观察两个图形，利用正方形和矩形的面积公式，可分别表示出S1和S2.
（2）将S1和S2代入可转化为S1+S2=（a+b）2-3ab，然后整体代入求值即可.
（3）利用图3，可知，再根据S1+S2=a2+b2-ab=30，整体代入可求出S3的值.
19．中国是世界文明发源地之一，是举世闻名的礼仪之邦．一个民族，之所以在世界文明？之林享誉千年，在于它独特而充满魅力的文化．为了弘扬优秀传统文化，某中学举办了传统文化知识大赛（全体同学都参为），其规则是：每位参赛选手回答100道选择题，答对一题得1分，不答或错答得0分，赛后抽取部分参赛选手的答题成绩（单位：分）进行了相关统计，整理并绘制成如下的统计图表：
组别 成绩 频数（人） 百分比
1 30
2 45 15%
3 60
4 40%
5 45 15%
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中　 　，　 　，　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果将其绘制成扇形统计图，请求出参赛成绩不低于90分这组所在扇形圆心角的度数．
【答案】（1）120；10%；20%
（2）解：补全的频数分布直方图如下图所示：
（3）参赛成绩不低于90分这组所在扇形圆心角的度数为360°×15%=54°.
【解析】【解答】（1）调查总人数=45÷15%=300（人），
∴m=300×40%=120人，a=30÷300×100%=10%，b=60÷300×100%=20%；
故答案为：120，10%，20%；
【分析】（1）利用第二组的频数除以其百分比，即得调查总人数，由m=调查总人数×第4组百分比，a=第一组频数÷调查总人数×100%，b=第三组频数÷调查总人数×100%，分别计算即可；
（2）利用（1）结论直接补图即可；
（3）利用360°乘以第5小组的百分比即得结论.
20．已知关于x，y的二元一次方程组.
（1）当方程组的解为时，求a的值.
（2）当a＝﹣2时，求方程组的解.
（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值.小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由.
【答案】（1）解：将代入中得：；
（2）解：当a＝﹣2时，方程组为，
得：，解得：，
∴，
∴方程组的解为；
（3）解：小冉提出的解法不对，
∵不是方程的解，
∴不是该方程组的解，则不一定是方程x+2y＝a的解，因此不能代入求解；
【解析】【分析】（1）将x=1、y=1代入x+2y=a中进行计算可得a的值；
（2）将a=-2代入方程组中，然后利用第一个方程加上第二个方程的2倍可得x的值，将x的值代入第二个方程中求出y的值，据此可得方程组的解；
（3）根据方程组的解满足每一个方程进行判断.
21．如图，将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′.
（1）请画出平移后的图形△A′B′C′；
（2）并写出△A′B′C′各顶点的坐标；
（3）求出△A′B′C′的面积．
【答案】（1）解：如图，△A′B′C′即为所求；
（2）解：由图可知，A′（4，0），B′（1，3），C′（2，﹣2）；
（3）解：S△A′B′C′=5×3﹣ ×1×5﹣ ×2×2﹣ ×3×3=6．
【解析】【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；（3）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
22．已知：点O为直线AB上一点，∠1与∠2互余，DO⊥OC，DO平分∠EOB，∠E=100°．
（1）与互余吗？说明理由
（2）求证：
（3）直接写出的度数为　 　．
【答案】（1）解：互余 .理由如下：∵，∴，∴＋＝90°，即与互余
（2）证明：∵与互余，与互余∴，∴；
（3）55°
【解析】【解答】解：（3）∵，∴，∵，∴，∵DO平分，∴，∵＋＝90°，∴．故答案为：
【分析】（1）先求出 ， 再求出 ＋＝90°， 最后求解即可；
（2）利用平行线的判定方法证明求解即可；
（3）先求出，再求出，最后计算求解即可。
23．为庆祝六一儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）准备统一购买服装参加演出．下面是某服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1～45套 46～90套 91套及以上
每套服装的价格（元/套） 60 50 40
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付款5000元．
（1）如果甲、乙两校联合购买服装一共需要付款　 　元；
（2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？（列方程组解应用题）
（3）如果甲校有10名同学因故不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案．
【答案】（1）3680
（2）解：∵甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人），
∴46＜甲校需要购买服装的套数＜90，2＜乙校需要购买服装的套数＜46，
设甲校有名学生准备参加演出，乙校有名学生准备参加演出，
根据题意可得：，
解得：．
答：甲校有名学生准备参加演出，乙校有名学生准备参加演出．
（3）解：由题意得，甲乙两校一共能参加的学生为82人，
两校联合购买82套服装需要的费用为：50×82=4100，
两校联合购买91套服装需要的费用为：40×91=3640，
∵3640＜4100．
两校联合购买91套服装最省钱．
【解析】【解答】解：（1）92×40=3680（元），
∴甲、乙两校联合购买服装一共需要付款3680元．
【分析】（1） 甲、乙两校联合购买时，单价为40元/套，根据总付款=购买数量×单价计算即可；
（2）由题意可判断出46＜甲校需要购买服装的套数＜90，2＜乙校需要购买服装的套数＜46，设甲校有名学生准备参加演出，乙校有名学生准备参加演出， 根据总套数及总费用列出方程组，并解之即可；
（3） 由题意得：甲乙两校一共能参加的学生为82人， 分别求出 两校联合购买82套、91套服装需要的费用 ，然后比较即可.
24．已知．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点F在内且在之间，平分平分，请猜想与的数量关系并证明；
（3）如图3，点M在上，点N在上，点E是上方一点，点G在之间，连接的延长线平分平分，若，求的度数．
【答案】（1）解：延长BA交CE于H，则
∵
∴
∴
（2）解：，理由如下：
∵平分平分，
∴
∵
∴
由（1）可得
∴
（3）解：过G作GK∥AB，则GK∥AB∥CD
设，
∵平分平分，
∴
∴
∵GK∥AB∥CD
∴
∴
根据（1）中的结论可得：
∴
∴
∵
∴
解得
∴
【解析】【分析】（1）延长BA交CE于H，则，根据平行线的性质可得，再利用等量代换可得；
（2）根据角平分线的定义可得，再结合可得，从而可得；
（3）过G作GK∥AB，则GK∥AB∥CD，设，求出，结合可得，所以，再将代入可得，求出x的值，即可得到。
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