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浙教版2024—2025学年八年级下册期末名校真题严选卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（　　）
A．2 B． C．3 D．
2．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为(3，2)，OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
3．若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．在四边形中，与互补，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如果一组数据的方差是2，那么一组新数据的方差是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩 及其方差 如表所示．如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（　　）
　 甲 乙 丙 丁
8 9 9 8
1 1 1.2 1.3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．在中，对角线，相交于点，若要使为矩形，可以添加下列哪个条件？（ ）
A． B． C． D．
8．代数式有意义时，x应满足的条件为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，用四张形状大小相同的六边形纸片拼成如图的图案，每个六边形中有四个角相等．拼成的图案的内轮廓是边长为1的正方形，外轮廓是每个内角都相等的八边形，则这个图案外轮廓的周长和阴影部分的面积为（　　）．
A．周长为8，面积为8 B．周长为8，面积为6
C．周长为，面积为8 D．周长为，面积为6
10．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+ 的值最小时，线段PD的长是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为　 　．
12．一个多边形的内角和360°，则这个多边形的边数为　 　．
13．若一组数据2，3，x，5，6的平均数为5，则x＝　 　.
14．计算：　 　．
15．如图，在△ABC中，于点D，E，F分别为AC，BC的中点，，，，则△DEF的周长是　 　．
16．如图，点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D，连结，，，．若四边形的面积为16，则k的值为　 　．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在正方形中，点是边上一点，与相交于点，点是边上一点，连接．
（1）如图，若，求证：；
（2）如图，若，且，求证：；
（3）如图，若，且，求证：．
18．某市为了节约生活用水，计划制定每位居民统一的月用水量标准，然后根据标准，实行分段收费.为此，对居民上年度的月均用水量进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了上年度月均用水量的频数分布直方图（图中分组含最低值，不含最高值），请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次调查的居民人数为　 　人；
（2）本次调查的居民月均用水量的中位数落在频数分布直方图中的第　 　小组内（从左至右数）；
（3）当地政府希望让85%左右居民的月均用水量低于制定的月用水量标准，根据上述调查结果，你认为月用水量标准（取整数）定为多少吨时较为合适？
19．某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示），
（1）分别求出和时的函数关系式，并求出t的值；
（2）两次加热之间，水温保持不低于40℃有多长时间？
（3）开机后50分钟时，求水的温度是多少℃？
20．如图，菱形的一边在x轴的正半轴上，O是坐标原点，B点坐标为，点D是对角线上一点，连结，垂足为E．
（1）求证：；
（2）求菱形的面积；
（3）连接，当时，求点D的坐标．
21．已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）作关于点成中心对称的（点的对应点为，点的对应点为）；
（2）把向右平移3个单位，作出平移后的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）；
（3）轴上存在点，使得的值最小，则点的坐标是　 　
22．如图，直线l：与双曲线交于点，与y轴交于点B．
（1）求k的值；
（2）点（其中）为双曲线上一点，当的面积与的面积相等时，求点P的坐标．
（3）点D在x轴上，点E在双曲线上，且以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标．
23．如图1，将矩形纸片OABC放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为MN，过点作轴的平行线交MN于点，连结BE.
（1）求证：四边形BEDM为菱形；
（2）如图2，当点N与点重合时，求点的坐标；
（3）如图3，在(2)的条件下，点是线段OC上一动点，点是线段OA上一动点，过点的反比例函数的图象与线段AB相交于点，连结PM，PQ，FM，QF，当四边形PMFQ的周长最小时，求点，点的坐标.
24．如图，一次函数的图像与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折，使点与点重合，直线与轴交于点，与交于点，连接．
（1）求的面积；
（2）求的长度；
（3）在轴上方有一点，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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浙教版2024—2025学年八年级下册期末名校真题严选卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】【解答】解∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
故，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程可得x的最高次数是2，且系数不为0，可得，即解答可得答案.
2．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为(3，2)，OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【解析】【解答】解： ∵四边形OABC是矩形，∴OA=BC，AB=OC；BA⊥OA，BC⊥OC，
∵B点坐标为（3，2），
∴OA=BC=3，AB=OC=2，
∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，
∴DE=GF=OA=1.5；EF=DG=AB=1，
∴四边形DEFG的周长为2（1.5+1）=5.
故答案为：D.
【分析】由B点坐标及矩形性质知OA=BC=3，AB=OC=2，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”可求四边形DEFG的各边长度，从而求周长.
3．若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】
解： 点、、在反比例函数的图象上
∴
∴
故答案为：C.
【分析】本题考查反比例函数的图象性质：当k>0时，在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小。当k<0时，在图象所在的每一个象限内，y随x的增大而增大。此类题目，第一种方法：把坐标代入，求所求的坐标的值，比较大小；第二种方法：根据反比例函数的增减性，k=5＞0，函数在第一、三象限，y随x的增大而减小，则定在第三象限，＜0，，∵2
＜，∴，可得 .第三种方法：画出函数的大致图象，标出已知点的坐标位置，找出要求坐标的位置，大小关系显而易见.
4．在四边形中，与互补，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵与互补，
∴
又∵，∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查了多边形的内角和定理，根据多边形内角和公式求解即可．
5．如果一组数据的方差是2，那么一组新数据的方差是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】【解答】解：
方差公式中，是样本平均值，
数据的平均值是
新数据的平均值就是2，
（2a1-2）2=4（a1-）2
∴新数据方差公式中每一项都是原数据方差公式的4倍
∴新数据方差也是原数据方差的4倍，即42=8
故答案为：C
【分析】根据方差公式可以推导出新旧数据的方差倍数关系。
6．某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩 及其方差 如表所示．如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（　　）
　 甲 乙 丙 丁
8 9 9 8
1 1 1.2 1.3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】【解答】解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定，
因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，选择乙，
故答案为：B．
【分析】从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合两个方面可选出乙．
7．在中，对角线，相交于点，若要使为矩形，可以添加下列哪个条件？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、不能证明为矩形，不符合题意；
B、不能证明为矩形，不符合题意；
C、不能证明为矩形，不符合题意；
D、，则，可得出，可证明为矩形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
8．代数式有意义时，x应满足的条件为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：x-1＞0，
解得：x＞1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零，可求解出x的取值范围.
9．如图，用四张形状大小相同的六边形纸片拼成如图的图案，每个六边形中有四个角相等．拼成的图案的内轮廓是边长为1的正方形，外轮廓是每个内角都相等的八边形，则这个图案外轮廓的周长和阴影部分的面积为（　　）．
A．周长为8，面积为8 B．周长为8，面积为6
C．周长为，面积为8 D．周长为，面积为6
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
图案由四张形状大小相同的六边形纸片拼成，拼成的图案的内轮廓是边长为1的正方形，
，，，，，
，
，
外轮廓是每个内角都相等的八边形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
这个图案外轮廓的周长为，
这个图案外轮廓的面积为，
故答案为：D．
【分析】先证明是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理求出的值，从而求出这个图案外轮廓周长，进而再求出这个图案外轮廓的面积.
10．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+ 的值最小时，线段PD的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过P作PE⊥BC于E，连接AP，
由菱形ABCD，可得AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝∠ADP＝30°，
∴△ABP≌△CBP，BP＝2PE，
∴AP＝CP，
∴PC+ ＝AP+PE，
∵当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，
∴此时，PC+ 的值最小，AP⊥AD，
∵Rt△ABE中，AB＝2，
∴BE＝1，AE＝ ，
∴Rt△BEP中，PE＝ ，
∴AP＝ ，
∵∠ADP＝30°，
∴Rt△ADP中，PD＝2AP＝ ，
故答案为：A．
【分析】先过P作PE⊥BC于E，连接AP，根据△ABP≌△CBP可得AP＝CP，当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，此时，PC+ 的值最小，再根据含30°角的直角三角形的性质进行计算，即可得到线段PD的长．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，记的中点为，连接，
∵分别是边上的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：．
【分析】设BC的中点为G，连接EG，求出EG的长，由AC=BC，BC=2CF，可求CF的长，GF的长，利用角的和差关系可证，由勾股定理得计算求解即可．
12．一个多边形的内角和360°，则这个多边形的边数为　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为，根据题意，
可得 ，
解得 ，
所以，这个多边形的边数是4．
故答案为：4．
【分析】根据多边形内角和公式求解即可．
13．若一组数据2，3，x，5，6的平均数为5，则x＝　 　.
【答案】9
【解析】【解答】解：∵数据2，3，x，5，6的平均数为5，
∴＝5，
解得x＝9，
故答案为：9.
【分析】根据数据之和÷数据的个数=平均数进行计算.
14．计算：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：.
【分析】本题考平方差公式、积的乘方；先利用积的乘方得到，再利用平方差公式求解.
15．如图，在△ABC中，于点D，E，F分别为AC，BC的中点，，，，则△DEF的周长是　 　．
【答案】14.5
【解析】【解答】解：∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF为△ABC中位线，
∴，
∵CD⊥AB于点D，F为BC的中点，
∴，
∴△DEF的周长为：DF+DE+EF=4+4.5+6=14.5.
故答案为：14.5.
【分析】本题考查三角形中位线、直角三角形斜边中线等于斜边的一半等性质；先运用三角形中位线性质求得EF，再运用直角三角形斜边中线与斜边关系求得DF，则三角形DEF周长可求.
16．如图，点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D，连结，，，．若四边形的面积为16，则k的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过作轴于，过作轴于，
∵点，为反比例函数的图象第一象限上的两点，连结，并延长，分别交反比例函数的图象于点C，D，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形的面积为16，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴AH=b，OH=a，BG=3b，OG=a，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：3.
【分析】过B作BG⊥x轴于G，过A作AH⊥x轴于H，由反比例函数的对称性得OA=OC，OB=OD，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，则，由反比例函数k的几何意义得S△BOG=S△AOH=k，利用那个割补法及等量替换可推出，根据直角梯形面积计算公式建立方程求出ab=3，最后结合反比例函数图象上点的坐标特点可求出k的值.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在正方形中，点是边上一点，与相交于点，点是边上一点，连接．
（1）如图，若，求证：；
（2）如图，若，且，求证：；
（3）如图，若，且，求证：．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
∴．
（2）证明：如图，连接，过点作交于点，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
∵，，
∴，
，，
，
即；
，
，
又，
，
（3）证明：如图，过点作于点，连接，
设正方形的边长为，，则，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，，
，
∴，
，
，
，
，
解得，
即，
．
【解析】【分析】(1)先利用正方形的性质得到是等腰直角三角形得到，进而证得.
(2)先利用正方形的性质通过SAS判定得到，再通过平行线的性质证得，然后由等腰三角形的性质和外角和定理得到.
(3)设正方形的边长为，，则，先利用角平分线的定义通过AAS判定得到，再通过HL判定得到，然后利用直角三角形的性质通过勾股定理求得，进而证得．
18．某市为了节约生活用水，计划制定每位居民统一的月用水量标准，然后根据标准，实行分段收费.为此，对居民上年度的月均用水量进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了上年度月均用水量的频数分布直方图（图中分组含最低值，不含最高值），请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次调查的居民人数为　 　人；
（2）本次调查的居民月均用水量的中位数落在频数分布直方图中的第　 　小组内（从左至右数）；
（3）当地政府希望让85%左右居民的月均用水量低于制定的月用水量标准，根据上述调查结果，你认为月用水量标准（取整数）定为多少吨时较为合适？
【答案】（1）100
（2）5
（3）解：100×85%=85，由直方图得，86位居民的月均用水量低于制定的月用水量标准，则居民用水量标准为3吨较为合适.
【解析】【解答】（1）4+8+15+22+25+12+8+4+2=100（人）；
故填100.（2）第50位和第51位的平均数是中位数，这两位都落在第5小组；
故填5.
【分析】（1）所有人数之和；（2）把居民月均用水量从小到大排列，中间两个数的平均数是中位数，再看在哪一小组内；（3）85%左右居民的人数为85位，前6组有86位居民，则把居民用水量标准为3吨较为合适.
19．某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示），
（1）分别求出和时的函数关系式，并求出t的值；
（2）两次加热之间，水温保持不低于40℃有多长时间？
（3）开机后50分钟时，求水的温度是多少℃？
【答案】（1）解：当时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：，
依据题意，得，解得，
故此函数解析式为：；
当时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：
依据题意，得：，即，故，
当时，，解得：
（2）解：当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
则两次加热之间，水温保持不低于40℃的时间为（分）
（3）解：∵，
∴当时，，
答：开机后50分钟时，水的温度是80℃.
【解析】【分析】（1）根据图像性质可得出，函数为一次函数；为反比例函数，再根据待定系数法即可求出答案。
（2）根据题意，当y=40时，可得两x值即可求出答案，
（3）根据题意列式即可求出答案。
20．如图，菱形的一边在x轴的正半轴上，O是坐标原点，B点坐标为，点D是对角线上一点，连结，垂足为E．
（1）求证：；
（2）求菱形的面积；
（3）连接，当时，求点D的坐标．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
；
（2）解：如图设x轴上的8的点为M
四边形是菱形，B点坐标为，
，，，
设，则，
在中，，即，
解得：即，
菱形OABC的面积：；
（3）解：设直线的函数解析式：，
将B代入，得，则，
则直线的函数解析式：，
因为四边形是菱形，
，
又，
，
，
设点，
，
解得，
．
【解析】【分析】（1）通过证明 △ABD≌△CBD ，可得出DA=DC；
（2）设菱形的边长为x，则CM=8-x， 在中 ，根据勾股定理，即可求得x=5，即菱形的边长5，根据B（8，4）可知高为4，根据菱形的面积等于底×高，即可求得结果；
（3）先根据B的坐标确定直线OB的解析式为y=，因为D在直线OB上，所以可设D（2a，a），根据，可求得a的值，即可得出点D的坐标。
21．已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）作关于点成中心对称的（点的对应点为，点的对应点为）；
（2）把向右平移3个单位，作出平移后的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）；
（3）轴上存在点，使得的值最小，则点的坐标是　 　
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）
【解析】【解答】解：(3)如图，
由题意可得，，
作点关于轴的对称点，连接，
，
，
要使的值最小，则点三点在同一直线上，
与轴的交点即为点，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
故答案为：.
【分析】(1)先利用中心对称的性质找到点A、C关于点B的对称点A1、C1，再连接点B、A1、C1得到.
(2)利用平移的性质得到点A2、B2、C2，再连接点A2、B2、C2得到.
(3)本题考查的是利用将军饮马模型求线段和的最小值.先作点关于轴的对称点，由轴对称的性质可得，所以要使的值最小，则点三点在同一直线上，再利用待定系数法求得直线的解析式，进而得到点的坐标.
22．如图，直线l：与双曲线交于点，与y轴交于点B．
（1）求k的值；
（2）点（其中）为双曲线上一点，当的面积与的面积相等时，求点P的坐标．
（3）点D在x轴上，点E在双曲线上，且以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标．
【答案】（1）解：将代入得，
，
∴，
将代入得，
解得；
（2）解：如图所示．
∵的面积与的面积相等
∴
∴所在直线的表达式为
∴将与联立得，
∴，整理得
∴解得
∵点P的横坐标
∴，
∴将代入得，
∴点P的坐标；
（3）解：由（2）得，，，
设，，
如图所示，当是平行四边形的边时，
∴根据平行四边形的性质可得，
，解得
∴；
如图所示，当是平行四边形的边时，
∴根据平行四边形的性质可得，
，解得
∴；
如图所示，当是平行四边形的对角线时，
∴根据平行四边形的性质可得，
，解得
∴．
综上所述，点E的坐标或或．
【解析】【分析】 (1)、将代入得， 求出t， 将代入得，，求出k.
(2)、的面积与的面积相等，得出， 所在直线的表达式为 ， 将与联立得， 求出坐标.
(3)、由（2）得，，，设，， 分情况讨论，当是平行四边形的边时，当是平行四边形的边时，当是平行四边形的对角线时， 求出点E的坐标 .
23．如图1，将矩形纸片OABC放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为MN，过点作轴的平行线交MN于点，连结BE.
（1）求证：四边形BEDM为菱形；
（2）如图2，当点N与点重合时，求点的坐标；
（3）如图3，在(2)的条件下，点是线段OC上一动点，点是线段OA上一动点，过点的反比例函数的图象与线段AB相交于点，连结PM，PQ，FM，QF，当四边形PMFQ的周长最小时，求点，点的坐标.
【答案】（1）∵四边形OABC是矩形，且轴
折叠纸片使点落在轴上点处，折痕为MN
四边形BEDM是平行四边形
又
BEDM为菱形.
（2）点与点重合
设，则，
在Rt中，
即，
解得，
点的坐标为；
（3）由(2)得坐标为，设点坐标为，
点M，F都在反比例函数的图象上，
即：，
解得，
坐标为，
作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点
则，连结，
四边形PMFQ的周长
当'四点共线时四边形PMFQ的周长最小，
设直线的解析式为，把，代入，得
，解得
直线'的解析式为：，
令，即，得，
点的坐标为，点的坐标为.
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得DE∥BM，根据平行线的性质得∠BMN=∠DEM，由折叠的性质可得∠BME=∠DME，BM=DM，结合已知和等腰三角形的性质可得DE=BM，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEDM是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可求解；
（2）在Rt△AOD中，用勾股定理求出OD的值，由线段的构成CD=OC-OD求出CD的值，设ED=x，在Rt△CMD中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，则可得点E的坐标；
（3）由题意易得点F的坐标，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连结，由四边形PMFQ的周长的构成和两点之间线段最短可知：当'四点共线时四边形PMFQ的周长最小，设直线的解析式为，把M、F的坐标代入直线的解析式可得关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，则可得直线的解析式；令y=0可得关于x的方程，解方程即可求解.
24．如图，一次函数的图像与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折，使点与点重合，直线与轴交于点，与交于点，连接．
（1）求的面积；
（2）求的长度；
（3）在轴上方有一点，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：一次函数的解析式为与轴和轴分别交于点和点
令，得，解，
令，得，．∴．
（2）解：设，则AC=8-x沿直线对折，点与点重合，
∴BC=AC=8-x在中，，
∴，解得∴．
（3）解：设P（a，b）a＞0，∵∴C（3，0）
①当以AB为对角线时∵C（3，0），A（8，0）
∴A点相当于C点向右平移了5个单位∴点P相当于点B向右平移了5个单位
∵B（0，4）
∴P（5，4）
②以AC为对角线，点P在第四象限，不符合题意舍弃；
③当以BC为对角线时
∵C（3，0），A（8，0）
∴C点相当于A点向左平移了5个单位∴P点相当于点B向左平移了5个单位
∵B（0，4）∴P（-5，4） ．
综上，P点坐标为（5，4）或（-5，4）．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）利用勾股定理计算求解即可；
（3）分类讨论，利用平行四边形的性质求解即可。
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