资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【综合题强化训练·50道必刷题】北师大版八年级下册期末数学卷
1．《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．
2．为了奖励在区模考试中进步的同学，老师将购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买一支钢笔需要5元，购买一个圆规需要10元．若购买圆规的数量比购买钢笔的数量的一半还少1个，要求购买奖品的总价不超过305元，则最多可以购买多少支钢笔？
3．湖头米粉和官桥豆干是安溪的两大特产．已知一箱湖头米粉比一箱官桥豆干的价格高10元，且用200元购买湖头米粉的箱数和用160 元购买官桥豆干的箱数相等．求湖头米粉、官桥豆干每箱各多少元
4．如图，在四边形 中， ， ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作筝形.
（1）请你写出筝形 对角线或角的一个性质，并证明.
（2）如图， 是 的角平分线， ， ，垂足分别为 ， .请判断四边形 是否为筝形，证明你的结论.
5．根据以下素材，探索完成任务，
如何确定木板分配方案？
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，．
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子．
素材3 义卖时的售价如标签所示：无盖收纳盒20元/个；有盖收纳盒30元/个．
问题解决
任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润．
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，连接AD、BD，将△BAD绕点A按逆时针方向旋转到△CAE的位置，连接DE．
（1）若AD＝1，求DE的长；
（2）连接CD，若F、G、H分别为BC、CD、DE的中点，连接GF、GH，求证：GH＝GF．
7．新年将至，某超市为开展新年大促活动准备购进、两种类型的新年大礼包，已知每件型大礼包比每件型大礼包的进价多元，且用元购进的型大礼包数量是用元购进的型大礼包数量的．
（1），两种型号的大礼包进价分别为多少元？
（2）该超市分别以元和元的单价销售、两种型号的大礼包，在型大礼包售出，型大礼包售出一半后，超市决定加大销售力度，对型大礼包每件降价销售，型大礼包在每件加价元后，再按买件型大礼包送件型大礼包进行捆绑销售（即每件捆绑在一起销售，只付件的费用），若两种型号的大礼包全部售完后，该超市的总利润不低于元，求的最大值．
8．如图，在△ABC中，D、E为BC上的点，AD平分∠BAE，CA=CD.
（1）求证：∠CAE＝∠B；
（2）若∠B＝50°，∠C＝3∠DAB，求∠C的大小.
9．基本运算
（1）解二元一次方程组．
（2）
（3）解不等式组
请结合题意，完成本题的解答
①解不等式①，得　 　；
②解不等式②，得　 　；
③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．
10．某中学准备购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，已知篮球的单价比足球单价的2倍少40元，用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍．
（1）求足球和篮球的单价；
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过17500元，学校需要最少购买多少个足球？
11．如图，△ABC中，AB＝6cm，AC＝4 cm，BC＝2 cm，点P以1cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止，运动时间为ts，点Q是线段BP的中点.
（1）若CP⊥AB时，求t的值；
（2）若△BCQ是直角三角形时，求t的值；
12．某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
（1）两种棋的单价分别是多少？
（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
13．解下列不等式：
（1） ；
（2） ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上任意一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+5，b﹣3）．
（1）直接写出点C1的坐标；
（2）在图中画出△A1B1C1；
（3）求△AOA1的面积．
15．如图， 在直角坐标系中，
（1）请写出 各顶点的坐标
（2）若把向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到 ，请在图上画出，并写出 的坐标；
（3）求出 的面积
16．已知：直线 与 轴、 轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上，将 沿 折叠后，点 恰好落在AB边上点D处，如图.
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求AC的长；
（3）点P为平面内一动点，且满足以 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出一个符合要求的 点坐标.
17．
（1）计算：
（2）解不等式：，并在数轴上将解集表示出来．
18．近期，全国文化和旅游呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年五一期间苏州旅游同比增长接近，世界文化遗产拙政园是热门的旅游目的地之一，某专卖店积极为五一黄金周作宣传与备货工作，已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多4元，用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同，专卖店将每个甲种纪念品售价定为13元，每个乙种纪念品的售价定为8元．
（1）每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少元？
（2）根据市场调查，专卖店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种纪念品共400个，假设这400个纪念品能够全部卖出，求该专卖店获得销售利润最大的进货方案．
19．已知关于的方程组（为常数）
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围．
20．2020年春节前夕，突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情造成口罩紧缺，为满足社会需求，某工厂现需购买一批材料，用于生产甲、乙两种型号的口罩，已知生产乙型口罩所需的材料费比生产甲型口罩所需的材料费每件多100元，且生产甲型口罩40件和生产乙型口罩30件需购买材料的费用相同.
（1）求生产甲、乙两种型号口罩所需的材料费每件各多少元？
（2）若工厂购买这批材料的资金不超过135000元，且需生产两种口罩共400件，求至少能生产甲种口罩多少件？
21．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将沿BE折叠后得到，且G点在矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点F，连接EF．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
22．总书记曾指出“保护生态环境就是保护生产力，改善生态环境就是发展生产力”，我市自践行科学生态观以来，全市生态环境持续优化．已知去年我市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到，如果明年（365天）这样的比值要超过，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？
23．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A、C重合，折痕为FG，若AB＝4，BC＝8．
求：
（1）线段BF的长；
（2）判断△AGF形状并证明；
（3）求线段GF的长．
24．早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．
（1）求小明步行速度(单位：米/分)是多少；
（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？
25．“六一”节将至，某校为营造一个优美的花园式学校，后勤处计划购买甲、乙两种花卉．已知购买盆甲花和盆乙花需要花费元，购买盆甲花和盆乙花需要花费元．
（1）求甲、乙两种花每盆分别为多少元？
（2）若购买甲、乙两种花共盆，且要求乙花的盆数不少于甲花盆数的倍，设购买甲花盆，总费用为元，请设计出购买这盆花费用最少的购买方案．
（3）根据经验可知甲、乙两种花的成活率分别为，，而后勤处要求总成活率不小于，在（2）的条件下，要想花费最少，花的成活率能不能满足后勤处的要求？
26．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．
（1）画出将向左平移8个单位长度得到的；
（2）绕点顺时针旋转90°后得到，请在图中标出点，写出点的坐标为　 　；
（3）过点的直线l将四边形分成面积相等的两部分，请在图中画出直线l．
27．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，将△OAB物点O逆时针方向旋转90°得到△OA1B1．
（1）求∠AOB1的度数；
（2）连结AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．
28．已知 在平面直角坐标系内的位置如图， ， ， 、 的长满足关系式 .
（1）求 、 的长；
（2）求点 的坐标；
（3）在 轴上是否存在点 ，使 是以 为腰的等腰三角形.若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由.
29．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求DC的长；
（2）求AB的长；
（3）求∠ACB的度数．
30．小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地机会自动根据设定扫地时间，来确定扫地的速度(以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完)，如图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图象(线段AB)，其中设定扫地时间为x分钟，扫地速度为y平方分米/分钟．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务，他应该设定的扫地时间为多少分钟？
31．如图，已知，点E是直线之间的任意一点．锐角和钝角的平分线所在直线相交于点F，与交于点N．
（1）当和时，求的度数；
（2）若，求的度数（用含的代数式表示）．
32．在 中， ， ，在 内有一点 ，连接 ， ，且 ．
（1）如图1，求出 的大小（用含 的式子表示）
（2）如图2， ， ，判断 的形状并加以证明．
33．端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元．
（1）若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格；
（2）在(1)的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
34．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（不需要写画法）．
（1）在图中，画一个正方形，使它的面积是；
（2）在图中，画一个三角形，使它的三边长分别为：、、，并计算边上的高为　 　．（直接写出结果）
35．某商家预测“华为P30”手机能畅销，就用1600元购进一批该型号手机壳，面市后果然供不应求，又购进6000元的同种型号手机壳，第二批所购买手机壳的数量是第一批的3倍，但进货单价比第一批贵了2元．
（1）第一批手机壳的进货单价是多少元？
（2）若两次购进于机壳按同一价格销售，全部传完后，为使得获利不少于2000元，那么销售单价至少为多少？
36．某品牌空调销售公司销售、两种型号的空调．该公司为了提高销售人员的积极性，制定了新的工资方案．方案规定：个人工资基本工资奖励工资．每位销售人员的基本工资是4000元，月销售定额为6万元．在销售定额内，只得基本工资4000元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，如下表：
奖励工资档次 销售额 奖励工资占超过销售定额部分的比例
第一档 超过6万元但不超过8万元的部分
第二档 超过8万元但不超过10万元的部分
第三档 10万元以上的部分
（1）某销售人员希望每个月至少要领取6000元的个人工资，则该销售人员每月的销售额至少为多少元？
（2）该空调销售公司，5月份售出15台型空调和30台型空调，销售额为18万元；6月份以同样的价格售出30台型空调和40台型空调，销售额为30万元.7月销售员小李以同样的价格销售、两种型号的空调共25台，得到的个人工资为8200元．请问7月销售员小李销售、两种型号的空调各多少台？
37．中国是最早发现和利用茶树的国家，被称为茶的祖国，某茶店用9600元购进A种茶叶若干盒，用6720元购进B种茶叶若干盒，所购A种茶叶比B种茶叶多10盒，已知B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.2倍，分别求出A，B两种茶叶的每盒进价．（列分式方程解）
38．如图
（1）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：　 　；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　 　度；
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
39．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点， ．
（1）求证：
（2）线段AF与CE有什么关系 请证明你的结论．
40．如图有一块等腰三角形菜地，其中，点E为的中点．现需要开辟一块三角形的空地用于堆肥，已知．
（1）你能确定的形状吗，请说明理由．
（2）计算阴影部分的面积．
41．
（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD.求证：AD＝BD.
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD.
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值.
42．已知，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BD＝BE，连接CD.
（1）如图1，若∠CAD＝∠CED＝2∠ADC，求证：AD＝DE；
（2）如图2，点F在AD上，连接EF，若∠CAD＝∠AFE，∠CEF＝2∠ADC，求证：AD＝EF.
43．甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
（1）求这种商品的单价；
（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是　 　元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是　 　元/件．
（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同　 　加油更合算（填“金额”或“油量”）．
44．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
45．如图
（1）如图1，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于　 　cm。
（2）如图2，在 ABCD中，若AE，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则ABCD的周长为　 　。
（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线。求证：DF=EC
（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为　 　。
46．已知 ，其顶点 在直线 上从左向右运动，运动速度为每秒 ，同时 又绕顶点 以每秒 的速度顺时针旋转，运动起始位置如图所示，当运动到 再次与直线 垂直时停止运动
若 平分 ，解答如下问题：
（1）当顶点 运动路程为 时， 　 　；
（2）当 时，求顶点 的运动路程.
47．如图1，已知∠AOB=60°，OM平分∠AOB。
（1）∠BOM=　 　；
（2）若在图1画射线OC，设∠BOC=α，ON平分∠BOC，用含α的代数式表示∠MON的大小；
（3）如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB=60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少时间后，∠BOM的度数第一次等于45°。
48．已知△ABC，请按要求完成画图、说明画图过程及画图依据．
（1）以A，B，C为顶点画一个平行四边形；
（2）简要说明画图过程；
（3）所画四边形为平行四边形的依据是　 　
49．平行四边形中，E是边上的动点，过点E作，垂足为点G，F是边的中点，连接．
（1）如图甲，当E是边的中点时，如果四边形的面积为10，求的面积；
（2）如图乙，点E移动至点C处，试判断形状，并说明理由；
（3）如图丙，如果，，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域．
50．如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【综合题强化训练·50道必刷题】北师大版八年级下册期末数学卷
1．《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．
【答案】（1）每头牛值两银子，每只羊值两银子；
（2）有商人种购买方案，①购买头牛，只羊；②购买头牛，只羊；③购买头牛，只羊．
2．为了奖励在区模考试中进步的同学，老师将购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买一支钢笔需要5元，购买一个圆规需要10元．若购买圆规的数量比购买钢笔的数量的一半还少1个，要求购买奖品的总价不超过305元，则最多可以购买多少支钢笔？
【答案】最多可以购买支钢笔
3．湖头米粉和官桥豆干是安溪的两大特产．已知一箱湖头米粉比一箱官桥豆干的价格高10元，且用200元购买湖头米粉的箱数和用160 元购买官桥豆干的箱数相等．求湖头米粉、官桥豆干每箱各多少元
【答案】官桥豆干每箱40元，则湖头米粉每箱50元
4．如图，在四边形 中， ， ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作筝形.
（1）请你写出筝形 对角线或角的一个性质，并证明.
（2）如图， 是 的角平分线， ， ，垂足分别为 ， .请判断四边形 是否为筝形，证明你的结论.
【答案】（1）解：筝形 的性质： ，
如图，连接PN，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
（2）解：四边形 是筝形，
证明：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是筝形.
【解析】【分析】（1）连接PN，易证△PQN≌△PMN，然后根据全等三角形的性质进行解答；
（2）由角平分线的性质可得DE=DF，证明△AED≌△AFD，得到AE=AF，据此判断.
5．根据以下素材，探索完成任务，
如何确定木板分配方案？
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，．
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子．
素材3 义卖时的售价如标签所示：无盖收纳盒20元/个；有盖收纳盒30元/个．
问题解决
任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润．
【答案】任务1：长方体的高度为；任务2：共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒；②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒；③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒；任务3：方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为2350元
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，连接AD、BD，将△BAD绕点A按逆时针方向旋转到△CAE的位置，连接DE．
（1）若AD＝1，求DE的长；
（2）连接CD，若F、G、H分别为BC、CD、DE的中点，连接GF、GH，求证：GH＝GF．
【答案】（1）解：∵△BAD绕点A逆时针旋转到△CAE，
∴△BAD≌△CAE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AD＝AE＝1，
∴ ；
（2）证明：∵△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，
∵F、G、H分别为BC、CD、DE的中点，
∴
∴GH＝GF．
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可证得△BAD≌△CAE，∠BAC＝∠DAE＝90°，即可得到AE的长，然后利用勾股定理求出DE的长.
（2）利用全等三角形的对应边相等，可证得BD＝CE，利用三角形的中位线定理可证得结论.
7．新年将至，某超市为开展新年大促活动准备购进、两种类型的新年大礼包，已知每件型大礼包比每件型大礼包的进价多元，且用元购进的型大礼包数量是用元购进的型大礼包数量的．
（1），两种型号的大礼包进价分别为多少元？
（2）该超市分别以元和元的单价销售、两种型号的大礼包，在型大礼包售出，型大礼包售出一半后，超市决定加大销售力度，对型大礼包每件降价销售，型大礼包在每件加价元后，再按买件型大礼包送件型大礼包进行捆绑销售（即每件捆绑在一起销售，只付件的费用），若两种型号的大礼包全部售完后，该超市的总利润不低于元，求的最大值．
【答案】（1）型大礼包的进价为元，型大礼包的进价为元
（2）
8．如图，在△ABC中，D、E为BC上的点，AD平分∠BAE，CA=CD.
（1）求证：∠CAE＝∠B；
（2）若∠B＝50°，∠C＝3∠DAB，求∠C的大小.
【答案】（1）证明：∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵AD平分∠BAE，
∴∠EAD＝∠BAD，
∵∠B＝∠CDA﹣∠BAD，∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，
∴∠CAE＝∠B
（2）解：设∠DAB＝x，
∵∠C＝∠3∠DAB，
∴∠C＝3x，
∵∠CAE＝∠B，∠B＝50°，
∴∠CAE＝50°，
∵AD平分∠BAE，
∴∠EAB＝2∠DAB＝2x，
∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝50°+2x，
∵∠CAB+∠B+∠C＝180°，
∴50°+2x+50°+3x＝180°，
∴x＝16°，
∴∠C＝3×16°＝48°
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠CDA，根据角平分线的定义得到∠EAD＝∠BAD，于是得到结论；（2）设∠DAB＝x，得到∠C＝3x，根据角平分线的定义得到∠EAB＝2∠DAB＝2x，求得∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝50°+2x，根据三角形的内角和即可得到结论.
9．基本运算
（1）解二元一次方程组．
（2）
（3）解不等式组
请结合题意，完成本题的解答
①解不等式①，得　 　；
②解不等式②，得　 　；
③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．
【答案】（1）解：，
由①得：x=1-2y③，
把③代入②得：2（1-2y）+y=5，
解得：y=-1，
把y=-1代入③得：x=3，
∴原方程组的解是；
（2）解：
；
（3）；故整数解为：0，1，2.
【解析】【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）根据绝对值、立方根、二次根式的乘法先进行计算，再合并即可；
（3）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
10．某中学准备购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动，已知篮球的单价比足球单价的2倍少40元，用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍．
（1）求足球和篮球的单价；
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过17500元，学校需要最少购买多少个足球？
【答案】（1）解：设足球的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：足球的单价是80元，篮球的单价是120元；
（2）解：设购买个足球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为163．
答：最少购买163个足球．
【解析】【分析】（1）设足球的单价是元，再利用“ 用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍 ”列出方程求解即可；
（2）设购买个足球，则购买个篮球，再利用“ 需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过17500元 ”列出不等式求解即可.
11．如图，△ABC中，AB＝6cm，AC＝4 cm，BC＝2 cm，点P以1cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止，运动时间为ts，点Q是线段BP的中点.
（1）若CP⊥AB时，求t的值；
（2）若△BCQ是直角三角形时，求t的值；
【答案】（1）解：如图1中，作CH⊥AB于H.设BH＝x，
∵CH⊥AB，
∴∠CHB＝∠CHA＝90°，
∴AC2﹣AH2＝BC2﹣BH2，
∴（4 ）2﹣（6﹣x）2＝（2 ）2﹣x2，
解得x＝2，
∴当点P与H重合时，CP⊥AB，此时t＝2.
（2）解：由（1）可得：BH=2，CH=4，
∴点P的运动路程为1×t=t，
∴如图2中，当点Q与H重合时，则有BP＝2BQ＝4，此时t＝4；
如图3中，当CP＝CB＝2 时，CQ⊥PB，此时t＝6＋（4 ﹣2 ）＝6＋4 ﹣2 .
综上所述：当t＝4或 ，△BCQ是直角三角形.
【解析】【分析】（1）作CH⊥AB于H，设BH＝x，由勾股定理可得AC2-AH2＝BC2-BH2，据此可求出x的值，当点P与点H重合时，CP⊥AB，此时t=2；
（2）由（1）得：BH=2，CH=4，故点P的运动路程为t，如图2，当点Q与H重合时，则有BP＝2BQ＝4，求出此时t的值；如图3，当CP＝CB=2时，根据等腰三角形的三线合一可得CQ⊥PB，据此计算.
12．某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
（1）两种棋的单价分别是多少？
（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
【答案】（1）五子棋的单价是40元，象棋的单价是元
（2）购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元
13．解下列不等式：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ；
∴不等式的解集为：
（2）解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ．
∴不等式的解集为：
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质和不等式的解法求解即可；
（2）利用不等式的性质和不等式的解法求解即可。
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上任意一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+5，b﹣3）．
（1）直接写出点C1的坐标；
（2）在图中画出△A1B1C1；
（3）求△AOA1的面积．
【答案】（1）解：△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+5，b﹣3），且C（﹣2，0）．
的坐标为：
即的坐标
（2）解：如图，△A1B1C1即为所求．
（3）解：的面积．
【解析】【分析】 (1)、 根据点P的平移规律求出点的坐标即可。
(2)、 利用平移规律求出和的坐标，连接、、即可。
(3)、 利用三角形的面积公式求解即可。
15．如图， 在直角坐标系中，
（1）请写出 各顶点的坐标
（2）若把向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到 ，请在图上画出，并写出 的坐标；
（3）求出 的面积
【答案】（1）解：A（-1，-1），B（4，2），C（1，3）
（2）解：如图所示：A1（2，1），B1（7，4），C1（4，5）；
（3）解： =7.
【解析】【分析】（1）根据网格结构和平面直角直角坐标系各象限点的特点：
第一象限：（＋，＋）； 第二象限：（－，＋） 第三象限：（－，－） 第四象限：（＋，＋）写出各点坐标即可.
（2）根据题目要求先把A点向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到A1，同理得到B1、C1，连接A1、B1、C1各点即可.
16．已知：直线 与 轴、 轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上，将 沿 折叠后，点 恰好落在AB边上点D处，如图.
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求AC的长；
（3）点P为平面内一动点，且满足以 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出一个符合要求的 点坐标.
【答案】（1）对于直线y＝ x+6，令x＝0，得到y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0，得到x＝﹣8，
∴A（﹣8，0）．
（2）∵A（﹣8，0）．B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，∵∠AOB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝10，
由翻折不变性可知，OC＝CD，OB＝BD＝6，∠ODB＝∠BOC＝90°，
∴AD＝AB﹣BD＝4，设CD＝OC＝x，
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴OC＝3，AC＝OA﹣OC＝8﹣3＝5．
（3）符合条件的点P有3个如图所示．
∵A（﹣8，0），C（﹣3，0），B（0，6），
可得P1（﹣5，6），P2（﹣11，﹣6），P3（5，6）．
（只需直接写对一个P点均可给2分）
【解析】【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，即可得到点A以及点B的坐标；
（2）根据题意，由勾股定理计算得到AB的长度，由折叠的性质，在直角三角形ADC中，即可得到OC的长度以及AC的长度；
（3）根据平行四边形的性质，得到点P的坐标即可。
17．
（1）计算：
（2）解不等式：，并在数轴上将解集表示出来．
【答案】（1）解：原式
（2）解： ，
去分母得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
∴不等式的解集为： ，
表示在数轴上为：
【解析】【分析】（1）根据算术平方根的概念、有理数的乘方法则、绝对值的性质可得原式=4+4-1-3，然后根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）根据去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得不等式的解集，然后根据解集的表示方法表示在数轴上即可.
18．近期，全国文化和旅游呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年五一期间苏州旅游同比增长接近，世界文化遗产拙政园是热门的旅游目的地之一，某专卖店积极为五一黄金周作宣传与备货工作，已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多4元，用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同，专卖店将每个甲种纪念品售价定为13元，每个乙种纪念品的售价定为8元．
（1）每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少元？
（2）根据市场调查，专卖店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种纪念品共400个，假设这400个纪念品能够全部卖出，求该专卖店获得销售利润最大的进货方案．
【答案】（1）每个甲种纪念品的进价为10元，每个乙种纪念品的进价为6元
（2）该专卖店获得销售利润最大的进货方案为购进甲纪念品150个，乙纪念品250个
19．已知关于的方程组（为常数）
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）解：
①+②，得：，故，
又由，则，得．
（2）解：
①-②，得：，
又由，得，
解得
【解析】【分析】（1）观察方程组将两个方程相加可将x+y用含m的代数式表示出来，根据x+y=1可得关于m的方程，解方程可求解；
（2）观察方程组将两个方程相减可将x-y用含m的代数式表示出来，根据已知条件-3≤x-y≤5可得关于m的不等式，解不等式可求解.
20．2020年春节前夕，突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情造成口罩紧缺，为满足社会需求，某工厂现需购买一批材料，用于生产甲、乙两种型号的口罩，已知生产乙型口罩所需的材料费比生产甲型口罩所需的材料费每件多100元，且生产甲型口罩40件和生产乙型口罩30件需购买材料的费用相同.
（1）求生产甲、乙两种型号口罩所需的材料费每件各多少元？
（2）若工厂购买这批材料的资金不超过135000元，且需生产两种口罩共400件，求至少能生产甲种口罩多少件？
【答案】（1）解：设生产每件甲型口罩所需的材料费为x元，则生产每件乙型口罩所需的材料费为（x+100）元，
依题意得：40x＝30（x+100），
解得：x＝300，
∴x+100＝300+100＝400.
答：生产每件甲型口罩所需的材料费为300元，生产每件乙型口罩所需的材料费为400元.
（2）解：设生产甲型口罩m件，则生产乙型口罩（400-m）件，
依题意得：300m+400（400-m）≤135000，
解得：m≥250.
答：至少能生产甲型口罩250件.
【解析】【分析】（1）设生产每件甲型口罩所需的材料费为x元，则生产每件乙型口罩所需的材料费为（x+100）元， 根据“ 生产甲型口罩40件和生产乙型口罩30件需购买材料的费用相同”列出方程并解之即可；
（2）设生产甲型口罩m件，则生产乙型口罩（400-m）件，根据“ 工厂购买这批材料的资金不超过135000元 ”列出不等式并解之即可.
21．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将沿BE折叠后得到，且G点在矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点F，连接EF．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∵E是AD的中点，
∴，
∵将沿BE折叠后得到，
∴，，，
∴，，
∴在和中，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴设，，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用“HL”证明即可；
（2）设，，则，，，再利用勾股定理求出，最后列出算式即可。
22．总书记曾指出“保护生态环境就是保护生产力，改善生态环境就是发展生产力”，我市自践行科学生态观以来，全市生态环境持续优化．已知去年我市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到，如果明年（365天）这样的比值要超过，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？
【答案】37天
23．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A、C重合，折痕为FG，若AB＝4，BC＝8．
求：
（1）线段BF的长；
（2）判断△AGF形状并证明；
（3）求线段GF的长．
【答案】（1）解：∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG，
∴FG是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，
设AF＝FC＝x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
即CF＝5，BF＝8﹣5＝3
（2）解：△AGF是等腰三角形，
理由如下：∵将一张矩形纸片ABCD折叠，
∴∠AFG＝∠CFG，
∵AD∥BC，
∴∠AGF＝∠CFG
∴∠AGF＝∠AFG，
∴AG＝AF，
∴△AGF是等腰三角形
（3）解：∵AB＝4，BC＝8．
∴AC＝ ＝ ＝4 ，
∵将一张矩形纸片ABCD折叠，
∴AC⊥GF，
∵AF＝CF，
∴AO＝CO＝2 ，
∵AF＝AG，AC⊥GF，
∴FO＝GO，
∵FO＝ ＝ ＝ ，
∴GF＝2OF＝2
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质和垂直平分线的性质求出AF=CF，根据勾股定理得出关于CF的方程，求出CF，得出BF，再根据面积公式求出即可；（2）由平行线的性质和折叠的性质可证AF=AG，可得△AGF是等腰三角形；（3）由勾股定理可求AC的长，可求AO的长，由勾股定理可求FO的长，即可得GF的长．
24．早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．
（1）求小明步行速度(单位：米/分)是多少；
（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？
【答案】（1）解：设小明步行的速度是x米/分，由题意得：，解得：x=60，经检验：x=60是原分式方程的解，
答：小明步行的速度是60米/分；
（2）解：小明家与图书馆之间的路程最多是y米，
根据题意可得：，解得：y=600，
答：小明家与图书馆之间的路程最多是600米.
【解析】【分析】（1）设小明步行的速度是x米/分，根据题意列出方程：，再求解即可；
（2）设小明家与图书馆之间的路程最多是y米，根据题意列出方程：，再求解即可。
25．“六一”节将至，某校为营造一个优美的花园式学校，后勤处计划购买甲、乙两种花卉．已知购买盆甲花和盆乙花需要花费元，购买盆甲花和盆乙花需要花费元．
（1）求甲、乙两种花每盆分别为多少元？
（2）若购买甲、乙两种花共盆，且要求乙花的盆数不少于甲花盆数的倍，设购买甲花盆，总费用为元，请设计出购买这盆花费用最少的购买方案．
（3）根据经验可知甲、乙两种花的成活率分别为，，而后勤处要求总成活率不小于，在（2）的条件下，要想花费最少，花的成活率能不能满足后勤处的要求？
【答案】（1）甲种花每盆为元，乙种花每盆为元
（2）购买盆甲花、盆乙花时，费用最少
（3）花的成活率能满足后勤处的要求
26．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．
（1）画出将向左平移8个单位长度得到的；
（2）绕点顺时针旋转90°后得到，请在图中标出点，写出点的坐标为　 　；
（3）过点的直线l将四边形分成面积相等的两部分，请在图中画出直线l．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求．
（2）（﹣2，﹣2）
（3）解：如图，直线l即为所求．
【解析】【解答】（2）解：如图，点A2即为所求．点A2的坐标为（﹣2，﹣2）．故答案为：（﹣2，﹣2）．
【分析】（1）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用旋转的性质找出点A1、B1、C1的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（3）连接B1C和BC1，交点为点P，再连接A2P即可。
27．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，将△OAB物点O逆时针方向旋转90°得到△OA1B1．
（1）求∠AOB1的度数；
（2）连结AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．
【答案】（1）解：∵将△OAB物点O逆时针方向旋转90°得到△OA1B1，
∴∠A1OA=∠B1OB=90°．
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOB1=∠BOB1+∠AOB=90°+45°=135°
（2）解：∵将△OAB物点O逆时针方向旋转90°得到△OA1B1，
∴△OAB≌△OA1B1，∠A1OA=∠B1OB=90°．
∴AB=A1B1，∠OA1B1=∠OAB=90°，
∴∠AOA1=∠OA1B1=90°，
∴OA∥A1B1．
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OA=AB，
∴OA=AB=A1B1，
∴四边形OAA1B1是平行四边形
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到∠A1OA=∠B1OB=90°，再由等腰直角三角形的性质得到∠AOB=45°，根据∠AOB1=∠BOB1+∠AOB即可得到结论；（2）根据旋转的性质得到△OAB≌△OA1B1，∠A1OA=∠B1OB=90°，再根据全等三角形的性质得到AB=A1B1，∠OA1B1=∠OAB=90°，进而可证明OA∥A1B1且相等，即可得出结论．
28．已知 在平面直角坐标系内的位置如图， ， ， 、 的长满足关系式 .
（1）求 、 的长；
（2）求点 的坐标；
（3）在 轴上是否存在点 ，使 是以 为腰的等腰三角形.若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由 .可知，
，
∴
（2）解：作 轴与点D，
（3）解：存在.
当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，则 为等腰三角形，P的坐标为 ；
当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，则 为等腰三角形，P的坐标为 ；
当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP，则 为等腰三角形，
， ；
所以存在，点P 或 或
【解析】【分析】（1）由偶次幂及绝对值的非负性，可求出OA、OC的长；
（2） 作 轴与点D，证明，可得，，从而求得，即得点B坐标；
（3） 存在. 分三种情况：①当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC ，②当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC，③当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP，据此分别求解即可.
29．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求DC的长；
（2）求AB的长；
（3）求∠ACB的度数．
【答案】（1）解：∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2，
∴CD2+92=152，
∴CD=12；
（2）解：在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2，
∴122+AD2=202，
∴AD=16，
∴AB=AD+BD=16+9=25．
（3）解：∵202+152=252，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得CD2+92=152，再求出CD的长即可；
（2）先利用勾股定理求出AD的长，再利用线段的和差求出AB的长即可；
（3）利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，即可得到∠ACB=90°。
30．小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地机会自动根据设定扫地时间，来确定扫地的速度(以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完)，如图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图象(线段AB)，其中设定扫地时间为x分钟，扫地速度为y平方分米/分钟．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务，他应该设定的扫地时间为多少分钟？
【答案】（1）解：设AB的解析式为y＝kx+b，把A(20，500)，B(100，100)代入
得到 ，
解得 ，
∴y＝﹣5x+600
（2）解：设他应该设定的扫地时间为x分钟，180平方米=18000平方分米，
由题意 ，
整理得x2﹣120x+3600＝0，
∴x＝60，
经检验x＝60是分式方程的解．
∴他应该设定的扫地时间为60分钟．
【解析】【分析】(1)设AB的解析式为y＝kx+b，把A(20，500)，B(100，100)代入解方程组即可．(2)设他应该设定的扫地时间为x分钟．由题意 ，解方程即可．
31．如图，已知，点E是直线之间的任意一点．锐角和钝角的平分线所在直线相交于点F，与交于点N．
（1）当和时，求的度数；
（2）若，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）解：如图，过F点作，
∵，
，
∴，
∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
【解析】【分析】(1) 过F点作，根据平行线的传递性得，从而根据平行线的性质得，然后根据角平分线的定义分别求得，，最后求的值即可；
(2) 先根据，得，，再根据角平分线的定义求得，接下来根据，得，最后根据角平分线的定义求得．
（1）解：过F点，
∵，
，
∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵平分，
∴．
32．在 中， ， ，在 内有一点 ，连接 ， ，且 ．
（1）如图1，求出 的大小（用含 的式子表示）
（2）如图2， ， ，判断 的形状并加以证明．
【答案】（1）解： ， ，
，
∴ ，
，
， ，
∴
（2）解： 是等边三角形．理由如下：
连接 ，
， ，
为等边三角形
在 与 中
，
，
，
，
，
在 和 中
，
，
是等边三角形.
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质，得到∠ABC= ，由 ，即可求出 ；（2）连接 ， ，则 为等边三角形，然后得到 ，得到 ， ，从而得到 ，则 ，即可得到 为等边三角形.
33．端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元．
（1）若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格；
（2）在(1)的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
【答案】（1）粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元；
（2）购买咸蛋20盒，粽子10盒时，总费用最少
34．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（不需要写画法）．
（1）在图中，画一个正方形，使它的面积是；
（2）在图中，画一个三角形，使它的三边长分别为：、、，并计算边上的高为　 　．（直接写出结果）
【答案】（1）解：在图中的正方形即为所求，它的面积是；
（2）解：在图中，三角形即为所求，
【解析】【解答】解：（2）在图中，三角形即为所求，
它的三边长分别为：、、，
，
是直角三角形，
设边上的高为h，
即，
解得．
答：边上的高为．
故答案为：．
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据图形先求出、、，再求出△ABC时直角三角形，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
35．某商家预测“华为P30”手机能畅销，就用1600元购进一批该型号手机壳，面市后果然供不应求，又购进6000元的同种型号手机壳，第二批所购买手机壳的数量是第一批的3倍，但进货单价比第一批贵了2元．
（1）第一批手机壳的进货单价是多少元？
（2）若两次购进于机壳按同一价格销售，全部传完后，为使得获利不少于2000元，那么销售单价至少为多少？
【答案】（1）解：设第一批手机壳进货单价为x元，
根据题意得：3 = ，
解得：x=8，
经检验，x=8是分式方程的解．
答：第一批手机壳的进货单价是8元
（2）解：设销售单价为m元，
根据题意得：200（m-8）+600（m-10）≥2000，
解得：m≥12．
答：销售单价至少为12元．
【解析】【分析】（1）根据题意，列出分式方程，解出x的值即可；
（2）根据题意，列出不等式，求出m的值即可。
36．某品牌空调销售公司销售、两种型号的空调．该公司为了提高销售人员的积极性，制定了新的工资方案．方案规定：个人工资基本工资奖励工资．每位销售人员的基本工资是4000元，月销售定额为6万元．在销售定额内，只得基本工资4000元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，如下表：
奖励工资档次 销售额 奖励工资占超过销售定额部分的比例
第一档 超过6万元但不超过8万元的部分
第二档 超过8万元但不超过10万元的部分
第三档 10万元以上的部分
（1）某销售人员希望每个月至少要领取6000元的个人工资，则该销售人员每月的销售额至少为多少元？
（2）该空调销售公司，5月份售出15台型空调和30台型空调，销售额为18万元；6月份以同样的价格售出30台型空调和40台型空调，销售额为30万元.7月销售员小李以同样的价格销售、两种型号的空调共25台，得到的个人工资为8200元．请问7月销售员小李销售、两种型号的空调各多少台？
【答案】（1）84000元
（2）7月销售员小李销售、两种型号的空调分别为10台、15台
37．中国是最早发现和利用茶树的国家，被称为茶的祖国，某茶店用9600元购进A种茶叶若干盒，用6720元购进B种茶叶若干盒，所购A种茶叶比B种茶叶多10盒，已知B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.2倍，分别求出A，B两种茶叶的每盒进价．（列分式方程解）
【答案】，两种茶叶的每盒进价分别为400元，480元．
38．如图
（1）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：　 　；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　 　度；
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D
（2）540°
（3）解：∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，
①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，
②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B．
【解析】【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图，
∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°；
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A＋∠D＝∠C＋∠B；（2）∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等．由多边形的内角和得出答案即可；（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP①，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①＋②，可得2∠P＝∠D＋∠B．
39．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点， ．
（1）求证：
（2）线段AF与CE有什么关系 请证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠5=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠4，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF
（2）解：AF=CE且AF∥CE，理由如下：
由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵∠1=∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE且AF∥CE．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的内错角相等，对边相等，根据角角边可得到△ABE≌△CDF，得到BE=DF。
（2）根据（1）且内错角∠1与∠2相等，得到两直线AE、CF平行，得到四边形AECF是平行四边形，得到AF平行且等于CE。
40．如图有一块等腰三角形菜地，其中，点E为的中点．现需要开辟一块三角形的空地用于堆肥，已知．
（1）你能确定的形状吗，请说明理由．
（2）计算阴影部分的面积．
【答案】（1）解：能，是直角三角形，
理由如下：
∵点E为的中点．，
∴，
∵．
∴，
∴是直角三角形，为斜边.
（2）解：连接，如图所示：
∵点E为的中点．
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
【解析】【分析】（1）先利用线段中点的性质求出点E为的中点．，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，为斜边即可；
（2）连接CE，先利用勾股定理求出CE的长，再利用三角形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
（1）解：能，是直角三角形，
理由如下：∵点E为的中点．，
∴，
∵．
∴，
∴是直角三角形，为斜边；
（2）连接，
∵点E为的中点．
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
41．
（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD.求证：AD＝BD.
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD.
（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值.
【答案】（1）解：∵射线OP平分∠MON，
∴∠AOD=∠BOD，
∵OD=OD，OA＝OB，
∴△AOD≌△BOD（SAS），
∴AD＝BD.
（2）解：在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，
∵CD=CD，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，
∵∠B+∠EDB=∠CED，
∴∠EDB=∠B=30°，
∴DE=BE，
∴AD=BE，
∵BC=CE+BE，
∴BC＝AC+AD.
（3）解：在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：
同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，
∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，
∵C为BD边中点，
∴BC=CD=CF=CG=3，
∵∠ACE＝120°，
∴∠ACB+∠DCE=60°，
∴∠ACF+∠GCE=60°，
∴∠FCG=60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴FG=CF=CG=3，
∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13.
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠AOD=∠BOD，再利用SAS证明△AOD≌△BOD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；
（2）利用取长补短法，在BC上截取CE=CA，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理可得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，再利用SAS证明△ACD≌△ECD，利用全等三角形的性质可推出∠A=∠CED=60°，AD=DE，再利用三角形的外角的性质可证∠EDB=∠B，利用等角对等边可推出DE=BE=AD，然后根据BC=CE+BE，代入可证得结论；
（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，由（1）（2）可知△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，利用全等三角形的性质可推出∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，利用线段中点的定义求出CF的长；再证明△CFG是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出FG的长，然后根据AE=AF+FG+GE，代入计算求出AE的长.
42．已知，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BD＝BE，连接CD.
（1）如图1，若∠CAD＝∠CED＝2∠ADC，求证：AD＝DE；
（2）如图2，点F在AD上，连接EF，若∠CAD＝∠AFE，∠CEF＝2∠ADC，求证：AD＝EF.
【答案】（1）证明：∵BD=BE，
∴∠BDE=∠DEB，
∴∠ADE=∠CED=∠ADC+∠EDC，
∵∠CAD＝∠CED＝2∠ADC，
∴∠ADC+∠EDC=2∠ADC，
∴∠EDC=∠ADC，
在△ADC和△EDC中，
∴△ADC≌△EDC（AAS）
∴AD=ED；
（2）证明：在BC边上截取BG=BF，
在△BEF和△BDG中，
∴△BEF≌△BDG（SAS）
∴EF=DG，∠BEF=∠BDG，∠BFE=∠BGD，
∴∠ADG=∠CEF，∠AFE=∠CGD=∠CAD，
∵∠CEF＝2∠ADC，
∴∠GDC+∠ADC=∠CEF=2∠ADC，
∴∠GDC=∠ADC，
在△ADC和△GDC中，
∴△ADC≌△GDC（AAS）
∴AD=GD；
∵EF=DG，
∴AD=EF.
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠BDE=∠DEB，由邻补角的性质可得∠ADE=∠CED=∠ADC+∠EDC，结合已知条件可推出∠EDC=∠ADC，然后证明△ADC≌△EDC，据此可得结论；
（2）在BC边上截取BG=BF，证△BEF≌△BDG，得EF=DG，∠BEF=∠BDG，∠BFE=∠BGD，由邻补角的性质可得∠ADG=∠CEF，∠AFE=∠CGD=∠CAD，结合∠CEF＝2∠ADC，可推出∠GDC=∠ADC，证明△ADC≌△GDC，则AD=GD，然后结合EF=DG可得结论.
43．甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
（1）求这种商品的单价；
（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是　 　元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是　 　元/件．
（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同　 　加油更合算（填“金额”或“油量”）．
【答案】（1）解：设这种商品的单价为 元/件，
，解得 ，经检验 是原分式方程的解，
则这种商品的单价为60元/件
（2）48；50
（3）金额
【解析】【解答】（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价为 元/件，
∵甲两次购买总价为 元，购买总数量为 件，
∴甲两次购买这种商品的平均单价是 元/件；
∵乙两次购买总价为 元，购买总数量为 件，
∴乙两次购买这种商品的平均单价是 元/件；
故答案为：48，50；
（3）∵ ，
∴按照甲两次购买商品的总价相同的情况下更合算，
∴建议按相同金额加油更合算，
故答案为：金额．
【分析】（1）先求出 ， 再解方程，并检验求解即可；
（2）根据题意计算求解即可；
（3）求出按照甲两次购买商品的总价相同的情况下更合算，再求解即可。
44．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）
（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
又∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD．
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD（SAS）；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
45．如图
（1）如图1，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于　 　cm。
（2）如图2，在 ABCD中，若AE，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则ABCD的周长为　 　。
（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线。求证：DF=EC
（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为　 　。
【答案】（1）2
（2）12
（3）证明：∵在ABCD中，CD∥AB，
∠DFA=∠FAB.
又∵AF是∠DAB的平分线
∠DAF=∠FAB，
∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，同理可得EC=BC.
∵AD=BC，
DF=EC
（4）1
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5cm，AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵AE平分∠BAD交CD边于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴DA=DE=3cm，
∴EC=CD-DE=5-3=2cm，
故答案为：2.
(2)由(1)得DE=AD，同理CE=CB，
∴AD+BC=ED+EC=AB=4，
∴ABCD的周长=AB+CD+AD+BC=4+4+4=12.
故答案为：12.
（4）由（3）可得，AD=DF=BC=EC=3.
∵AB=CD=5，
EF=DF+EC-CD=3+3-5=1.
故答案为1
【分析】(1)根据平行四边形的性质求出CD长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出DE长，即可解答；
(2)由(1)得出AD=DE，BC=EC，然后根据平行四边形的性质求出CD长，根据线段间的和差关系求出AB和BC的长度之和，从而求出ABCD的周长；
(3)根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出AD=DF，EC=BC，结合AD=BC，则可得出DF=EC ；
(4)由(3)求出DF和EC的长，结合AB=CD，利用线段间的和差关系即可解答.
46．已知 ，其顶点 在直线 上从左向右运动，运动速度为每秒 ，同时 又绕顶点 以每秒 的速度顺时针旋转，运动起始位置如图所示，当运动到 再次与直线 垂直时停止运动
若 平分 ，解答如下问题：
（1）当顶点 运动路程为 时， 　 　；
（2）当 时，求顶点 的运动路程.
【答案】（1）
（2）解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ 又绕顶点 旋转 或 ，
∴旋转的时间为 或 ，
∴顶点 的运动路程是 或 .
【解析】【解答】解：（1）∵顶点 运动路程为 ，
∴运动的时间为： ，
∴ 旋转角度为 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
故答案为： ；
【分析】（1）根据顶点 运动路程为 ，得到运动的时间为： ，求得 旋转角度为 ，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到 ，于是得到 又绕顶点 旋转 或 ，即可得到结论.
47．如图1，已知∠AOB=60°，OM平分∠AOB。
（1）∠BOM=　 　；
（2）若在图1画射线OC，设∠BOC=α，ON平分∠BOC，用含α的代数式表示∠MON的大小；
（3）如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB=60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少时间后，∠BOM的度数第一次等于45°。
【答案】（1）30°
（2）解：①当OC在OB下方时，∠MON=30°+
②当OC在OB上方且∠BOC<60°时，∠MON=
③当OC在OB上方且∠BOC＞60°时，∠MON=
（3）解：∵∠BOM=45°，OM平分∠AOB；
∴∠AOB=90°
设经过t分钟
60+6t-0.5t=90
解得：t=
∴经过 分钟，∠BOM的度数第一次等于45°。
【解析】【解答】解：（2）如图，
①当OC在OB下方时，∠MON=∠BOM+∠BON=30°+ =；
②当OC在OB上方且∠BOC<60°时，∠MON= ∠BOM-∠BON=30°-= ；
③当OC在OB上方且∠BOC＞60°时，∠MON=∠BON-∠BOM= ..
【分析】(1)现知∠AOB的度数，根据角平分线的性质可求 ∠BOM 的大小；
（2）分三种情况讨论，①当OC在OB下方时，②当OC在OB上方且∠BOC<60°时，③当OC在OB上方且∠BOC＞60°时，在三种情况情况下分别求出∠MON的角度即可.
（3）设经过t分钟，则分针转过的角度为6t， 时针转过的角度为0.5t， 由于∠BOM=45°，结合OM平分∠AOB，可知∠AOB=90°，则启示角度加变化的角度等于90°，据此列等式求解即可.
48．已知△ABC，请按要求完成画图、说明画图过程及画图依据．
（1）以A，B，C为顶点画一个平行四边形；
（2）简要说明画图过程；
（3）所画四边形为平行四边形的依据是　 　
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：画图过程：
①取AC中点D，
②连接BD并延长，使DE=BD，
③连接AE，CE．
四边形ABCE是所求平行四边形．
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【解析】【解答】解：（3）依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）根据每步作图写出相应过程；
（3）根据平行四边形的判定方法回答．
49．平行四边形中，E是边上的动点，过点E作，垂足为点G，F是边的中点，连接．
（1）如图甲，当E是边的中点时，如果四边形的面积为10，求的面积；
（2）如图乙，点E移动至点C处，试判断形状，并说明理由；
（3）如图丙，如果，，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域．
【答案】（1）解：∵平行四边形，
∴，
∵E是边的中点时，F是边的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
设平行四边形边上的高为h，
∴；
（2）解：取中点H，连接与交于点P，
由（1）可知，
∵，
∴P是中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）解：过点G作于N，过点A作于M，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴点G到的距离为，
∴
．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 ， 再求出四边形是平行四边形， 最后利用三角形和平行四边形的面积计算求解即可；
（2）先求出 P是中点，， 再求出 垂直平分， 最后求解即可；
（3）结合题意，利用勾股定理，三角形和梯形的面积公式计算求解即可。
50．如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．
【答案】（1）证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，
∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠ECF，
∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，
∵QG垂直平分AC，
∴AQ=CQ，
∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，
∴QM=QN，
∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），
∴NA=MC，
∵QM=QN，BQ=BQ，
∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），
∴NB=MB，
∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，
∴7=4+2MC，
∴MC=1.5．
【解析】【分析】（1）由三角形外角的性质可 ∠ABF=∠ACF-∠A=∠ACF-78° ， ∠DBF=∠ECF-∠BPC=∠ECF-39°， 由角平分线的定义可得∠ACF=2∠ECF， 从而得出 ∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF， 根据角平分线的定义即得结论；
（2）连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，先证明Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），可得NA=MC，再证Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），可得NB=MB， 从而得出BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，据此即可求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑