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【综合题强化训练·50道必刷题】浙教版七年级下册期末数学卷
1．《九章算术》中记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？
2．列二元一次方程组解决实际问题：为拓展学生视野，某中学组织七年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
3．本地某快递公司规定：寄件不超过千克的部分按起步价计费；寄件超过千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地 起步价（元） 超过千克的部分（元千克）
上海
北京
实际收费
目的地 质量（千克） 费用（元）
上海
北京
（1）求，的值；
（2）若小丽寄10千克的快递到北京，则小丽需要付多少钱的快递费？
4．常德市某校购进一批甲、乙两种中考排球，已知一只甲种排球的价格与一只乙种排球的价格的和为40元，用900元购进甲种排球的件数与用1500元购进乙种排球的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种排球的价格分别是多少元？
（2）该校计划用3500元购买甲、乙两种排球，由于采购人员把甲、乙两种排球的只数互换了，结果需4500元，求该校原计划购进甲、乙两种排球各多少只？
5．（1）计算： ；
（2）先化简再求值 ，其中 .
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，且EF∥AD，∠1+∠2= 180°．
（1）试猜想∠2与∠BAD的关系，并说明理由；
（2）若DG平分∠ADC，说明：DG∥AB。
7．由于天气逐渐转凉，同学们都订了校服冬装，学校为调查厂家生产的冬装质量是否合格，在发放前对冬装进行了抽样调查.已知运来的冬装一共有10包，每包有10打，每打有12套.要求样本容量为100.
（1）请你帮学校设计一个调查方案，并指出总体、个体、样本﹑样本容量；
（2）通过调查，冬装质量是合格的，但发放后未了解学生的满意程度，请你再设计一个方案，调查学生的满意程度.
8．分解因式：
（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
（2）﹣a4+16
（3）a2b﹣2ab+b
（4）3（x﹣2y）2﹣3x+6y．
9．某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元。
（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱
（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少
10．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　 　，图①中m的值为　 　；
（2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
11．已知AM∥CN，点B为平而内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，若∠c=a，试着用含a的式子表示∠ABD和∠BAM．
12．计算
（1）
（2） ﹣ ．
13．计算
（1）：m（m+2n）﹣（m+1）2+2m
（2）计算：6.290+（﹣ ）﹣3﹣π2016×（﹣ ）2016．
14．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
（1）①请在图中画出平移后的△A′B′C′；
②再在图中画出△ABC的高CD；
（2）在右图中能使S△PBC=S△ABC的格点P的个数有　 　个（点P异于A）
15． 2007年上海国际汽车展期间，某公司对参观本次车展盛会的且有购车意向的消费者进行了随机问卷调查，共发放900份调查问卷，并收回有效问卷750份．工作人员对有效调查问卷作了统计，其中：
①将消费者年收入的情况整理后，制成表格如下：
年收入(万元) 4.8 6 7.2 9 10
被调查的消费者人数(人) 150 338 160 60 42
②将消费者打算购买小车的情况整理后，绘制出频数分布直方图(如图，尚未绘完整)．
(注：每组包含最小值不包含最大值．)请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据①中信息可知，被调查消费者的年收入的中位数是　 　万元．
（2）请在图中补全这个频数分布直方图．
（3）打算购买价格10万元以下(不含10万元)小车的消费者人数占被调查消费者人数的百分比是　 　．
（4）本次调查的结果，是否能够代表全市所有居民的年收入情况和购车意向？为什么？
16．看图填空：
（1）直线AD与直线CD相交于点　 　；
（2）　 　⊥AD，垂足为点　 　；AC⊥　 　，垂足为点　 　．
17．已知三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出点A，B，C的坐标；
（2）将三角形ABC向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到三角形A1B1C1，在图中画出三角形A1B1C1，并写出点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标．
18．某超市用7200元购进了A种橄榄油若干瓶，用4500元购进了B种橄榄油若干瓶，所购A种橄榄油比B种多10瓶，且A种橄榄油每瓶进价是B种的1.2倍．求两种橄榄油每瓶进价分别为多少元？
19．为了了解全校1800名学生对学校设置的体操、球类、跑步、踢毽子等等课外体育活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名学生．对他们最喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计并绘制成了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整）．
（1）在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生？
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计该校1800名学生中有多少人最喜爱球类活动？
20．下面是小彬进行整式化简并求值的过程，请认真阅读并完成相应任务．
，其中 ，
解：原式 第一步
第二步
第三步
以上化简步骤中：
（1）第一步的依据是　 　；第二步的做法是　 　；第三步的做法是　 　．
（2）第　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是　 　．
（3）请直接写出该整式化简后的正确结果　 　，代入求值得　 　．
21．解下列方程组：
（1）
（2） ．
22．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形.
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积.
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系.
23．体育老师对九年级（9）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图．如下所示：
组别次数x频数和（人数）
第1组80≤x＜1006
第2组100≤x＜1208
第3组120≤x＜140a
第4组140≤x＜16018
第5组160≤x＜1806．
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的a=　 　；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第　 　组；
（4）若九年级学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x＜120为不合格；120≤x＜140，为合格；140≤x＜160为良；x≥160为优．根据以上信息，请你给学校或九年级同学提一条合理化建议：　 　．
24．某市火车站北广场将于2016年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共 6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600 棵．
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排13人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40 棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
25．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式．
（2）用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你写出这三个代数式 、 、 之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，完成下列问题：
①当 ， 时， 则 的值为▲．
②设 ， ，计算： 的结果．
26．在“一带一路”倡议下，我国已成为设施联通，贸易畅通的促进者，同时也带动了我国与沿线国家的货物交换的增速发展，如图是湘成物流园2016年通过“海、陆（汽车）、空、铁”四种模式运输货物的统计图．
请根据统计图解决下面的问题：
（1）该物流园2016年货运总量是多少万吨？
（2）该物流园2016年空运货物的总量是多少万吨？并补全条形统计图；
（3）求条形统计图中陆运货物量对应的扇形圆心角的度数
27．安化风景优美，物产丰富，一外地游客到某特产专营店，准备购买黑茶和豆腐乳两种盒装特产．若购买3盒黑茶和2盒豆腐乳共需450元；购买1盒黑茶和3盒豆腐乳共需255元．
（1）请分别求出每盒黑茶和每盒豆腐乳价格；
（2）该游客购买了4盒黑茶和2盒豆腐乳，共需多少元？
28．如图，已知 ， ，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分 和 ，分别交射线AM于点C，D．
（1）求 的度数
（2）当点P运动时， 的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时， ，求此时 的度数．
29．如图1，于点，．
（1）求证：；
（2）如图2，点从点出发，沿线段运动到点停止，连接、．则、、三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点与点，，重合的情况）？并说明理由．
30．今年的春节假期是文旅行业近三年来最火爆的一年，零陵作为湖南历史文化名城，由于其悠久的历史无疑成为最具吸引力的旅游城市之一．零陵古城某景点的A，B两种纪念品深受广大游客们的喜爱，经过了解发现，已知B种纪念品每个进价比A种纪念品的2倍少50元．采购相同数量的A，B两种纪念品，分别用了1200元和900元，请问A，B两种纪念品每个进价分别为多少元？
31．作图题：在方格纸中，将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1
（1）画出△A1B1C1．
（2）∠CAB＝70°，∠CBA＝54°，求∠CBC1得度数．
32．把下列各式因式分解：
（1）9x2﹣6xy+3x
（2）2ax2﹣4axy+2ay2
（3）（x﹣1）（x+2）﹣4
（4）（2a+b）2﹣（a+2b）2．
33．为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
34．“知识改变命运，科技繁荣祖国”，我市中小学每年都要举办一届科技运动会，下图为我市某校今年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：
（1）该校参加车模、建模比赛的人数分别是　 　人和　 　人：
（2）该校参加航模比赛的总人数是　 　人，空模所在扇形的圆心角的度数是　 　，并把条形统计图补充完整　 　．
（3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖，今年我市中小学参加航模比赛人共有2485人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？
35．已知方程组 的解x为非正数，y为负数.
（1）求a的取值范围.
（2）化简：
36．通辽市某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的学生中，分别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查结果的部分数据如下表（图）所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级最喜欢排球的人数为10人．
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目 排球 篮球 踢毽 跳绳 其他
人数（人） 7 8 14 6
请根据以上统计表（图）解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少人？
（2）补全统计表和统计图．
（3）该校有学生1800人，学校想对“最喜欢踢毽子”的学生每4人提供一个毽子，学校现有124个毽子，能否够用？请说明理由．
37．如图，已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2+∠1=180°，且∠BEC=2∠B+30°，求∠B的度数．
38．根据第五次、第六次全国人口普查结果显示：某市常住人口总数由第五次的400万人增加到第六次的450万人，常住人口的学历状况统计图如下（部分信息未给出）：
解答下列问题：
（1）计算第六次人口普查小学学历的人数，并把条形统计图补充完整；
（2）第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是多少？
39．某校260名学生参加植树活动，活动结束后学校随机调查了部分学生每人的植树棵数，并绘制成如下的统计图①和统计图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为　 　，图①中m的值为　 　；
（2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（3）求本次调查获取的样本数据的平均数，并根据样本数据，估计这260名学生共植树多少棵？
40．如图，在方格纸中，直线AC与CD相交于点C．
（1）过点E画直线EF，使EF⊥AC；
（2）分别写出（1）中三条直线之间的位置关系；
（3）根据你观察到的EF与CD之间的位置关系，用一句话来表达你的结论．
41．我们规定：a*b=10a×10b，例如3*4=103×104=107．
（1）试求12*3和2*5的值；
（2）想一想（a*b）*c与a*（b*c）相等吗？如果相等，请验证你的结论．
42．如图，已知，直线交于点，交于点点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．
（1）如图，若，，则　 　，　 　；
（2）如图，求与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图，当时，若，，过点作交的延长线于点将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的一条边，请直接写出所有满足条件的的值．
43．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是230cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
（1）写出图甲中m与n的值，m＝　 　，n＝　 　．
（2）在试生产阶段，若将a张标准板材用裁法一裁剪，b张标准板材用载法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式（长大于宽）无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 　 　张，B型板材 　 　张（用含有a、b的代数式表示）
②当10＜b＜20时，所截得的A型板材和B型板材恰好配套用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 　 　个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
44．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）
（1）若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．
45．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）．方法一：裁切靠背16张和坐垫0张．方法二：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张．方法三：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
46．假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．”小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了6.5千米，付车费14.5元．”问：
（1）出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？
（2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多少元？
47．已知直线ABCD，点E在直线AB、CD之间，点M、N分别在直线AB、CD上．
（1）如图1，直线GH过点E，分别与直线AB、CD交于点G、H，∠AME=∠GND，求证：∠NGH+∠MEH=180°；
（2）如图2，点F在直线CD上，ME、NE分别平分∠AMF、∠MNF，若∠FMN=2∠MEN，求∠MEN的度数；
（3）如图3，MQ平分∠AME，MH平分∠BME，GN平分∠ENC．直线GN与MH交于点H，NK平分∠END，NFMQ．求证：∠MHG=∠KNF．
48．某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件。若花费 480元购进的A种纪念的数量是花费 480 元购进B种纪念品的数量的，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4 元.
（1）求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元
（2）若商店一次性购买A、B纪念品共200件，要使总费用不超过 3000元，最少要购买多少件B种纪念品
49．问题解决
（1）糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？
（2）现有根竹签，个山楂．若每根竹签串个山楂，还剩余个山楂，则下列等式成立的是　 　（填写序号）．
⑴；⑵；⑶．
50．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点．
（1）如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；
（2）如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【综合题强化训练·50道必刷题】浙教版七年级下册期末数学卷
1．《九章算术》中记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？
【答案】合伙人数是33人，金价是9800钱
2．列二元一次方程组解决实际问题：为拓展学生视野，某中学组织七年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
【答案】参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车
3．本地某快递公司规定：寄件不超过千克的部分按起步价计费；寄件超过千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地 起步价（元） 超过千克的部分（元千克）
上海
北京
实际收费
目的地 质量（千克） 费用（元）
上海
北京
（1）求，的值；
（2）若小丽寄10千克的快递到北京，则小丽需要付多少钱的快递费？
【答案】（1），
（2）64元
4．常德市某校购进一批甲、乙两种中考排球，已知一只甲种排球的价格与一只乙种排球的价格的和为40元，用900元购进甲种排球的件数与用1500元购进乙种排球的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种排球的价格分别是多少元？
（2）该校计划用3500元购买甲、乙两种排球，由于采购人员把甲、乙两种排球的只数互换了，结果需4500元，求该校原计划购进甲、乙两种排球各多少只？
【答案】（1）解：设甲种排球的进价为x元/只，则乙种排球的进价为（40﹣x）元/只，
依题意得： ，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴40﹣x＝40﹣15＝25．
答：甲种排球的进价为15元/只，乙种排球的进价为25元/只．
（2）解：设该校原计划购进甲种排球a只，乙种排球b只，
依题意得： ，
解得： ．
答：该校原计划购进甲种排球150只，乙种排球50只．
【解析】【分析】⑴设甲种排球的进价为x元/只，则乙种排球的进价为（40﹣x）元/只依据题意设立方程，并解得方程，代入符合题意.
⑵设该校原计划购进甲种排球a只，乙种排球b只，按照题意建立方程将方程联立并检验是否符合题意.
5．（1）计算： ；
（2）先化简再求值 ，其中 .
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
当 时，
原式
.
【解析】【分析】（1）先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方进行计算，进而根据有理数的加减法法则计算即可；
（2）根据平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式将原式展开，再利用去括号、合并将原式化简，然后将x值代入计算即可.
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，且EF∥AD，∠1+∠2= 180°．
（1）试猜想∠2与∠BAD的关系，并说明理由；
（2）若DG平分∠ADC，说明：DG∥AB。
【答案】（1）解：∠2与∠BAD相等
理由：∵EF ∥AD，
∴∠1+∠BAD= 180°
∵∠1+∠2= 180°
∴∠2=∠BAD
（2）解：∵DG平分∠ADC，
∴∠2=∠ADG
由(1)知∠2=∠BAD，
∴∠ADG=∠BAD
∴DG∥AB
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠1+∠BAD= 180°，再利用补角的性质，可证得结论.
（2）利用角平分线的定义可证得∠2=∠ADG，再由∠2=∠BAD，可推出∠ADG=∠BAD，然后利用平行线的判定定理可证得结论.
7．由于天气逐渐转凉，同学们都订了校服冬装，学校为调查厂家生产的冬装质量是否合格，在发放前对冬装进行了抽样调查.已知运来的冬装一共有10包，每包有10打，每打有12套.要求样本容量为100.
（1）请你帮学校设计一个调查方案，并指出总体、个体、样本﹑样本容量；
（2）通过调查，冬装质量是合格的，但发放后未了解学生的满意程度，请你再设计一个方案，调查学生的满意程度.
【答案】（1）解：调查方案略，总体是10×10×12=1200(套)冬装的质量，个体是一套冬装的质量，样本是100套冬装的质量，样本容量100.
（2）解：总体为1200名学生对冬装的满意程度，样本总量可设为100，个体是每名学生对冬装的满意程度，样本随机抽取该校50名学生（或各班级）进行调查（答案不唯一）.
【解析】【解答】解：（1）调查方案：按从上到下（顺序性）抽取每包中每打服装的第5套（答案不唯一），总体是：10×10×12＝1200套冬装的质量，
个体是：一套冬装的质量，
样本：100套冬装的质量，
样本容量：100；
【分析】（1）根据题意，样本容量为100，冬装共有10包，每包有10打，每打有12套，可求出总体，个体，样本；
（2）先确定学生的总体，然后确定样本总量以及个体，在进行满意度调查即可．
8．分解因式：
（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
（2）﹣a4+16
（3）a2b﹣2ab+b
（4）3（x﹣2y）2﹣3x+6y．
【答案】（1）解：原式=2a（y﹣z）+3b（y﹣z）=（y﹣z）（2a+3b）
（2）解：原式=（4﹣a2）（4+a2）=（2﹣a）（2+a）（4+a2）
（3）解：原式=b（a2﹣2a+1）=b（a﹣1）2
（4）解：原式=3（x﹣2y）2﹣3（x﹣2y）=3（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）
【解析】【分析】（1）直接提公因式y﹣z即可；（2）利用平方差分解后，再利用平方差进行二次分解即可；（3）首先提公因式b，再利用完全平方公式进行分解即可；（4）首先把后两项组合提公因式3，再提公因式3（x﹣2y）即可．
9．某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元。
（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱
（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少
【答案】（1）解：设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意可得：
解得：
小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，
200×[(40-30）+(16-10)]=3200(元），
销售完后，该水果商共赚了3200元；
（2）解：设大樱桃的售价为a元/千克，
（1-20%）×200×16+200a-8000≥3200×90%，
解得：a≥41.6，
答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克
【解析】【分析】（1）分别设小樱桃的进价为x，大樱桃的进价为y，根据题意中进货总价为8000元以及大樱桃比小樱桃多20元，即可得到二元一次方程组，解出x和y的值即可。
（2）设大樱桃的进价为x，根据第二次的钱不少于第一次的钱列出不等式，得到售价即可。
10．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　 　，图①中m的值为　 　；
（2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
【答案】（1）40；15
（2）解：∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为 =36
（3）解：∵在40名学生中，鞋号为35的学生人数比例为30%，
∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为35的人数比例约为30%，
则计划购买200双运动鞋，有200×30%=60双为35号
【解析】【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4=40，图①中m的值为100﹣30﹣25﹣20﹣10=15；
故答案为：40；15；
【分析】（1）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；（2）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
11．已知AM∥CN，点B为平而内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，若∠c=a，试着用含a的式子表示∠ABD和∠BAM．
【答案】（1）∠A+∠C=90°
（2）解：如图2，过点B作BG∥DM，
因为BD⊥AM，
所以DB⊥BG，
所以∠DBG=90° ；“
所以∠ABD+∠ABG=90°，
因为AB⊥BC，
所以∠CBG+∠ABG=90°，
所以∠ABD=∠CBG，
因为AM∥CN，
所以∠C=∠CBG，
所以∠ABD=∠C=a；
又因为∠DBG=90°且∠ABD=a，所以∠ABG=90°-α
因为BG∥DM，所以∠BAM=180°-∠ABG=180°-(90°-α) =90°+α
【解析】【解答】解：（1）如图1，
因为AM∥CN，
所以∠C=∠AOB，
因为AB⊥BC，
所以∠ABC=90° ，
所以∠A+∠AOB=90°
∠A+∠C=90° ，
故答案为：∠A+∠C=90°
【分析】（1）利用平等线的性质可把 ∠C 转化到直角三角形AOB中，可得出 ∠A与∠C互余；
（2）构造平行线，利用平行线的性质结合同角的余角相等可把∠C转化为 ∠ABD 即可。
12．计算
（1）
（2） ﹣ ．
【答案】（1）解：原式=2+1﹣3+2=2
（2）解：原式= ﹣ = =
【解析】【分析】（1）首先计算开平方、零次幂、负整数指数幂、绝对值，然后再计算有理数的加减即可；（2）首先通分，然后再分母不变，把分子相加减，最后化简即可．
13．计算
（1）：m（m+2n）﹣（m+1）2+2m
（2）计算：6.290+（﹣ ）﹣3﹣π2016×（﹣ ）2016．
【答案】（1）解：原式=m2+2mn﹣m2﹣2m﹣1+2m=2mn﹣1
（2）解：原式=1﹣8﹣[π×（﹣ ）]2016=﹣8
【解析】【分析】（1）根据整式的乘法，可得整式的加减，根据整式的加减，可得答案；（2）根据零次幂，负整数指数幂，积的乘方，可得答案．
14．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
（1）①请在图中画出平移后的△A′B′C′；
②再在图中画出△ABC的高CD；
（2）在右图中能使S△PBC=S△ABC的格点P的个数有　 　个（点P异于A）
【答案】（1）解：①如图所示：△A′B′C′即为所求
②如图所示：CD即为所求
（2）4
【解析】【解答】解：（2）如图所示：能使S△PBC=S△ABC的格点P的个数有4个．
故答案为：4．
【分析】（1）分别将点A、B、C向左平移2格，再向上平移4格，得到点A'、B'、C'，然后顺次连接；过点C作CD⊥AB的延长线于点D；（2）利用平行线的性质过点A作出BC的平行线进而得出符合题意的点．
15． 2007年上海国际汽车展期间，某公司对参观本次车展盛会的且有购车意向的消费者进行了随机问卷调查，共发放900份调查问卷，并收回有效问卷750份．工作人员对有效调查问卷作了统计，其中：
①将消费者年收入的情况整理后，制成表格如下：
年收入(万元) 4.8 6 7.2 9 10
被调查的消费者人数(人) 150 338 160 60 42
②将消费者打算购买小车的情况整理后，绘制出频数分布直方图(如图，尚未绘完整)．
(注：每组包含最小值不包含最大值．)请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据①中信息可知，被调查消费者的年收入的中位数是　 　万元．
（2）请在图中补全这个频数分布直方图．
（3）打算购买价格10万元以下(不含10万元)小车的消费者人数占被调查消费者人数的百分比是　 　．
（4）本次调查的结果，是否能够代表全市所有居民的年收入情况和购车意向？为什么？
【答案】（1）6
（2）解：750﹣30﹣90﹣270﹣150﹣30＝750﹣570＝180人，
补全图形如图：
（3）52%
（4）解：不能．因为被调查者是参观车展且有购车意向的部分消费者，不能代表全市所有居民．
【解析】【解答】解：(1)∵第375与376两人的年收入都是6万元，
∴被调查消费者的年收入的中位数是6万元；
( 3 ) ×100%＝52%；
【分析】（1）根据中位数的定义，结合表格找出第375与376两人的年收入，然后求平均数即可；
（2）根据有效问卷是750，求出车价10～12万元的人数，然后补全条形统计图即可；
（3）用10万元以下的各组的人数之和除以有效问卷的总数，然后乘以百分之百即可；
（4）根据调查不具有代表性解答．
16．看图填空：
（1）直线AD与直线CD相交于点　 　；
（2）　 　⊥AD，垂足为点　 　；AC⊥　 　，垂足为点　 　．
【答案】（1）C
（2）BE；E；CD；C
【解析】【解答】解：（1）直线AD与直线CD相交于点C；
2）BE⊥AD，垂足为点E；AC⊥CD，垂足为点C．
故答案为：（1）C；（2）BE，E，CD，C．
【分析】（1）根据相交线的定义解答；（2）根据垂线的定义分别填空即可．
17．已知三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出点A，B，C的坐标；
（2）将三角形ABC向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到三角形A1B1C1，在图中画出三角形A1B1C1，并写出点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标．
【答案】（1）解：A（﹣2，4），B（﹣5，2），C（﹣4，5）
（2）解：如图所示，A1（4，﹣1），B1（1，﹣3），C1（2，0）．
【解析】【分析】（1）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；（2）根据图形平移的性质画出△A1B1C1，并写出点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标即可．
18．某超市用7200元购进了A种橄榄油若干瓶，用4500元购进了B种橄榄油若干瓶，所购A种橄榄油比B种多10瓶，且A种橄榄油每瓶进价是B种的1.2倍．求两种橄榄油每瓶进价分别为多少元？
【答案】A，B两种橄榄油每瓶进价分别为180、150元
19．为了了解全校1800名学生对学校设置的体操、球类、跑步、踢毽子等等课外体育活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名学生．对他们最喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计并绘制成了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整）．
（1）在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生？
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计该校1800名学生中有多少人最喜爱球类活动？
【答案】（1）解：根据题意得：10÷12.5%=80（人），
则调查学生数为80人；
（2）解： 踢毽子的人数为80﹣（10+36+10+4）=20（人），
补全条形统计图，如图所示：
（3）解： 根据题意得：1800× ×100%=810（人），
则估计该校1800名学生中有81人最喜爱球类活动．
【解析】【分析】（1）抽查学生的人数=喜爱跑步的人数÷喜爱跑步的人数所占的百分比，列式计算可求解。
（2）用抽查的总人数减去其它四项的人数之和，就可求出踢毽子的人数，再补全条形统计图。
（3）用该校学生的人数×喜爱球类活动的人数所占的百分比，计算可求解。
20．下面是小彬进行整式化简并求值的过程，请认真阅读并完成相应任务．
，其中 ，
解：原式 第一步
第二步
第三步
以上化简步骤中：
（1）第一步的依据是　 　；第二步的做法是　 　；第三步的做法是　 　．
（2）第　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是　 　．
（3）请直接写出该整式化简后的正确结果　 　，代入求值得　 　．
【答案】（1）乘法分配律；去括号；合并同类项
（2）二；括号前是“ ”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
（3）；46
【解析】【解答】（1）第一步的依据是乘法分配律；
第二步的做法是去括号；
第三步的做法是合并同类项；
故答案为：乘法分配律；去括号；合并同类项；
（2）第二步开始出现不符合题意，
这一步错误的原因是括号前是“ ”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
故答案为：二；括号前是“ ”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
（3）
，
当 ， 时，
原式
，
故答案为： ；46．
【分析】（1）根据整式化简的运算法则找出各步的依据即可；
（2）找出解答过程中的错误，分析其原因即可；
（3）原式去括号合并同类项得到最简结果，再把x和y的值代入计算即可。
21．解下列方程组：
（1）
（2） ．
【答案】（1）解：）
，
把②代入①得：﹣4y+6+3y=7，
解得：y=﹣1，
把y=﹣1代入②得：x=5，
则方程组的解为
（2）解：
，
① 3+②得：10s=5，
解得：s= ，
把s= 代入①得：t=﹣ ，
则方程组的解为
【解析】【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
22．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形.
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积.
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系.
【答案】（1）解：题图②空白部分图形的边长是；
（2）解：由题图可知，空白部分为小正方形，小正方形的面积大正方形的面积个小长方形的面积，
∵大正方形的边长，
∴大正方形的面积，
又个小长方形的面积之和大长方形的面积，
∴小正方形的面积；
（3）解：由题图可以看出，大正方形面积空白部分的小正方形的面积四个小长方形的面积，
即.
【解析】【分析】（1）观察图形可得四个小长方形的长为2a，宽为b，那么图2中的空白部分的边长是小长方形的长减去小长方形的宽；
（2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和，图2中空白部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积；
（3）通过观察图形知：（2a＋b）2 、（2a b）2 、8ab分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积，进而根据大正方形面积=空白部分的小正方形的面积四个小长方形的面积即可得出结论.
23．体育老师对九年级（9）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图．如下所示：
组别次数x频数和（人数）
第1组80≤x＜1006
第2组100≤x＜1208
第3组120≤x＜140a
第4组140≤x＜16018
第5组160≤x＜1806．
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的a=　 　；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第　 　组；
（4）若九年级学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x＜120为不合格；120≤x＜140，为合格；140≤x＜160为良；x≥160为优．根据以上信息，请你给学校或九年级同学提一条合理化建议：　 　．
【答案】（1）12
（2）解：如图所示：
（3）3
（4）加强锻炼，增强体质
【解析】【解答】解：（1）由题意得：a=50﹣（6+8+18+6）=12；
⑶∵a=12，
∴6+8+12=26，
则这个样本数据的中位数落在第3小组中；
⑷加强锻炼，增强体质．
故答案为：（1）12；（3）3；（4）加强锻炼，增强体质．
【分析】（1）频数a等于各数据总数减去其他组数据个数；（3）中位数是第25、26个两个数的平均数，落在第3组内；（4）建议合理即可.
24．某市火车站北广场将于2016年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共 6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600 棵．
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排13人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40 棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
【答案】（1）解：设A，B两种花木的数量分别是x棵、y棵，
，
解得， ，
即A，B两种花木的数量分别是4200棵、2400棵
（2）解：设安排种植A花木的m人，种植B花木的n人，
，
解得， ，经检验是原方程组的解。
即安排种植A花木的7人，种植B花木的6人，可以确保同时完成各自的任务。
【解析】【分析】（1）此题的等量关系是：种植A种花木的数量+种植B两种花木的数量= 6600棵；A花木数量=B花木数量的2倍-600 棵。列方程求解即可。
（2）等量关系是：种植A种花木的人数+种植B两种花木的人数= 13，种植A花木4200棵用的时间=种植B花木2400棵用的时间，建立方程求解即可。
25．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式．
（2）用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你写出这三个代数式 、 、 之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，完成下列问题：
①当 ， 时， 则 的值为▲．
②设 ， ，计算： 的结果．
【答案】（1）解：图1： ；图2： ；
图3： ；
（2）解：图4： － =4 ；
（3）解：①±7；
② =4×A×B=4× × = ×
= .
【解析】【解答】解：（3）①∵ = -4 =25+24=49，
∴a+b=±7；
【分析】根据图形面积，利用完全平方公式进行求解即可。
26．在“一带一路”倡议下，我国已成为设施联通，贸易畅通的促进者，同时也带动了我国与沿线国家的货物交换的增速发展，如图是湘成物流园2016年通过“海、陆（汽车）、空、铁”四种模式运输货物的统计图．
请根据统计图解决下面的问题：
（1）该物流园2016年货运总量是多少万吨？
（2）该物流园2016年空运货物的总量是多少万吨？并补全条形统计图；
（3）求条形统计图中陆运货物量对应的扇形圆心角的度数
【答案】（1）解：2016年货运总量是120÷50%=240吨
（2）解：2016年空运货物的总量是240×15%=36吨，
条形统计图如下：
（3）解：陆运货物量对应的扇形圆心角的度数为 ×360°=18°
【解析】【分析】（1）根据铁运的货运量以及百分比，即可得到物流园2016年货运总量；（2）根据空运的百分比，即可得到物流园2016年空运货物的总量，并据此补全条形统计图；（3）根据陆运的百分比乘上360°，即可得到陆运货物量对应的扇形圆心角的度数．
27．安化风景优美，物产丰富，一外地游客到某特产专营店，准备购买黑茶和豆腐乳两种盒装特产．若购买3盒黑茶和2盒豆腐乳共需450元；购买1盒黑茶和3盒豆腐乳共需255元．
（1）请分别求出每盒黑茶和每盒豆腐乳价格；
（2）该游客购买了4盒黑茶和2盒豆腐乳，共需多少元？
【答案】（1）解：设每盒黑茶价格为x元，每盒豆腐乳价格为y元
由题意得：
解得
答：每盒黑茶价格为120元，每盒豆腐乳价格为45元；
（2）解：由（1）的结论得： （元）
答：该游客购买了4盒黑茶和2盒豆腐乳，共需570元．
【解析】【分析】（1）设每盒黑茶价格为x元，每盒豆腐乳价格为y元，再根据两种购买方式建立方程组，然后解方程组即可得；（2）根据（1）的结论，列出等式进行计算即可得．
28．如图，已知 ， ，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分 和 ，分别交射线AM于点C，D．
（1）求 的度数
（2）当点P运动时， 的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时， ，求此时 的度数．
【答案】（1）解：∵AM∥BN，
∴∠ABN=180°-∠A=120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP= （∠ABP+∠PBN）= ∠ABN=60°，
（2）解：不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB=∠DBN= ∠PBN= ∠APB，
∴∠APB：∠ADB=2：1．
（3）解：∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，
∴∠ABC= ∠ABN=30°，
【解析】【分析】（1）由平行线的性质求出∠ABN=180°-∠A=120°，利用角平分线的定义可得∠CBD=∠CBP
+∠DBP= （∠ABP+∠PBN）= ∠ABN，据此即得结论；
（2）不变．理由： 由平行线的性质可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN， 由BD平分∠PBN， 可得∠ADB=∠DBN= ∠PBN= ∠APB，据此即可求出结论；
（3） 由AM∥BN可得∠ACB=∠CBN，由∠ACB=∠ABD可得∠CBN=∠ABD， 从而求出∠ABC=∠CBP
=∠DBP=∠DBN，继而得出∠ABC= ∠ABN=30°，
29．如图1，于点，．
（1）求证：；
（2）如图2，点从点出发，沿线段运动到点停止，连接、．则、、三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点与点，，重合的情况）？并说明理由．
【答案】（1）解：如图1，∵BC⊥AF于点C，
∴∠A+∠B=90°，
又∵∠A+∠1=90°，
∴∠B=∠1，
∴AB∥DE．
（2）解：如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE，
∴∠BPE=∠BPG+∠EPG=∠ABP+∠DEP；
∴；
如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE，
∴∠BPE=∠BPG-∠EPG=∠ABP-∠DEP；
∴；
如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，
∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE，
∴∠BPE=∠EPG-∠BPG=∠DEP-∠ABP．
∴.
【解析】【分析】（1） 由BC⊥AF于点C，∠A+∠1=90°，可得∠B=∠1，根据平行线的判定可证AB∥DE；
（2）根据题意分为两种情况：当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，则PG∥DE，根据平行线的性质得∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE，则∠BPE=∠BPG+∠EPG=∠ABP+∠DEP；当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，则PG∥DE，根据平行线的性质∠ABP=∠GPB， ∠DEP=∠GPE，则∠BPE=∠BPG-∠EPG=∠ABP-∠DEP； 当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，则PG∥DE，根据平行线的性质可得 ∠ABP=∠GPB， ∠DEP=∠GPE，则 ∠BPE=∠EPG-∠BPG=∠DEP-∠ABP。
30．今年的春节假期是文旅行业近三年来最火爆的一年，零陵作为湖南历史文化名城，由于其悠久的历史无疑成为最具吸引力的旅游城市之一．零陵古城某景点的A，B两种纪念品深受广大游客们的喜爱，经过了解发现，已知B种纪念品每个进价比A种纪念品的2倍少50元．采购相同数量的A，B两种纪念品，分别用了1200元和900元，请问A，B两种纪念品每个进价分别为多少元？
【答案】解：设每个A种纪念品的进价为x元，则每个B种纪念品的进价为元，
依题意得： ，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：每个A种纪念品的进价为40元，每个B种纪念品的进价为30元．
【解析】【分析】设每个A种纪念品的进价为x元，则每个B种纪念品的进价为元，利用数量＝总价÷单价，结合采购相同数量的A，B两种纪念品，分别用了1200元和900元，即可得出关于x的分式方程，解方程即可求出答案.
31．作图题：在方格纸中，将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1
（1）画出△A1B1C1．
（2）∠CAB＝70°，∠CBA＝54°，求∠CBC1得度数．
【答案】（1）解：△A1B1C1如图所示
（2）解：∵△ABC向右平移得到△A1B1C1，
∴∠C1A1B1＝∠CAB＝70°，
∴∠CBC1＝180°﹣∠CBA﹣∠C1A1B1＝180°﹣54°﹣70°＝56°．
【解析】【分析】（1）先分别作出A、B、C平移后的点的位置，再连接即可；
（2）根据平移的性质和三角形的内角和计算即可。
32．把下列各式因式分解：
（1）9x2﹣6xy+3x
（2）2ax2﹣4axy+2ay2
（3）（x﹣1）（x+2）﹣4
（4）（2a+b）2﹣（a+2b）2．
【答案】（1）解：9x2﹣6xy+3x=3x（3x﹣2y+1）
（2）解：2ax2﹣4axy+2ay2
=2a（x2﹣2xy+y2）
=2a（x﹣y）2
（3）解：（x﹣1）（x+2）﹣4
=x2+x﹣2﹣4
=x2+x﹣6
=（x﹣2）（x+3）
（4）解：（2a+b）2﹣（a+2b）2
=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）
=3（a+b）（a﹣b）
【解析】【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解；（3）先展开，再合并同类项，再利用十字相乘法分解因式；（4）利用平方差公式分解因式．
33．为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
【答案】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，
依题意得： + =1，
解得x=20，
检验，当x=20时，3x≠0，
所以原方程的解为x=20．
所以3x=3×20=60（天）．
答：乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天
（2）解：设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有y（ + ）=1，
解得y=15．
需要施工的费用：15×（15.6+18.4）=510（万元）．
∵510＞500，
∴工程预算的费用不够用，需要追加预算10万元
【解析】【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，则甲队的工效为 ，乙队的工效为 ，由已知得：甲队工作了30天，乙队工作了10天完成，列方程得： + =1，解出即可，要检验；（2）根据（1）中所求得出甲、乙合作需要的天数，进而求出总费用，即可得出答案．
34．“知识改变命运，科技繁荣祖国”，我市中小学每年都要举办一届科技运动会，下图为我市某校今年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：
（1）该校参加车模、建模比赛的人数分别是　 　人和　 　人：
（2）该校参加航模比赛的总人数是　 　人，空模所在扇形的圆心角的度数是　 　，并把条形统计图补充完整　 　．
（3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖，今年我市中小学参加航模比赛人共有2485人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？
【答案】（1）4；6
（2）24；120°；
（3）32÷80=0.4（1分）0.4×2485=994
答：今年参加航模比赛的获奖人数约是994人
【解析】【解答】解：（1）由条形统计图可得：该校参加车模、建模比赛的人数分别是4人，6人；
（ 2 ）6÷25%=24，（24﹣6﹣6﹣4）÷24×360°=120°，
（3）32÷80=0.4（1分）0.4×2485=994
答：今年参加航模比赛的获奖人数约是994人.
故答案为：（1）4；6；（2）24；120°；见解答过程；（3）994人.
【分析】（1）依据条形统计图可得到问题的答案；（2）依据总数=频数÷百分比可得到航模的总人数，先求得空模的人数，然后再求得百分比，最后，依据圆心角=360°×百分比求解即可；（3）先求得获奖的频率，然后，用总人数乘获奖频率即可.
35．已知方程组 的解x为非正数，y为负数.
（1）求a的取值范围.
（2）化简：
【答案】（1）解：解方程组得 ，
根据题意，得： ，
解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则a的取值范围为： ；
（2）解：
.
【解析】【分析】（1）首先求出方程组的解，然后根据x≤0，y<0进行求解就可得到a的范围；
（2）根据（1）中求出的a的范围结合绝对值的性质进行化简.
36．通辽市某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的学生中，分别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查结果的部分数据如下表（图）所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级最喜欢排球的人数为10人．
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目 排球 篮球 踢毽 跳绳 其他
人数（人） 7 8 14 6
请根据以上统计表（图）解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少人？
（2）补全统计表和统计图．
（3）该校有学生1800人，学校想对“最喜欢踢毽子”的学生每4人提供一个毽子，学校现有124个毽子，能否够用？请说明理由．
【答案】（1）解：从九年级最喜欢运动的项目统计图中得知，九年级最喜欢排球的人数占总数的百分比为： ，
又知九年级最喜欢排球的人数为10人，
∴九年级最喜欢运动的人数有 （人），
∴本次调查抽取的学生数为： （人）
（2）解：根据（1）得七年级最喜欢跳绳的人数有 人，
那么八年级最喜欢跳绳的人数有 人，
最喜欢踢毽的学生有 人，
九年级最喜欢排球的人数占全年级的百分比＝
补全统计表和统计图如图所示；
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目 排球 篮球 踢毽 跳绳 其他
人数（人） 7 8 14 15 6
（3）解：不够用，理由： ，
∵ ，
∴不够用．
故答案为：15．
【解析】【分析】（1）由扇形统计图得九年级排球占了20％，已知排球人数为10人，故求出九年级整体50人。根据题意本次共抽查了50×3人。
（2）统计表的应用。能够根据总体人数求出每一项目的人数，能够根据单个项目的人数与总体人数的比值，求出所占的比例，即可补全表格。
（3）根据频数求出概率，用学校人数乘以概率估算喜欢踢毽子的所有学生人数，计算毽子的个数。
37．如图，已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2+∠1=180°，且∠BEC=2∠B+30°，求∠B的度数．
【答案】（1）证明：∵∠A=∠AGE，∠D=∠DGC，
又∵∠AGE=∠DGC，
∴∠A=∠D，
∴AB∥CD
（2）解：∵∠1+∠2=180°，
又∵∠CGD+∠2=180°，
∴∠CGD=∠1，
∴CE∥FB，
∴∠C=∠BFD，∠CEB+∠B=180°．
又∵∠BEC=2∠B+30°，
∴2∠B+30°+∠B=180°，
∴∠B=50°．
【解析】【分析】（1）欲证明AB∥CD，只需推知∠A=∠D即可；（2）利用平行线的判定定理推知CE∥FB，然后由平行线的性质即可得到结论
38．根据第五次、第六次全国人口普查结果显示：某市常住人口总数由第五次的400万人增加到第六次的450万人，常住人口的学历状况统计图如下（部分信息未给出）：
解答下列问题：
（1）计算第六次人口普查小学学历的人数，并把条形统计图补充完整；
（2）第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是多少？
【答案】（1）解：450﹣36﹣55﹣180﹣49=130（万人）；
（2）解：第五次人口普查中，该市常住人口中高中学历人数的百分比是：1﹣3%﹣17%﹣38%﹣32%=10%，
人数是400×10%=40（万人），
∴第六次人口普查中，该市常住人口中高中学历人数是55万人，
∴第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是： ×100%=37.5%
【解析】【分析】（1）由六次全国人口普查中某市常住人口总数是450万人，再根据条形图求得大学，高中，初中，以及其他学历的人数，则可知小学学历的人数；（2）根据扇形图求得第五次全国人口普查中某市常住人口中高中学历的百分比，求出人数，根据第六次全国人口普查中该市常住人口中高中学人数，求出 ×100%即可．
39．某校260名学生参加植树活动，活动结束后学校随机调查了部分学生每人的植树棵数，并绘制成如下的统计图①和统计图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为　 　，图①中m的值为　 　；
（2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（3）求本次调查获取的样本数据的平均数，并根据样本数据，估计这260名学生共植树多少棵？
【答案】（1）20；20
（2）解：本次调查获取的样本数据的众数和中位数分别为都为5棵；
（3）解： 根据题意得：4×20%+5×40%+6×30%+7×10%＝0.8+2+1.8+0.7＝5.3（棵），
则260×5.3＝1378（棵），
即估计这260名学生共植树1378棵
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：8÷40%＝20，m%＝ ＝20%，即m＝20，
故答案为：20；20
【分析】（1）根据两个统计图，选择一组对应的数据即可计算得到学生的总人数，根据总人数计算m的值即可。
40．如图，在方格纸中，直线AC与CD相交于点C．
（1）过点E画直线EF，使EF⊥AC；
（2）分别写出（1）中三条直线之间的位置关系；
（3）根据你观察到的EF与CD之间的位置关系，用一句话来表达你的结论．
【答案】（1）解：直线EF如图所示
（2）解：AC⊥CD，EF⊥AC，EF∥CD
（3）解：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行
【解析】【分析】（1）根据网格结构作出EF即可；（2）结合图形写出垂直、平行的直线；（3）根据垂线的性质写出结论．
41．我们规定：a*b=10a×10b，例如3*4=103×104=107．
（1）试求12*3和2*5的值；
（2）想一想（a*b）*c与a*（b*c）相等吗？如果相等，请验证你的结论．
【答案】（1）解：12*3=1012×103=1015，2*5=102×105=107
（2）解：不相等．
∵（a*b）*c=（10a×10b）*c=10a+b*c= ×10c= ，
a*（b*c）=a*（10b×10c）=a*10b+c=10a× = ，
∴（a*b）*c≠a*（b*c）
【解析】【分析】（1）依据定义列出算式，然后再依据同底数幂的乘法法则进行计算即可，最后，再进行比较即可；（2）首先依据定义进行进行计算，然后，依据计算结果进行判断即可.
42．如图，已知，直线交于点，交于点点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．
（1）如图，若，，则　 　，　 　；
（2）如图，求与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图，当时，若，，过点作交的延长线于点将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的一条边，请直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1）27；135
（2）解：如图，延长交于，设，交于点，
设，则，
，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
即：
；
（3）解：或或或或
【解析】【解答】解：（1）延长PE交CD于点G，设PE，FQ相交于点H.
∵PE 垂直于QE，
∴∠QEG = ∠PEQ = 90°
∵∠EQN = 63°，AB //CD
∴∠EQC=180°-∠EQN=117°，
∠BPE=∠EGQ=180°-∠EQN - ∠QEG = 27°
故（1）第一空答案为：26°
∵PF平分∠MPE，QF平分∠CQE，
∴∠FPH=∠BPE=13'，∠EQH=-∠EQC=58°
∴∠FHP=∠EHQ=180°-∠QEH-∠EQH=32°
∴∠PFQ=180°-∠FHP-∠FPH=135°
故第二空答案为：135°
（3）解：根据题意，需要分三种情况：
如图，当时，
，
，
如图，当时，
，
，
如图，当时，
，
，
如图，当时，
，
，
如图，当时，
，
舍，
如图，当时，
，
，
综上所述：或或或或．
【分析】(1)延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点 H，设∠MPE = 2a，则∠FPE=∠BPE = α，根据AB∥CD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和定理表示出∠EQC，进而得出∠EQH，然后结合△EQH和△PFH内角和得出关系式，最后得出答案.
（2）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H.然后设得出，根据平行线的性质得出∠PGQ=∠BPE=2α，根据∠GEQ=180°-∠PEQ，得出∠EQC=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2α，由此得出：∠HQE=，最后根据三角形内角和定理即可得出：2∠PFQ-∠PEQ=180°
（3）本题分三种情况进行解答求值：①当时，②当时，③当时.
43．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是230cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
（1）写出图甲中m与n的值，m＝　 　，n＝　 　．
（2）在试生产阶段，若将a张标准板材用裁法一裁剪，b张标准板材用载法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式（长大于宽）无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 　 　张，B型板材 　 　张（用含有a、b的代数式表示）
②当10＜b＜20时，所截得的A型板材和B型板材恰好配套用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 　 　个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
【答案】（1）60；40
（2）3a+2b；a+2b；16或20或24
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：，
解得：，
故答案为：60；40.
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：3×a＝3a，裁法二产生A型板材为：2×b＝2b，
∴两种裁法共产生A型板材为（3a+2b）张，
由图示裁法一产生B型板材为：1×a＝a，裁法二产生A型板材为：2×b＝2b，
∴两种裁法共产生B型板材为（a+2b）张；
故答案为：3a+2b；a+2b；
②当10＜b＜20时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是28或32或36．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴，
化简得3a＝2b，
∵a，b皆为整数，
∴b＝a，
又∵10＜b＜20，
∴＜a＜，
∴a可取8，10，12．
∴b为12，15，18，可做成的礼品盒个数分别为16，20，24．
故答案为：16或20或24．
【分析】（1）根据题意找出等量关系，求出，再解方程组即可；
（2）①结合题意，列代数式即可；
②根据题意先求出，再求出＜a＜，最后求解即可。
44．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）
（1）若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．
【答案】（1）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
解得：．
答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（2）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
．
、为正整数，
为的倍数，
又，
满足条件的为：，，，．
答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，．
【解析】【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，由示意图可知一个竖式纸箱需要一张正方形纸板，4张长方形纸板，一个横式纸箱需要2张正方形纸板，3张长方形纸板，根据正方形纸板1000张可列出方程x+2y=1000，再根据长方形纸板2000张可列出方程4x+3y=2000，联立方程组解得x、y的值；
（2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据正方形纸板80张，长方形纸板a张列出方程组，再利用加减消元法消去m用a表示出n，然后由n、a的取值范围得到a的值.
45．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）．方法一：裁切靠背16张和坐垫0张．方法二：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张．方法三：裁切靠背 　　张和坐垫 　　张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
【答案】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，
根据题意得：，
，
，为非负整数，
或
或，
方法二：裁切靠背张和坐垫张；
方法三：裁切靠背张和坐垫张；
任务二：
每张学生椅用料35+15=50（cm）
（50×240）÷50=240（张）
该工厂购进张该型号板材，能制作成张学生椅；
任务三：
设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张，
根据题意得：
解得： （张），
需要购买该型号板材张，用其中张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张
【解析】【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，可得：，求出非负整数解即可；
任务二：先求出每张学生椅用料，用总材料除以每张学生椅用料计算出能多少张学生椅；
任务三：根据题意靠背需要500张，坐垫需要500-8张，设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张，列出二元一次方程组，解方程组可得答案．
46．假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．”小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了6.5千米，付车费14.5元．”问：
（1）出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？
（2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多少元？
【答案】（1）解：设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元．依题意得： ，解得： ．
答：出租车的起步价是元，超过1.5千米后每千米收费2元；
（2）解： +（5.5-1.5）×2=12.5（元）．
答：小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费12.5元．
【解析】【解答】（1）设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元．依题意得： ，解得： ．答：出租车的起步价是元，超过1.5千米后每千米收费2元；（2） +（5.5-1.5）×2=12.5（元）．答：小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费12.5元．
【分析】（1）设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元．根据他们的对话列出方程组并解答；（2）5.5千米分两段收费：1.5千米、（5.5-1.5）千米．根据（1）中的单价进行计算．
47．已知直线ABCD，点E在直线AB、CD之间，点M、N分别在直线AB、CD上．
（1）如图1，直线GH过点E，分别与直线AB、CD交于点G、H，∠AME=∠GND，求证：∠NGH+∠MEH=180°；
（2）如图2，点F在直线CD上，ME、NE分别平分∠AMF、∠MNF，若∠FMN=2∠MEN，求∠MEN的度数；
（3）如图3，MQ平分∠AME，MH平分∠BME，GN平分∠ENC．直线GN与MH交于点H，NK平分∠END，NFMQ．求证：∠MHG=∠KNF．
【答案】（1）证明：延长ME交CD于点Q，如图，
∵ABCD，
∴∠AME=∠MQD，
∵∠AME=∠GND，
∴∠MQD=∠GND，
∴GNMQ，
∴∠NGH=∠GEM，
∵∠GEM+∠MEH=180°，
∴∠NGH+∠MEH=180°；
（2）解：过E作EQAB，如图．
∵ME平分∠AMF，EN平分∠MNF，
∴设∠AME=∠FME=x°，∠MNE=∠ENF=y°．
∵EQAB，ABCD．
∴EQCD，
∵EQAB．
∴∠MEQ=∠AME=x°．
∵EQCD．
∴∠NEQ=∠ENF=y°．
∴∠MEN=∠MEQ+∠NEQ=（x+y）°．
∵∠FMN=2∠MEN，
∴∠FMN=（2x+2y）°，
∵ABCD，
∴∠BMN=∠MNF=2y°．
∵∠AMF+∠FMN+∠BMN=180°，
∴2x+2（x+y）+2y=180，
∴x+y=45，
∴∠MEN=45°；
（3）证明：过E作EOAB，EJQM，过H作HSCD，如图．
∵MQ平分∠AME，GN平分∠ENC，
设∠AMQ=x°，∠GNC=y°，
由（2）方法可得∠MEN=（2x+2y）°，
∵HSCD，
∴HSABCD，
∴∠GHS=∠GNC=y°，∠MHS=∠BMH=（180° 2x°）=90° x°，
∴∠MHG=∠MHS ∠GHS=90° x° y°，
∵NF平分∠END，
∴∠ENF=∠FNH=∠END=90° y°，
∵ABCD，
∴∠LPN=∠BMH=90° x°，
∵QMNF，
∴∠MLH=∠QMH=∠QME+∠EMH=x°+90° x°=90°，
在△NLP中，∠LNP=180° ∠NLP ∠LPN=180°-90°-（90°-x°）=x°，
∴∠KNF=∠KNP ∠FNP=90° y° x°，
∴∠MHG=∠KNF．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠MQD=∠GND，GNMQ，∠NGH=∠GEM，再利用内角和即可得解；
（2）过E作EQAB，利用角平分线的性质，设∠AME=∠FME=x°，∠MNE=∠ENF=y°，得出EQCD，∠MEQ=∠AME=x°，∠NEQ=∠ENF=y°，得出∠MEN=∠MEQ+∠NEQ=（x+y）°，∠BMN=∠MNF=2y°，根据∠AMF+∠FMN+∠BMN=180°，代入得出x+y的值，即可得解；
（3）过E作EOAB，EJQM，过H作HSCD，MQ平分∠AME，GN平分∠ENC，设∠AMQ=x°，∠GNC=y°， 由（2）方法可得∠MEN=（2x+2y）°，得出HSABCD，∠MHG=∠MHS ∠GHS=90° x° y°，在△NLP中，∠LNP=180° ∠NLP ∠LPN=180°-90°-（90°-x°）=x°，得出∠KNF=∠KNP ∠FNP=90° y° x°，即可得解。
48．某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件。若花费 480元购进的A种纪念的数量是花费 480 元购进B种纪念品的数量的，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4 元.
（1）求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元
（2）若商店一次性购买A、B纪念品共200件，要使总费用不超过 3000元，最少要购买多少件B种纪念品
【答案】（1）解：设购买一件B种纪念品需x元，则购买一件A种纪念品需（x+4）元，
依题意，得： ，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴x+4＝16.
答：购买一件A种纪念品需16元，购买一件B种纪念品需12元
（2）解：设购买m件B种纪念品，则购买（200﹣m）件A种纪念品，
依题意，得：16（200﹣m）+12m≤3000，
解得：m≥50.
答：最少要购买50件B种纪念品.·
【解析】【分析】（1）设购买一件B种纪念品需x元，则购买一件A种纪念品需（x+4）元，根据数量=总价÷单价，结合花费 480元购进的A种纪念的数量是花费 480 元购进B种纪念品的数量的 ，即可得出关于x的分式方程，解出x的值检验后得出结论；
（2）设购买m件B种纪念品，则购买（200﹣m）件A种纪念品，根据总价=单价×数量结合要使总费用不超过3000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解后取其中的最小值即可得出结论.
49．问题解决
（1）糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？
（2）现有根竹签，个山楂．若每根竹签串个山楂，还剩余个山楂，则下列等式成立的是　 　（填写序号）．
⑴；⑵；⑶．
【答案】（1）解：解法一：
设竹签有根，山楂有个，
根据题意，得
解得
答：竹签有20根，山楂有104个．
解法二
设竹签有根，
根据题意，得，
解得，
，
答：竹签有20根，山楂有104个．
反思归纳
（2）（2）
【解析】【解答】解：（2）∵每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，
则ac+d=b，
故答案为（2）．
【分析】（1）方法一： 设竹签有根，山楂有个， 根据题意列出方程组求解即可；
方法二：设竹签有根，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据山楂的数量一定可得ac+d=b，从而得解。
50．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点．
（1）如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；
（2）如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．
【答案】（1）解：∠3+∠1=∠2成立．
如图①，作PE∥l1，
∴∠APE=∠1，
∵ l1∥l2， PE∥ l1，
∴PE∥l2，
∴∠BPE=∠3，
∴∠2=∠APE+∠BPE=∠1+∠3；
（2）解：∠3+∠1=∠2不成立，新的结论为∠3-∠1=∠2．
如图②，作PE∥l1，
∴∠APE=∠1，
∵ l1∥l2， PE∥ l1，
∴PE∥l2，
∴∠BPE=∠3，
∴∠2=∠BPE-∠APE=∠3-∠1.
【解析】【分析】 (1) 过点P作PE∥l1，根据两直线平行内错角相等得到∠APE=∠1，根据PE∥l2，再根据两直线平行内错角相等得到∠BPE=∠3，从而得到∠BPE+∠APE=∠2，等量代换即可得出结论；
(2)过点P作PE∥l1，根据两直线平行内错角相等得到∠APE=∠1，根据PE∥l2，再根据两直线平行内错角相等得到∠BPE=∠3，从而得到∠BPE-∠APE=∠2，等量代换即可得出结论.
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