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【综合题强化训练·50道必刷题】浙教版八年级下册期末数学卷
1．服装批发市场有一批服装，如果每件盈利（毛利润）50元，每天可售出500件．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少2件．
（1）若以每件能盈利70元的单价出售，问每天的总毛利润为多少元？
（2）现市场要保证每天总毛利润40000时，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？
2．商场某种商品平均每天可销售30件，每件赢利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售出2件．
（1）若某天，该商品每天降价4元，当天可获利多少元？
（2）每件商品降多少元，商场日利润可达2100元？
3．富强村年的人均收入为万元，年的人均收入为万元．
（1）求富强村人均收入的年平均增长率；
（2）如果该村人均收入的年平均长率不变，请估计今年富强村的人均收入为多少万元．
4．如图，在中，O是对角线，的交点，，，垂足分别为点E，F．
（1）求证：；
（2）若，，求．
5．某中学八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“防疫宣传”演讲比赛，其预赛成绩单位：分如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出表中的、、、；
平均数 中位数 众数 方差
甲班 8.5 8.5
乙班 8 1.6
（2）请你任选一组统计量描述两个班的成绩水平？
（3）乙班小明说：“我的成绩在我们班是中等水平”，你知道他是几号选手吗？
6．已知关于x的方程kx2-3x+1=0有实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，且满足x1+x2+x1x2= 4，求k的值.
7．如图，菱形的对角线相交于点，，，点为的中点．
（1）求菱形的面积；
（2）求的长．
8．在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕.当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30个.细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2个，但售价不能超过10元.
（1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少；
（2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价定为多少元.
9．如图， 与双曲线 交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求双曲线的函数表达式；
（2）直接写出当 时，不等式 的解集．
10．在平行四边形ABCD中，点P是AB上一点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于点E，连接BE.
（1）如图1，若∠EBC=∠EPA，EC平分∠DEB，证明：四边形ABCD为菱形．
（2）如图2，对角线AC与BD交于点O，当P是AB的中点时，请直接写出与△ADP面积相等的三角形（其中不含以AD为边的三角形）．
11．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形.
（1）求证：四边形ABCD是菱形.
（2）若AC=8，AB=5，求ED的长.
12．小宏去水果店购买了中果和大果两种车厘子，分别花费元和元．若中果的单价比大果少元/斤，且购买的中果数量是大果数量的倍．
（1）求中果车厘子与大果车厘子的单价分别是多少？
（2）小宏发现网上购买车厘子比水果店更便宜．其中果单价便宜了元/斤，大果单价便宜，于是小宏第二次在网上购买，中果的数量在上次的基础上增加了，大果的数量在上次的基础上增加了，结果这次购买车厘子的金额比上一次共多了元，求的值．
13．2024巴黎奥运会吉祥物“”玩偶一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每个20元的价格购进该吉祥物玩偶，以每个35元的价格出售时，平均每天可售出30个，为扩大销售，该商店准备适当降价出售，经过一段时间测算，每个吉祥物每降低1元，平均每天可以多售出3个．
（1）若该吉祥物玩偶的销售单价为32元，则当天的销售量为________个；
（2）若该商店想每天销售该玩偶的利润为450元，那么每个玩偶应售价多少元？
14．芬芳的鲜花，能驱散内心的疲惫，让人内心得到放松，感受生活的美好。某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰花和向日葵共300枝，每枝玫瑰的进价为2元，售价为5元，每枝向日葵的进价为4元，售价为10元．
（1）若该花店在无耗损的情况下将玫瑰花和向日葵全部销售完，且总利润不低于1200元，求该花店最多购进玫瑰多少枝
（2）该花店第二次购进玫瑰和向日葵的进价不变．由于销售火爆，玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加枝，售价比第一次提高元；向日葵进货量为100枝，向日葵售价不变，但向日葵在运输过程中有已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1600元，求的值．
15．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低3元，则平均每天的销售可增加30千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2090元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
16．某商品进价为每千克30元．物价部门规定，其售价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元．经市场调研，售价为70元时，日均销售60千克；售价每降低1元，日均销售量增加2千克．在销售过程中，每天支出其他费用500元．若销售这种商品日均获利1950元，则该商品的售价为多少元？
17．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元
18．如图，点 是 斜边 的中点，过点 ， 分别作 ， ，连接 ．
（1）若 ， ，求 的长；
（2）求证： ．
19．如图，一次函数与反比例函数图象交于A，B两点，与x轴交于点C，点A的横坐标为1，.
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围.
20．某汽车销售公司9月份销售某厂的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元；每多售出1部汽车，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元，汽车的售价均为28万元/部．
（1）若该公司当月售出4部汽车，则每部汽车的进价为______万元，此时汽车销售公司月盈利为______万元；（盈利=销售利润+返利）
（2）如果该公司计划当月盈利12万元，那么售出多少部汽车？
21．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
22．如图，在中，点E，F分别是边，上的点，且．
（1）求证：：
（2）若，求证：四边形是矩形．
23．心理学家研究发现，在一节45分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间的变化而变化，开始学生的注意力逐渐增强，中间学生的注意力保持稳定的状态，随后开始分散，经实验学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示．
（1）一位教师为了达到最好的上课效果，准备课前复习，要求学生的注意力指数至少达到30时，开始上新课，问他应该复习多长时间？
（2）如果（1）的这位教师本节新课内容需要22分钟，为了使学生的听课效果最好，问这位教师能否在学生听课效果最好时，讲完新课内容？
24．在学校组织的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分，学校将八年级一班和二班参赛人员的成绩整理并绘制成如下的统计图.
（1）分别求出此次比赛中两个班的平均成绩.
（2）从两个班成绩的平均数、中位数和众数的角度进行分析，你认为哪个班的成绩更好？
25．如图1，在中，CD是斜边AB上的中线，交AC的延长线于点．在BE上作点使得四边形CDBF是菱形．以下是两位同学的尺规作图的方法．
小佳：如图2，以为圆心，BD长为半径作弧交BE于点，连结CF，则四边形CDBF是菱形.
小乐：如图3，分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧交于点，连结DM交BE于点，则四边形CDBF是菱形．
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）
①小佳的做法　 　；②小乐的做法　 　．
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程）
26．如图，在△ABC中，AB＝CB，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，顺次连接A、E、C、F．
（1）求证：四边形AECF是菱形．
（2）若EF＝2，AC＝4，直接写出四边形AECF的周长．
27．在四边形ABCD中，ADBC，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与CDE面积相等的三角形（CDE除外）．
28．如图，已知正方形ABCD中，AB＝4，点E，F在对角线BD上，AE∥CF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠ABE＝2∠BAE，求DF的长.
29．据统计，我国入网的智能手机，已经有70% 以上使用了北斗服务，在2020年6月23日，我国北斗三号全球卫星导航系统最后一颗组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空，完成主网的中国北斗也将更加“吸引世界”，微信燃料常用的液体氧化剂有液态氧，四氧化二氮等， 燃烧剂有液氢，偏二甲肼、煤油等.某化工有限公司一直为其提供部分液氢、液氧材料，液氢的单价为每吨0.4万元，液氧的单价为每吨0.1万元.
（1）某一次研发过程中根据需要液氧的数量是液氢数量的8倍，且总费用不超过1200万元，那么本次研发最多从此化工有限公司购进液氧多少吨？
（2）总结上一次的经验，实验室开始第二次研发，液氢的数量在第一次最大数量的基础上增加 ，液氧的数量在第一次最大数量的基础上减少 ，受疫情影响，原料成本有所上涨，该化工有限公司将液氢的单价在原价的基础上上涨2a% ，液氧的单价比原价多30a元，最终结算第二次总费用比（3）中的最高总费用增加 ，求a的值.
30．如图，在△ABC中，AC＝BC，E是AB上一点，且CE＝BE，将△CBE绕点C旋转得到△CAD．
（1）求证：AB∥DC；
（2）连接DE，判断四边形BEDC的形状，并说明理由．
31．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF//CD．
（1）求证：四边形CBFD为菱形；
（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF＝4，求AC的长．
32．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝ AC，连接CE、OE
（1）求证：四边形OCED是平行四边形；
（2）若AD＝DC＝3，求OE的长.
33．法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理.它的内容如下：在一元二次方程 中，它的两根 、 有如下关系： ， .
韦达定理还有逆定理，它的内容如下：如果两数 和 满足如下关系： ， ，那么这两个数 和 是方程 的根.通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和积关系构造一元二次方程.例如： ， ，那么 和 是方程 的两根.
请应用上述材料解决以下问题：
（1）已知 是两个不相等的实数，且满足 ， ，求 的值.
（2）已知实数x，y满足 ， ，求 的值.
34．2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2019年该贫困户是否能脱贫？
35．小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间 （分）与录入文字的速度 （字/分）之间的函数关系如图.
（1）求 与 之间的函数表达式；
（2）小明在19：20开始录入，完成录入时不超过19：35，小明每分钟至少应录入多少个字？
（3）小明为了收看19：30的新闻联播，将原定的录入速度提高了20%，结果比原计划提前2分钟完成，小明实际用了多少分钟完成文章的录入？
36．如图，在中，点E、F分别在、上，且，直线与、的延长线分别交于点G、H．
（1）求证：；
（2）连接、，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
37．已知关于x的一元二次方程 有实数根.
（1）求k的取值范围：
（2）若此方程的两实数根 满足 ，求k的值.
38．已知关于x的一元二次方程k －4x＋2=0有实数根.
（1）求k的取值范围.
（2）在△ABC中，AB=AC=2，若AB，BC的长是方程k －4x＋2=0的两个根，求BC
的长.
39．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5.
（1）AE＝　 　，EF＝　 　
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形.（ 相遇时除外）
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形.
40．图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形 ABCD 各边上分别取点 B1，C1，D1，A1，使 AB1=BC1=CD1=DA1=AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1 ；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点 B2， C2， D2，A2，使A1B2=B1C2=C1D2=D1A2=A1B1，依次连接它们，得到四边形 A2B2C2D2 ；…如此继续下去，得到四条螺旋折线．
（1）求证：四边形A1B1C1D1 是正方形；
（2）求 的值；
（3）请研究螺旋折线BB1B2B3 …中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
41．如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是 ，矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C落在对角线OB上的点E处，折痕与OC交于点D.
（1）求直线OB的解析式及线段OE的长；
（2）求直线BD的解析式及点E的坐标；
（3）若点P是平面内任意一点，点M是直线BD上的一个动点，过点M作 轴，垂足为点N，在点M的运动过程中是否存在以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
42．平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，．
（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，连接，点是的中点，求的长；
（3）如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长．
43．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点A和B.
（1）直接写出坐标：点A　 　，点B　 　；
（2）以线段AB为一边在第一象限内作□ABCD，其顶点D( ， )在双曲线 ( ＞ )上.
①求证：四边形ABCD是正方形；
②试探索：将正方形ABCD沿 轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在双曲线 ( ＞ )上.
44．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，线段AE与AB重合，以AE为边向右侧作正三角形AEF，△AEF绕点A按逆时针方向旋转，旋转角∠BAE=α(0°<α<60°)，射线BE，DF交于点G，连结CE，CG，CF。
（1）求证：BE=CF；
（2）求∠BGD的度数；
（3）当△ECG为等腰三角形时，求 的值。
45．如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．
（1）试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
（2）将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若，在（2）的旋转过程中，
①当为最大值时，则　 　．
②当为最小值时，则　 　．
46．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．
（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；
（2）若 =2，求 的值；
（3）若 =n，当n为何值时，MN∥BE？
47．教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．某校为了解本校九年级学生每天参加体育活动的情况，随机抽取了名学生，对某一天的体育活动时间进行了调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
调查结果的频数分布表
组别 时间（分钟） 频数
5
12
8
根据上述信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中的　 　，扇形统计图中组所在的扇形的圆心角为　 　度；
（2）被抽取的名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在哪一组（直接写出组别即可）；
（3）若该校九年级共有720名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于120分钟的学生人数．
48．如图，矩形ABCD的顶点B，C都在反比例函数 的图象上，对角线BDx轴，并且交y轴于点E（0，3），点E为BD的中点，A的坐标为（- ，0）．
（1）求出反比例函数的解析式；
（2）矩形ABCD的面积为　 　．（直接写出答案即可）
49．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．
（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；
（2）证明图2中的△ABC与△AEF两个互补三角形面积相等；
（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．
①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为 、 、 的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．
②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．
50．如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+ =0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BN的解析式；
（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．
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【综合题强化训练·50道必刷题】浙教版八年级下册期末数学卷
1．服装批发市场有一批服装，如果每件盈利（毛利润）50元，每天可售出500件．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少2件．
（1）若以每件能盈利70元的单价出售，问每天的总毛利润为多少元？
（2）现市场要保证每天总毛利润40000时，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？
【答案】（1）32200元；（2）50元
2．商场某种商品平均每天可销售30件，每件赢利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售出2件．
（1）若某天，该商品每天降价4元，当天可获利多少元？
（2）每件商品降多少元，商场日利润可达2100元？
【答案】解（1）∵ 商品每天降价4元， 商场可多销售出8件
∴商场共销售38件
当天获利为：(50-4)×38=1748（元）
答：若某天该商品每件降价4元，当天可获利1748元．
（2）设每件商品降价x元
根据题意得：
(50-x)(30+2x)=2100
解得：x1=15，x2=20
∵商城要尽快减少库存
∴x=20
答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元．
【解析】【分析】（1）根据： 每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售出2件 ，得出： 商品每天降价4元， 商场可多销售出8件，共销售38件，再乘以每件的利润即可；
（2）设降价x元，再根据“总利润=单件利润×销售数量”，列出一元二次方程，解出x，再根据题意，进行取舍即可.
3．富强村年的人均收入为万元，年的人均收入为万元．
（1）求富强村人均收入的年平均增长率；
（2）如果该村人均收入的年平均长率不变，请估计今年富强村的人均收入为多少万元．
【答案】（1）富强村人均收入的年平均增长率为
（2）估计今年富强村的人均收入为万元
4．如图，在中，O是对角线，的交点，，，垂足分别为点E，F．
（1）求证：；
（2）若，，求．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
．
，，
．
在和中，
．
．
（2）解：由（1）得：，
，
．
，
．
在中，．
．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得
，再利用“AAS”证明
，即可得到OE=OF；
（2）先证明
，再利用勾股定理求出OB的长，最后利用BD=2OB即可得到答案。
5．某中学八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“防疫宣传”演讲比赛，其预赛成绩单位：分如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出表中的、、、；
平均数 中位数 众数 方差
甲班 8.5 8.5
乙班 8 1.6
（2）请你任选一组统计量描述两个班的成绩水平？
（3）乙班小明说：“我的成绩在我们班是中等水平”，你知道他是几号选手吗？
【答案】（1）解：乙班成绩的平均数．
把甲班的成绩从小到大排列，最中间的数是8.5，则中位数是8；
乙班成绩中10分出现次数最多，则乙班成绩的众数是10；
甲班成绩的方差；
（2）解：从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定答案不唯一；
（3）解：因为乙班的成绩的中位数是8，所以小明的成绩是8分，则小明是5号选手．
【解析】【分析】（1）首先求出乙班成绩的和，然后除以总人数可得平均数，把甲班的成绩从小到大排列，找出最中间的数据可得中位数b的值，找出乙班成绩中出现次数最多的数据可得众数c的值，根据方差就是各个数据与该组数据平均数差的平方和的平均数可求出甲班的方差；
（2）根据方差越大数据的波动越大，成绩越不稳定，分析判断；
（3）根据乙班成绩的中位数可得小明的成绩，据此解答.
6．已知关于x的方程kx2-3x+1=0有实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，且满足x1+x2+x1x2= 4，求k的值.
【答案】（1）解：当k＝0时，原方程为-3x+1＝0，
解得：x＝ ，
∴k＝0符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴△＝（-3）2-4×k×1≥0，
解得：k≤ ．综上所述，k的取值范围为k≤
（2）解：∵x1和x2是方程kx2-3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
∵x1+x2+x1x2＝4，
∴ + ＝4，
解得：k＝1，经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．
∴k的值为1．
【解析】【分析】（1）分情况讨论：当k=0时，代入方程可得到关于x的方程，解方程求出x的值；当k≠0时，原方程为一元二次方程，可得到b2-4ac≥0，可得到关于k的不等式，然后求出不等式的解集；即可得到k的取值范围.
（2）利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2 ，x1x2的值，然后整体代入得到关于k的方程，解方程求出k的值.
7．如图，菱形的对角线相交于点，，，点为的中点．
（1）求菱形的面积；
（2）求的长．
【答案】（1）解：四边形为菱形，，，
（2）解：四边形为菱形，
∴，， ．
∴．
∵点E为中点，O为的中点
∴是的中位线，
∴．
【解析】【分析】（1）根据菱形的面积等于两对角线长度的积的一半，可直接求出菱形ABCD的面积；
（2）根据菱形的性质，可以证明△AOB是直角三角形，从而根据勾股定理求菱形的边长AB，再根据三角形中位线定理，得出OE的长度即可。
8．在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕.当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30个.细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2个，但售价不能超过10元.
（1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少；
（2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价定为多少元.
【答案】（1）解：设涨价的百分率为x，
由题意得，
解得（舍去），
答：涨价的百分率是
（2）解：设售价提高y元，
由题意可得，
解得（舍去），
（元），
答：此时小蛋糕的售价定为9元.
【解析】【分析】（1）设涨价的百分率为x，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程求解；
（2）设售价提高y元，根据销售额=售价×销售量可得关于y的方程，解方程可求得y的值，然后根据实际售价=提价前的价格+提高的价格可求解.
9．如图， 与双曲线 交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求双曲线的函数表达式；
（2）直接写出当 时，不等式 的解集．
【答案】（1）解：∵点 在 上，
∴ ，
∴ ，
又：点 在双曲线上，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：由题意得，如图：
∵ ，
解得： 或 ，
∴A（1，3），C（3，1），
当 时，不等式 的解集：
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 A（1，3），C（3，1）， 再根据函数图象求解即可。
10．在平行四边形ABCD中，点P是AB上一点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于点E，连接BE.
（1）如图1，若∠EBC=∠EPA，EC平分∠DEB，证明：四边形ABCD为菱形．
（2）如图2，对角线AC与BD交于点O，当P是AB的中点时，请直接写出与△ADP面积相等的三角形（其中不含以AD为边的三角形）．
【答案】（1）证明： 平行四边形ABCD，
平分
平行四边形ABCD是菱形．
（2）解： 平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，
为 的中点，
与△ADP面积相等的三角形（其中不含以AD为边的三角形）有：
【解析】【分析】（1）证明 可得 结合平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的两条对角线把平行四边形的面积四等分，再结合三角形的中线的性质可得答案．
11．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形.
（1）求证：四边形ABCD是菱形.
（2）若AC=8，AB=5，求ED的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO，
∵△EAC是等边三角形， EO是AC边上中线，
∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是是菱形；
（2）解：∵平行四边形ABCD是是菱形，
∴AO=CO= =4，DO=BO，
∵△EAC是等边三角形，
∴EA=AC=8，EO⊥AC，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得：BO=3，
∴DO=BO=3，
在Rt△EAO中，由勾股定理可得：EO=4
∴ED=EO-DO=4 -3.
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质，可得EO⊥AC，即BD⊥AC，根据平行四边形的对角线互相垂直可证菱形；(2) 根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，BO=DO，再根据△EAC是等边三角形可以判定EO⊥AC，并求出EA的长度，然后在Rt△ABO中，利用勾股定理列式求出BO的长度，即DO的长度，在Rt△AOE中，根据勾股定理列式求出EO的长度，再根据ED=EO-DO计算即可得解.
12．小宏去水果店购买了中果和大果两种车厘子，分别花费元和元．若中果的单价比大果少元/斤，且购买的中果数量是大果数量的倍．
（1）求中果车厘子与大果车厘子的单价分别是多少？
（2）小宏发现网上购买车厘子比水果店更便宜．其中果单价便宜了元/斤，大果单价便宜，于是小宏第二次在网上购买，中果的数量在上次的基础上增加了，大果的数量在上次的基础上增加了，结果这次购买车厘子的金额比上一次共多了元，求的值．
【答案】（1）中果车厘子的单价是元，大果车厘子的单价是元
（2）的值为
13．2024巴黎奥运会吉祥物“”玩偶一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每个20元的价格购进该吉祥物玩偶，以每个35元的价格出售时，平均每天可售出30个，为扩大销售，该商店准备适当降价出售，经过一段时间测算，每个吉祥物每降低1元，平均每天可以多售出3个．
（1）若该吉祥物玩偶的销售单价为32元，则当天的销售量为________个；
（2）若该商店想每天销售该玩偶的利润为450元，那么每个玩偶应售价多少元？
【答案】（1）39
（2）每个玩偶应售价30元
14．芬芳的鲜花，能驱散内心的疲惫，让人内心得到放松，感受生活的美好。某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰花和向日葵共300枝，每枝玫瑰的进价为2元，售价为5元，每枝向日葵的进价为4元，售价为10元．
（1）若该花店在无耗损的情况下将玫瑰花和向日葵全部销售完，且总利润不低于1200元，求该花店最多购进玫瑰多少枝
（2）该花店第二次购进玫瑰和向日葵的进价不变．由于销售火爆，玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加枝，售价比第一次提高元；向日葵进货量为100枝，向日葵售价不变，但向日葵在运输过程中有已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1600元，求的值．
【答案】（1）花店最多购进玫瑰200支
（2）的值为2
15．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低3元，则平均每天的销售可增加30千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2090元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】（1）解：设每千克核桃应降价x元
由题意得
化简得
解得
答：每千克核桃应降价1元或9元
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价1元或9元
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价9元
此时，售价为： （元）
答：该店应按原售价的八五折出售.
【解析】【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用“销售量 每件利润=2090元”列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客，应该下降9元，求出此时的销售单价即可确定几折.
16．某商品进价为每千克30元．物价部门规定，其售价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元．经市场调研，售价为70元时，日均销售60千克；售价每降低1元，日均销售量增加2千克．在销售过程中，每天支出其他费用500元．若销售这种商品日均获利1950元，则该商品的售价为多少元？
【答案】该商品的销售单价为65元．
17．某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元
【答案】（1）解：设平均下降率为x，由题意可得：
200(1 x)2=162，
解得：x1=0.1，x2=1.9（错误，舍去），
∴x=0.1=10%，
答：平均下降率为10%
（2）解：设单价应降低y元，根据题意可得：
(200 162 y)(20+ y)=1150，
解得：y1=13，y2=15，
根据题意，为了减少库存，所以应该降低15元，
答：单价应降低15元．
【解析】【分析】（1）先求出 200(1 x)2=162， 再计算求解即可；
（2）先求出 (200 162 y)(20+ y)=1150， 再计算求解即可。
18．如图，点 是 斜边 的中点，过点 ， 分别作 ， ，连接 ．
（1）若 ， ，求 的长；
（2）求证： ．
【答案】（1）解：∵ 是直角三角形， ， ，
∴ ．
∴ ．
∵点 是 斜边 的中点，
∴
（2）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∵点 是 斜边 的中点，
∴ ．
∴四边形 是菱形．
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD；
（2）求出四边形BECD是菱形，再根据菱形的对角线互相垂直证明即可。
19．如图，一次函数与反比例函数图象交于A，B两点，与x轴交于点C，点A的横坐标为1，.
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围.
【答案】（1）解：∵点，
∴，
∴，
∴，
∴；
把点，，代入，得：
，解得：，
∴
∵反比例函数图象过A点，
∴，
∴；
（2）或
【解析】【解答】解：（2）联立，解得：或，
∴，
由图象可知：反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围为：或.
【分析】（1）由S△AOC=2建立方程，可求出点A的纵坐标，从而可得A（1，2），将点A的坐标代入 反比例函数 求出m的值，从而可得反比例函数的解析式；将点A、C的坐标代入y=kx+b可得关于字母k、b的方程组，求解得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2） 联立两函数的解析式求解可求出点B的坐标，求反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围，从图象上来看，就是求反比例函数图象在一次函数图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合图象即可得出答案.
20．某汽车销售公司9月份销售某厂的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元；每多售出1部汽车，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元，汽车的售价均为28万元/部．
（1）若该公司当月售出4部汽车，则每部汽车的进价为______万元，此时汽车销售公司月盈利为______万元；（盈利=销售利润+返利）
（2）如果该公司计划当月盈利12万元，那么售出多少部汽车？
【答案】（1）26.7，7.2；
（2）解：设该公司需售出部汽车．由题意知：
每部汽车的销售利润为万元．
当时，
由题意得：
整理得
解得，
由题知不合题意舍去，取
当时，
由题意得：
整理得
解得，
由题知不合题意舍去，取
因为，所以舍去．
答：该公司需售出6部汽车．
【解析】【解答】解：（1）由题意，得
每部汽车的进价为：万元，
汽车销售公司月盈利为：万元；
故答案为：26.7，7.2.
【分析】（1）根据进价与销售数量的关系可以表示为进价为万元，再根据售价进价利润就可以表示出月盈利；
（2）设该公司需售出部汽车．根据盈利销售利润返利建立方程求出其解即可．
（1）由题意，得
每部汽车的进价为：万元，
汽车销售公司月盈利为：万元；
故答案为：26.7，7.2；
（2）设该公司需售出部汽车．由题意知：
每部汽车的销售利润为万元．
当时，由题意得：
整理得
解得，
由题知不合题意舍去，取
当时，由题意得：
整理得
解得，
由题知不合题意舍去，取
因为，所以舍去．
答：该公司需售出6部汽车．
21．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）20%
（2）降低 20 元
22．如图，在中，点E，F分别是边，上的点，且．
（1）求证：：
（2）若，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形．
∴，，
在和中，
∴．
（2）证明：∵四边形是平行四边形．
∴，
∴．
又∵，
∴．
由（1）知，．
∴．
∴．
∴四边形是矩形．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，∠B=∠D，由已知条件可知∠BAE=∠DCF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由平行四边形以及平行线的性质可得∠AEB=∠EAF，易得∠AEB=∠AEC=∠EAF=90°，由全等三角形的性质可得∠CFD=∠AEB=90°，则∠AFC=∠CFD=∠AEC=∠EAF=90°，然后根据矩形的判定定理进行证明.
23．心理学家研究发现，在一节45分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间的变化而变化，开始学生的注意力逐渐增强，中间学生的注意力保持稳定的状态，随后开始分散，经实验学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示．
（1）一位教师为了达到最好的上课效果，准备课前复习，要求学生的注意力指数至少达到30时，开始上新课，问他应该复习多长时间？
（2）如果（1）的这位教师本节新课内容需要22分钟，为了使学生的听课效果最好，问这位教师能否在学生听课效果最好时，讲完新课内容？
【答案】（1）解：设DA的函数关系式为y=kx+b（x≠0），
∵y=kx+b过（0，20），（10，40），
∴，
∴，
∴y=2x+20（0≤x≤10）；
当y=30时，30=2x+20，
∴x=5；
答：他应该复习5分钟；
（2）解：设BC的函数关系式（k1≠0）（21≤x≤45），
∵过B（21，40），
∴，
∴K1=840，
∴（21≤x≤45），
当x=30时，，
28﹣5=23，
∵23＞22，
∴这位老师能在学生听课效果最好时讲完新课内容．
【解析】【分析】（1）设DA的函数关系式为y=kx+b（x≠0），将点（0，20），（10，40）代入求出k、b的值可得y=2x+20（0≤x≤10），再将y=30代入计算即可；
（2）设BC的函数关系式（k1≠0）（21≤x≤45），将点B代入求出k1=840，再将x=30代入反比例求出y的值，最后比较大小即可。
24．在学校组织的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分，学校将八年级一班和二班参赛人员的成绩整理并绘制成如下的统计图.
（1）分别求出此次比赛中两个班的平均成绩.
（2）从两个班成绩的平均数、中位数和众数的角度进行分析，你认为哪个班的成绩更好？
【答案】（1）解：由条形统计图可得八年级一班的平均成绩为：
（分），
八年级二班的平均成绩为：
（分）.
（2）解：八年级一班的中位数落在 等级，为 （分），众数是 分，
八年级二班 个同学的得分按从高到低排在第 与第 的为 分与 分，
所以中位数为 （分），众数为 分，
显然：两个班的平均成绩相同的情况下，八年级一班的中位数与众数都比八年级二班的中位数与众数要高，所以八年级一班的成绩更好.
【解析】【分析】(1)根据加权平均数公式，结合条形统计图的数据计算即可；
(2)先根据中位数和众数的定义分别计算出两个班级的中位数和众数，结合平均数相同，比较中位数和众数即可判断.
25．如图1，在中，CD是斜边AB上的中线，交AC的延长线于点．在BE上作点使得四边形CDBF是菱形．以下是两位同学的尺规作图的方法．
小佳：如图2，以为圆心，BD长为半径作弧交BE于点，连结CF，则四边形CDBF是菱形.
小乐：如图3，分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧交于点，连结DM交BE于点，则四边形CDBF是菱形．
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）
①小佳的做法　 　；②小乐的做法　 　．
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程）
【答案】（1）正确；正确
（2）解：①小佳的做法正确，理由如下：
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴，∠ACB=90°，
∴∠DCB=∠DBC，
∵BE//DC，
∴∠DCB=∠CBE，
∴∠DBC=∠CBE，
又∵∠BCE=180°-∠ACB=90°=∠ACB，BC=BC，
∴△ABC≌△EBC(ASA)，
∴AB=EB，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴CD=BD=BF=CF，
∴四边形CDBF是菱形
【解析】【解答】解：①小佳的做法正确，理由如下：
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴，∠ACB=90°，
∴∠DCB=∠DBC，
∵BE//DC，
∴∠DCB=∠CBE，
∴∠DBC=∠CBE，
又∵∠BCE=180°-∠ACB=90°=∠ACB，BC=BC，
∴△ABC≌△EBC(ASA)，
∴AB=EB，
由作图方法可知，，
∴，
∴，
∴CD=BD=BF=CF，
∴四边形CDBF是菱形；
②由作图方法可知，DF垂直平分BC，
∴CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴，∠ACB=90°，
∴∠DCB=∠DBC，
∵BE//DC，
∴∠DBC=∠CBE=∠FCB=∠FBC，
又∵BC=BC，
∴△DBC≌△FBC(ASA)，
∴CD=CF=BD=BF，
∴四边形CDBF是菱形.
故答案为：正确；正确.
【分析】(1)①先由直角三角形的性质得到CD= BD，则由等边对等角和平行线的性质证明∠DBC=∠CBE，再证明△ABC≌△EBC(ASA)得到AB=EB，由作图方法得到，进而得到，据此可得结论；
②可得DF垂直平分BC，则CF=BF，进而得到∠FCB=∠FBC，进一步证明∠DBC=∠CBE=∠FCB=∠FBC，则可证明△DBC≌△FBC(ASA)，则CD=CF=BD=BF，据此可证明四边形CDBF是菱形；
(2)同(1)证明即可.
26．如图，在△ABC中，AB＝CB，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，顺次连接A、E、C、F．
（1）求证：四边形AECF是菱形．
（2）若EF＝2，AC＝4，直接写出四边形AECF的周长．
【答案】（1）证明：∵AB=CB，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD=CD，
∵DE=DF，
∴四边形AECF是菱形
（2）解：四边形AECF的周长为4．
【解析】【分析】（1）根据菱形的判定定理及性质即可求出答案。
（2）菱形对角线互相垂直平分，根据勾股定理即可求出菱形边长即可求出菱形周长。
27．在四边形ABCD中，ADBC，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与CDE面积相等的三角形（CDE除外）．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，∴ABCD为平行四边形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，∴图中所有与△CDE 面积相等的三角形有BCD，ABD，ACD，ABC．
【解析】【分析】（1）利用菱形的判定方法证明即可；
（2）先求出 AC∥DE， 再求出 BC＝AD＝CE， 最后求解即可。
28．如图，已知正方形ABCD中，AB＝4，点E，F在对角线BD上，AE∥CF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠ABE＝2∠BAE，求DF的长.
【答案】（1）证明：∵AE∥CF，
∴∠AEF＝∠CFB.
∴∠AEB＝∠CFD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS）.
（2）过点E作HE⊥BE，交AB于H点，
∴∠BHE＝∠HBE＝45°.
∵∠ABE＝2∠BAE，
∴∠BHE＝2∠BAE.
又∵∠BHE＝∠HAE+∠AEH，
∴∠HAE＝∠HEA.
∴AH＝HE.
设BE＝DF＝HE＝AH＝x，
则HB＝
∴ ＝4，解得x＝4 ﹣4.
∴DF＝4 ﹣4.
【解析】【分析】（1）利用平行线性质和正方形的性质可得∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF，AB=CD，则借助AAS可证明△ABE≌△CDF；
（2）过点E作HE⊥BE，交AB于H点，证明∠HAE=∠HEA，得到AH=HE.设BE=DF=HE=AH=x，则HB= x.根据AB=4，构造关于x的方程，解方程即可.
29．据统计，我国入网的智能手机，已经有70% 以上使用了北斗服务，在2020年6月23日，我国北斗三号全球卫星导航系统最后一颗组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空，完成主网的中国北斗也将更加“吸引世界”，微信燃料常用的液体氧化剂有液态氧，四氧化二氮等， 燃烧剂有液氢，偏二甲肼、煤油等.某化工有限公司一直为其提供部分液氢、液氧材料，液氢的单价为每吨0.4万元，液氧的单价为每吨0.1万元.
（1）某一次研发过程中根据需要液氧的数量是液氢数量的8倍，且总费用不超过1200万元，那么本次研发最多从此化工有限公司购进液氧多少吨？
（2）总结上一次的经验，实验室开始第二次研发，液氢的数量在第一次最大数量的基础上增加 ，液氧的数量在第一次最大数量的基础上减少 ，受疫情影响，原料成本有所上涨，该化工有限公司将液氢的单价在原价的基础上上涨2a% ，液氧的单价比原价多30a元，最终结算第二次总费用比（3）中的最高总费用增加 ，求a的值.
【答案】（1）解：根据题意，设液氢数量为x吨，液氧数量为8x吨，液氢单价为每吨0.4万元，液氧单价为每吨0.1万元，
∴ ，解得：x≤1000，即液氢数量最多为1000吨，液氧数量最多为8000吨，
答：本次研发最多从此化工有限公司购进液氧8000吨
（2）解：第二次试验，液氢数量为 吨，液氧数量为 吨，液氢单价为每吨 万元，液氧单价为每吨 万元，总费用为 万元，
可得方程：
即：
化简得： ，解得：a=0（舍去）或a=10，
答：满足条件的a为10.
【解析】【分析】（1）根据题意，设液氢数量为x吨，液氧数量为8x吨，分别将其数量乘以单价并求和，要求金额不大于1200万元，即可列出一元一次不等式，即可求得液氧最多的数量；（2）根据题意，液氢数量为 吨，液氧数量为 吨，液氢单价为每吨 万元，液氧单价为每吨 万元，总费用为 万元，将其数量乘以单价并求和，列出一元二次方程，即可求解a的值.
30．如图，在△ABC中，AC＝BC，E是AB上一点，且CE＝BE，将△CBE绕点C旋转得到△CAD．
（1）求证：AB∥DC；
（2）连接DE，判断四边形BEDC的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：由旋转的性质得∠BCE＝∠ACD，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
∵CE＝BE，
∴∠B＝∠BCE，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴AB∥CD
（2）解：四边形BEDC是平行四边形，
由旋转的性质得CD＝CE，
∵CE＝BE，
∴CD＝BE，
∵AB∥DC，
∴四边形BEDC是平行四边形．
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出∠BCE＝∠ACD，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAC，∠B＝∠BCE，由平行线的判定可得出结论；
（2）由平行四边形的判定可得出结论。
31．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF//CD．
（1）求证：四边形CBFD为菱形；
（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF＝4，求AC的长．
【答案】（1）证明：，E分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，D是边的中点，
，
又，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：连接，交于于O，如图，
由（1）得：四边形为菱形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，再证出，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出，，再由等边三角形的性质得出，，再推出，，进而得出AC的值。
32．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝ AC，连接CE、OE
（1）求证：四边形OCED是平行四边形；
（2）若AD＝DC＝3，求OE的长.
【答案】（1）证明：在 ABCD中， . ∵DE＝ AC
∴DE=OC.
∵DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形.
（2）解：在 ABCD中， . ∵DE＝ AC
∴DE=OC.
∵DE//AC，
∴四边形OADE是平行四边形，
∴OE=AD，
∵AD＝DC＝3.
∴OE=3
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及已知条件，可求出DE=OC，由DE//AC，利用一组对边平行且相等可证四边形OCED是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质及已知条件，可求出DE=OC=OA，由DE//AC可证四边形OADE是平行四边形，可得OE=AD=3.
33．法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理.它的内容如下：在一元二次方程 中，它的两根 、 有如下关系： ， .
韦达定理还有逆定理，它的内容如下：如果两数 和 满足如下关系： ， ，那么这两个数 和 是方程 的根.通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和积关系构造一元二次方程.例如： ， ，那么 和 是方程 的两根.
请应用上述材料解决以下问题：
（1）已知 是两个不相等的实数，且满足 ， ，求 的值.
（2）已知实数x，y满足 ， ，求 的值.
【答案】（1）解：∵ 是两个不相等的实数，且满足 ， ，
∴m，n是方程x2-2x-4=0的两个实根
∴m+n=2，mn=-4
∴ .
（2）解：∵xy+（x+y）=13，x2y+xy2=xy（x+y）=42，
∴xy，x+y看作一元二次方程a2-13a+42=0的两个实数根，
解得：xy=6，x+y=7或xy=7，x+y=6，
当xy=6，x+y=7时，x2+y2=（x+y）2-2xy=49-12=37；
当xy=7，x+y=6时，x2+y2=（x+y）2-2xy=36-14=22；
综上，x2+y2的值为22或37.
【解析】【分析】（1）把m，n看作是一元二次方程x2-2x-4=0两个根，由韦达定理得出m+n=2，mn=-4，代入 求出答案；（2）利用已知得出xy，x+y看作一元二次方程a2-13a+42=0的两个实数根，进而得出答案.
34．2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2019年该贫困户是否能脱贫？
【答案】（1）解：设年平均增长率为x，根据题意得方程
，
解得 ， （不合题意，舍去）．
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．
（2）解：∵3600×（1+20%）=4320（元）．
∵4320﹥4000 ．
∴2019年该贫困户能脱贫．
答：2019年该贫困户能脱贫．
【解析】【分析】（1）设年平均增长率为x，根据“2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元”，列出方程 ，求解即可；
（2）用2018年的纯收入乘以（1+百分率）即可求出2019年的纯收入，再跟4320比较大小即可。
35．小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间 （分）与录入文字的速度 （字/分）之间的函数关系如图.
（1）求 与 之间的函数表达式；
（2）小明在19：20开始录入，完成录入时不超过19：35，小明每分钟至少应录入多少个字？
（3）小明为了收看19：30的新闻联播，将原定的录入速度提高了20%，结果比原计划提前2分钟完成，小明实际用了多少分钟完成文章的录入？
【答案】（1）解：设 ，
把 代入 得， ，
，
与 的函数表达式为 ；
（2）解： 当 时， ，
，
在第一象限内， 随 的增大而减小，
小明录入文字的速度至少为100字 分，
答：小明每分钟至少录入100个字；
（3）解：设小明实际用了 分钟，则原计划用时 分钟，
由题意得， ，
整理得： ，
录入速度提高了 ，则实际录入速度为 字 分，
则 ，
即 ，
解得： ，
经检验 是原方程的解，
小明实际用了10分钟完成文章录入，
答：小明实际用了10分钟完成文章录入.
【解析】【分析】（1）利用函数图象可知此函数是反比例函数，因此设函数解析式为 ，将点（150，10）的坐标代入函数解析式，可求出k的值，即可得到函数解析式；
（2）利用已知可求出录入的时间，将y=15代入可求出对应的x的值，再利用反比例函数的增减性，可求出结果；
（3）设小明实际用了 分钟，则原计划用时 分钟 ，代入函数解析式，可表示出x的值；再根据录入速度提高了 ，则实际录入速度为 字 分，可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
36．如图，在中，点E、F分别在、上，且，直线与、的延长线分别交于点G、H．
（1）求证：；
（2）连接、，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：在中，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）四边形是矩形；
证明：连接、，
在中，，
由（1）知，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【解析】【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）连接AH、GC，先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出平行四边形是矩形。
37．已知关于x的一元二次方程 有实数根.
（1）求k的取值范围：
（2）若此方程的两实数根 满足 ，求k的值.
【答案】（1）解：依题意 =[-(2k-1)]2-4k2.
=-4k+1≥0
解得，k≤ ；
（2）解：∵x1+x2=2k-1，x1x2=k2，
(x1-1)(x2-1)=x1x2-（x1+x2）+1=5，
∴k2-（2k-1）+1=5，
解得，k=-1或3，
∵3＞ ，不合题意，舍去
故k=-1
【解析】【分析】（1）由一元二次方程根的判别式列不等式解题即可，
（2）利用根与系数的关系得出 x1+x2=2k-1，x1x2=k2 ，然后将 整理得 x1x2-（x1+x2）+1=5， 从而整体代入再求解即可.
38．已知关于x的一元二次方程k －4x＋2=0有实数根.
（1）求k的取值范围.
（2）在△ABC中，AB=AC=2，若AB，BC的长是方程k －4x＋2=0的两个根，求BC
的长.
【答案】（1）解：∵方程k －4x＋2=0有实数根
∴△= －4ac≥0 且k≠0
即 －4×k×2≥0
∴16－8k≥0
∴k≤2，
∴k的取值范围是k≤2，且k≠0
（2）解：∵AB，BC的长是方程k －4x＋2=0的两个根，
∴将x=2代入方程k －4x＋2=0，得
∴ k× －4×2＋2=0
k=
∴原方程可化为3 －8x＋4=0
∴解这个方程得，x1= ， x2=2，
∴BC的长为
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有实数根的条件，即△≥0，结合二次项系数不等于0，列不等式求出k的范围即可；
（2）把x=2代入方程k －4x＋2=0中，求出k值，从而得出方程，再解方程即可得出BC的长.
39．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5.
（1）AE＝　 　，EF＝　 　
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形.（ 相遇时除外）
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形.
【答案】（1）t；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵ G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG与△CEH中， ，
∴ ，
∴ GF＝HE，
∴四 边 形 EGFH是平行四边形.
（3）解：如图所示，连接GH，
由（1）可知四边形EGFH是平行四边形
∵点 G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴ GH＝BC＝4，
∴ 当 EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①当0≤t≤2.5时，AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5
②当2.5＜t≤5时，AE＝CF＝t，EF＝2t-5＝4，
解得：t＝4.5
即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形
【解析】【解答】（1）
当0≤t≤2.5时，
当2.5＜t≤5时，
∴
故答案为：t，
【分析】（1）先利用勾股定理求出AC的长度，再根据路程=速度×时间即可求出AE的长度，而当0≤t≤2.5时， ；当2.5＜t≤5时， 即可求解；（2）先通过SAS证明△AFG≌△CEH，由此可得到GF＝HE， ，从而有 ，最后利用一组对边平行且相等即可证明；（3）利用矩形的性质可知FG=EF，求出GH，用含t的代数式表示出EF，建立方程求解即可.
40．图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形 ABCD 各边上分别取点 B1，C1，D1，A1，使 AB1=BC1=CD1=DA1=AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1 ；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点 B2， C2， D2，A2，使A1B2=B1C2=C1D2=D1A2=A1B1，依次连接它们，得到四边形 A2B2C2D2 ；…如此继续下去，得到四条螺旋折线．
（1）求证：四边形A1B1C1D1 是正方形；
（2）求 的值；
（3）请研究螺旋折线BB1B2B3 …中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠B=90°，
又∵AB1=BC1=CD1=DA1=AB，
∴AA1=BB1=.
∴△AB1A1≌△BC1B1.
∴A1B1=B1C1，∠AB1A1=∠BC1B1.
又∵∠BC1B1+∠BB1C1=90°，
∴∠BB1C1+∠AB1A1=90°.
∴∠A1B1C1=90°.
同理可证：B1C1=C1D1=D1A1=A1B1.
∴四边形A1B1C1D1是正方形.
（2）解：∵AA1=BB1=， ，
设AA1=a，则AB1=4a，AB=5a，
∴
∴.
（3）解：相邻线段的比为或.
理由：∵BB1=，，
∴，，
∴
同理可得
∴相邻线段的比为或
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质及已知条件可证得AA1=BB1=，同时可证得∠A=∠B=90°，利用SAS证明△AB1A1≌△BC1B1，利用全等三角形的性质可证得A1B1=B1C1，∠AB1A1=∠BC1B1；再证明∠A1B1C1=90°，同理可证得B1C1=C1D1=D1A1=A1B1；然后利用有一个角是直角的菱形是正方形，可证得结论.
（2）设AA1=a，则AB1=4a，AB=5a，利用勾股定理求出A1B1的长；然后求出 的值.
（3）利用BB1=，及A1B1的长，可得到及A1B1与AB的比值；再求出BB1与B2B3的比值；同理求出B2B1与B2B3的比值，由此可得到螺旋折线 …中相邻线段之间的关系.
41．如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是 ，矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C落在对角线OB上的点E处，折痕与OC交于点D.
（1）求直线OB的解析式及线段OE的长；
（2）求直线BD的解析式及点E的坐标；
（3）若点P是平面内任意一点，点M是直线BD上的一个动点，过点M作 轴，垂足为点N，在点M的运动过程中是否存在以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：设直线OB的解析式为 ，
将点 代入 中，得 ，
，
直线OB的解析式为 ，
四边形OABC是矩形，且 ，
， ，
， ，
根据勾股定理得， ，
由折叠知， ，
；
（2）解：设 ，
，
由折叠知， ， ，
在 中， ，
根据勾股定理得， ，
，
，
， ，
设直线BD的解析式为 ，
，
∴6k`+5=8
∴K`=
直线BD的解析式为 ，
由 知，直线OB的解析式为 ，
设点 ，
根据 的面积得， ，
，
；
（3）解：由 知， ，
以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形，
当OE是菱形的边时， ，
或 ，
Ⅰ、当 时，
轴，
点M的横坐标为4，
点M是直线BD： 上，
，
Ⅱ、当 时，
轴，
点M的横坐标为 ，
点M是直线BD： 上，
，
当OE是菱形的对角线时，记对角线的交点为 ， ，
由 知， ，
，
由 知，直线OB的解析式为 ，
点 过直线PN，
直线PN的解析式为 ，
令 ，
，
，
，
轴，
点M的横坐标为 ，
点M是直线BD： 上，
，
当ON为对角线时，ON与EP互相平分，
点 ，
；
即：点M的坐标为 或 或 或
【解析】【分析】 利用待定系数法求出k，再利用勾股定理求出OB，由折叠求出 ，即可得出结论； 利用勾股定理求出点D坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，最后用三角形的面积公式求出点E的横坐标，即可得出结论； 分两种情况，利用菱形的性质求出点N坐标，进而得出点M的横坐标，代入直线BD解析式中，即可得出结论.
42．平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，．
（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，连接，点是的中点，求的长；
（3）如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）解：如图2，过点作于点，交于点，与延长线交于点，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，
；
（3）解：如图3，延长、交于点，取、的中点、，连接，
，，
，
当点在点位置时，
，
点与点重合，中点与中点重合，
当点运动到点位置时，
，
点与点重合，中点与中点重合，
中点的运动路径长为的长，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
由（2）可知，，
，
、为、的中点，
是的中位线，
，
即线段中点的运动路径长为．
43．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点A和B.
（1）直接写出坐标：点A　 　，点B　 　；
（2）以线段AB为一边在第一象限内作□ABCD，其顶点D( ， )在双曲线 ( ＞ )上.
①求证：四边形ABCD是正方形；
②试探索：将正方形ABCD沿 轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在双曲线 ( ＞ )上.
【答案】（1）；
（2）证明：①过点D作DE⊥x轴于点E，
∵A（1，0），B（0，2），D（3，1），
∴AE=OB=2，OA=DE=1，
在△AOB与△DEA中，
，
∴△AOB≌△DEA（SAS），
∴AB=AD，
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ ，
解得 ，
∵（-2）× =-1，
∴AB⊥AD，
∵四边形ABCD是正方形；
②过点C作CF⊥y轴，
∵△AOB≌△DEA，
∴同理可得出：△AOB≌△BFC，
∴OB=CF=2
∵C点纵坐标为：3，
代入y= ，
∴x=1，
∴应该将正方形ABCD沿X轴向左平移2-1=1个单位长度时，点C的对应点恰好落在（1）中的双曲线上．
【解析】【解答】解：（1）∵令x=0，则y=2；令y=0，则x=1，
∴A（1，0），B（0，2）．
故答案为：（1，0），（0，2）；
【分析】(1)分别令x=0，y=0代入直线 y = 2 x + 2，即可求出A、B两点的坐标；（2）①先证明△AOB和△DEA全等，有AB=AD，然后直线AD的解析式，根据直线AD和AB的k值相乘等于-1，证明AB⊥AD，可证明□ABCD是正方形，②证明△AOB≌△BFC，算出C点纵坐标是3，代入反比例函数解析式，求出C点横坐标是1，则应该向左平移1个单位长度，点C恰好落在双曲线上。
44．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，线段AE与AB重合，以AE为边向右侧作正三角形AEF，△AEF绕点A按逆时针方向旋转，旋转角∠BAE=α(0°<α<60°)，射线BE，DF交于点G，连结CE，CG，CF。
（1）求证：BE=CF；
（2）求∠BGD的度数；
（3）当△ECG为等腰三角形时，求 的值。
【答案】（1）证明：连结AC，在菱形ABCD中，∵∠BAD=120°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF
∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC．
∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF
∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF
（2）解：∵AB=AE，∠BAE=α，
∴∠ABG=90°-
∵AF=AD，∠DAF=60°-α，
∴∠ADF=60°+
∠BGD=360°-∠ABG-∠ADG-∠BAD
=360°-90°+ -60°- -120°=90°
（3）解：∵AF=AE，AD=AC，∠EAC=60°-α=∠FAD
∴△AEC≌△AFD，∴∠AEC=∠AFD
由(2)得，∠AEB=90°- ，∠ADF=60°+
∴∠BEC=90°- +60°+ =150°，∠CEG=30°
同理∠DFC=150°，∠CFG=30°
①如图1，
当CE=CG时，∠CGE=∠CEG=30°
∴∠CGF=∠BGD-∠CGE=60°， ：∠CFG=30°，
∴∠GCF=90°
∴
∵BE=CF，
∴
②如图2，
当EC=EG时，
∵∠CEG=30°，∴∠ECG=∠EGC=75°．
∴∠CGF=∠BGD-∠CGE=15°
过点C作∠GCM=∠CGF =15°交GD于点M，
作CN⊥GD，
设CF=a，则GM=MC=CF=a．
∵∠CFG=30°，∴MN=NF= ，∴FG= a+a．
∴
∵BE=CF，
∴
③当GC=GE时，∠CEG=∠ECG=30°，则∠EGC=120°．
∠EGC>∠BGD，不成立
综上所述， 的值为 ，
【解析】【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质可得∠BAC=60°，由等边三角形的性质可得∠EAF=60°，推出△ABC是等边三角形，然后证明△ABE≌△ACF，据此可得结论；
（2）首先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABG=90°- ，∠ADF=60°+，然后根据四边形内角和为360°就可求得∠BGD的度数；
（3）易证△AEC≌△AFD，得到∠AEC=∠AFD，由（2）得：∠BEC=90°-+60°+=150°，则∠CEG=30°，同理∠DFC=150°，∠CFG=30°，①当CE=CG时，∠CGE=∠CEG=30°，可求得∠GCF=90°，据此求解；②当EC=EG时，可得∠CGF=15°，过点C作∠GCM=∠CGF交GD于点M，作CN⊥GD，设CF=a，则GM=MC=CF=a，然后表示出MN、FG，据此求解；③当GC=GE时，∠EGC=120°．∠EGC>∠BGD，不成立.
45．如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．
（1）试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
（2）将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若，在（2）的旋转过程中，
①当为最大值时，则　 　．
②当为最小值时，则　 　．
【答案】（1）解：结论：．
理由：如图1，延长交于．
是等腰直角三角形，，点是的中点，
，，
．
四边形是正方形，
．
在和中，
，
，
；
（2）解：第（1）中的结论仍然成立，，．理由如下：
如图②，连接，延长交于，交于．
在中，为斜边中点，
，，
．
四边形为正方形，
，且，
，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
．
（3）；
【解析】【解答】解：（3）如图③所示，当旋转角度为270°时，AE的值最大，此时AE=AD+DE=1+2=3，EF=2，
∴AF=；
如图④所示，连接AF，在如图②，在△BDG中，BD=1，DG=2，
∴2-1＜BG＜2+1，
∴1＜BG＜3，
又知AE=BG，
∴1＜AE＜3，
∴当AE=1时，AE的值最小，此时如图④所示G、B、D共线，
在Rt△AEF中，AE=1，EF=2，
AF=。
故第1空答案为：；第2空答案为：.
【分析】（1）根据SAS证明，从而得到BG=AE；
（2）根据SAS证明，从而得到BG=AE，∠BGD=∠AED，进一步得出∠OKG=∠ODE=90°，即BG⊥AE；
（3）①首先根据旋转得出当旋转角度为270°时，AE的值最大，最大值为3，此时如图③所示，在Rt△AEF中，可以根据勾股定理求得AF的长度为；②首先得出1＜AE＜3，得出AE的最小值为1，此时如图④所示G、B、D共线，在Rt△AEF中，根据勾股定理求得AF的长得为.
46．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．
（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；
（2）若 =2，求 的值；
（3）若 =n，当n为何值时，MN∥BE？
【答案】（1）解：当F为BE中点时，如图1，则有BF=EF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF．
在△BMF和△ECF中，
，
∴△BMF≌△ECF，
∴BM=EC．
∵E为CD的中点，
∴EC= DC，
∴BM=EC= DC= AB，
∴AM=BM=EC
（2）解：如图2所示：
设MB=a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥DC，
∴△ECF∽△BMF，
∴ =2，
∴EC=2a，
∴AB=CD=2CE=4a，AM=AB﹣MB=3a．
∵ =2，
∴BC=AD=2a．
∵MN⊥MC，
∴∠CMN=90°，
∴∠AMN+∠BMC=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ANM+∠AMN=90°，
∴∠BMC=∠ANM，
∴△AMN∽△BCM，
∴ ，
∴ = ，
∴AN= a，ND=AD﹣AN=2a﹣ a= a，
∴ = =3
（3）解：当 =n时，如图3：
设MB=a．
∵△MFB∽△CFE，
∴ = ，即 ，解得EC=an．
∴AB=2an．
又∵ =n，
∴ ，
∴BC=2a．
∵MN∥BE，MN⊥MC，
∴∠EFC=∠HMC=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°．
∵∠MBC=90°，
∴∠BMC+∠FCB=90°，
∴∠BMC=∠FBC．
∵∠MBC=∠BCE=90°，
∴△MBC∽△BCE，
∴ ，
∴ ，
∴n=4．
【解析】【分析】（1）如图1，易证△BMF≌△ECF，则有BM=EC，然后根据E为CD的中点及AB=DC就可得到AM=EC；（2）如图2，设MB=a，易证△ECF∽△BMF，根据相似三角形的性质可得EC=2a，由此可得AB=4a，AM=3a，BC=AD=2a．易证△AMN∽△BCM，根据相似三角形的性质即可得到AN= a，从而可得ND=AD﹣AN= a，就可求出 的值；（3）如图3，设MB=a，依据相似三角形的性质可得BC=2a，CE=na．由MN∥BE，MN⊥MC可得∠EFC=∠HMC=90°，从而可证到△MBC∽△BCE，然后根据相似三角形的性质即可求出n的值．
47．教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．某校为了解本校九年级学生每天参加体育活动的情况，随机抽取了名学生，对某一天的体育活动时间进行了调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
调查结果的频数分布表
组别 时间（分钟） 频数
5
12
8
根据上述信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中的　 　，扇形统计图中组所在的扇形的圆心角为　 　度；
（2）被抽取的名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在哪一组（直接写出组别即可）；
（3）若该校九年级共有720名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于120分钟的学生人数．
【答案】（1）10；108
（2）解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，
，
把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C组，
故被抽取的50名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在C组；
（3）解： （人）
答：估计平均每天的体育活动时间不低于120分钟的学生有288人．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：a=5÷10%x20%=10
扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为：(1-10%-20%-24%-16%)x360=108°，
故答案为：10，108；
【分析】（1）根据扇形统计图和频数分布表中的数据计算求解即可；
（2）根据中位数的定义判断求解即可；
（3）根据该校九年级共有720名学生，求出 （人） 即可作答。
48．如图，矩形ABCD的顶点B，C都在反比例函数 的图象上，对角线BDx轴，并且交y轴于点E（0，3），点E为BD的中点，A的坐标为（- ，0）．
（1）求出反比例函数的解析式；
（2）矩形ABCD的面积为　 　．（直接写出答案即可）
【答案】（1）解：连接AC，过点C作CH⊥y轴，垂足为H．
∵四边形ABCD是矩形，BD与AC互相平分，E为BD的中点．
∴AC经过点E．
∴AE=CE．
∵CH⊥y轴，
∴CH∥x轴，
∴∠HCE=∠OAE，
在△HCE和△OAE中，
∴△CEH≌△AEO（ASA）．
∴CH=AO，HE=OE
∵A（- ，0），E（0，3）．
∴OA= ，OE=3
∴CH=AO= ，OH==2OE=6．
∴点C坐标为（ ，6）．
把点C（ ，6）代入 ，得 ．
解得k=
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）
【解析】（2）过A作AF⊥BD于F，
∵BD∥x轴，
∴AF∥y轴，
∴四边形FAOE为平行四边形，
又∵∠AOE=90°，
∴四边形FAOE为矩形，
∴AF=OE=3，
在Rt△AOE中，由勾股定理AE= ，
∴DE=BE=AE= ，
∴BD=2BE=4 ，
S矩形ABCD=2S△ADB=2× ．
故答案为：12 ．
【分析】（1）先求出 ∠HCE=∠OAE， 再求出 △CEH≌△AEO ，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出四边形FAOE为平行四边形，再求出BD=2BE=4 ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
49．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．
（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；
（2）证明图2中的△ABC与△AEF两个互补三角形面积相等；
（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．
①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为 、 、 的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．
②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．
【答案】（1）解：如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．
（2）解：如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，
∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°，
∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．
∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，
∴∠EAH=∠BAC，
∵AF=AC，
∴AH=AC，
在△AEH和△ABC中，
∴△AEH≌△ABC，
∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．
（3）解：①边长为 、 、 的三角形如图4所示．∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．
②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，
∵AM∥CH，CH⊥BC，
∴AM⊥BC，
∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，
∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，
∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，
∴△AEM≌△DBI，
∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，
∴△DBI和△ABC是互补三角形，
∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．
【解析】【分析】（1）作BC边上的中线AD，根据三角形中线的定义知BD=CD，AD=AD，根据领补角的定义+=180，根据互补三角形的定义△ABD和△ADC是互补三角形；
（2）延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．根据正方形的性质AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，根据周角的定义知∠EAF+∠BAC=180°，根据互补三角形的定义得出△AEF和△ABC是两个互补三角形，根据同角的余角相等得出∠EAH=∠BAC，根据正方形的性质及作的辅助线知AH=AC，进而利用SAS判断出△AEH≌△ABC，从而根据全等三角形的面积相等得出S△AEH=S△ABC，由根据等底同高的两个三角形面积相等得出S△AEF=S△AEH，从而得出S△AEF=S△AEH=S△ABC；
（3）①利用勾股定理，结合网格结构画出边长为，，的三角形即可；利用割补法求面积即可；②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，根据平行线的性质得出AM⊥BC，根据垂直的定义得出∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，根据周角的定义，及等量代换得出∠EAM=∠DBI，从而判断出△AEM≌△DBI，在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，根据互补三角形的定义知△DBI和△ABC是互补三角形，然后得出结论。
50．如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+ =0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD=
（1）求点B的坐标；
（2）求直线BN的解析式；
（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式．
【答案】（1）解：∵|x﹣15|+ =0，
∴x=15，y=13，
∴OA=BC=15，AB=OC=13，
∴B（15，13）；
（2）解：如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，
由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，
∵tan∠CBD= ，
∴ = ，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，
∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，
∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，
∴∠ONM=∠CBD，
∴ = ，
∵DE∥ON，
∴ = = ，且OE=3，
∴ = ，解得OM=6，
∴ON=8，即N（0，8），
把N、B的坐标代入y=kx+b可得 ，解得 ，
∴直线BN的解析式为y= x+8；
（3）解：设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，
当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，
由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，且NN′=t，
∴S=NN′ OA=15t；
当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，
∵NN′=t，
∴可设直线B′N′解析式为y= x+8﹣t，
令y=0，可得x=3t﹣24，
∴OG=24，
∵ON=8，NN′=t，
∴ON′=t﹣8，
∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣ （t﹣8）（3t﹣24）=﹣ t2+39t﹣96；
综上可知S与t的函数关系式为S= ．
【解析】【分析】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标；（2）过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得 = ，结合DE∥ON，利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长，则可求得N点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；（3）设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方时，可知S即为 BNN′B′的面积，当N′在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线B′N′的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′，可分别得到S与t的函数关系式．
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