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【综合题强化训练·50道必刷题】北师大版七年级下册期末数学卷
1．某商场周年店庆开展有奖促销活动，活动期间凡进店购物的顾客均有一次转动8等分圆盘（如图）的机会，规定当圆盘停下来时指针指向哪个区域就获得相应等级的奖品，指向空白区域不得奖．
（1）某顾客获得一次转动圆盘的机会，该顾客获得一等奖、二等奖、三等奖的概率分别是______、______、______；
（2）某一天进入该商场购物的顾客有1600名，每人均转动一次圆盘，试估计这一天获得一等奖的顾客有多少人？
2．甲口袋中有1个红球、1个白球，乙口袋中有1个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别.
（1）从甲口袋中随机摸出1个球，恰好摸到红球的概率为　 　；
（2）分别从甲、乙两个口袋中各随机摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求摸出的2个球都是白球的概率.
3．如图，点 ， ， ， 在一条直线上， ， ， ．
求证：
（1） ；
（2） ．
4． 、 两组卡片共5张， 组中三张分别写有数字2、4、6， 组中两张分别写有数字3、5，它们除数字外其他都相同.
（1）随机从 组中抽取一张，则抽到数字是2的概率为　 　；
（2）分别随机从 组、 组中各抽取一张.现制定这样一个游戏规则：若所抽取的两个数字之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？请你用画树状图或列表的方法计算并说明理由.
5．如图，在四边形 中， 垂直平分 ， 垂直平分 .
（1）求证： .
（2）若 ，求 的度数.
6．如图一，∠ACB=90°，点D在AC上，DE⊥AB垂足为E，交BC的延长线于F，DE=EB，EG=EB，
（1）求证：AG=DF；
（2）过点G作GH⊥AD，垂足为H，与DE的延长线交于点M，如图二，找出图中与AB相等的线段，并证明．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，
（1）求∠A的度数
（2）求∠DBC的度数．
8．如图，若AB∥CD，AB=CD且CE=BF．
（1）求证：AE=DF；
（2）若∠AEB=62°，∠C=47°，求∠A的度数．
9．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形．
（1）用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积：
方法一： 　 　；
方法二： 　 　.
（2） ，（m-n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为　 　
（3）应用(2)中发现的关系式解决问题：若x+y=9，xy=14，求x y的值.
10．轿车经过孝感某高速收费站时，有三个收费通道A，B，C可随机选择其中一个通过．
（1）一辆轿车经过收费站时，选择A通道通过的概率是　 　；
（2）若两辆轿车经过此收费站时，请你求出选择不同通道通过的概率．（用画树状图或列表法求解）
11． 2021年我省开始实施“ 3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（ 必考）， 物理和历史两个科目中任选 1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门，共计6门科目，总分750 分， 假设小丽在选择科目时不考虑主观性.
（1）小丽选到物理的概率为　 　；
（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、 地理、 化学、生物四门科目中任选 2门选到化学、生物的概率.
12．在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字 ， ， ， 的红色卡片和三张分别写有数字 ， ， 的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，直接写出该卡片上写有数字 的概率为　 　；
（2）将 张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于 的概率．
13．下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
（1）请根据规律，写出第4个等式：　 　；
（2）猜想：　 　（其中为正整数，且）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：．
14．为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，调动党员教师为民服务的积极性，12月1日上午，某校党支部组织学校党员教师开展“不忘初心、牢记使命”主题教育活动，安排志愿者分别到A、B、C、D四个小区进行服务活动.
（1）若去D小区的人数占全部人数的10%，试求去D小区的人数，并补全统计图；
（2）现有甲乙丙丁4位志愿者也参加此次活动，将采取随机抽签的方式从中选派2人去B小区，试求出正好抽到甲和乙的概率（用画树状图或列表求解）．
15．三张完全相同的卡片正面分别标有数字 1，3，5，将它们洗匀后，背面朝上放在桌上．
（1）随机抽取一张，求抽到数字恰好为 3 的概率；
（2）随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，通过列表 或画树状图求所组成的两位数恰好是“51”的概率．
16．如图1，有一个可自由转动的转盘，被分成了3个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；如图2，另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的3个完全相同的小球．小王先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转）．小丽再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字，然后计算两数的和．若得到的两数之和是3的倍数，则小王胜；若得到的两数之和是7的倍数，则小丽胜，其他情况不分胜负．请用画树状图或列表的方法，分别求出两人获胜的概率．
17．如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3.
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠C＝70°，∠2＝80°，∠4＝65°，求∠FGD的度数.
18．一枚普通的正方体骰子，每个面上分别标有1，2，3，4，5，6，在抛掷一枚普通的正方体骰子的过程中，请用语言描述：
（1）一件不可能事件：　 　
（2）一件必然事件：　 　
（3）一件不确定事件：　 　．
19．计算：
（1）a2 a﹣3=　 　
（2）（﹣a2）﹣3=　 　
（3）（2a﹣2）﹣3=　 　
（4）a2÷a﹣4=　 　．
20．在学习“轴对称现象”内容时，老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明利用手中的一副三角尺和一个量角器（如图所示）进行探究．
（1）小明在这三件文具中任取一件，结果是轴对称图形的概率是　 　；（取三件中任意一件的可能性相同）
（2）小明发现在 、 两把三角尺中各选一个角拼在一起（无重叠无缝隙）会得到一个更大的角，若每个角选取的可能性相同，请用画树状图或列表的方法说明拼成的角是钝角的概率是多少．
21．为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）求这次调查的学生总人数，以及扇形统计图中最喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角度数；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率．
22．如图，已知D是△ABC中一边BC上的中点，AC∥BE，连接ED并延长ED交AC于点N，作DM⊥EN于点D交AB于点M.
（1）求证：BE=CN
（2）试判断BM+CN与MN的大小关系，并说明理由.
23．已知三角形于点D，交于点M．
（1）如图1，当点E在线段上时（点E不与点A、B重合），作于点F，则与的数量关系是　 　；
（2）当点E在的延长线上时，作垂直于交的延长线于点F．
①依题意补全图2；
②猜想与的数量关系，并证明．
24．目前“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度分为：A.无所谓；B.基本赞成；C.赞成；D.反对）.并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）.请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；
（2）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；
（3）在此次调查活动中，初三（1）班有A1、A2两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有B1、B2两位学生家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求出选出的2人来自不同班级的概率.
25．如图，点F，G分别在△ADE的AD，DE边上，C，B依次为GF延长线上两点，AB=AD，∠BAF=∠CAE，∠B=∠D．
（1）求证：BC=DE；
（2）若∠B=35°，∠AFB=78°，直接写出∠DGB的度数．
26．某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：
社团名称 A．酵素制作社团 B．回收材料小制作社团 C．垃圾分类社团 D．环保义工社团 E．绿植养护社团
人数 10 15 5 10 5
（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是　 　；
（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；
（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
27．如图，已知∠BAD+∠ADC=180°，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠AEB．
（1）若∠B=86°，求∠DCG的度数；
（2）AD与BC是什么位置关系 并说明理由；
（3）若∠DAB= ∠DGC= 直接写出当 满足什么数量关系时，AE∥DG
28．现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方体骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片(卡片除数字外，其他都相同)，先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．
（1）请用列表或画树形图(树状图)的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率；
（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大 请说明理由．
29．如图①，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.
（1）求证：BE=CE.
（2）如图②，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，AF=BF，原题设其他条件不变.求证：△AEF≌△BCF.
30．如图，在等边三角形的边上任取一点D，以为边作等边三角形，联结．
（1）试说明的理由，
（2）如果D是的中点，那么线段与有怎样的位置关系？试说明理由
31．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图（1）的面积可以说明多项式的乘法运算 ，那么根据图（2）的面积可以说明多项式的乘法运算是（　　）
A． B．
C． D．
（2）根据图（3）中条件，①用两种方法表示两个阴影图形面积的和，请用等式表示（只需表示，不必化简）；
②如果图（3）中的a， 满足 ， .
求： 的值.
32．下面是小红设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图过程．
已知：点C在直线上，点D在直线外，且．
求作：直线，使得．
作法：如图，
①在线段的延长线上任取一点；
②以D为顶点，为一边，通过量角器度量，在右侧作；
③将射线反向延长．
直线就是所求作的直线．
根据小红的作图过程，解决以下问题：
（1）补全图形，并完成证明过程；
证明：∵，，
∴．
∴（ ）（填推理的依据）．
（2）在（1）的条件下，过点C作的垂线，交直线于点F．求的度数．
33．某中学准备举办一次演讲比赛，每班限定两人报名，初三（1）班的三位同学（两位女生，一位男生）都想报名参加，班主任李老师设计了一个摸球游戏，利用已学过的概率知识来决定谁去参加比赛，游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放3个大小质地完全相同的乒乓球，在这3个乒乓球上分别写上 、 、 （每个字母分别代表一位同学，其中 、 分别代表两位女生， 代表男生），搅匀后，李老师从箱子里随机摸出一个乒乓球，不放回，再次搅匀后随机摸出第二个乒乓球，根据乒乓球上的字母决定谁去参加比赛。
（1）求李老师第一次摸出的乒乓球代表男生的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求恰好选定一名男生和一名女生参赛的概率．
34．为了落实“双减”政策，更好地进行家校共育，学校计划对每位学生进行家访，家访的形式由家长自行选择，某班主任对本班学生家长的家访形式进行调查统计，并绘制如下的统计表和不完整的扇形统计图．
家访形式 数量（人）
入户家访 4
电话家访 15
短信家访 16
到校家访 10
（1）扇形统计图中，“电话家访”所占圆心角的度数是　 　．
（2）若选择“入户家访”的四位学生分别为A，B，C，D班主任决定本周从这四人中随机选取两人进行入户家访，用列表法或画树状图法求恰好选中A，B两人的概率．
35．如图，已知AB＝DC，ABCD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．
36．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，∠DOF=90°．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求∠EOF的度数．
37．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE.
（1）若∠BAE＝30°，求∠C的度数；
（2）若△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，求DC的长．
38．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为 。
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率。
39．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A（1，4），点B（-1，0），点C（1，2）．
（1）请在图中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；(画出一个即可)
（2）求出你所画图形与△ABC的面积之和．
40．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？（直接写出公式）
（2）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．直接写出计算结果　 　．
（3）若图（1）中的阴影部分的面积是16，a﹣b＝2，直接写出a4﹣b4的值．
41．如图，在中，，的外角的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）若，求的度数；
（2）在（1）的条件下，若，求证：；
（3）若，探究、有怎样的数量关系，直接写出答案，不用证明．
42．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 按如图所示的方式叠放在一起（其中 ， ， ），固定三角板 ，另一三角板 的 边从 边开始绕点 顺时针旋转，设旋转的角度为 ．
（1）当 时；
若 ，则 的度数为　 　；
（2）若 ，求 的度数；
（3）由（1）（2）猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（4）当 时，这两块三角尺是否存在一组边互相垂直？若存在，请直接写出 所有可能的值，并指出哪两边互相垂直（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
43．如图，直线ACBK，BC平分∠ABK，点E在射线BC上，直线AE交BK于点D，过点E作直线EFAB，过点D作DFBC．
（1）如图（1）求证：∠GFD=∠GDF；
（2）如图（2）当点E在线段BC延长线时，请直接写出∠EGD与∠EFD的数量关系　 　；
（3）如图（3），在（2）的条件下，AH平分∠CAB交BC于点H，若∠AEB：∠BEG=1：3，且此时∠EAC比∠HAC大10°，求∠EGB的度数．
44．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．现在用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为（用含a，b的代数式表示）；
（2）小敏用图1中的A、B、C三种纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
（3）如图3，C为线段AB上的动点，分别以AC，BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB=6，记正方形ACDE和正方形BCFG的面积分别为S1，S2，且S1+S2=20，利用（1）中的结论求图中三角形ACF的面积．
45．已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段AB上一点，连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE，BE．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACD=α，用含α的代数式表示∠DEB；
（3）若△ACD的外心在三角形的内部，请直接写出α的取值范围．
46．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣8，0），点B的坐标为（﹣8，6），直线BC∥x轴，交y轴于点C，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．
（1）四边形OABC的形状是　 　，当α=90°时， 的值是　 　．
（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求 的值；
②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在BC的延长线上时，求△OPB′的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP= BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
47．将锐角 放置在一块正方形卡纸 上，使点 在正方形的 和 边上．
（1）如图①，若 ，则 　 　度， 　 　度， 　 　度．
（2）如图②，改变正方形卡纸 的位置，请探究 与 之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．
（3）如图③，正方形卡纸的顶点 在 外，且在 边的左侧，请探究 ， 三者之间存在怎样的数量关系，直接写出探究结果，不必验证．
48．已知，在四边形 中， ， ， 分别为四边形 的外角 ， 的平分线．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，若 ， 交于点 ，且 ， ，求 的度数．
49．如图，在中，是边上的高，为的角平分线，且．为的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点．
（1）试说明；
（2）若．试判断与相等吗？为什么？
50．现分别过线段的端点A，B作直线，，且AP//BQ，，的平分线交于点C，过点C的直线l分别交，于点D，E．
（1）求证：是直角三角形；
（2）图1．当直线时，试判断线段之间有怎样的关系并证明；
（3）图2．直线l与不垂直．若，求的长度．
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【综合题强化训练·50道必刷题】北师大版七年级下册期末数学卷
1．某商场周年店庆开展有奖促销活动，活动期间凡进店购物的顾客均有一次转动8等分圆盘（如图）的机会，规定当圆盘停下来时指针指向哪个区域就获得相应等级的奖品，指向空白区域不得奖．
（1）某顾客获得一次转动圆盘的机会，该顾客获得一等奖、二等奖、三等奖的概率分别是______、______、______；
（2）某一天进入该商场购物的顾客有1600名，每人均转动一次圆盘，试估计这一天获得一等奖的顾客有多少人？
【答案】（1），，
（2）200
2．甲口袋中有1个红球、1个白球，乙口袋中有1个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别.
（1）从甲口袋中随机摸出1个球，恰好摸到红球的概率为　 　；
（2）分别从甲、乙两个口袋中各随机摸出1个球，请用列表或画树状图的方法求摸出的2个球都是白球的概率.
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
红 白 白
红 （红，红） （红，白） （红，白）
白 （白，红） （白，白） （白，白）
所有等可能的情况有6种，其中两次都摸到白球有2种可能，
则P（两次摸到白球）=
【解析】【解答】（1）甲口袋中有2个球，一个红球和一个白球，从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率为： .
【分析】（1）根据概率的计算公式即可求出答案.（2）先根据题意列表如下：从表中找出所有等可能出现的结果。再从中找出摸出的2个球都是白球的结果数，代入概率的计算公式即可求出答案.
3．如图，点 ， ， ， 在一条直线上， ， ， ．
求证：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）证明： ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明：由（1）得： ，
，
．
【解析】【分析】（1）利用“SSS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）根据全等三角形的性质可得，再利用平行线的判定方法可得AB//DE。
4． 、 两组卡片共5张， 组中三张分别写有数字2、4、6， 组中两张分别写有数字3、5，它们除数字外其他都相同.
（1）随机从 组中抽取一张，则抽到数字是2的概率为　 　；
（2）分别随机从 组、 组中各抽取一张.现制定这样一个游戏规则：若所抽取的两个数字之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？请你用画树状图或列表的方法计算并说明理由.
【答案】（1）
（2）解：不公平，理由如下：
根据题意列表如下：
甲获胜的概率为： ；乙获胜的概率为：
∵
∴这个游戏规则对甲乙双方不公平.
【解析】【解答】解：（1）由题意得： ；
故答案为： ；
【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2）根据题意列出图表，分别求出甲、乙获胜的概率，再比较大小即可得出答案.
5．如图，在四边形 中， 垂直平分 ， 垂直平分 .
（1）求证： .
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明：如图，连接 .
∵ 、 分别为 、 的垂直平分线，
∴ ， ，
∴ .
（2）解：在等腰三角形 中， 为底边 的垂直平分线，
∴ 平分 ，
∴ ，
同理 ，
∴ .
∵ ，∴ .
【解析】【分析】（1）连接AC，根据中垂线的性质可得：AB=AC=AD，即可得出答案；（2）根据等腰三角形的性质可得AN平分∠BAC，得到 以及 ，进而得出 ，即可得出答案.
6．如图一，∠ACB=90°，点D在AC上，DE⊥AB垂足为E，交BC的延长线于F，DE=EB，EG=EB，
（1）求证：AG=DF；
（2）过点G作GH⊥AD，垂足为H，与DE的延长线交于点M，如图二，找出图中与AB相等的线段，并证明．
【答案】（1）解：∵DE=EB，EG=EB，DE⊥AB，
∴DE=EB=EG，
∴∠EGD=∠EDG=∠EDB=∠EBD=45°，
∴∠AGD=∠FDB=135°，
∵∠ACB=90°，∠AED=90°，∠ADE=∠FDC，
∴∠A=∠F，
∴∠ADG=∠FBD，
在△ADG和△FDB中
∴△ADG≌△FDB，
∴AG=DF；
（2）解：∵DE=EB，EG=EB，
∴DE=EB=EG，∵DE⊥AB，
在△AED和△FEB中，
∴△AED≌△MEB，
∴AE=EM，
∴AE+EB=EM+DE，
即AB=DM．
【解析】【分析】（1）根据已知条件得到DE=EB=EB，∠EGD=∠EGD=∠EDB=∠EBD=45°，进而证得∠AGD=∠FDB=135°，根据三角形内角和证得∠A=∠F，由三角形外角定理证得∠ADG=∠FBD，根据三角形的判定证得△ADG≌△FDB，由全等三角形的判定即可证得结论；（2）根据已知条件得到△AED≌△FEB，由全等三角形的性质得到AE=EM，即可得到结论．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，
（1）求∠A的度数
（2）求∠DBC的度数．
【答案】（1）解：在△ABC中得：∠ACB+∠ABC+∠A=180°
∵∠ACB＝∠ABC=2∠A
∴2∠A+2∠A+∠A=180°
解得：∠A=36°
（2）解：∵∠A=36°
∴∠ACB＝36°2=72°
∵BD是AC边上的高
∴∠BDC=90°
∴∠DBC=180°-∠BDC-∠ACB=180°-90°-72°=18°
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理即可得到∠ACB+∠ABC+∠A=180°，进而代入即可解出∠A；
（2）根据三角形内角和定理结合题意即可求解。
8．如图，若AB∥CD，AB=CD且CE=BF．
（1）求证：AE=DF；
（2）若∠AEB=62°，∠C=47°，求∠A的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠C=∠B，
∵CE=BF，
∴CF=BE，
在△CDF和△BAE中，
，
∴△CDF≌△BAE（SAS），
∴AE=DF；
（2）解：∵△CDF≌△BAE，
∴∠C=∠B=47°，
∵∠AEB=62°，
∴∠A=180°-∠AEB-∠B=180°-62°-47°=71°．
【解析】【分析】（1）先求出 CF=BE， 再利用SAS证明 △CDF≌△BAE ，最后求解即可；
（2）先求出 ∠C=∠B=47°， 再根据 ∠AEB=62°， 计算求解即可。
9．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形．
（1）用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积：
方法一： 　 　；
方法二： 　 　.
（2） ，（m-n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为　 　
（3）应用(2)中发现的关系式解决问题：若x+y=9，xy=14，求x y的值.
【答案】（1）（m+n）2 4mn；（m-n）2
（2）（m+n）2 4mn=（m-n）2
（3）解：∵x+y=9，xy=14，
∴x y= =±5.
【解析】【解答】(1)方法一：S小正方形=（m+n）2 4mn.
方法二：S小正方形=（m-n）2.；(2)（m+n）2， （m-n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为（m+n）2 4mn=（m-n）2.
【分析】（1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，中间阴影部分的面积为S=（m+n）2-4mn；方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为m-n，所以其面积为（m-n）2．（2）观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即（m+n）2-4mn=（m-n）2．（3）根据（2）的关系式代入计算即可求解．
10．轿车经过孝感某高速收费站时，有三个收费通道A，B，C可随机选择其中一个通过．
（1）一辆轿车经过收费站时，选择A通道通过的概率是　 　；
（2）若两辆轿车经过此收费站时，请你求出选择不同通道通过的概率．（用画树状图或列表法求解）
【答案】（1）
（2）解：画树形图如下；
由图中可知，共有9种等可能情况，其中两辆车通过不同的通道有6种，记为事件A，
则P（A）= ，
选择不同通道通过的概率为
【解析】【解答】解：（1）选择通道A、B、C的机会是一样的，故一辆轿车经过收费站时，选择A通道通过的概率是 ，
故答案为： ；
【分析】（1）由题意可知，一共有三个收费站，A收费站只有一个，利用概率公式，可求解。
（2）由题意可知，此事件是抽取不放回，列出树状图，求出所有等可能的结果数及选择不同通道通过的情况数，利用概率公式计算可求解。
11． 2021年我省开始实施“ 3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（ 必考）， 物理和历史两个科目中任选 1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选 2门，共计6门科目，总分750 分， 假设小丽在选择科目时不考虑主观性.
（1）小丽选到物理的概率为　 　；
（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、 地理、 化学、生物四门科目中任选 2门选到化学、生物的概率.
【答案】（1）
（2）解：设思想政治为 A， 地理为 B， 化学为 C， 生物为 D，画出树状图如下：
共有 12 种等可能情况， 选中化学、生物的有2 种，
∴P（选中化学、生物）= = .
【解析】【解答】（1）因为小丽只有两种可选择：物理或历史，所以小丽选到物理的概率为
【分析】（1）由题意可知小丽只有两种可选择：物理或历史，即可求解；（2）从所有等可能结果中找到同时包含生物和化学的结果数，再根据概率公式计算可得.
12．在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字 ， ， ， 的红色卡片和三张分别写有数字 ， ， 的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，直接写出该卡片上写有数字 的概率为　 　；
（2）将 张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于 的概率．
【答案】（1）
（2）解：组成的所有两位数列表为：
十位数个位数 1 2 3 4
1 11 21 31 41
2 12 22 32 42
3 13 23 33 43
或列树状图为：
∴这个两位数大于22的概率为 ．
【解析】【解答】解：（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是 ；
【分析】（1）直接利用概率公式计算即得.
（2）利用列表法或树状图列举出共有12种等可能结果数，其中两位数大于22的有7种，然后利用概率公式计算即得.
13．下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
（1）请根据规律，写出第4个等式：　 　；
（2）猜想：　 　（其中为正整数，且）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：设（2）式中的，，，则有
即
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）
故答案为：
（2）若n为大于1的正整数，则＝
故答案为：；
（3）设（2）式中的，，，则有
∴，
∴．
【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算可得；
（2）利用（1）中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差；
（3）将原式变形为，再利用所得规律计算可得．
14．为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，调动党员教师为民服务的积极性，12月1日上午，某校党支部组织学校党员教师开展“不忘初心、牢记使命”主题教育活动，安排志愿者分别到A、B、C、D四个小区进行服务活动.
（1）若去D小区的人数占全部人数的10%，试求去D小区的人数，并补全统计图；
（2）现有甲乙丙丁4位志愿者也参加此次活动，将采取随机抽签的方式从中选派2人去B小区，试求出正好抽到甲和乙的概率（用画树状图或列表求解）．
【答案】（1）解：根据题意得：
（10+20+15）÷（1-10%）＝50（人），
50×10%＝5（人），
答：D小区的人数有5人，
补图如下：
（2）根据题意画图如下：
共有12种等情况数，其中正好抽到甲和乙的有2种，
则正好抽到甲和乙的概率是.
【解析】【分析】（1）由题意可得A、B、C小区的人数占总人数的1-10%=90%，由条形统计图可得A、B、C小区的总人数，利用A、B、C小区的人数之和除以所占的比例可得总人数，然后求出D小区的人数，据此可补全条形统计图；
（2）画出树状图，找出总情况数以及正好抽到甲和乙的情况数，然后根据概率公式进行计算.
15．三张完全相同的卡片正面分别标有数字 1，3，5，将它们洗匀后，背面朝上放在桌上．
（1）随机抽取一张，求抽到数字恰好为 3 的概率；
（2）随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，通过列表 或画树状图求所组成的两位数恰好是“51”的概率．
【答案】（1）解：抽到数字恰好为3的概率为
（2）解：画树状图（或列表）如下：
由树状图可知，所有等可能的结果共有6种，其中恰好是51有1种．
∴P（两位数恰好是“51”）＝ ．
【解析】【分析】（1）根据题意可知一共由3种可能，出现3的只有一次，利用概率公式求解即可。
（2）此题是抽取不放回，列树状图，求出所有可能的结果数及所组成的两位数恰好是“51”的可能数，利用概率公式求解即可。
16．如图1，有一个可自由转动的转盘，被分成了3个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；如图2，另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的3个完全相同的小球．小王先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转）．小丽再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字，然后计算两数的和．若得到的两数之和是3的倍数，则小王胜；若得到的两数之和是7的倍数，则小丽胜，其他情况不分胜负．请用画树状图或列表的方法，分别求出两人获胜的概率．
【答案】均为
17．如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3.
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠C＝70°，∠2＝80°，∠4＝65°，求∠FGD的度数.
【答案】（1）解：DE∥BC，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠3，
∵∠B＝∠3，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC
（2）解：∵AB∥EF，
∴∠A＝∠4＝65°，
∵∠C＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝45°，
∵∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，
∴∠FGD＝180°﹣∠1﹣∠B＝180°﹣100°﹣45°＝35°
答：∠FGD的度数为35°.
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可判断DE与BC的位置关系；
（2）根据∠C＝70°，∠2＝80°，∠4＝65°，及平行线的判定与性质即可求∠FGD的度数.
18．一枚普通的正方体骰子，每个面上分别标有1，2，3，4，5，6，在抛掷一枚普通的正方体骰子的过程中，请用语言描述：
（1）一件不可能事件：　 　
（2）一件必然事件：　 　
（3）一件不确定事件：　 　．
【答案】（1）如出现数字7朝上
（2）如出现朝上的点数小于7
（3）如出现朝上的点数为5
【解析】【解答】解：答案不唯一
（1.）如出现数字7朝上；
（2.）如出现朝上的点数小于7；
（3.）如出现朝上的点数为5．
【分析】根据不可能事件，必然事件，不确定事件的定义即可判断．
19．计算：
（1）a2 a﹣3=　 　
（2）（﹣a2）﹣3=　 　
（3）（2a﹣2）﹣3=　 　
（4）a2÷a﹣4=　 　．
【答案】（1）
（2）-
（3） a6
（4）a6
【解析】【解答】解：（1）a2 a﹣3=a﹣1= ；（2）（﹣a2）﹣3=﹣a﹣6=﹣ ；
3）（2a﹣2）﹣3= a6；（4）a2÷a﹣4=a2﹣（﹣4）=a6．
故答案为： ；﹣ ； a6；a6．
【分析】（1）（2）根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，以及负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即可得解．（3）根据积的乘方的性质与负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数计算即可；（4）根据同底数幂相除，底数不变指数相减解答即可．
20．在学习“轴对称现象”内容时，老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明利用手中的一副三角尺和一个量角器（如图所示）进行探究．
（1）小明在这三件文具中任取一件，结果是轴对称图形的概率是　 　；（取三件中任意一件的可能性相同）
（2）小明发现在 、 两把三角尺中各选一个角拼在一起（无重叠无缝隙）会得到一个更大的角，若每个角选取的可能性相同，请用画树状图或列表的方法说明拼成的角是钝角的概率是多少．
【答案】（1）
（2）解：设90°的角即为 ，60°的角记为 ，45°的角记为 ，30°的角记为
画树状图如图所示，
一共有18种结果，每种结果出现的可能性是相同的，而其中可以拼成的这个角是钝角的结果有12种， ∴这个角是钝角的概率是
【解析】【解答】解：（1）因为：等腰直角三角形，量角器是轴对称图形，
所以小明在这三件文具中任取一件，结果是轴对称图形的概率是
故答案为：
【分析】（1）找到沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，判断出三个图形中轴对称图形的个数，从而可求得答案；（2）画好树状图，根据概率公式计算即可解答．
21．为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）求这次调查的学生总人数，以及扇形统计图中最喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角度数；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率．
【答案】（1）解：这次调查的学生总人数为：8÷16%=50（人）
∵最喜欢戏曲的人数为：50－12－16－8－10=4（人），
∴扇形统计图中最喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为：
（2）解：补全的条形统计图如图所示．
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的有2种，∴恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率是：
【解析】【分析】（1）利用声乐的人数÷声乐人数所占的百分比，可求出这次调查的总人数；再求出最喜欢戏曲的人数，然后利用戏曲的人数所占的百分比×360°，列式计算可求出结果。
（2）利用（1）中求出的戏曲的人数补全条形统计图。
（3）由题意可知此事件是抽取不放回，据此列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的情况数，然后利用概率公式可求解。
22．如图，已知D是△ABC中一边BC上的中点，AC∥BE，连接ED并延长ED交AC于点N，作DM⊥EN于点D交AB于点M.
（1）求证：BE=CN
（2）试判断BM+CN与MN的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵AC//BE，
∴∠C=∠DBE，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
又∠BDE=∠CDN，
∴△BDE≌△CDN(AAS)，
∴DE=DN，BE=CN
（2）解：∵DM⊥EN，
∴∠MDE=∠MDN=90°，
∵DE=DN，
∴ME=MN，
在△BME中BM+BE＞ME，
又BE=CN，ME=MN，
∴BM+CN＞MN
【解析】【分析】（1）利用AAS证出△BDE≌△CDN，即可得出BE=CN；
（2）根据线段垂直平分线的性质得出ME=MN， 再根据三角形三边关系得出BM+BE＞ME， 得出BM+CN＞MN， 即可求解.
23．已知三角形于点D，交于点M．
（1）如图1，当点E在线段上时（点E不与点A、B重合），作于点F，则与的数量关系是　 　；
（2）当点E在的延长线上时，作垂直于交的延长线于点F．
①依题意补全图2；
②猜想与的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠ADM=∠BEF
（2）解：①如图2，
②∠ADM=∠BEF．
理由如下：
∵DM∥AB，
∴∠ADM=∠BAD，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
∴∠BEF=∠BAD，
∴∠ADM=∠BEF．
【解析】【解答】解：（1）如图1，
∵DM∥AB，
∴∠ADM=∠BAD，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
∴∠BEF=∠BAD，
∴∠ADM=∠BEF；
故答案为：∠ADM=∠BEF；
【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠ADM=∠BAD，∠BEF=∠BAD，再利用等量代换可得∠ADM=∠BEF；
（2）①根据要求作出图象即可；
②先利用平行线的性质可得∠ADM=∠BAD，∠BEF=∠BAD，再利用等量代换可得∠ADM=∠BEF。
24．目前“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度分为：A.无所谓；B.基本赞成；C.赞成；D.反对）.并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）.请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；
（2）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；
（3）在此次调查活动中，初三（1）班有A1、A2两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有B1、B2两位学生家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求出选出的2人来自不同班级的概率.
【答案】（1）解：120÷60%＝200（人），
所以调查的家长数为200人
（2）解：扇形C所对的圆心角的度数＝360°×（1﹣20%﹣15%﹣60%）＝18°，
C类的家长数＝200×（1﹣20%﹣15%﹣60%）＝10（人），
补充图为：
（3）解：设初三（1）班两名家长为A1、A2，初三（2）班两名家长为B1，B2，
画树状图为
共有12种等可能结果，其中2人来自不同班级共有8种，
所以2人来自不同班级的概率＝ ＝ .
设初三（1）班两名家长为A1、A2，初三（2）班两名家长为B1，B2，
画树状图为
共有12种等可能结果，其中2人来自不同班级共有8种，
所以2人来自不同班级的概率＝ ＝ .
【解析】【分析】（1）用D类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；（2）用360°乘以C类所占的百分比得到扇形C所对的圆心角的度数，再用200乘以C类所占的百分比得到C类人数，然后补全图1；（3）画树状图展示所有12种等可能结果，再找出2人来自不同班级的结果数，然后根据概率公式求解.
25．如图，点F，G分别在△ADE的AD，DE边上，C，B依次为GF延长线上两点，AB=AD，∠BAF=∠CAE，∠B=∠D．
（1）求证：BC=DE；
（2）若∠B=35°，∠AFB=78°，直接写出∠DGB的度数．
【答案】（1）证明：∵∠BAF=∠CAE，
∴∠BAF﹣∠CAF=∠CAE﹣∠CAF，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC=DE
（2）解：∠DGB的度数为67°，理由为：
∵∠B=∠D，∠AFB=∠GFD，
∴△ABF∽△GDF，
∴∠DGB=∠BAD，
在△AFB中，∠B=35°，∠AFB=78°，
∴∠DGB=∠BAD=180°﹣35°﹣78°=67°
【解析】【分析】（1）由已知∠BAF=∠CAE，可证∠BAC=∠DAE，再利用ASA证明△ABC和△ADE全等，利用全等三角形的性质，就可证得结论。
（2）先证明△ABF∽△GDF，利用全等三角形的性质，可得到∠DGB=∠BAD，再利用三角形内角和定理求出结果。
26．某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：
社团名称 A．酵素制作社团 B．回收材料小制作社团 C．垃圾分类社团 D．环保义工社团 E．绿植养护社团
人数 10 15 5 10 5
（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是　 　；
（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；
（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
【答案】（1）10
（2）解：没有选择的占1﹣10%﹣30%﹣20%﹣10%﹣20%=10%，
条形图的高度和E相同；如图所示：
（3）解：1400×20%=280（名）
答：估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团有280名
（4）解：酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示：树状图如图所示，共有4种可能，两人同时选择绿植养护社团只有一种情形，
∴这两名同学同时选择绿植养护社团的概率=
【解析】【解答】解：（1）这5个数从小到大排列：5，5，10，10，15，故中位数为10，
故答案为10．
【分析】（1）将这5个数据按从小到大排列，处于最中间位置的数是10，故这组数据的中位数是10；
（2）用1分别减去扇形统计图中A，B，C，D，E五类所占的百分比，即可得出没选择的所占的百分比；由于没选择的所占的百分比与E类所占的百分比相等，故条形统计图的高度应该和E相同，从而补全两个统计图；
（3）酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示：根据题意画出树状图，由图可知：共有4种可能，两人同时选择绿植养护社团只有一种情形，根据概率公式即可得出两名同学同时选择绿植养护社团的概率。
27．如图，已知∠BAD+∠ADC=180°，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠AEB．
（1）若∠B=86°，求∠DCG的度数；
（2）AD与BC是什么位置关系 并说明理由；
（3）若∠DAB= ∠DGC= 直接写出当 满足什么数量关系时，AE∥DG
【答案】（1）解：∵∠BAD+∠ADC=180°，
∴AB//CD
∴∠B=∠DCG
∵∠B=86°
∴∠DCG=86°；
（2）解：AD//BC.理由如下：
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∵AB//CD
∴∠BAE=∠CFE
∵∠CFE=∠BEA
∴∠AEB=∠DAE
∴AD//BC.
（3）解：ɑ=2β，理由如下：
∵AE∥DG，
∴∠CDG=∠CFE，∠AEB=∠DGC
∵∠CFE=∠AEB，
∴∠CDG=∠DGC
∴∠DCB=∠CDG+∠DGC=2
又AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAB= =180°-∠ADC=∠DCB=2
故ɑ=2β
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质即可求解；（2）根据平行线的性质与判定即可求解；（3）根据等腰三角形的性质及平行线的判定即可求解.
28．现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方体骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片(卡片除数字外，其他都相同)，先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．
（1）请用列表或画树形图(树状图)的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率；
（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大 请说明理由．
【答案】（1）解： 根据题意列如图所示的树状图：
共 18 种情况 ， 数字之积为 6 的情况数有 3 种 ，P(数字之积为6)=
（2）解：由上表可知，该游戏所有可能的结果共18种，其中骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7的有7种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7的有11种，所以小明赢的概率=，小王赢的概率=，故小王赢的可能性更大。
【解析】【分析】 （1）列举出所有情况，再计算向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的情况数占总情况数的多少即可．
（2）公平性问题主要看每种情况的概率的大小，解题的关键是先计算出各种情况的概率，然后比较即可．
29．如图①，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.
（1）求证：BE=CE.
（2）如图②，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，AF=BF，原题设其他条件不变.求证：△AEF≌△BCF.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAE=∠CAE.在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE(SAS).∴BE=CE 。
（2）证明：∵AB=AC， 点D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠EAF+∠C=90°.
∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°.∴∠EAF=∠CBF.
在△AEF和△BCF中，
∴△AEF≌△BCF(ASA) 。
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得出 ：∠BAE=∠CAE，然后利用SAS判断出△ABE≌△ACE，根据全等三角形对应边相等得出BE=CE ；
（2）根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，根据直角三角形两锐角互余得出∠EAF+∠C=90°，∠CBF+∠C=90°，根据同角的余角相等得出∠EAF=∠CBF，然后根据ASA判断出△AEF≌△BCF 。
30．如图，在等边三角形的边上任取一点D，以为边作等边三角形，联结．
（1）试说明的理由，
（2）如果D是的中点，那么线段与有怎样的位置关系？试说明理由
【答案】（1）解：∵，都是等边三角形，
∴，，
∴
在和中，
，
∴
∴
（2）解：∵，都是等边三角形，
∴，
∵点D是边的中点
∴
∵
∴，
∴
∵是等边三角形，
∴
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△CBE，利用全等三角形对应边相等即得结论；
（2） 由点D是边的中点，根据等边三角形的性质可得，∠DBE=60°，从而求出∠CBE=30°，即得∠CBE=∠CBD，根据等边三角形的性质可得BC⊥DE.
31．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图（1）的面积可以说明多项式的乘法运算 ，那么根据图（2）的面积可以说明多项式的乘法运算是（　　）
A． B．
C． D．
（2）根据图（3）中条件，①用两种方法表示两个阴影图形面积的和，请用等式表示（只需表示，不必化简）；
②如果图（3）中的a， 满足 ， .
求： 的值.
【答案】（1）A
（2）解：①大正方形的边长为 ，其面积为 ，是由一个边长为a的正方形，二个长为a，宽为b小长方形和一个边长为b正方形拼成的，面积为 ，两面积一样，
；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【解析】【解答】解：（1）根据图（2）的面积可说明多项式的乘法运算 ，
大长方形的长为 ，宽为 ，大长方形面积为 ，大长方形是由一个边长为a的正方形，四个长为a，宽为b小长方形和三个边长为b正方形拼成的，故面积为 由此刻验证 多项式乘以多项式的乘法法则，故A选项正确；
B、 = > 故B选项不正确；
C、 = ，故C选项不正确；
D、 不是图中大长方形面积，故D选项不正确.
故答案为：A；
【分析】（1）首先表示出大长方形的面积，各个小长方形的面积以及正方形的面积，然后根据面积之间的和差关系可得结果；
（2）①首先表示出大正方形的面积，然后表示出各部分的面积，最后根据面积之间的和差关系可得结果；
②首先求出(a+b)2的值，然后开方即可.
32．下面是小红设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图过程．
已知：点C在直线上，点D在直线外，且．
求作：直线，使得．
作法：如图，
①在线段的延长线上任取一点；
②以D为顶点，为一边，通过量角器度量，在右侧作；
③将射线反向延长．
直线就是所求作的直线．
根据小红的作图过程，解决以下问题：
（1）补全图形，并完成证明过程；
证明：∵，，
∴．
∴（ ）（填推理的依据）．
（2）在（1）的条件下，过点C作的垂线，交直线于点F．求的度数．
【答案】（1）解：如下图所示
同位角相等，两直线平行
（2）解：如下图所示，作交DC于点F，
∵，
∴，
∵，
∵，
∵，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：(1)如下图所示
∵，，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行）；
【分析】（1）利用平行线的判定方法证明即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
33．某中学准备举办一次演讲比赛，每班限定两人报名，初三（1）班的三位同学（两位女生，一位男生）都想报名参加，班主任李老师设计了一个摸球游戏，利用已学过的概率知识来决定谁去参加比赛，游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放3个大小质地完全相同的乒乓球，在这3个乒乓球上分别写上 、 、 （每个字母分别代表一位同学，其中 、 分别代表两位女生， 代表男生），搅匀后，李老师从箱子里随机摸出一个乒乓球，不放回，再次搅匀后随机摸出第二个乒乓球，根据乒乓球上的字母决定谁去参加比赛。
（1）求李老师第一次摸出的乒乓球代表男生的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求恰好选定一名男生和一名女生参赛的概率．
【答案】（1）解：共有3个球，第一次摸出的乒乓球代表男生的有1种情况，
∴第一次摸出的乒乓球代表男生的概率为
（2）解：树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中恰好选定一名男生和一名女生参赛的有4种，
∴P（恰好选定一名男生和一名女生参赛）= .
【解析】【分析】（1）共3个球，第一次摸出的乒乓球代表男生的有1种，即可利用概率公式求得结果；（2）列树状图即可解答.
34．为了落实“双减”政策，更好地进行家校共育，学校计划对每位学生进行家访，家访的形式由家长自行选择，某班主任对本班学生家长的家访形式进行调查统计，并绘制如下的统计表和不完整的扇形统计图．
家访形式 数量（人）
入户家访 4
电话家访 15
短信家访 16
到校家访 10
（1）扇形统计图中，“电话家访”所占圆心角的度数是　 　．
（2）若选择“入户家访”的四位学生分别为A，B，C，D班主任决定本周从这四人中随机选取两人进行入户家访，用列表法或画树状图法求恰好选中A，B两人的概率．
【答案】（1）120
（2）解：列表如下：
A B C D
A 　 A，B A，C A，D
B B，A 　 B，C B，D
C C，A C，B 　 C，D
D D，A D，B D，C 　
由上表信息可得：所有的等可能的结果数有12种，恰好抽到A，B的有2种，
所以恰好选中A，B两人的概率为．
【解析】【解答】(1)解：调查的总人数为：（人），
所以扇形统计图中，“电话家访”所占圆心角的度数是
故答案为：120
【分析】（1）先求出“电话家访”的百分比，再乘以360°可得答案；
（2）利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
35．如图，已知AB＝DC，ABCD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FCD，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
又∵AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（SAS）
（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，
∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠CFD＝∠AEB＝100°
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出 ∠BAE＝∠FCD， 再求出 AE＝CF， 最后利用SAS证明 △ABE≌△CDF 即可；
（2）先求出∠AEB=100°，再根据全等三角形的性质求解即可。
36．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=72°，∠DOF=90°．
（1）求∠DOE的度数；
（2）求∠EOF的度数．
【答案】（1）解：∵∠AOC=72°，
∴∠BOD=∠AOC=72°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE=∠BOD=36°；
（2）解：∵∠DOF=90°，∠DOE=36°，
∴∠EOF=∠DOF﹣∠DOE=54°．
【解析】【分析】（1）由对顶角性质得∠BOD=∠AOC=72°，由角平分线概念得∠BOE=∠DOE=∠BOD，据此计算；
（2）直接根据∠EOF=∠DOF-∠DOE进行计算即可.
37．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE.
（1）若∠BAE＝30°，求∠C的度数；
（2）若△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，求DC的长．
【答案】（1）解：∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE．
∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝75°，∴∠C＝ ∠AEB＝37.5°．
（2）解：∵△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，∴AB＋BE＋EC＝7cm．
∵AB＝CE，BD＝DE，∴2DE＋2EC＝7cm，∴DE＋EC＝ cm，即DC＝ cm．
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得出答案；（2）根据已知能推出2DE+2EC=7cm，即可得出答案．
38．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为 。
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率。
【答案】（1）解：设有红球 个，由题意可得； ，解得 ，即布袋中红球有1个；
（2）解：画树状图如下：一共有12种等可能情况，其中两次都摸到白球的有2次，
∴ P（两次都是白球）= .
【解析】【分析】根据白球的概率=，建立方程求解即可。
（2）抓住已知摸出1个球后不放回，再摸出1个球，列出树状图，求出所有等可能的结果数，再求出两次都摸到白球的可能数，利用概率公式求出结果。
39．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A（1，4），点B（-1，0），点C（1，2）．
（1）请在图中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；(画出一个即可)
（2）求出你所画图形与△ABC的面积之和．
【答案】（1）解：如图，△A'BC即为所求（答案不唯一）：
（2）解：两三角形的面积和为：．
【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用三角形的面积公式求解即可。
40．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？（直接写出公式）
（2）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．直接写出计算结果　 　．
（3）若图（1）中的阴影部分的面积是16，a﹣b＝2，直接写出a4﹣b4的值．
【答案】（1）解：a2-b2=（a+b）（a-b）
（2）264
（3）解：依题意可得：a2-b2=16，（a+b）（a-b）=16，
∵a-b=2，
∴a+b=8．
联立方程组可得：a=5，b=3，
∴a4-b4=54-34=544．
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积是a2-b2，
图2中阴影部分的面积是（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b），可以验证平方差公式；
（2）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（216-1）（216+1）（232+1）+1
=（232-1）（232+1）+1
=264-1+1
=264；
故答案为：264；
【分析】（1）根据图1、图2中阴影部分的面积相等即得公式；
（2）将原式变形为（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，然后利用平方差公式计算即可；
（3） 由图（1）中的阴影部分的面积是16可得a2-b2=16， 结合a-b=2，可求出a+b=8 ，从而求出a、b的值，然后代入计算即可.
41．如图，在中，，的外角的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）若，求的度数；
（2）在（1）的条件下，若，求证：；
（3）若，探究、有怎样的数量关系，直接写出答案，不用证明．
【答案】（1）解：∵在中，，，
∴，
∴
∵BE是∠CBD的平分线，
∴；
（2）证明：∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（3）
【解析】【解答】解：(3)若，则
∵∠CBD=∠A+∠ACB=∠A+90°
∴
∵
∴
∴
整理得，
【分析】（1）先求出，再利用角平分线的定义可得；
（2）先求出，再结合，可得，所以；
（3）根据平行线的性质可得，再利用角的运算可得，再结合，求出，最后化简可得。
42．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 按如图所示的方式叠放在一起（其中 ， ， ），固定三角板 ，另一三角板 的 边从 边开始绕点 顺时针旋转，设旋转的角度为 ．
（1）当 时；
若 ，则 的度数为　 　；
（2）若 ，求 的度数；
（3）由（1）（2）猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（4）当 时，这两块三角尺是否存在一组边互相垂直？若存在，请直接写出 所有可能的值，并指出哪两边互相垂直（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）150°
（2）∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，
∴∠DCB=130° 90°=40°，
∴∠DCE=90° 40°=50°；
（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：
①当 时，如图1，
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；
②当 时，如图2，∠ACB+∠DCE=180°，显然成立；
③当 时，如图3，∠ACB+∠DCE=360°-90°-90°=180°．
综上所述：∠ACB+∠DCE=180°；
（4）存在，理由如下：
①若AD⊥CE时，如图4，则 =90°-∠A=90°-60°=30°，
②若AC⊥CE时，如图5，则 =∠ACE=90°，
③若AD⊥BE时，如图6，则∠EMC=90°+30°=120°，
∵∠E=45°，
∴∠ECD=180°-45°-120°=15°，
∴ =90°-15°=75°，
④若CD⊥BE时，如图7，则AC∥BE，
∴ =∠E=45°．
综上所述：当 =30°时，AD⊥CE，当 =90°时，AC⊥CE，当 =75°时，AD⊥BE，当 =45°时，CD⊥BE．
【解析】【解答】（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，
∴∠DCB=90° 30°=60°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，
故答案是150°；
【分析】（1）①先根据直角三角板的性质求出∠DCB的度数，进而可得出∠ACB的度数；②由∠ACB=130°，∠ACD=90°，可得出∠DCB的度数，进而得出∠DCE的度数；（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再分3种情况：①当 时，②当 时，③当 时，分别证明∠ACB与∠DCE的数量关系，即可；（3）分4种情况：①若AD⊥CE时，②若AC⊥CE时， ③若AD⊥BE时，④若CD⊥BE时，分别求出 的值，即可．
43．如图，直线ACBK，BC平分∠ABK，点E在射线BC上，直线AE交BK于点D，过点E作直线EFAB，过点D作DFBC．
（1）如图（1）求证：∠GFD=∠GDF；
（2）如图（2）当点E在线段BC延长线时，请直接写出∠EGD与∠EFD的数量关系　 　；
（3）如图（3），在（2）的条件下，AH平分∠CAB交BC于点H，若∠AEB：∠BEG=1：3，且此时∠EAC比∠HAC大10°，求∠EGB的度数．
【答案】（1）证明：如图，
∵AC∥BK，
∴∠2＝∠3，
∵BC平分∠ABK，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3
∵EFAB，
∴∠1＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∵DFBC．
∴∠2＝∠6，∠4＝∠5，
∴∠5＝∠6，
即∠GFD=∠GDF
（2）∠EFD＝90° ∠EGD
（3）解：设∠AEB＝x，
∵∠AEB：∠BEG=1：3，
∴∠BEG＝3x，
由（2）可知∠EBG＝∠BEG＝∠ABE＝3x，
∵DF∥CB，
∴∠EBG＝∠FDG＝3x，
∵BC平分∠ABK，
∴∠ABG＝6x，
∵AC∥BD，
∴∠EAC＝∠EDG＝2x，
∵∠EAC比∠HAC大10°，
∴∠HAC＝2x 10°，
∵AH平分∠CAB，
∴∠BAH＝2x 10°，
∴∠CAB＝2∠BAH＝4x 20°，
∵AC∥BD，
∴∠CAB＝∠ABD＝4x 20°，
∵∠ABD＋∠ABG＝180°，
∴4x 20°＋6x＝180°，
解得x＝20°，
∴∠FDG＝60°，
∵2∠GFD＋∠EGD＝180°，
∴∠GFD＝∠FDG＝60°．
∵∠EFD＝90° ∠EGD
∴∠EGB=180° 2∠EFD＝60°
【解析】【解答】解：(2)∠EFD＝90° ∠EGD，
∵DF∥CB，
∴∠EFD＝∠BEG，
∵EF∥AB，
∴∠BEG＝∠ABE，
∵BC平分∠ABK，
∴∠ABE＝∠EBG，
∴∠EBG＝∠BEG，
∵∠EBG＋∠BEG＋∠EGD＝180°，
∴2∠EFD＋∠EGD＝180°，
∴∠EFD＝90° ∠EGD，
故答案为：∠EFD＝90° ∠EGD
【分析】（1）根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，推出∠1＝∠3，由平行线的性质得出∠1＝∠4，推出∠2＝∠4，推出∠5＝∠6，由此得出结论；
（2）根据平行线的性质得出∠EFD＝∠BEG，∠BEG＝∠ABE，根据角平分线的性质得出∠ABE＝∠EBG，∠EBG＝∠BEG，再由∠EBG＋∠BEG＋∠EGD＝180°，得出2∠EFD＋∠EGD＝180°，即可得出结论；
（3）由（2）可知∠EBG＝∠BEG＝∠ABE＝3x，根据角平分线的性质得出∠ABG＝6x，推出∠EAC＝∠EDG＝2x，再由∠EAC比∠HAC大10°，得出∠HAC＝2x 10°，再由AH平分∠CAB，得出∠BAH＝2x 10°，∠CAB＝2∠BAH＝4x 20°，列出方程得出x的值，得出∠GFD的度数，由此即可得解。
44．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．现在用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为（用含a，b的代数式表示）；
（2）小敏用图1中的A、B、C三种纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
（3）如图3，C为线段AB上的动点，分别以AC，BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB=6，记正方形ACDE和正方形BCFG的面积分别为S1，S2，且S1+S2=20，利用（1）中的结论求图中三角形ACF的面积．
【答案】（1）解：a2+2ab+b2=(a+b)2，不可以是(a+b)2=a2+2ab+b2
（2）解：∵(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2，
∴需要A、B两种纸片各2张，C种纸片5张．
（3）解：设AC=m，BC=CF=n．
∵AB=6，
∴m+n=6．
∵S1+S2=20，
∴m2+n2=20．
∵(m+n)2=m2+2mn+n2，
∴m2+n2=(m+n)2－2mn，
∴20=62－2mn，
∴mn=8，
∴
【解析】【分析】（1）观察图2，可知大正方形的边长为（a+b），再根据大正方形的面积=边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形的面积+2×长为b，宽为a的长方形的面积；列式即可.
（2）利用长方形的面积等于长×宽，利用多项式乘以多项式的法则，可知大长方形的面积为2a2+5ab+2b2，观察可知需要A、B、C三种纸片的数量.
（3）设AC=m，BC=CF=n，利用AB=6，可得到关于m，n的方程，再根据S1+S2=20，可得到关于m，n的方程，然后根据(m+n)2=m2+2mn+n2，可转化为m2+n2=(m+n)2－2mn，然后整体代入求出mn的值，即可求出△ACF的面积.
45．已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段AB上一点，连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE，BE．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACD=α，用含α的代数式表示∠DEB；
（3）若△ACD的外心在三角形的内部，请直接写出α的取值范围．
【答案】（1）解：如图，CE、BE、DE为所作；
（2）解：∵将线段CD绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE＝α，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE (SAS)，
∴∠CBE＝∠A．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠A＝45°
∴∠CBE＝45°
∵∠DCE＝90°，CD＝CE
∴∠CED＝45°，
在△BCE中，∠BCE＝∠ACD＝α．
∴∠DEB＝180°﹣α﹣45°﹣45°＝90°﹣α．
（3）45°＜α＜90°
【解析】【解答】解：（3）∵△ACD的外心在三角形的内部，
∴△ACD是锐角三角形，
∴∠ACD＜90°，∠ADC＜90°，
又∵∠A＝45°，
∴∠ACD＞45°，
∴45°＜α＜90°．
【分析】（1）根据题中的几何语言画出对应的几何图形即可；
（2）根据旋转的性质，继而证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质，以及三角形的内角和定理，求出∠DEB即可。
46．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣8，0），点B的坐标为（﹣8，6），直线BC∥x轴，交y轴于点C，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．
（1）四边形OABC的形状是　 　，当α=90°时， 的值是　 　．
（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求 的值；
②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在BC的延长线上时，求△OPB′的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP= BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）矩形；
（2）解：①图2，
∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，
∴△COP∽△A′OB′．
∴ ，即 ，
∴CP= ，BP=BC﹣CP= ．
同理△B′CQ∽△B′C′O，
∴ ，
∴
∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．
∴ ，
∴ ；
②图3，在△OCP和△B′A′P中， ，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．
设B′P=x，
在Rt△OCP中，（8﹣x）2+62=x2，
解得x= ．
∴S△OPB′= × ×6=
（3）解：存在这样的点P和点Q，使BP= BQ．
点P的坐标是P1（﹣9﹣ ，6），P2（﹣ ，6）．
理由：
过点Q作QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，
∵S△POQ= PQ OC，S△POQ= OP QH，
∴PQ=OP．
设BP=x，
∵BP= BQ，
∴BQ=2x，
如图4，当点P在点B左侧时，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）2，
解得x1=1+ ，x2=1﹣ （不符实际，舍去）．
∴PC=BC+BP=9+ ，
∴P（﹣9﹣ ，6）．
如图5，当点P在点B右侧时，
∴OP=PQ=BQ﹣BP=x，PC=8﹣x．
在Rt△PCO中，（8﹣x）2+62=x2，解得x= ．
∴PC=BC﹣BP=8﹣ = ，
∴P（﹣ ，6），
综上可知，存在点P（﹣9﹣ ，6）或（﹣ ，6），使BP= BQ．
【解析】【解答】解：（1）图1，四边形OA′B′C′的形状是矩形；
∵点A的坐标为（﹣8，0），点B（﹣8，6），
∴AB∥OC，
∵BC∥x轴，
∴四边形OABC是平行四边形．
又OC⊥OA，
∴平行四边形OABC的形状是矩形；
当α=90°时，P与C重合，如图1，
BP=8，BQ=BP+OC=8+6=14，
∴ ，
即是矩形的长与宽的比，则 ．
故答案为矩形， ；
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形进行判断当α=90°时，就是长与宽的比；（2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值；
②根据勾股定理求得PB′的长，再根据三角形的面积公式进行计算．（3）构造全等三角形和直角三角形，运用勾股定理求得PC的长，进一步求得坐标
47．将锐角 放置在一块正方形卡纸 上，使点 在正方形的 和 边上．
（1）如图①，若 ，则 　 　度， 　 　度， 　 　度．
（2）如图②，改变正方形卡纸 的位置，请探究 与 之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．
（3）如图③，正方形卡纸的顶点 在 外，且在 边的左侧，请探究 ， 三者之间存在怎样的数量关系，直接写出探究结果，不必验证．
【答案】（1）145；90；55
（2）解：证明：∠ABD +∠ACD =90°-∠A，理由如下：
∵∠ABC +∠ACB =180°-∠A，
∠DBC +∠DCB =90°，
∠ABD +∠ACD =∠ABC +∠ACB-（∠DBC +∠DCB）
∴∠ABD +∠ACD =180°-∠A- 90°=90°-∠A
（3）解：∠ACD -∠ABD =90°-∠A
由（2）易得∠DBC +∠DCB =90°，∠ABD=∠DBC-∠ABC，∠ACD=∠ACB-∠DCB，
∵∠ABC +∠ACB =180°-∠A，
∴∠ACD -∠ABD =90°-∠A
【解析】【解答】（1）∵ ，∴ ，
∵四边形DEFG是正方形，∴∠D=90°，∴ ，
∴ ；
故答案为145；90；55；
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°先求出，再求出∠D=90°，最后计算求解即可；
（2）根据三角形的内角和等于180°进行求解即可；
（3）先求出 ∠DBC +∠DCB =90°，∠ABD=∠DBC-∠ABC，∠ACD=∠ACB-∠DCB， 再证明求解即可。
48．已知，在四边形 中， ， ， 分别为四边形 的外角 ， 的平分线．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，若 ， 交于点 ，且 ， ，求 的度数．
【答案】（1）解： 如图1，过点C作CH∥DF，
∵BE∥DF，
∴BE∥DF∥CH，
∴∠FDC=∠DCH，∠BCH=∠EBC，
∴∠DCB=∠DCH+∠BCH=∠FDC+∠EBC，
∵BE，DF分别为四边形ABCD的外角∠CBN，∠MDC的平分线，
∴∠FDC= ∠CDM，∠EBC= ∠CBN，
∵∠A+∠BCD=160°，
∴∠ADC+∠ABC=360°-160°=200°，
∴∠MDC+∠CBN=160°，
∴∠FDC+∠CBE=80°，
∴∠DCB=80°；
（2）解： 如图2，连接GC并延长，
同理得∠MDC+∠CBN=160°，∠MDF+∠NBG=80°，
∵BE∥AD，DF∥AB，
∴∠A=∠MDF=∠DGB=∠NBG=40°，
∵∠A+∠BCD=160°，
∴∠BCD=160°-40°=120°．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠FDC=∠DCH，∠BCH=∠EBC， 再求出 ∠FDC+∠CBE=80°， 最后求解即可；
（2）先求出 ∠MDC+∠CBN=160°，∠MDF+∠NBG=80°， 再求出 ∠A= 40°，最后计算求解即可。
49．如图，在中，是边上的高，为的角平分线，且．为的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点．
（1）试说明；
（2）若．试判断与相等吗？为什么？
【答案】（1）解：∵BF∥AC，
∴∠BFO=∠CAO，∠FBO=∠ACO，
∵AO为△ABC的中线，
∴BO=CO，
∴△BOF≌△COA（AAS），
∴BF=CA=CD+AD，
又∵AD=DE，
∴BF=CD+DE.
（2）解：BG=BD，理由如下：
∵BD垂直平分AE，
∴BA＝BE，∠BAC＝∠BEA，
又∵BF∥AC，
∴∠BEA＝∠EBF＝∠BAC，
由（1）可知：BF=CA
∴△BAC≌△EBF（SAS），
∴∠BFE＝∠C＝45°，
∴∠CEG=∠BFE=45°，
∴∠BGE＝∠C+∠FEC＝90°＝∠BDE，
∴△BEG≌△BED（AAS），
∴BG＝BD．
【解析】【分析】（1）由平行线性质得∠BFO=∠CAO，∠FBO=∠ACO，根据AO为△ABC的中线得BO=CO，即可证出△BOF≌△COA，即得BF=CA=CD+AD，再由AD=DE，进而得到BF=CD+DE；
（2）由垂直平分线性质得BA＝BE，∠BAC＝∠BEA，由平行线性质得∠BEA＝∠EBF＝∠BAC，由（1）可知：BF=CA，即可证出△BAC≌△EBF，即得∠BFE＝∠C＝45°，从而得∠CEG=∠BFE=45°，进而得到∠BGE＝∠C+∠FEC＝∠BDE=90°，证得△BEG≌△BED，即可证出BG＝BD.
50．现分别过线段的端点A，B作直线，，且AP//BQ，，的平分线交于点C，过点C的直线l分别交，于点D，E．
（1）求证：是直角三角形；
（2）图1．当直线时，试判断线段之间有怎样的关系并证明；
（3）图2．直线l与不垂直．若，求的长度．
【答案】（1）证明：∵AP//BQ，
∴．
∵AC和BC分别为，的平分线，
∴，，
∴，即，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：如图，过点C作于点F．
∵，
∴．
∵AC和BC分别为，的平分线，
∴．
又∵在和中，AC=AC、在和中，BC=BC，
∴、，
∴、．
∵，
∴；
（3）解：如图，在线段上截取AG=AD，连接CG．
根据题意和所作辅助线可知在和中，
∴，
∴，．
∵AP//BQ，
∴．
∵，
∴．
又∵， ，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，所以是直角三角形；
（2）过点C作于点F，先利用“AAS”证明，，可得，，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）在线段上截取AG=AD，连接CG，先利用“SAS”证明，可得，，再利用平行线的性质可得，再利用“AAS”证明，可得，最后利用线段的和差可得。
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