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2024-2025学年河北省N20名校联合体高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.若数列满足，则该数列前项和( )
A. B. C. D.
4.已知是两个单位向量，在上的投影向量为，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.除以的余数为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的上顶点，左顶点，下顶点，右顶点分别是，直线均与椭圆相切，则菱形周长的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.小朋友们在如图所示的正八边形的游乐场玩丢手绢场地被等分成段标记为到，每个点有一个小朋友，小明从点处开始选择顺时针或逆时针方向在个小朋友身后放手绢，小明每跑完一段例如需要秒，在每个点都会随机选择顺时针或逆时针方向继续跑动若小明一直不停下来，秒恰好在点的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 随机变量的密度曲线比随机变量的密度曲线更“瘦高”
D.
10.已知函数，曲线在点处的切线方程为则下列结论正确的有( )
A.
B.
C. 若在上有最大值，则的取值范围为
D.
11.正三棱台上下底面边长分别为和，侧棱长为分别为两个底面正三角形的中心点在侧面内运动包括边界，，点分别在线段上，且满足，则下列结论正确的是( )
A. 存在一个球和正三棱台的所有面都相切
B. 的最小值为
C. 若存在唯一的点使得，则
D. 平面把线段分割成的两段长度之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式的常数项为 ．
13.记为数列的前项和，且，当取最大值时， ．
14.的内角的对边分别为，若，且的面积为，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的图象在点处的切线方程．
求函数的单调区间；
16.本小题分
某学校器乐大赛有名选手进入最后决赛，名评委给出评分如下表，按去掉个最高分和个最低分规则计算选手成绩：
选手 评委 评委 评委 评委 评委 评委
试确定冠军、亚军、季军选手的序号；
若比赛结束后从名选手中任选名谈参赛体会，设谈体会的人中含有冠军或亚军的人数为，求的分布列和数学期望以及方差．
17.本小题分
已知椭圆，椭圆上一点到焦点的最短距离为，长轴长是短轴长的倍．
求椭圆方程；
若点在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，椭圆的上顶点为不重合求的值．
18.本小题分
数列满足．
证明：数列是等差数列；
令，求数列的前项和．
19.本小题分
在平行六面体中，，．
以为空间的一个基底，求平面的一个法向量；
求点到平面的距离；
若动点满足，且，则的最小值为多少？
参考答案
1.
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8.
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10.
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12.
13.
14.
15.【详解】已知函数
于是而
所以得即．
令则．
由得
当时，单调递增；
当时，单调递减．
从而即．
所以函数的单调减区间为，无增区间
16.【详解】考察各选手得分发现，号选手得分较低，
不可能进入前三名，按规则计算其余选手得分如下：
号选手平均得分，
同理可得号选手平均得分，
所以本次决赛的冠军，亚军，季军分别是号，号，号选手．
由题意得的可能取值为，
则
故随机变量的分布列为
由期望公式得，故随机变量的数学期望为，
则．
17.【详解】当时，
由题得，解得
故椭圆方程为：．
同理可得当时，椭圆方程为
故椭圆方程为或．
因点在椭圆外，可得椭圆方程为
因不重合，故可设直线方程为，令
直线与椭圆联立消元得，
由，解得．
则，又，
于是，
将韦达定理代入得．
18.【详解】方法一：因为，且，，
所以
故是首项为，公差为的等差数列．
方法二：由题意得，同除以得，
因为，，
所以，且，
故是首项为，公差为的等差数列．
由题意得是从开始的等差数列，
则，即，
得到，
则，
而，
．
19.【详解】由题可知，，
则，，，
设为平面的一个法向量，
由，得到，即
取，得到，所以，
故平面的一个法向量为．
由知平面的一个法向量，
所以，
又
，
所以点到平面的距离为．
由，可知点在平面内，
易知四边形为正方形，又，
所以点在以点和点为焦点，焦距为的双曲线的一支上，
以的中点为原点，如图建立平面直角坐标系，则动点的轨迹为双曲线的右支．
设点为，又，所以点的轨迹方程为
，
又，所以当时，取得最小值，最小值为，
的最小值为．

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