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2024-2025学年河南省郑州外国语学校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的导数为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，若，，则( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.天津市第四十七中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”“立夏”七张知识展板放置在七个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻．且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为( )
A. B. C. D.
5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则( )
A. B.
C. D.
7.设，，为一个随机试验中的三个事件且概率均不为，则的充要条件是( )
A. B.
C. D.
8.如图，这是一张圆形纸片，其半径，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点重合于点，得到正六棱锥，则该六棱锥体积的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则函数的函数图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.甲、乙、丙、丁、戊名大学生参加年南京半程马拉松志愿者服务活动，有赛道补给、路线引导、物品发放、兴奋剂检测四项工作可以安排，则以下说法正确的是( )
A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B. 若每项工作至少有人参加，则不同的方法数为
C. 如果兴奋剂检测工作不安排，其余三项工作至少安排人，则这名同学全部被安排的不同方法数为
D. 每项工作至少有人参加，甲乙不会兴奋剂检测，但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是
B. 当且时，
C. ，
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知书架的第一层随机摆放了本语文书，本不同的数学书，本不同的英语书现从中抽取本书，则在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下，第二本抽取的是数学书的概率为 ．
13.某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则 ．
14.已知数列满足，，其中为函数的极值点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二项式的展开式中第项和第项的系数相等．
求展开式中二项式系数最大的项；
若，求的值．
16.本小题分
为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛．比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答个问题，答对其中至少个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段个问题都答对的选手进入高分组，共回答个问题，每答对一个得分，答错不得分；第一阶段答对个问题的选手进入低分组，共回答个问题，每答对一个得分，答错不得分．第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是．
求选手甲在该次比赛得分数为分的概率；
已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值．
17.本小题分
已知函数，，且．
若，直线与曲线和曲线都相切，求的值
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知不透明的盒子中有个相同的乒乓球，球上标有数字，，，，，有放回地随机抽取两次每次抽取个球，记下球上的数字，，原点和点，点．
记事件或求事件发生的概率．
记事件的面积不大于求事件发生的概率．
记事件是锐角．事件是锐角三角形．求在事件发生的条件下事件发生的概率．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
求函数在区间上的最小值；
当时，判断函数的零点个数．
参考答案
1.
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14.
15.【详解】依题意，，即，解得，
所以的展开式中二项式系数最大的项是第项：．
由知，，
取，得，取，得，
所以．

16.【详解】选手甲在该次比赛得分数为分有两种情况：进入高分组，答对个问题；
进入低分组，答对个问题，所以概率为：．
的可能取值有，，，，，
，
，
，
所以分布列为：
所以．

17.解：设直线与曲线的切点坐标为，
由于，则，
解得，，则切点坐标为，
直线，即，
由得，
由，解得或舍去，
当时，得，符合题意，
所以．
解：当时，则函数的定义域为，
由于，，
则，不符合题意，
所以不符合题意
当时，则函数的定义域为，
显然，
当时，由，得，即，
即，令，所以，
所以时，单调递减时，单调递增，
，
则．
综上所述，的取值范围为．
18.【详解】有数字、有数字可取，有放回地随机抽取两次每次抽取个球，
共有种取法，，，，
若，则，即，符合条件的基本事件
有种，
若，则，即，符合条件的基本事件
有种，
所以；
直线的方程为，设点到直线的距离为，
因为，所以，
可得，符合条件的基本事件有
，，
，
，，
，，，
共个，；
有数字、有数字可取，有放回地随机抽取两次每次抽取个球，
共有种取法，
设直线与直线垂直，且过原点，因为，则直线，
其个点中，有个落在直线上，剩余个点中，一半在直线上方，
一半在直线下方，要想是锐角，则点应在直线下方，
其中满足要求的点有个，
故是锐角即，

与平行且过点的直线方程为，
若是锐角三角形，则点落在直线与直线之间，
根据点的坐标特征，应在直线上，
满足要求的点有共个，
所以，
所以．

19.【详解】由题意得的定义域为，
则
当时，时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令可得或，令可得，
故在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，令可得或，令可得，
故在和上单调递增，在上单调递减．
由已知得，
当时，在区间上恒成立，函数单调递增，
函数的最小值为，
当时，在区间上恒成立，函数单调递减，
函数的最小值为，
当时，列表如下：
单调递减 单调递增
函数的最小值为．
综上可得：当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为．
当时，，
当时，由知函数在上单调递减，
在上单调递增，
又因为，而趋近正无穷时，趋近正无穷，
故在上只有一个零点；
当时，，在上单调递增，且连续不间断，
且，故在上只有一个零点．
当时，令，解得，即在上只有一个零点，
当时，令可得，令可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当趋近正无穷时，趋近正无穷，当趋近时，趋近正无穷，
若，即时，在上无零点．
若，即时，在上只有一个零点，
若，即时，在上有两个零点，
综上：当时，函数无零点，
当或时，函数的零点个数为，
当时，函数的零点个数为．

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