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2024-2025学年福建省三明市五县联盟高二下学期期中质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
2.年春节期间，全国各大影院热映部优秀的影片：哪吒之魔童闹海、唐探、封神现有名同学，每人选择这部影片中的部观看，每部电影都有人观看，恰有名同学选择观看同一部影片，共有种不同的选择方法．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.从，，，，中任取个不同的数，记事件：取到的个数之和为偶数，事件取到的个数均为偶数，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
5.函数的单调增区间为( )
A. B. C. D.
6.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击次，至少击中两次的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图，直线和圆，当从开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动转动角度不超过时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则( )
A.
B. 乙小组的实验误差数据相对于甲小组更集中
C.
D.
10.随机事件、满足，，，下列说法正确的是( )
A. 事件与事件相互独立 B.
C. D.
11.已知函数存在两个极值点，则下列选项正确的有( )
A. B.
C. 若，则 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若直线在点处与曲线相切，则直线的方程为 ．
13.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他骑共享单车去上班的概率为 ．
14.将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当 时，方盒的容积最大。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式中，第项与第项的二项式系数相等．
求含的项；
若，求的值．
16.本小题分
某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．
求乙恰好答对两个问题的概率；
请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由
17.本小题分
已知函数
当时，求在上的最值；
讨论的单调性．
18.本小题分
某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立．
求两局后比赛终止的概率；
在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求的单调区间；
若，求的取值范围；
若有两个实数解，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】解：由的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，
可得，所以，即，
其展开式的通项公式为，
令，可得，所以含的项为．
解：由可得，
令，可得，
再令，所以，
所以，
所以．

16.【详解】由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则，
则乙恰好答对两个问题的概率为：．
令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为，
则所有可能的取值为，
则；；．
所以．
由题意，随机变量，所以．
又，．
所以，，
可见，乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，
所以选择投票给学生甲．

17.解：因为 ，所以 ．
当 时， ，当 时， ，
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
因为 ，
所以 在 上的最大值为，最小值为 ．
因为 ，
所以
令 ，得 或 ．
当 ，即 时，由 ，解得 或 ，由 ，解得 ．
当 ，即 时， 恒成立．
当 ，即 时，由 ，解得 或 ，由 ，解得 ．
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区问；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为

18.【详解】设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件，
设“两局后比赛终止”为事件，
因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止．
当棋手得分为分，则局均负，即；
当棋手得分为分，则局先平后胜，即
因为、互斥，所以

所以两局后比赛终止的概率为．
设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件．
因为
，

所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为

所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为．
因为局获奖励万元，说明甲共胜局．
当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，
且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，
当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，
且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，
则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率
，
所以．

因为，所以，
所以，所以单调递减，
所以当时，取最大值为．

19.【详解】当时，，则
令，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以单调减区间为，单调增区间在为．
由可知，，，
即在上恒成立，
设，，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以时，取得最小值，最小值为，
由题意知，即，故的取值范围为；
方程有两实数解，，
即有两实数解，不妨设，
由知方程要有两实数解，则，即，
同时，，，
，则，在单调递减，
欲证，即证，，
等价于，即，
等价于，
整理得，
令，式为，又在单调递增，
故式等价于，即，
令，，
当时，，在单调递增，
又，，即，
所以，则．

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