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2024-2025学年福建省恒一教育集团联考高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算结果不正确的是( )
A. B. C. D.
2.年男足亚洲杯足球赛于月份在深圳举行，东道主中国所在的组共有四支球队，四支球队之间进行单循环比赛，共进行的比赛的场数为 ．
A. B. C. D.
3.函数在处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数的图象如图所示，则极小值点的个数为( )
A. B. C. D.
5.小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试次，那么其中恰有次通过的概率是( )
A. B. C. D.
6.设袋中有个红球，个白球，若从袋中任取个球，则其中有且只有个红球的概率为( )
A. B. C. D.
7.若随机变量，则( )
A. B. C. D.
8.曲线上的点到直线的最短距离是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式的展开式中各二项式系数和为，则下列说法正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 二项式系数最大的项是第项
C. 展开式的常数项为 D. 展开式中各项的系数和为
10.某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为：，计算其相关系数为，决定系数为经过分析确定点为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为：，相关系数为，决定系数为下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为 ．
13.假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是 ．
14.函数若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求单调区间；
求在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
某人工智能公司从至年的利润情况如下表所示：
年份
年份代码
利润单位：亿元
根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关．计算与之间的相关系数精确到，并推断它们的相关程度；
求出关于的经验回归方程，并预测该人工智能公司年的利润；
参考数据：
参考公式：对于一组数据，相关系数为：
经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，
17.本小题分
近年来，“家长辅导孩子作业”已成为家长朋友圈里的一个热门话题．某研究机构随机调查了该区有孩子正在就读小学的名家长，以研究辅导孩子作业与家长性别的关系，得到下面的数据表：
请将下列列联表填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为是否辅导孩子作业与家长性别有关
是否辅导家长性别 辅导 不辅导 合计
男
女
合计
若从被调查的名爸爸中任选名爸爸，并用表示事件“至少名爸爸辅导”，用表示事件“名爸爸都辅导”，求．
参考公式：其中．
参考数据：
18.本小题分
设随机变量的概率分布列为
确定常数的值．
写出的分布列．
计算．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积．
若函数有两个零点，求实数的取值范围．
若不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：函数的定义域为，求导得，
由，得或；由，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
由知，在上单调递增，在上单调递减，
而，，
则，，
所以在区间上的最大值和最小值分别为．

16.解：由题设，易知与线性相关，且，
，
由于，可以推断变量与成正线性相关且相关程度很强；
由题设，，
，
所以，
因此关于的回归方程为，
当时，，即预测该人工智能公司的利润为亿元．

17.解：列联表填写如下图所示：
是否辅导家长性别 辅导 不辅导 合计
男
女
合计
，
所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为辅导孩子作业与家长性别有关；
至少一名爸爸辅导的可能情况有种；
两名爸爸辅导的情况有种；
所以．

18.解：随机变量的概率分布为．
，
解得．
由可得，，
，，
的分布列为：


．

19.【详解】当时，，所以．
又，所以，则切线方程为．
令得，令得，
所以切线与坐标轴围成三角形的面积为．
由得，显然不是方程的解，所以．
设函数，
则，
令得或；令得或．
所以在上单调递增，在和单调递减，在上单调递增．
又当时，，当时，，
当时，，当时，．
所以的大致图象如图：
若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，
由图象可知，或，即的取值范围为．
由得，
显然当时，不等式恒成立．
当时，有恒成立，由可得；
当时，有恒成立，由可得．
综上，，即的取值范围为．

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