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2024-2025学年辽宁省沈阳市重点高中联合体高二下学期期中检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
2.甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是，且无平局，比赛采用局胜制，各局比赛的结果相互独立，则甲以“”获胜的概率是( )
A. B. C. D.
3.已知某班级的数学兴趣小组中，有男生人，女生人，现从这个小组中随机抽出名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是( )
A. B. C. D.
4.某人工智能公司从某年起年的利润情况如下表所示，关于的回归直线方程是，预测该人工智能公司第年的利润是多少亿元( )
第年
利润亿元
A. B. C. D.
5.设事件，事件，已知事件与事件相互独立，则样本空间可能是下列哪个选项( )
A. B. C. D.
6.袋中有大小、形状完全相同的个白球、个黑球，现从中随机地连续抽取次，每次取个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是，且，则的数学期望( )
A. B. C. D.
7.设，分别是等差数列，的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
8.甲、乙两名大学生同时于年月初向银行贷款元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分次还清所有的欠款，从年月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为，则年月初甲比乙将多还多少元精确到个位，参考数据：，，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中错误的是( )
A. 若数列满足，其中是关于的一次函数，则数列一定是等差数列
B. 若数列的前项和，则数列一定是等比数列
C. 若数列是等差数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等差数列
D. 若数列是等比数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等比数列
10.设是等差数列的前项和，若，，则下列结论正确的是( )
A. B. 时，最大
C. 使的的最大值为 D. 数列中的最小项为第项
11.某次数学考试的最后一道多选题共有个选项，正确答案为项或项，满分分，评分标准是，全部选对得分，部分选对得部分分若正确答案为项，仅选对项得分；若正确答案为项，仅选对项得分，仅选对项得分，有错选或不选则得分．已知最后这道多选题正确答案是项的概率是项的倍．学生甲、乙、丙三名同学对这道题完全没有思路，只能靠猜，已知甲同学猜一个选项与猜两个选项的概率各为，乙同学决定猜一个选项，丙同学决定猜两个选项，设甲、乙、丙三名同学的得分分别为、、，其得分的期望分别为，则下列说法正确的有( )
A. 事件“”与事件“”是互斥的
B. 甲同学不得分的概率
C.
D. 在三名同学的得分和的条件下，他们中有且仅有一人得分的概率是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量服从正态分布，且，则 ．
13.已知随机变量的分布列如下表所示，其中是常数，则 ．
14.已知数列中，，，数列满足：，则 ；若、分别是数列的最大项与最小项，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设数列满足，，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
电视台对某时段收看综艺节目和新闻节目的观众进行抽样调查，随机抽取了名电视观众，相关的数据如下表所示单位：人．
收看综艺节目 收看新闻节目
岁
岁及以上
从表中数据分析，是否有的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关．
现从所抽取的岁及以上的电视观众中利用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人做访谈，求选取的人中至少有人在这一时段收看综艺节目的概率．
将频率视为概率，从我市所有在这一时段收看综艺节目和新闻节目的观众中随机抽取人，记其中收看新闻节目的观众数为，求随机变量的数学期望和方差．
参考公式：，其中．
临界值表：
17.本小题分
设是数列的前项和，若，，．
求数列的通项公式；
设，是数列的前项和，若对任意的，恒成立，其中是实数，求的最小值．
18.本小题分
设数列满足，；正项数列满足，．
证明：数列是等比数列；
求数列、的通项公式；
设是数列的前项和，证明：．
19.本小题分
甲、乙两名象棋大师与同一款象棋软件进行对决，规则如下：由抽签确定第局与软件对决的人选，第局与软件对决的人是甲、乙的概率各为，若前一局大师取胜，则下一局换另一位大师与软件对决；若前一局大师未取胜，则此人继续与软件对决．无论之前对决结果如何，甲每局取胜的概率均为，乙每局取胜的概率均为，已知第局与软件对决的大师是乙的概率是．
求乙每局取胜的概率；
求第次与软件对决的大师是甲的概率；
现甲、乙进行比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．若每局比赛中，可视甲取胜的概率为中充分大时，的极限值．
若比赛最多进行局，求比赛结束时比赛局数的分布列；
若比赛不限局数，求甲赢得比赛的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由题意，当时，
相加得
所以
时，符合上式，所以

16.【详解】
所以没有的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关．
由题意，抽取的这人中有人在这一时段收看综艺节目，有人收看新闻节目
记事件“选取的人中至少有人在这一时段收看综艺节目”，
则
由题意，随机变量，所以，
．

17.【详解】当时，，两式相减可得：
．
中令，得，注意到
符合上式，所以数列是以为首项，为公比得等比数列．
所以
，相减得
所以，则
从而恒成立．即
令
则当为奇数时，随着增大而减小，当为偶数时，随着增大而增大，
又注意到，则
所以，从而

18.【详解】证明：由得
进而
又
所以数列是以为首项，为公比的等比数列
由得
所以
由得，
因为，所以
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以
所以
因为，所以
易知是关于的增函数，所以
综上

19.【详解】设事件“第局与软件对决的大师是乙”，
则，解得；
由题意，
整理得，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
从而，所以；
由可知，当充分大时，的极限值为，所以甲每局获胜的概率为，则乙每局获胜的概率为；
的取值范围是，
，
，
，
所以的分布列为
事件“甲赢得比赛”，则，
解得，即甲赢得比赛的概率是．

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